微乙小考二 (2017/3/23)
1. (7 分) 求 f(x, y) = xe
y+ cos(xy) (a) (3 分) 在點 (2, 0) 的梯度;
(b) (4 分) 在點 (2, 0) 沿著方向 − → u = (3, −4) 的方 向導數。
sol: (a) ∂f
∂x (x, y) = e
y− y sin(xy) ⇒ ∂f
∂x (2, 0) = 1
∂f
∂y (x, y) = xe
y− x sin(xy) ⇒ ∂f
∂y (2, 0) = 2
∴ ∇f (2, 0) = (1, 2) (b) ∂f
∂~ u (2, 0) = ∇f (2, 0) · ( 3 5 , −4
5 ) = (1, 2) · ( 3 5 , −4
5 ) = −1
2. (6 分) 求過曲面 x
3+ e
x+xy− sin(yz) = 1 上點 (0, 1, π) 的切面方程式。
sol: Let f (x, y, z) = x
3+ e
x+xy− sin(yz) − 1
∂f
∂x (x, y, z) = 3x
2+ (1 + y)e
x+xy⇒ ∂f
∂x (0, 1, π) = 2
∂f
∂y (x, y, z) = xe
x+xy− z cos(yz) ⇒ ∂f
∂y (0, 1, π) = π
∂f
∂z (x, y, z) = −y cos(yz) ⇒ ∂f
∂z (0, 1, π) = 1
Hence the tangent plane is 2x + π(y − 1) + (z − π) = 0
3. (7 分) 求函數 f(x, y) = 3y
2− 2y
3− 3x
2+ 6xy 的所有極 值點候選點並討論其性質(包括鞍點)。
sol: ∂f
∂x (x, y) = −6x + 6y = 0 and ∂f
∂y (x, y) = 6y − 6y
2+ 6x = 0 the critical points are (0, 0) and (2, 2)
∂
2f
∂x
2= −6, ∂
2f
∂x∂y = 6 − 12y, ∂
2f
∂y
2= 6 D(0, 0) = −72 < 0 ⇒ (0, 0) is saddle point D(2, 2) = 72 > 0 ⇒ (2, 2) is relative maximum
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