單元四：多項式四則運算的綜合應用

單元四：多項式四則運算的綜合應用

課文：多項式四則運算的綜合應用

讓我們直接用幾個題目來練習一下!

Ex 1：計算(2x − 3)(3x + 4) − (5x − 3)(x − 2) =？

Ex 2：已知

(3x

²

− 2x + 1)(ax + b) − 5化簡後會得到9x

³

− 12x

²

+ 7x − 7，求 a、b 的值。

Ex 3：梯形 ABCD 上底為5x − 4，下底為3x + 2，高為x − 2，將梯 形 ABCD 面積以 x 的多項式表示，並以降冪方式排列。

Ex 4：已知(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)展開後，x

³

項和x

²

項係數均 為 0，求 m、n。

2

Ex 1：計算(2x − 3)(3x + 4) − (5x − 3)(x − 2) =？

解：(2x − 3)(3x + 4) − (5x − 3)(x − 2)

= (6x

²

+ 8x − 9x − 12) − (5x

²

− 10x − 3x + 6) = (6x

²

− x − 12) − (5x

²

− 13x + 6)

= 6x

²

− x − 12 − 5x

²

+ 13x − 6 = x

²

+ 12x − 18

Ex 2：已知(3x

²

− 2x + 1)(ax + b) − 5化簡後會得到9x

³

− 12x

²

+ 7x − 7，求 a、b 的值。

解：首先我們先化簡(3x

²

− 2x + 1)(ax + b) − 5 (3x

²

− 2x + 1)(ax + b) − 5

= 3ax

³

+ 3bx

²

− 2ax

²

− 2bx + ax + b − 5

= 3ax

³

+ (3b − 2a)x

²

+ (a − 2b)x + (b − 5)

題目告訴我們，化簡後會得到9x

³

− 12x

²

+ 7x − 7 所以

3ax

³

+ (3b − 2a)x

²

+ (a − 2b)x + (b − 5) = 9x

³

− 12x

²

+ 7x − 7

3

換句話說 3a = 9，3b − 2a = −12，a − 2b = 7，b − 5 = −7 所以 a = 3、b = −2

答：a = 3、b = −2

Ex 3：梯形 ABCD 上底為5x − 4，下底為3x + 2，高為x − 2，將梯形 ABCD 面積以 x 的多項式表示，並以降冪方式排列。

解：梯形 ABCD 面積=

^{(上底+下底)×高}

2

=[(5x − 4) + (3x + 2)] × (x − 2)

2 =(8x − 2) × (x − 2) 2

=8x

²

− 16x − 2x + 4

2 =8x

²

− 18x + 4 2

= 4x

²

− 9x + 2

答：4x

²

− 9x + 2

Ex 4：已知(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)展開後，x

³

項和x

²

項係數均為 0，求 m、n。

4

◎解題思維：

這道題目給我們兩個關鍵的條件是「x

³

項和x

²

項係數均為 0」。換句話 說，我們如果把(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)展開，然後找出它的x

³

項和x

²

項係數，就可以利用「x

³

項和x

²

項係數均為 0」這個條件列出兩個等式，

然後求出 m、n。

但是，將(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)展開要花上一些時間，加上展開後我 們其實只用到x

³

項和x

²

項。那麼，有沒有辦法直接找出展開後的x

³

項和x

²

項呢？

我們不妨來想一想，什麼情況下會乘出x

³

項？

當我們要乘開(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)時，當前面括號內的x

²

乘以後面 括號內的−2x時，便會乘出x

³

項，也就是−2x

³

。另外，當前面括號內的 +mx乘上後面括號內的x

²

時，會產生+mx

³

。除此之外不會產生任何的x

³

項。所以合併−2x

³

和+mx

³

這兩個結果，就會得到(−2 + m)x

³

。如下圖：

(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)

而題目告訴我們x

³

項係數＝0。所以我們就可以得到−2 + m = 0，並且解 出m = 2。

同樣的道理，什麼情況下會乘出x

²

項？

5

當前面括號內的x

²

乘上後面括號內的+3時，會產生+3x

²

。而當前面括號內 的+mx乘上後面括號內的−2x時，會產生−2mx

²

。另外，當前面括號內的 +n乘上後面括號內的x

²

時，會產生+nx

²

。除此之外不會產生任何的x

²

項。

所以合併+3x

²

、−2mx

²

和+nx

²

這三個結果，就會得到(3 − 2m + n)x

²

。如 下圖：

(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)

而題目告訴我們x

²

項係數＝0。所以我們就可以得到3 − 2m + n = 0，代入 剛剛解出的m = 2，就可以解出n = 1。

解： 展開(x

²

+ mx + n)(x

²

− 2x + 3)，會得到 x

²

項：3𝑥

²

− 2𝑚𝑥

²

+ 𝑛𝑥

²

= (3 − 2m + n)x

²

x

³

項：−2𝑥

³

+ m𝑥

³

= (−2 + m)x

³

因為x

³

項和x

²

項係數均為 0，所以

{3 − 2m + n = 0 … ①

−2 + m = 0 … … . . ②

由②得m = 2，代入① 得到3 − 4 + n = 0

所以−1 + n = 0 故n = 1

答：m = 2、n = 1

6

․隨堂練習：

1.

計算(3x − 2)(4x + 1) − (2x − 5)(3x + 2) =？

2.

已知(2x

²

− x + 3)(ax + b) − 5化簡後會得到4x

³

− 8x

²

+ 9x − 9，求 a、b 的值。

3.

梯形 ABCD 上底為2x − 3，下底為5x + 2，高為2x + 1，求梯形 ABCD 面積，並以降冪方式排列。

4.

已知(x

²

+ mx + n)(x

²

+ 2x − 3)展開後，x

³

項和x

²

項係數均為 0，

求 m、n。

還是不太懂，請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watch?v=YN in2arlYTI

還是不太懂，請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?v=Jv MtzPtY7Hk