第一章 圓錐曲線
§10 圓錐曲線概說
(甲)圓錐曲線的發展歷史
圓錐曲線的研究，早在古希臘時代就有人為了「倍立方問題」引出了圓錐曲線的概 念。到了西元前 400 年左右，Menaechmus 以幾何方法來探索「倍立方問題」，他利 用頂角分別為直角、銳角、鈍角等三種不同的直圓錐面。與垂直於錐面的母線的平 面截出了拋物線、橢圓與雙曲線等三種曲線(註：雙曲線只有一支)。Menaechmus 為了將拋物線的概念與「倍立方問題」結合在一起，他曾推得一個拋物線的關係，
以現代解析幾何的表達，就是 y2=cx 的形式，其中 c 是頂點到截平面的距離有關 的常數，同樣，對橢圓與雙曲線也作了」深入的探討。
Menaechmus 之 後 ， 希 臘 數 學 家 持 續 地 有 系 統 的 研 究 ， 其 中 Euclid (330~275B.C.)、Archimedes (287~212B.C.)、Appllonius 等人都有很多的著作 Archimedes 曾利用「窮盡法」計算出拋物線與直線圍成的弧形區域面積，並求得橢 圓的面積，而 Appllonius 更完成了八卷有關圓錐曲線(Conic Section)的著作，而 圓錐曲線純幾何的研究，到了 Appllonius 的時代，可說達到了顛峰。
在 Appllonius 的著作中，他利用一個圓錐面與不同斜度的截平面截出了橢圓、拋 物線與雙曲線，而且也確定了雙曲線是兩支曲線的概念，三種曲線的命名最早也 是由他提出來的。在八卷著作中， Appllonius 對切線與平行弦的中點軌跡都有詳 細的介紹，他也得到橢圓和雙曲線的焦半徑性質：「橢圓上任一點到兩焦點的距 離和為一定值」、「雙曲線上的點到兩焦點的距離差的絕對值是一個定值」。
Appllonius 更進一步探索了橢圓與雙曲線的光學性質，但對於圓錐曲線的焦點、
準線與離心率的研究，卻在 Appllonius 後約西元三世紀左右，由幾何學家 Pappus 提出來的。圓錐曲線的綜合幾何法研究，到此時已經相當完備了。
直到十六、七世紀後，由於解析幾何的引入，以及實際問題的需要，圓錐曲線的 研究，在燃起新的熱潮，利用軌跡的概念，重新探索圓錐曲線與錐線的性質。
如 1579 年，蒙特 將橢圓定義為：平面上到兩定點的距離和為一定值的點的軌跡 。 1604 年 Keppler 提出了連續變動的理論：
他從一雙曲線開始，設它的兩焦點 F1與 F2在直線 l 上，且 F1固定不動，F2沿著 直線 l 逐步的向遠方移動，這時候雙曲線的一支也隨著 F2的移動向遠處移動，當 F2移至無窮遠的地方，F2及一支曲線就消失了，這時候雙曲線只剩下一支，而開 口也變小了，它變成了拋物線。當 F2從 F1的左側移到無窮遠處，而從 F1的右側又 逐步的向 F1移動時，拋物線又變成了橢圓，又當 F2移到 F1的位置時，橢圓就變 成圓的圖形。因此就 Keppler 的想法而言，圓錐曲線是一體的。事實上，Keppler 所提出的大膽想法，從圓錐與平面的截痕的觀點是可以理解的。
從 Keppler 提出的連續變動理論及無窮遠點的概念之後，法國的射影幾何學家 Desargues 、Blaise Pascal 、Hire 也相繼的利用射影幾何學的觀點，對圓錐曲線作更 進一步的研究。
當笛卡兒與費馬建立了解析幾何的概念與方法之後，他們也發現圓、橢圓、雙曲 線和拋物線，它們的方程式都是二次式，但是利用解析幾何系統性的研究圓錐曲 線是 1655 年後，英國數學家 Wallis 導出圓錐曲線的方程式之後，才利用方程式 的方法證明圓錐曲線的各種性質。
(乙)圓錐截痕
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設 L1與 L2是相交於 O 點的兩條直線，讓 L2以 L1為軸旋轉，所得的曲面就是一個 直圓錐面，再用一個不過 O 點的平面 E 去切割，所得的曲線稱為圓錐曲線。設 L1 和 L2 的 夾 角 為 ， 割 平 面 和 軸 線 L1 的 夾 角 為 ，
拋物線及其退化情形：
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橢圓及其退化情形：
雙曲線及其退化情形：
(a)當>>時，截痕曲線稱為橢圓；(=時，截痕曲線稱為圓) (b)當=時，截痕曲線稱為拋物線
(c)當 0<時，截痕曲線稱為雙曲線
[例題1] 將連接(0,0,0)與(0,1,1)兩點的直線，繞 z 軸旋轉而得一個錐面，請問 (1)與平面 x=1 相交所得的錐線是那一種？
(2)與平面 y2z+2=0 相交所得的錐線是那一種？
(3)與平面 x+2yz1=0 相交所得的錐線是那一種？
(4)與平面 yz+1=0 相交所得的錐線是那一種？
Ans：(1)雙曲線 (2)橢圓 (3)雙曲線 (4)拋物線
(練習1) 將連接(1,0,0)與(0,0,1)兩點的直線，繞 z 軸旋轉而得一錐面，試 問此錐面與平面 x=1 相交所得的錐線為何？ Ans：雙曲線
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(練習2) 在空間中，直線 L：
t z
t y
x 0
，t 為實數，以 L 繞 z 軸旋轉一周，
形成一個直圓錐面，此時平面 yz=3 與此圓錐面相交所得的曲線為何？
Ans：拋物線
(練習3) 將連接(0,0,0)與(0,1,1)兩點的直線，繞 z 軸旋轉而得一個錐面
請就 m 的值討論平面 y+mzm=0 與所截的曲線。
Ans：|m|>1，橢圓；|m|=1，拋物線；|m|<1，雙曲線
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