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105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員

考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 ^{代號：70930}

全三頁 第一頁 考 試 別： 鐵路人員考試

等 別： 高員三級考試 類 科 別： 電子工程 科 目： 電磁學

考試時間 ： 2 小時 座號：

※注意： 禁止使用電子計算器。

不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。

一、自由空間中有一個點電荷 q₀位在座標系統的原點，且在其周遭建立了靜電場，有另 外一個點電荷 q_t位在點 P₁處（在 z 軸上），當 q_t從點 P₁移動到點 P₂（在 y 軸上），

請考慮沿著下列的不同路徑，分別計算電荷 q₀的電力對 q_t所作的功

∫

^{2 ⋅}

1

dl

P F

P ，其中庫

倫力 ₂

0

0 ˆ

F 4

R R πε

q q _t

= ，而圖中的內圈半徑為 r₁，外圈半徑為 r₂：

沿著路徑 C₁（P₁到 P₂的實線）。（6 分）

沿著路徑 C₂（P₁到 P₂的虛線）。（6 分）

沿著任意路徑 C₃（P₁到 P₂的點線）。（7 分）

從～的結果，你得到什麼結論？（6 分）

[提示]：首先，寫出球座標下的 dl ，……。

（請接第二頁）

z

x

y C₃

P₁ q_t

q₀ P2 P₂ y

C1

z

x

P₁ C₂ r2

r1

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全三頁 第二頁 考 試 別： 鐵路人員考試

等 別： 高員三級考試 類 科 別： 電子工程 科 目： 電磁學

二、針對下列的電學系統，一個直流電源 V₁₂連接到一塊導電性均勻材料，兩端塗以金屬 極板（1 和 2），且材料的橫截面積為 A、長度為 L，又其導電率為

σ

^{；已知自由電} 子會因電場的存在而受力移動，且假設材料內的電場E是均勻的：

請由J =

σ

E開始，推導出電路學的歐姆定律V12 = IR，其中 J 是電流密度。（12 分）

計算其消耗的電功率，請問這些消耗的能量會轉傳給「誰」，並說明電能量被轉 變成何種形式的能量？（6 分）

請解釋J =

σ

E的意義，以及其背後的機制，並與下列的力學系統例子進行比較。

（7 分）

力學系統：在空氣中的雨滴向下墜落的過程中，雨滴會和空氣分子碰撞，將能量轉 傳給空氣分子，使得雨滴最後以等速度（稱為終端速度）落下。

[提示]：V12 ⁼

∫

₁²E^⋅dl。

三、已知靜磁場滿足安培迴路定律如下：

∫

C B^⋅dl⁼

μ

₀I ^(3a)

其中 C 是任意的封閉迴路（不論其形狀、大小與位置為何），I 是迴路 C 所包圍的穩 定電流。

請進一步利用斯托克斯定理（Stokes' Theorem），以推導其對應的點形式安培定律如下：

∇×B=

μ

₀J (3b) 其中 J 是電流密度。（11 分）

接著，請證明在交流情況下，(3b)式違背下列的連續方程式

∂t

= ∂

⋅

∇ _J

ρ

其中

ρ

是電荷密度；並據此，針對交流情況下，對(3b)式進行必要的修正。（14 分）

[提示]：∇⋅(∇×F) =0

0

E₌

ε ρ

⋅

∇

ds ) F ( dl

F⋅ =

∫

∇× ⋅

∫

C S

（請接第三頁）

L A

V₁₂ 1

2 J E

+ － σ

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全三頁 第三頁 考 試 別： 鐵路人員考試

等 別： 高員三級考試 類 科 別： 電子工程 科 目： 電磁學

（請接背面）

四、如圖 4a 所示，對於一傳輸線中的電壓和電流，其定義一般用電場/磁場表示如下：

^{v( tz, ) =−}

∫

₁^{2E⋅dl (4a)} i(z,t)⁼

∫

CH^⋅dl (4b)

且為了滿足傳輸線的電報者方程式，電壓 v 及電流 i 的解分別為 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

=

+ +

) / (

) , (

) / (

) , (

p p

u t z f I t z i

u t z f V t z

v 且 Z₀

I

V₊⁺ = （特性阻抗）

或 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

+

=

−

−

) / (

) , (

) / (

) , (

p p

u t z f I t z i

u t z f V t z

v 且 Z₀

I

V₋⁻ =−

如圖 4b 所示，z = 0處為兩個不一樣的傳輸線的交界，設其特性阻抗 Z₀₁、Z₀₂給定，

且入射波V 為已知，求反射波幅度⁺ V 和透射波幅度⁻ V₂⁺之值，以及其電壓反射係 數 ₊

−

V

V 。（8 分）

比較：對於在介電材料中傳播的一平面波之反射，如圖 4c 所示，設z =0處為兩個 半空間介電材料的交界，且其內稟阻抗（intrinsic impedance）

η

₀₁^、

η

02^{給定，當入}

射波的幅度E 為已知，求反射波幅度⁺ E 和透射波幅度⁻ E₂⁺之值，以及其電場反射 係數 ₊⁻

E

E 。（8 分）

比較和結果表示式的相似處，並陳述其背後的理由。（4 分）

比較和結果表示式的不同處，並陳述其背後的理由。（5 分）

圖 4a 2 i(z) C

Z₀

E H

1

－ + v(z)

圖 4b 圖 4c

z=0 z=0

z z

H E V−

V+ V²⁺

Z₀₁ Z₀₂

介電材料 2 介電材料 1

E+

E−

η₀₁ η₀₂

+

E2