矩陣介紹與基本運算

矩陣介紹與基本運算

矩陣介紹與基本運算

矩陣介紹與基本運算

矩陣介紹與基本運算

稱為 m 列列列列 n 行行行行 矩陣，

以大寫表示矩陣，以小寫表示元素。

什 什 什

什麼是矩陣 麼是矩陣 麼是矩陣？ 麼是矩陣 ？ ？ ？

 

 





 

 





×

=

mn m

m

n n

n m

a a

a

a a

a

a a

a A

⋯

⋮

⋱

⋮

⋮

⋯

⋯

2 1

2 22

21

1 12

11

n

A

矩陣長什麼樣子 矩陣長什麼樣子 矩陣長什麼樣子

矩陣長什麼樣子？ ？ ？ ？

a , b , c , d

都是矩陣的元素 元素 元素 元素

 

 





d c

b 第一列 a

第二列

第 一 行

第

二

行

A是3列2行的矩陣

矩陣長這個樣子 矩陣長這個樣子 矩陣長這個樣子 矩陣長這個樣子

 







 







−

−

−

×

=

3 4 0

5 1 2

2

A

B是2列3行的矩陣

 

 





−

= −

×

2 0 5

1 4

3

3

B

零矩陣內的所有元素 都是零

特殊的矩陣 特殊的矩陣 特殊的矩陣 特殊的矩陣

 







 







×

=

0 0 0

0 0 0

2

O

單位方陣主要對角線上的元素 都是1，其他元素都是零。

 

 



= 

×

0 1

0 1

2

I

O 是3列2行的零矩陣

I 是2列2行的單位方陣

設 A、B 都是二階方陣

相同的矩陣 相同的矩陣 相同的矩陣 相同的矩陣

 

 



= 

d c

b

A a 



 



= 

s r

q B p

若 A＝B 則 a＝p、b＝q、c＝r、d＝s。

兩個矩陣相等不僅是 兩個矩陣相等不僅是 兩個矩陣相等不僅是

兩個矩陣相等不僅是行數行數行數行數列數列數列數列數要相等要相等要相等要相等，，，， 而且所有互相對應的

而且所有互相對應的 而且所有互相對應的

而且所有互相對應的元素元素元素元素都要相等都要相等都要相等都要相等。。。。

設 A、B 都是二階方陣

矩陣加法 矩陣加法 矩陣加法 矩陣加法

 

 



= 

d c

b

A a 



 



= 

s r

q B p

注意 注意 注意

注意：：：：兩個矩陣必須要有相同的兩個矩陣必須要有相同的兩個矩陣必須要有相同的兩個矩陣必須要有相同的 列數與行數才可相加

列數與行數才可相加 列數與行數才可相加 列數與行數才可相加！！！！

 

 





+ +

+

= +

+ c r d s

q b

p B a

則

A

設 A 是二階方陣，r 是任意實數

矩陣係數積 矩陣係數積 矩陣係數積 矩陣係數積

 

 



= 

d c

b A a

 

 





×

×

×

= ×

d r

c r

b r

a A r

r

則

注意注意

注意注意：：：：矩陣每一個元素都要乘以矩陣每一個元素都要乘以矩陣每一個元素都要乘以矩陣每一個元素都要乘以 r

設 A、B 都是二階方陣

例題 例題 例題

例題01

 

 





−

= −

3 2

1

A 2 _



 





= −

2 1

0 B 3

( ) ^{ }

 





×

− +

× +

−

× +

−

×

= +

+ 2 1 2 3 2 2

2 0

1 2

3 2 B 2

則

A

 

 





−

= −

1 0

1 8

試求 A + 2 B

設 A、B 都是二階方陣

矩陣乘法 矩陣乘法 矩陣乘法 矩陣乘法

 

 





× +

×

× +

×

× +

×

× +

= ×

× c p d r c q d s

s b

q a

r b

p B a

A

 

 



= 

d c

b

A a 



 



= 

s r

q

B p

設 A、B 都是二階方陣

例題 例題 例題

例題02

 

 





−

= −

3 2

1

A 2 _



 





= −

2 1

0 B 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{ }

 





−

× +

×

−

× +

×

−

−

×

− +

×

×

− +

= ×

× 2 3 3 1 2 0 3 2

2 1

0 2

1 1

3 B 2

則

A

試求 A B×

 

 





−

= −

6 3

2

5

答：前面矩陣的行數與後面矩陣的 列數相同時才可以相乘。

答：

矩陣乘法特殊之處 矩陣乘法特殊之處 矩陣乘法特殊之處 矩陣乘法特殊之處

任意兩個矩陣一定可以相乘嗎？

問題１：怎麼樣的矩陣才可以相乘？

問題２：相乘之後的矩陣是幾列幾行？

( )

p p

m

B AB

A

×

=

什麼是反方陣 什麼是反方陣 什麼是反方陣

什麼是反方陣？ ？ ？ ？

I

BA AB = =

設一 n 階方陣 A，若有另一方陣 B 使得

如果一 n 階方陣 A 有反方陣，

則稱 A 是可逆方陣。

則稱 B 是 A 的反方陣，以

A

每個二階方陣一定有反方陣嗎？

問題１：一個二階方陣在什麼條件下可逆？

問題２：如何得到一可逆方陣的反方陣？

答：二階方陣的行列式值不等於零。

答：

關於反方陣 關於反方陣 關於反方陣 關於反方陣

 ⇒



 



= 

d c

b

A a 



 





−

−

= −

−

a c

b d

bc A

ad 1

( ) ⁰

det A = ad − bc ≠

設 A 是二階方陣

例題 例題 例題

例題03

 

 



= 

1 2

3 A 5

 

 





−

= −

 

 





−

−

×

−

= ×

−

5 2

3 1

5 2

3 1

2 3

1 5

1

1

則

A

試求

A

 

 



= 

 

 





−

 −



 



= 

−

1 0

0 1

5 2

3 1

1 2

3

1

5

且

AA