週期數列的收斂路線與循環
臺北市立第一女子高級中學 郭婷婷 指導老師 廖培凱
Abstract
Take a positive integer sequence with period 7 for example.
a1=1 takes 1 step to a1+1 =3, 3 takes 3 steps to a2+3=6, . . . and so forth.
There are 3 converged-routes in the periodic sequence just mentioned:
13→16→25→33→ · · ·、15→23→26→35→ · · ·、17→27→ · · ·
While this research tells us how many converged-routes there are in given arithmetic progression modulo n. For periodic sequence (with period n) that has exactly one of each 1∼n in any group, we can find the least upper bound of the number of converged-routes. To prove the statement just mentioned, we have to explore the connection between the numbers of converged-routes and other concepts like cycles.
中文摘要
給定週期正整數數列，數列裡的項依照其代表的數字移動，舉例來說，給定週期 7 的 正整數數列：
1 往後「走」1 項到 3，3 往後走 3 項到 6，· · · 以此類推。以上週期數列有 3 條收斂路 線。而文中主要探討等差數列在模 n 時形成的週期數列它的收斂路線數。從 d=1 的特 例：連續遞增數列開始，到一般的等差數列在模 n 時形成的週期數列。除此之外。對於週 期 n 且一組內恰為 1∼n 排列的數列，我能知道它收斂路線數的上界，而藉由構造特定 收斂路線數的週期數列，得到週期數列收斂路線數的最小上界。
1 簡介
1.1 研究方法與名詞定義 1.1.1 週期數列
定義 若正整數數列 ⟨am⟩ ，有 ai = ai+n ∀ i ∈ N 其中 n 是使等號成立的最小 正整數，則稱此數列是週期為 n 的數列。在本作品中，將第 q 個週期內的第 r 項 an(q−1)+r 記為qar，其中 1≤r≤n：即數列 a1, a2, . . . , an, an+1, an+2, . . . , a2n, . . . 可以記為
1a1, 1a2, . . . , 1an
| {z }
共 n 項
,2|a1, 2a2{z, . . . , 2an}
共 n 項
,· · · 。
以週期數列 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4, . . . 為例，第 6 項 4 可以看成是第二個週期的 第 3 項，記為 a6= 2a3 =24。要注意的是14 和 24 代表的都是數字 4，在數列中 卻是不同項。而作品中僅討論一個週期裡恰為 1∼n 的排列的數列。在後面的討論 裡，將一個週期稱為一組，這是因為我們討論收斂路線時所使用的 Aq 集合、. . .，
用到了數字往後走一次最多只到下一組這個事實，也就是並非所有的週期數列的
「週期」和「組」都是相同的概念。
1.1.2 移動函數
定義 先收集一組內所有的數到集合 S = {a1, a2, . . . , ai}。定義項的移動函數：
g :N→N，g(i) =i+ai；而當我們討論一個週期裡面的數恰為 1∼n 的排列的數 列時，可以定義數字的移動函數： f : S→S，滿足 f(ai) =ai+ai。
舉例來說，給定週期數列：
有 f(a1) =a1+1=a2=3，也就是數字 1 移動後對應到數字 3；g(1) =1+1=2，
也就是第 1 項移動後對應到第 2 項。另外定義連續的移動 fm 和 gm： f0(ai) =ai、 fm(ai) = f(fm−1(ai)) ∀m≥2, m∈N；
g0(i) =i、 gm(i) =g(gm−1(i)) ∀m≥2, m∈N。
當 f 是一對一的映射時，定義 f−1(f(ai)) = ai， f−m(ai) = f−1(
f−m+1(ai))。類 似的有當 g 是一對一的映射時，定義 g−1(g(i)) = i，而若存在正整數 m、j 使得 gm(j) =i，則有 g−m(i) =j。
1.1.3 收斂路線
以第一組中的 a2=3 當起點往後走，有收斂路線13→16→25→33→ · · ·。 定義 以第一組中的 ai 當起點，往後走，若存在正整數 m，使得 fm(ai) =ai，且 滿足不存在正整數 j，使得 g(j) =i，則 ai →ag(i) →ag2(i) → · · · → agm(i)· · · 為 一條收斂路線，也就是說收斂路線是以第 i 項作為起點的。可以看出有些數並不在 收斂路線中，如：a1= 1，因為對所有的正整數 m，都有 fm(a1)̸= 1。11 走 1 步 之後到了13 ，也就和13 走到了同一條路線，於是就不再考慮11 的移動。
以第 i 項作為起點的收斂路線，不存在正整數 j，使得 g(j) = i 的定義其 來有自，若不限制，則有這兩條不同的收斂路線 13 → 16 → 25 → 33 → · · ·、
16 →25 →33→ · · ·，而只看16 以後的移動，其實走的都是一樣的項，鑒於後面 的項的對應基本上都是相同的，只算13→16→25→33→ · · · 這條收斂路線。
根據定義，以上週期數列有 3 條收斂路線：
13→16→25→33→ · · ·、15→23→26→35→ · · ·、17→27→ · · ·。 可以看出收斂路線是由會循環的數（有 fm(ai) = ai）所代表的項構成的對應（移 動）。
1.1.4 走一次就到下一組的數
先收集第一組裡面「走一次就到下一組的數」到集合 A1，以上的例子裡有 A1 = {5, 6, 4, 7}。由於以第一組的數為起點，若本身不是 A1 裡的數，一定要移動到任一 個 A1 裡的數才會走到下一組，所以 A1 的元素個數會是一個收斂路線數的上界，
於是收斂路線不會超過 |A1| =4 條。將 A1裡的數走到第 2 組時對應到的「走一次 就到下一組的數」，收集成 A2集合裡的數 — 不必是 A1裡的所有元素，例如在 A1
裡的數 4，在第二組裡並沒有被對應到：
A2 裡的元素就只剩下可以繼續移動到第三組的「走一次就到下一組的數」：5、6、
7，從 |A2| =3 知道收斂路線也不會超過 3 條。類似地，收集 Aq−1 裡的數走到第 q 組時對應到的「走一次就到下一組的數」到 Aq 裡。一般的，收集走一次就到下一 組的數到集合裡。
定義 將週期數列中的數字分為「走一次就到下一組的數」及「走一次不會到下一 組的數」兩類：
A1={ai | g(i) >n, i≤n}。
令 S={a1, a2, . . . , an}，定義 B1=S\A1。當 q≥2 時，令 Aq ={f(ai) | f(ai)∈ Aq−1 且 ∃ m ∈ N, aj ∈ Aq−1 使得 gm(j) = i}，以及 Bq = {f(ai) | f(ai) ∈ Bq−1 且∃m∈N, aj ∈Aq−1 使得 gm(j) =i}。
就集合的包含關係來看，有 A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · ·，因此 |A1| ≥ |A2| ≥ · · · ≥ 收斂路線數。從這些 Aq 集合的元素個數，我們能得知收斂路線數的上界，而作品 中也說明了 min
n∈N{|An|} 即是我想了解的週期數列的收斂路線數。
1.1.5 循環
循環不考慮項的差異，如收斂路線 13 → 16 →25 →33 → · · · 以及15 → 23 →
26→35→ · · ·，則對應到的循環是：3→6→5→3→ · · ·。
定義 對於 ai，若存在一個最小的正整數 m，使得 fm(ai) =ai，則 ai, f(ai), f2(ai), . . ., fm−1(ai)在同一個循環內，或稱
ai → f(ai)→ f2(ai)→ · · · → fm−1(ai)→ai→ · · · 為一個「循環」。
從收斂路線的定義裡其中一項要求：存在正整數 m ，使得 fm(ai) =ai，可知收 斂路線裡的數都必須要在循環中，於是若要討論數列的收斂路線數，我們觀察會循 環的數字即可。
作品中討論週期 n，一組裡為 1∼n 的排列的數列。在 1∼n 都出現的條件下，
討論特定週期數列的收斂路線數、等差數列在模 n 時所形成的數列裡，個別循環所 對應的收斂路線數、對於給定的週期 n，收斂路線數的最小上界，以及給定不超過 最小上界的收斂路線數，一個相對應的數列的存在性問題。
1.2 研究目的
1. 週期為 n 的連續遞增數列其收斂路線數。
2. 循環所需組數和收斂路線數的對應關係。
3. 公差為 d 的等差數列，模 n 時所形成的週期數列，其收斂路線數。
4. 公差為 d 的等差數列，模 n 時所形成的週期數列，各數字在個別循環所需組 數的探討，其中(n, d) =1。
5. 循環長度的上界。
6. 週期數列⟨ai⟩（一組中恰為 1∼n 的排列），收斂路線數的最小上界。
7. 週期為 n，收斂路線數為 r 的數列的存在性。
1.3 研究結果
1. 週期數列⟨an⟩，收斂路線數=min
n∈N{|An|}。
2. 一組 n 項的週期數列 ai，某一循環所對應的收斂路線數為 r，若且唯若此循 環中相異數字的和為 n×r，也就是此週期數列的收斂路線數，即是各循環所 對應的收斂路線相加：∑ r。
3. 設 n =mq，公差為 d 的等差數列，在模 n =mq 時，若 (mq, d) =1，以及 (m, d+1) =1，若 q 的質因數全是 d+1 的質因數，則收斂路線數為 m+1
2 。 4. 在公差為 d 的等差數列，模 n 時所形成的週期數列中，以 d+1 進位制的除
法判斷各數字循環所需組數的方法。
5. 公差為 d 的等差數列，在模 n= pα11pα22· · ·pαkk 時形成的週期數列，pi 是奇質 數、αi 是正整數。數列中任一個數字的循環長度是 φ(n)
2k−1 的因數。
6. 週期數列⟨ai⟩（一組中恰為 1∼n 的排列），收斂路線數有最小上界 n+1 2 。 7. 對於正整數 n、r，其中 r≤
⌊n+1 2
⌋
，存在週期為 n，收斂路線為 r 的數列。
2 研究內容
一開始考慮特殊的數列，如以下這個週期 7 的數列，一組內的數字是連續遞減的排 列：
7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, . . .
拿前 7 項當起點，每個數走一次都到了下一組的 7，可以看出只有一條收斂路線
17→27→ · · ·，顯然有收斂路線數為 1。後面的討論先將「收斂路線數」的問題轉 為問走一次就到下一組的數有幾個，接著討論另一種特殊的數列，一組內的數字是 連續遞增的排列，例如：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . 也就是週期 7 的連續遞增 數列。
2.1 週期數列 ⟨ a
i⟩ ，收斂路線數 = min
n∈N
{| A
n|}
由於一個週期中的數字是有限的，所以從以下兩個引理可以說明收斂路線數會等於 minn∈N{|An|}。
引理 1.1 週期數列⟨an⟩，當數字的移動 f : Aq∪Bq →Aq∪Bq 是一對一的映 射時，若 as、at 是第 q 組中的相異兩數，且 as、at∈ Aq，則 gm(s)̸= gm′(t)
∀m, m′∈N。
證明. 當 f : Aq∪Bq → Aq∪Bq 是一對一的映射時，g 也是一對一函數：假設 g(i) = g(j)，則 i+ai = j+aj，因此 i−j = ai−aj，又由 g(i) = g(j) 可知 f(ai) = f(aj)，且 f 為一對一，所以 ai=aj，故 i= j，所以 g 是一對一的映射。
因此在第 q 組的相異兩數 as、at 若都在 Aq 裡，假設 gm(s) = gm′(t)，如果 m = m′，從 g 是一對一的映射，s = t，則 as = at，矛盾。不失一般性，可以假 設 m>m′，因為 g 是一對一的，所以 s=gm−m′(t)，即 at 經過至少一次的移動到 as，又 as、at∈Aq，會得出 as、at 在不同組，矛盾，知 gm(s)̸=gm′(t)。
引理 1.2若週期數列⟨an⟩其收斂路線數為 r，則收斂路線數 r=min
n∈N|An|。 證明. 從一組內的數字是有限的，可以找到一個含最少元素的 Aq∪Bq，|Aq| = minn∈N{|An|} ≥ r，而 f : Aq∪Bq → Aq∪Bq 必為一對一，從引理 1.1知，若 as、 at ∈ Aq，則 ∀m, m′ ∈N，都有 gm(s)̸= gm′(t)，也就是任意兩個 Aq 集合中的元 素都不會在同一條收斂路線中，故|Aq| ≤r，所以|Aq| =r=min
n∈N{|An|}。 有了引理 1.2後，我們可以不必回歸定義檢查，而以其他方式看出數列的收斂 路線數。而作品中對於收斂路線數的討論都以引理 1.2為根基。
2.2 公差為 d 的等差數列，在模 n 時形成的週期數列 ⟨ a
i⟩ ，其收斂 路線數。
為了讓自然數 1∼n 在一組內都各出現一次，於是限制公差 d 為小於 n 且和 n 互 質的正整數。且取數列裡的每一項都在 1∼n 之間。
公差為 d 的等差數列，模 n 時，且(n, d) =1 時：
{a1, a2, . . . , an} = {a1, a1+d, . . . , a1+ (n−1)d} ≡ {1, 2, 3, . . . , n} (mod n) 故一個週期中 1∼n 都恰出現一次。又 ai+n =ai+d×n≡ai (mod n)，因此在模 n 時，等差數列都會是 1∼n 在一組內都各出現一次的週期數列。
先從 d=1 的特例開始。
2.2.1 週期為 n 的連續遞增數列其收斂路線數
定義週期 n 的連續遞增數列為模 n 時的（數字限制在 1∼n 之間）：
⟨ai⟩ = ⟨i⟩: 1, 2, 3, . . . , n, 1, 2, 3, . . . , n, 1, . . .
就後見之明來說，此數列是公差為 1 的等差數列在模 n 時的樣子。透過簡單的觀 察，當週期 n 為奇數時，連續遞增數列的收斂路線數有一個明顯的規則
週期 n 3 5 7 9 11 13 15 17
收斂路線數 2 3 4 5 6 7 8 9
(表一)
由 (表一) 推測週期為 2k−1 的連續遞增數列，其收斂路線數為 k。
以週期為 7 的連續遞增數列為例：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .，
其獨立的移動路線有：
11 移動 1 步// 12移動 2 步// 14移動 4 步// 21移動 1 步//· · ·
13 移動 3 步// 16移動 6 步// 25移動 5 步// 33移動 3 步//· · ·
15 移動 5 步// 23移動 3 步// 26移動 6 步// 35移動 5 步//· · ·
17 移動 7 步// 27移動 7 步// 37移動 7 步// 47移動 7 步//· · ·
特別地，將「走一次就會到下一組的數」經 f 的映射向後的對應再次列出：
14→21、15→23、16→25、17→27 。
數列的第二組中，只有 1、3、5、7 會被上一組的數經過 f 的映射對應到，也可以 說在第一組中分別有 4、5、6、7 這 4 個數走一次就會到下一組，此數列的收斂路 線數亦為 4 條。而 2、4、6 不會被上一組的數經過 f 的映射對應到；此外，並不會 有兩個不同的數在經過 f 的映射後得到相同的數，即在這個數列中，「移動函數 f 」 是一對一的函數。
從走一次就到下一組的數的定義，我們知道它的個數是收斂路線數的一個上界，
而引理 1.2 則清楚描繪收斂路線數和 min
n∈N{|An|}的關係──兩者相等，因此若函數 函數 f : A1∪B1→A1∪B1是一一對應的映射，可利用 A1=A2= A3=· · ·，直 接從|A1|知數列的收斂路線數，如數列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · 中走一次就到下一組的數共有 4 個，則可知數列的收斂路線數亦為 4 條。
討論數字經過 f 的映射，對應的方式：對於任一個在 B1 裡的元素 s，有 f(as) = as+s= a2s =2s。對於任一個在 A1 裡的元素 s，有 f(as) = as+s= a2s = 2s− (2k−1)。故週期為奇數 2k−1 的連續遞增數列中任一數 s 移動的方式是：
f : s7→2s (mod 2k−1)
定理 2.1週期為 2k−1 的連續遞增數列的收斂路線數為 k。
證明. 考慮函數 f : {1, 2, 3, . . . , 2k−1} → {1, 2, 3, . . . , 2k−1}，因為數列中任意的 偶數 2s 都只能由同一週期的 s 映射到，而奇數 2s−1 都只能由前一個週期的 k+s−1 映射到，因此對於任意的正整數 i，Ai ={k, k+1, k+2, . . . , 2k−1}，所 以|Ai| =k，由引理 1.2知，收斂路線數為 k。
而週期為偶數時，會循環的數字的移動就如同奇數乘上 2 的冪次的伸縮，故將 所有的偶數以奇數乘上 2 的冪次：(2k−1)×2m表示。
週期為偶數(2k−1)×2m 連續遞增數列中任一數 s 移動的方式是：
f : s7→2s (mod(2k−1)×2m)
舉週期為 28 = 7×22 的連續遞增數列 1, 2, 3, . . . , 28, 1, 2, 3, . . . , 28, . . . 為例，以 圖1 將循環列出，淺灰色虛線部分表示的是「不循環」的數字的移動，從圖中可以 看出只有 4 的倍數會循環。
圖 1 圖 2
而對照週期為 7 的連續遞增數列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . 裡的循環，如 圖 2。可以發現兩圖循環裡的數只是伸縮 4 倍的關係，雖然循環裡的數字都不同，
但是移動的方式基本上是一樣的。
從對照以上的週期分別是 28、7 的連續遞增數列裡的循環，能了解兩個循環的 本質是相同的。我們可以推及到一般的週期分別是(2k−1)×2m、2k−1 的連續遞 增數列裡循環的對應，於是有以下引理 2.1 和定理 2.2。
引理 2.1週期為(2k−1)×2m的連續遞增數列
⟨an⟩ =1, 2, 3, . . . ,(2k−1)×2m, 1, 2, 3, . . . , (2k−1)×2m, . . . 以第一組的各項為起點移動 m 次後，皆對應到 2m的倍數。
證明. 從數列中任一數 s 移動的方式是：
f : s7→2s ( mod (2k−1)×2m) 可知若數列中的數字 s 經 f 的 m 次映射，對應到 b，有：
s×2m−b= (2k−1)×2m×t ，對某個 t∈N∪ {0}。
所以 b 為 2m的倍數。
定理 2.2 週期為 (2k−1)×2m的連續遞增數列，收斂路線數為 k。
證明. 設收斂路線數為 min
q∈N{|Aq|} = |Ai| 。由於 (2, 2k−1) = 1，因此若 1≤a≤ (2k−1)×2m，從費馬尤拉定理有：
a×2m×2φ(2k−1)≡a×2m ( mod(2k−1)×2m)，
即 a×2m最多經過 f 的φ(2k−1)次映射，必會對應到 a×2m。又從引理 2.1知，
以第一組的項為起點，數字經 f 的 m 次映射，皆對應到 2m 的倍數。因此，只要 q≥m+1，在第 q 組中，會被前面一組的數字對應到的數所構成的集合 Bq∪Aq都 是一樣的，而且我們能夠清楚描述其中元素：Bq∪Aq={a×2m|1≤1≤2k−1}。 若 a∈Aq，也就是那些「走一次就到下一組的數」，a 會滿足
2(a×2m) > (2k−1)×2m 。
所以 a×2m 可以是 k×2m、(k+1)×2m、· · ·、(2k−1)×2m，共 k 個數字，即 k=min
n∈N{|An|}。因此週期為(2k−1)×2m的連續遞增數列，收斂路線數為 k。
2.2.2 公差為 d 的等差數列，在模 n 時形成的週期數列，其收斂路
線數
目前已有連續遞增的週期數列（公差 d=1 的等差數列）其收斂路線數的結果，接 著來看一般的等差數列。以 1 當首項，公差為 d=4 的數列為例，在模 7 時，是週 期為 7 的數列：
1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, . . . 。 有以下收斂路線：
11 移動 1 步// 15 移動 5 步// 14移動 4 步// 26移動 6 步// 32 移動 2 步// 33 移動 3 步// 41移動 1 步// · · ·
16 移動 6 步// 22 移動 2 步// 23移動 3 步// 31移動 1 步// 35 移動 5 步// 34 移動 4 步// 46移動 6 步// · · ·
13 移動 3 步// 21 移動 1 步// 25移動 5 步// 24移動 4 步// 36 移動 6 步// 42 移動 2 步// 43移動 3 步// · · ·
17 移動 7 步// 27 移動 7 步// 37移動 7 步// 47移動 7 步// · · · A1集合裡的元素以紅色標記，共有 4 個。
注意到上列的前三條收斂路線，其所構成的數字皆為 1 ∼6，將數字間的對應，
寫成「循環」：1→5→4→6→2→3→ · · ·。在此循環中 1 經過了 3 組再走回
到 1，也可以說是往後走經過了 1+5+4+6+2+3=7×3 步才回到 1，經過 3 組也代表 1 往後走會對應到 3 個不同的「走一次就到下一組的數」，分別是 4、6、
3。對於所有的自然數 q，這個循環裡，有 3 個元素在 Aq 集合中。下圖3 可以清楚 的看出路線和循環之間的關聯。再從循環 7→7→ · · ·，其中 7 走回到 7 最少須經 過的組數為 1，所以這個循環裡有 1 個元素在 Aq 集合中，綜合兩者，得 Aq 至少 有 3+1 個元素，也就是至少有 4 條收斂路線。
圖 3
一般而言，只要知道各循環歷經了幾組，不一定需要明確的知道 Aq 集合有哪些 元素，一樣可以討論 Aq 集合內的元素個數。
引理 2.2 一組 n 項的週期數列⟨ai⟩，某一循環所對應的收斂路線數為 r，若且 唯若此循環中相異數字的和為 n×r，也就是此週期數列的收斂路線數，即是 各循環所對應的收斂路線相加：∑ r。
證明. 若循環中相異數字的和為 n×r，代表任一個數往後走最少經過 r 組才又回到 自己，而在分組的定義之下，數字走一次最多到下一組，表示循環中有 r 個在 Aq
中的相異數字，因此有：
循環中相異數字的和為 n×r ⇒ 此循環所對應的收斂路線數為 r。
反之，若其一循環所對應的收斂路線數為 r，即此循環中有 r 個數在 Aq 集合中，
從循環的定義知，循環中任一數 a 經 r 組又回到 a，也就是 a 經 f 的若干次映射，
所對應到的相異數字和為 n×r，因此我們有：
循環所對應的收斂路線數為 r ⇒ 此循環中相異數字的和為 n×r。
因此，我們又可以知道數列的收斂路線數，即是各循環所對應的收斂路線相加：
∑
r。一般公差為 d 的等差數列，模 n 時有任一個數 am= s 經過 f 的映射對應到的
都是 s+d×s：
f(s) =am+s=s+d×s= (d+1)s( mod n).
為了使等差數列在模 n 時滿足我們對週期 n 的數列，所要求的條件：週期 n 的數列，1 ∼n 在一組中都各出現一次，限制 (n, d) = 1。上面例子裡的等差數列 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, . . .，雖然是 n =7 和 d+1 =5 互質的情形，但即使 當 n 和 d+1 不互質，例如週期為偶數 (2k−1)×2m 的連續遞增數列，從它們的 循環本質上可以視為和週期為奇數 2k−1，公差 d=1 的數列相同，看出哪些數會 循環。我們一樣能看出當 n 和 d+1 不互質時，數列裡有哪些數字會循環。
定理 2.3設 n=mq，公差為 d 的等差數列，在模 n=mq 時，若(mq, d) =1，
以及 (m, d+1) = 1，若 q 的質因數全是 d+1 的質因數，則收斂路線數為 m+1
2 。
證明. 週期 n、公差為 d 的等差數列，其函數 f 的映射是：
f : a7→ (d+1)×a( mod n=mq) 。
因為 q 的質因數全是 d+1 的質因數，所以每個數 a 經過 f 的若干次映射之後，都 會對應到q 的倍數，且再繼續往後移動任意次，也只有 q 的倍數會被對應到。又從 模 m 時有(d+1)φ(m)≡1 (mod m)，可得對於數列中的任意數 a，
a× (d+1)φ(m)×q≡a×q( mod n=m×q)。
此式表示模 n 時，a×q 經過 f 的 φ(m)次映射，會對應到 a×q，也就是週期為 n 的數列，1×q、2×q、· · ·、m×q =n 都會落在各自的循環內，且只有這些 q 的 倍數會在循環內，由引理 2.2知，將這些循環中不同的數字相加
1×q+2×q+· · · +m×q=mq× m+1 2 。 從引理 2.2因為一組有 mq 項，所以收斂路線數為 m+1
2 。
我們不用知道這個等差數列中 Aq 集合中到底有什麼元素，甚至利用 1∼n 在一 組內都出現的特性，也不必確定它的首項是什麼，只要這個公差為 d 的等差數列，
模 n 時滿足一個週期中有 n 個數，而這 n 個數恰好就是 1∼ n 之間的每一個正整 數，選取不同的首項，就如同整個數列的平移一般，Aq 集合的元素個數，在確定 n 和 d 的時候，就已經被決定了。
2.3 等差數列模 n 時，其中的數字個別循環所需組數
在研究模 n 時的等差數列的過程中，我們知道同樣的循環在考慮項的差異後，可能 構成不同的收斂路線，由於其數字移動方式十分規律
f : q7→ (d+1)a( mod n)
我們利用移動方式的規律性，知道模 n 時的等差數列中，以某數 a 所在的循環內，
可以拆成幾條獨立的收斂路線。而從引理 2.2，這也就是在問 a 所在的循環，最少 要經過幾組才又回到 a，即 a 的循環組數的問題。
為求公差為 d 的等差數列，模 n 時會一組內 1∼n 皆恰出現一次，限制 d 和 n 互質。我們只須討論模 2k−1 時的等差數列，其中 d+1 和 2k−1 互質。因為若 將模數 2k−1 乘上 d+1 的任一個因數，等差數列裡數字的移動模式和原數列（模 2k−1) 裡數字的移動模式相仿，也就是伸縮，於是循環的組數能由原數列得出。
以下先給出(d+1, 2k−1) =1 時的循環組數判斷原理。
在模 2k−1 時，公差為 d，且 (d, 2k−1) =1、(d+1, 2k−1) =1 時，判斷任 一數 a 所在循環對應的收斂路線數的方法：
將 a 向後走 m 次到 b
a× (d+1)m≡b ( mod 2k−1)。 寫成除法原理的形式
a× (d+1)m= (2k−1)q+b
其中 1≤b≤2k−1（這裡與一般除法原理的寫法中 0≤b≤2k−2 不同）。
可以用 q 的 d+1 進位寫法中每一位的數字和為 d 的 u 倍，判斷出循環所需的 組數為 u。
以模 11，公差為 2 的數列為例，拿 1 當起點往後走：
橘色和藍色方框把「11」區隔開來，意即數字往後走超過幾個方框，就是乘以 3 超過了幾次「11」。以下說明若 1 往後再走到 1 之前超過了 2u 個 11，1 的循環組數 就是 u。
1×32 =11×0+9，代表數字 1 往後走兩次（乘以 3 兩次）。以 3 進位表示：
1(3)×100(3) = 102(3)×0(3)+100(3)。再往後走一次乘上 10(3)：1(3)×1000(3) = 102(3)×2(3)+12(3)。紅色的2 代表的是 100(3) 往後走「超過」2 次 102(3)，對照 數列裡數字的移動，是超過 2 次 11。再往後走一次乘上 10(3)：1(3)×10000(3) = 102(3)×211(3)+1(3)，走回到 1 的時候共超過 2+1+1=4 次 11。而從式
1+2|+2+{z· · · +2}
11 個公差 2
≡1+2×11≡1 (mod 11)
可看出相距一組的「1」之間隔了 2 個 11。而從 1 經若干次移動走回到 1 的時候共 超過 4=2×2 次 11，可以判斷出 1 循環需要 2 組。
一般的情形如下面的討論。
若向後移動一次（乘以 d+1），沒有超過 2k−1，以 d+1 進位來看，整個式 子乘以 10(d+1)，同餘數 b 乘以 10(d+1) 後仍介於 1 和 2k−1 之間，商中每一位的 數字和不變。而若數字向後移動一次，即同餘數 b 乘以 10(d+1) 後，介於 2k−1 和 (2k−1)× (d+1)之間，除了末位數字以外，只看其他位的數字，仍是相同的數，
只是都進了一位，可以由此看出每一次的移動超過幾次 2k−1。總的來說，可從商 的 d+1 進位表示法中每一位的數字和知道總共超過幾次 2k−1。
從 模 2k−1 時 的 等 差 數 列 來 看， 其 實 ai 若 要 走 到 後 u 組 的 同 一 個 數 字 ai+(2k−1)×u，有 ai+(2k−1)×u ≡ ai+u×d(2k−1) ( mod 2k−1)。因此可以從數 字往後走共超過了幾次 d× (2k−1)，判斷超過幾組──對應至幾個 Aq 中的元素：
判斷循環所需組數的步數：
步驟一：盡可能找到一個較小的 m 滿足
a× (d+1)m≡a(mod 2k−1) 步驟二：用 d+1 進位除法，以 2k−1 除 a× (d+1)m，
a× (d+1)m≡ (2k−1)q+d 直到餘數為 a，或是 a 的倍數。
步驟三：檢查至停止時，商中每一位的數字和為 d 的幾倍。
在步驟三中，若得到商中每一位數字和為 dr ，則 r 就是 a 所在的循環所經過的 組數，亦為此循環所對應的收斂路線數。
如果 d+1 和 n 不互質，仍可調整上述步驟找出循環所對應的收斂路線數。
舉例來說，模 30 時，首項為 1，公差為 d = 7 = 23−1 的數列。將 30 寫成 mq，其中 m=15 是和 d+1=23 互質的部分、q=2 的因數都是 d+1=23的因 數：30=15×2、d+1 =23。所以在循環中的數字，就是 q=2 的倍數，以在循 環中的數 12 為例，只須考慮模 30/
2 =15 時，首項為 1，公差為 d =7 =23−1 的數列中的 12/
2=6，有 6×84≡6 (mod 15)，以及 6×84=15×1638+6，其 中 1638=3146(8) 將八進位商中的每一位數字加總為 3+1+4+6=14= 7×2，
即循環經過了 2 組才回到 6。故模 2×3×5 時，公差為 23−1 的數列，循環中的 數字 12 經過了 2 組才又回到 12，此循環對應到的收斂路線數為 2。
實際上，首項是 1，公差為 23−1 的等差數列在模 15 時是週期為 15 的數列：
1, 8, 15, 7, 14, 6, 13, 5, 12, 4, 11, 3, 10, 2, 9, 1, . . . 。 6 所在的循環：
16→13→19→212→36 。
對照首項是 1，公差為 23−1 的等差數列在模 30 時是週期為 30 的數列：
1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27, 4, 11, 18, 25, 2, 9, 16, 23, 30, 7, 14, 21, 28, 5, 12, 19, 26, 3, 10, 17, 24, 1, . . . 。 12 所在的循環：
112→26→218→224→312 。
所以在模 30 時，公差為 7 的等差數列，12 所在的循環，可以完全對應到模 15 時，
公差為 7 的等差數列中 6 所在的循環。兩個循環只是裡面的數字伸縮兩倍的關係，
因此兩個在不同數列中的循環對應的收斂路線數皆為 2。
2.4 等差數列在模 n 時形成的週期數列，循環長度的上界
文章前面的部分已經討論過循環組數的問題，而循環組數問題其中一部分用到了：
找一個盡可能小的 m 使得以下同餘式成立，
(d+1)m≡1(mod n)。
為了簡化找「循環所需組數」的過程，我參考文獻 [4]後得知，若模 n 時，n 不是 1、2、4、pα、2pα 時（p 為奇質數），m 都不大於 φ(n)
2 ，而我進一步將 n 更細地 分類，能找到不同情形 m 更好的上界。而我們討論 2.3 數字循環所需組數時，都將 情形化約至週期為奇數時，於是以下討論也只需討論模 n，其中 n 是奇數的情形。
2.4.1 循環長度：
將滿足以下同餘式的最小正整數 m
a(d+1)m≡a(mod n)
定義成 a→ f(a)→ · · · → fm(a)→ · · · 的循環長度，記為 a 的循環長度。
當週期是 n 時，其中數字 n 的循環長度顯然是 1。
從參考文獻 [4]知，n 是 1、2、4、pα、2pα時，原根存在，且恰有 φ(φ(n))個，
若 d+1 是 n 的原根，那麼有些數，例如 1 的循環長度就會是 φ(n)。然而對於其 他類型的 n 和 d+1，可以找到比 φ(n)更小的循環長度的上界，或確切值。
定理 4.1公差為 n−2 的等差數列，在模 n 時形成的週期數列，a 的循環長度 為 2，若 a̸=n。
證明. a 的移動方式：
f : a7→ (n−1)a(mod n)， a(n−1)2≡a(−1)2≡1 (mod n)。
知 a 的循環長度為 2。
定理 4.2 公差為 d 的等差數列，在模 n= pα11pα22· · ·pαkk 時形成的週期數列，
pi 是奇質數、αi 是正整數。若對於所有的 i，∏j̸=iφ(pαjj) 的最大公因數為 r，
則數列裡任一個數的循環長度是 φ(n)/r 的因數。
證明. 從所有 ∏j̸=iφ(pαjj)的最大公因數為 r，知道 r ∏j̸=iφ(pαjj)，也就是 1r ∏j̸=iφ(pαjj) 是整數。故
(d+1)φ(rn) ≡ (d+1)1r∏jφ(p
αj j )
≡((d+1)φ(pαii )
)1r∏j̸=iφ(pαjj )
≡1 (mod pαii)。
因此，若(d+1)m≡1(mod n)，則有 m φ(n) r 。
而從 φ(pαjj)都是偶數可知 ∏j̸=iφ(pαjj)的最大公因數至少是 2k−1，於是改寫定 理 4.2，有以下比較容易看出的所有 ∏j̸=iφ(pαjj)的公因數：
系理 4.1 公差為 d 的等差數列，在模 n= pα11pα22· · ·pαkk 時形成的週期數列，
pi 是奇質數、αi 是正整數。數列中任一個數字的循環長度是 φ(n)/2k−1 的因 數。
利用前面提到的定理 4.2和系理 4.1找對所有的 i，∏j̸=iφ(pαjj) 的公因數的想 法，再把質數分為被除 4 餘 1 和被除 4 餘 3 兩種，可以知道只要 n 可以被表示成 多個被除 4 餘 1 的質數之乘積，那麼系理 4.1的 φ(n)
2k−1 可以改成 φ(n) 4k−1。
舉例來說若 n=5×13×17，那麼考慮 s 的幾次方和 1 同餘，其中(s, n) =1，
則有
sφ
(5)×φ(13)×φ(17)
42 ≡s48 ≡1 (mod 5×13×17)。
2.5 一般週期數列 ⟨ a
i⟩ 收斂路線數的最小上界。
在公差為 d 的等差數列，模 n 時形成的週期數列的討論中，我們可以利用引理 2.2，從週期數列的「循環所需組數」，得知此數列的收斂路線數。而這樣的對應關 係，其實還可以告訴我們一些有趣的事實，由於作品中討論的週期數列中限制一組 裡要是 1∼n 的排列，收斂路線數會有上界：
定理 5.1週期為 n 的數列，收斂路線數的一個上界為 n+1 2 。
證明. 利用引理 2.2。若各循環中相異數字的和為最大值，則數列中的每一個數字 1、2、· · ·、n 都必須在某個循環中，將其加總
1+2+· · · +n=n×n+1 2
因此我們從引理 2.2得週期為 n 項的數列，收斂路線數不會超過 n+1 2 。 當週期 n =2k−1 時，收斂路線數不會超過上界 n+1
2 = k，再從定理 2.1週 期為 2k−1 的連續遞增數列收斂路線數為 k，可得週期為 2k−1 的數列，收斂路線 數的「最小上界」為 k。而若收斂路線數為 k，必須要每個數字都在某個循環中；反 之如果有一個數不在循環裡，收斂路線數就比 k 還小。
定理 5.2週期為 2k−1 的數列，若有 |A1| >k，則收斂路線數小於 k。
證明. |A1| >k，又從收斂數列數的上界知對於某個 q 有|Aq| ≤k，A1\Aq ̸= ∅，
因此必定有數字不在任一個循環中，因此各循環內相異數字的和會小於
1+2+· · · + (2k−1) = (2k−1)k 。 從引理 2.2知，數列的收斂路線數會小於 k。故得證。
定理 5.1 告訴我們一個收斂路線數的上界 n+1
2 。週期為奇數 n=2k−1 的數 列，收斂路線數的最小上界，恰好會是定理 5.1 給出的上界 n+1
2 =k。而我們也 可構造出週期為偶數 n=2k 的數列，使其收斂路線數為 k，甚至構造週期 n，收斂 路線數為 r 的數列，只要滿足 r 不大於 n+1
2 即可。
引理 5.1週期 n 的數列，若有 f(i) =n−i，則 f2(i) =i，也就是說 i、n−i 在同一個循環中，對應到一條收斂路線。
證明. 令 am = i，若有 f(i) = f(am) = am+i = n−i，則 f2(i) = f(am+i) = am+i+n−i=am+n=am=i，有 i+f(i) =n=n×1。於是 i、 f(i) =n−i 在同一 個循環中，對應到一條收斂路線。
以下給定 r，r ≤ n+1
2 ，構造週期為 n，收斂路線數為 r 的數列，下面的例子 說明構造的想法。
當 n = 2k−1 時，利用引理 5.1 來構造數列：以下數字放置的方法都滿足 f(i) =2k−1−i，故而任一對數字若在週期 2k−1 的數列中出現都會對應到一條 收斂路線。
而為了不重複寫出本質上相同的數字相對位置，限制 i<2k−1−i：
數字相對位置 「_」的個數
· · ·, 1, 2k−2,· · · 0
· · ·, 2, _, 2k−3,· · · 1
· · ·, 3, _, _, 2k−4,· · · 2 ... ...
· · ·, k−1, _,· · ·, _, k,· · · k−2
以下構造週期為 2k−1，收斂路線數為 4 的數列，其中 k≥4。觀察「_」的個 數，可以將數列排列如下：
由於 5、3、1 分別和 2k−6、2k−4、2k−2 形成不同的循環，從引理 5.1知總共 對應到 3 條收斂路線，而再加上 2k−1 →2k−1 → · · · 的循環所對應到的路線，
共有 4 條。
而為了要讓 a1、a2、· · ·、a2k−1−7 不影響收斂路線的數目，讓他們都不會在 A1 中，於是將 a1、a2、· · ·、a2k−1−7 依數字大小遞減排序，也就是把集合
{1, 2, . . . , 2k−1} \ {1, 3, 5, 2k−6, 2k−4, 2k−2, 2k−1}
裡的數依大小遞減排列，有 a1 > a2 >· · · > a2k−1−7，又 a2k−1 =2k−1，一組裡 的其他項必定比 2k−1 還小，於是有 a1< 2k−1。類似地，對其餘尚未被決定的 2k−1−7 項 am來說，當 1≤m≤2k−1−7 時，從 a1>a2>· · · > a2k−1−7，有
am<2k−1−m+1
g(m) =am+m<2k−1−m+1+m=2k
其中第 2k 項是第二組的第一項，g(m) < 2k 代表的是 am 走一次不會到下一組，
也就是 am ∈/ A1，當然也有 am ∈/ Aq，∀ q ∈ N。這樣將集合{1, 2, . . . , 2k−1} \ {1, 3, 5, 2k−6, 2k−4, 2k−2, 2k−1} 裡的數 am 依序遞減排列的構造方式能 讓 am 都不在 Aq 中，於是討論收斂路線數也就是 min
q∈N{|Aq|} 時，只需關注集合 {1, 3, 5, 2k−6, 2k−4, 2k−2, 2k−1}裡有幾個數在 Aq 中即可。從已知：1、3、
5，2k−2、2k−4、2k−6 分別形成的循環及 2k−1 自成一個的循環，共對應到 4 條路線。
定理 5.3（r≤⌊n+12 ⌋時，收斂路線數 r 的週期數列 ⟨ai⟩存在性的定理）
給定 n、r，r≤⌊n+12 ⌋，存在週期 n，收斂路線數 r 的數列。
證明. 利用引理 5.1來構造數列：
數字相對位置 「_」的個數
· · ·, 1, n−1,· · · 0
· · ·, 2, _, n−2,· · · 1
· · ·, 3, _, _, n−3,· · · 2
... ...
· · ·,
⌊n−1 2
⌋
, _,· · ·, _, n−
⌊n−1 2
⌋ ⌊ n−1
2
⌋
−1
從引理 5.1，顯然用上了其中 r−1 對數字的話，加上必有的循環 n→n→ · · · 所對應到的路線，就至少有 r 條收斂路線。
以下構造收斂路線數為 r 的數列，其中 r≤⌊n+12 ⌋，考慮兩種不同的情形，先決 定數列中的其中幾項，使其「至少」有 r 條路線，再證明有一種排列方式，使得週 期數列恰有 r 條收斂路線。
Case 1. 以 1、3、5、· · · 等奇數作為起點的路線共有 r−1 條，其中 n 置於一組的最 後一項。
將 1、n−1 放入 · · ·, 3, _, _, n−3,· · · 中的「_」，再將這四項放入· · ·, 5, _, _, _, _, n−5,· · · 中的「_」· · ·，直到共用上了 r−1 對數字，而將 n 置 於一組的最後一項，再把這些項放在一個週期中的最後方，也就是：
Case 2. 以 1、3、5、· · · 等奇數作為起點的路線總共不足 r−1 條，則將 n 置於 2, _, n−2 的「_」中。
除了原有以奇數作為起點的路線，再考慮將 2, _, n−2 放入· · ·, 4, _, _, _, n−4,· · ·，. . .，直到加上原有以奇數為起點的路線，共用上了 r−1 對數字，
而重新考慮 n 的位置，將其置於 2, _, n−2 的「_」。將· · ·, 4, 2, n, n−2, n−4,· · · 置於· · ·, 3, 1, n−1, n−3,· · · 後方，如下所示：
綜合以上所述，Case 1 和 Case 2 裡已經被決定的項所構成的循環，恰對應到 r 條 收斂路線：
Case 1，其中 1、3、5、· · · 分別和 n−1、n−3、n−5、· · · 形成的循環，以及 n 自己形成的循環，共對應到 r 條收斂路線；
Case 2，其中 1、2、3、4、5、· · · 分別和 n−1、n−2、n−3、n−4、n−5、· · · 形成的循環，以及 n 自己形成的循環，總共對應到 r 條收斂路線。
而為使 a1、a2、· · ·、an−2r+1 不影響收斂路線的數目，讓它們都不會在 A1中，
也就是讓它們走一次都還在同一組，於是將 a1、a2、· · ·、an−2r+1 依數字大小遞減 排列，也就是把前 n−2r+1 項構成的集合
Case 1：{1, 2, . . . , n} \ {1, 3, 5, . . . , n−1, n−3, n−5, . . . , n}
Case 2：{1, 2, . . . , n} \ {1, 2, 3, 4, 5, . . . , n−1, n−2, n−3, n−4, n−5, . . . , n} 裡的數依大小遞減排列，有 a1>a2>· · · >an−2r+1，又 Case 1 和 Case 2 中的 n 都不在第一項，一組裡的其他項必定比 n 還小，故 a1<n。類似地，其餘尚未被決
定的 n−2r+1 項的大小，當 1≤m≤n−2r−1 時，有 am<n− (m−1)
g(m) =am+m<n− (m−1) +m=n+1
其中 n+1 是第二組的第一項，g(m) <n+1 代表的是 am 走一次不會到下一組，
也就是 am∈/ Aq，∀q∈N。這樣將前 n−2r+1 項（記為 am）依序遞減排列的方 式能讓 am 都不在 Aq 中。於是討論 min
q∈N{|Aq|} 時，只須關注集合 Case 1：{1, 3, 5, . . . , n−1, n−3, n−5, . . . , n}
Case 2：{1, 2, 3, 4, 5, . . . , n−1, n−2, n−3, n−4, n−5, . . . , n} 裡有幾個數在 Aq 中即可。從前面的討論知 Case 1 和 Case 2 都共對應到 r 條路 線。
定理 5.4（收斂路線最小上界的定理）
週期為 n 的數列，收斂路線數的最小上界為
⌊n+1 2
⌋
。 證明. 從定理 5.1知，收斂路線數有一個上界
⌊n+1 2
⌋
，又從定理 5.3知，至少有 一個數列的收斂路線數為
⌊n+1 2
⌋
，故得證。
3 結論
由於作品中討論的週期正整數數列的特性，我們能用不同的方法描述週期數列⟨ai⟩ 的收斂路線數：min
n∈N{|An|}、循環裡的相異數字和
一組項數 。從這樣不同的觀點，對於一組 裡恰為 1∼n 的排列的週期數列，可以直接從公差、模數 n，判斷等差數列在模 n 時所構成的週期數列其收斂路線數，以及給定不超過上界的收斂路線數、週期，構 造出一個相對應的數列，藉此也得到收斂路線數的最小上界
⌊n+1 2
⌋
。
等差數列模 n 時的情形，基本上它是類推自週期為奇數與偶數的連續遞增數列。
等差數列各項往後移動的方式很固定，於是利用「數字的對應」及「循環中的數字 和」，能得到收斂路線數，然而這方式必須將循環中的每一個數字找出來，所以我 抽出實際上移動的步數與公差的關聯，而產生出使用 d+1 進位的除法，其商與收 斂路線的關係。這個方法，就不用將循環中的每一個數字找出來，大幅改進了對於 模 n 時，找到等差數列中各個循環對應的收斂路線數，而隨後對於找一個較小的正 整數 m，使得 (d+1)m ≡1 (mod n)，更精簡了當 n=pα11pα22· · ·pαkk 時（其中 pi 是奇質數，αi 是正整數），判別組數的過程。
最後利用循環裡相異數字的總和與收斂路線數的對應關係、以及特殊的循 環、「走一次就到下一組的數」個數給出的收斂路線數上界，構造週期 n，收斂路線 數不大於 n+1
2 的數列。
參考資料 (Reference)
[1] 普通高級中學數學，第一、二冊 (2012)，新北市：翰林。
[2] James K Strayer (1994). Elementary number theory, PWS publishing company.
[3] Jeffrey C Lagarias, E Rains, Robert J Vanderbei (2009). The Kruskal Count.
The Mathematics of Preference, Choice and Order. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, pp. 371–391.(http://arxiv.org/abs/math/0110143)
[4] 唐太明（譯）(2016)，解析數論導引（頁 188 ─196），（原作者:Tom M. Apos- tol），哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，（原著出版年：1998）。
