中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱–生物對 流流場分析

Flow analysis of thermo-bioconvection of oxytactic microorganisms in saturated porous media

系 所 別： 機械工程學系碩士班 學號姓名： M09708029 黃俊嘉 指導教授： 許隆結 博士

中 華 民 國 九十九 年 七 月

摘 要

本論文針對流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物進行熱-生物對流流場分析，本 論文中採用局部熱不平衡的模型將多孔性材質內液體與固體的溫度以兩個方程式來 表示，此兩個方程式假設滿足Boussinesq 近似，對於嗜氧性微生物而言，游動速度會 與飽合多孔性介質內氧濃度梯度成正比，藉由達西(Darcy)模型來描述流體的動量方程 式。

本 論 文 中 詳 細 探 討 不 同 參 數( 如 Thermal Rayleigh number Ra,Bioconvection Rayleigh numberRb, Pelect number Pe ,interface heat transfer coefficient 等) 對嗜氧 性微生物造成之熱-生物對流流場之影響。從模擬出的結果顯示，在不同的無因次固

體與液體熱傳係數 下，會讓溫度梯度產生的浮力隨著H增大而降低，因而降低熱-

生物對流現象，具有穩定流場的效果。隨著熱雷里數

H

H

Ra增加，流場會出現分岔現象，

第一次分岔為流場由熱傳導過渡為熱對流，第二次分岔為單一渦流發展為兩個渦流。

在氧濃度梯度較低時，培克萊特數 Pe 的改變對於流場的影響較不明顯。

關鍵字:熱-生物對流、局部熱不平衡、多孔性介質、嗜氧性微生物

ABSTRACT

This thesis investigates the thermo-bioconvection induced by oxytactic microorganisms in fluid-saturated porous media. The Darcy model and the Boussinesq approximation are utilized in the momentum equation to simulate flow velocity in the porous media. The local non-equilibrium model is applied by using two equations to separately describe the temperature distributions of solid and liquid phases in the porous media. The moving ability for the oxytactic microorganism is assumed to be proportional to the oxygen concentration gradients in the porous media.

The flow regimes of thermo-bioconvection is discussed in terms of dimensioinless parameters such as thermal Rayleigh number(Ra), bioconvection Rayleigh number(Rb), Pelect number(Pe), interface heat transfer coefficient(H). The results show that the temperature gradients decrease with the increase of dimensionless interface heat transfer coefficient. As a result, the thermo-bioconvection is suppressed. As the thermo-Rayleigh number increases, bifurcations in flow field will occur. The first bifurcation indicates heat transfer mechanism from heat conduction to heat convection. The second bifurcation indicates flow from one cell to two cells. When the gradient of oxygen concentration is small, flow is insensitive to Pelect number.

Keywords：thermo-bioconvection、local thermal non-equilibrium model、porous media、

oxytactic microorganisms

誌 謝

兩年的研究所生活已經結束，這兩年裡學到了不少東西，在老師身上學到了不 只是有關課業的知識，還有不少待人處世的道理，使得我的研究生生活受益良多。

論文的完成，首先最感謝的是我的恩師許隆結博士，在我做研究遇到難題時，對 於不才的我總是細心教導我如何解決問題，對於老師的感激實在是任何言語都不能形 容，我很慶幸能夠遇到那麼好的老師，在此祝福老師身體健康，再來我要感謝的是陳 俊宏博士，研究生活裡給予我許多照顧，並且讓我學習到與人相處的道理，然後感謝 的是我的口試委員，陳鎮憲博士以及朱朝煌博士，對於我的論文提供寶貴的建議與指 導，使得我的論文更加充實完善。

感謝李森正、廖乙安、郭子瑋、王立夫、趙奕琦、葉祖銘、黃宏業、林于凱、吳 思諺、施人豪、張偉麒、王志豪、尤信凱、陳思佑學長的照顧，感謝我的同學李安城、

許翔硯、陳正文、龍治偉以及學弟董子儀、張永杰、藍偉智，陪伴我ㄧ起度過研究生 生活以及帶給我許多樂趣，使得在學校裡不會過的乏味無趣。

最後我要感謝我的家人給予我默默的付出，讓我在學習路上不用擔心食衣住行之 類的困擾，讓我順利的完成學業。

目 錄

摘 要...………..………...i

ABSTRACT………...…ii

誌 謝………...iii

目 錄………..………...……..iv

圖 目 錄………….……….………...………...….vi

符號說明………...………...….viii

第一章 緒論…….……….………..………1

1.1 研究動機………...1

1.2 文獻回顧………...2

1.3 研究目的………...3

1.4 研究方法………...4

第二章 數學理論與模型建立………...……….5

2.1 物理模型………...…..5

2.2 數學方程式推導……….6

第三章 結果與討論………..………11

3.1 無因次固體與液體熱傳係數H對於流場之影響…………...….11

3.2 達西熱雷里數Ra對於流場之影響………..……...……..17

3.3 修正培克萊特數 Pe 對於流場之影響………..……….23

第四章 結論………..……27

參考文獻………..28

圖 目 錄

圖一 二維流場物理模型圖...5 圖二 相同Rb=1、Le =1、 Pe =1、σ = 條件下，不同無因次固體與液體熱傳係數

之流場分布圖(a) =1，(b) =10，(c)H=100……..….……….……...…13

10^-3 H

H H

圖三 H=1、 Rb =1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的 (a)流體溫度(T_f )分布 圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分_s 布圖……...14 圖四 H=10、Rb=1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的 (a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度_s 分布圖...15 圖五 H=100、Rb=1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f ) 分布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度 _s 分布圖...16 圖六 H=10、Rb=1、Ra=100、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度_s 分布圖...19 圖七 H=10、Rb=1、Ra=110、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度_s 分布圖...20

圖八 H=10、Rb=1、Ra=200、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f ) 分布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧 _s 濃度分布圖……….……….…....21 圖九 H=10、Rb=1、Ra=400、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f ) 分布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧 _s

濃度分布圖...22 圖十 當相同H=10、Rb=1000、Ra=70、 Le =1、σ =10^-3條件下當(a)Pe =0.1、

(b) Pe =1 、 (c) Pe =10 條 件 下 的 氧 濃 度 分 布 圖………...………....24

圖十一 當相同H=10、Ra=70、 Le =1、σ=10^-3條件下當(a)Pe =0.1、(b) Pe =1、

(c) Pe =10 條件下的流場分布圖...………25 圖十二 當相同H=10、Ra=70、 Pe =10、 Le =1、σ=10^-3條件下當(a)Rb=0、(b) Rb=400、(c) Rb=1000、(d) Rb=2000 的流線分布圖………….….………….26

符號說明

c

比熱(Specific Heat)。

b 化學趨向常數(Chemotaxis Constant)。

d 多孔性介質層厚度（Thickness of Porous Media）。

Dn 微生物擴散係數(Diffusivity of Microorganisms)。

g 重力 (Gravity)。

H 無 因 次 固 體 與 液 體 熱 傳 係 數 (Non-dimensional Interphase Heat Transfer Coefficient)。

C 無因次氧濃度(Non-dimensional oxygen concentration)

σ 氧的消耗率與擴散率的比值(Ratio of the Rate of Oxygen Consumpition to the Rate of Diffusion)。

δ 濃度擴散係數比(Concentration Diffusivity Ratio)。

h 固體與液體的熱傳係數(Interphase Heat Transfer Coefficient)。

i x 邊界單位法向量(x Unit Normal Vector to the Boundaries)。

j y 邊界單位法向量(y Unit Normal Vector to the Boundaries)。

q

微生物流動通量(Flux of Microorganisms)。

K 滲透率(Permeability)。

k 熱傳導係數(Thermal Conductivity)。

L 多孔性介質層寬度（Width of Porous Media）。

Le 修正路易斯數(Modified Lewis Number)。

n 初始微生物濃度(Concentration of Microorganisms)。 0

n 平均微生物濃度(Average Concentration of Microorganisms)。

n 無因次微生物濃度(Non-dimensional Concentration of Microorganisms)。

P 壓力(Pressure)。

Pe 修正培萊克特數(Modified Pelect Number)。

Ra 達西熱雷里數(Darcy Thermal Rayleigh Number)。

Rb 達西生物對流雷里數(Bioconvection Darcy Rayleigh Number)。

t

時間(Time)。

Tf 流體溫度(Temperature of Fluid)。

T

s 固體溫度(Temperature of Solid)。

T

l 多孔性材質下端溫度(Bottom Temperature of Porous Media)。

T

u 多孔性材質上端溫度(Upper Temperature of Porous Media)。

u

流體速度(Velocity of Fluid )。

u

v

x 方向速度(Velocity in x-directions)。

y 方向速度(Velocity in y-directions)。

V 微生物游動速度(Velocity of Microorganism)。

W 細胞最大游動速度(Maximum Motile Velocity of Cells)。 c

x

x 方向 (x-directions)。

y y 方向 (y-directions)。

希臘符號

α 流體與固體熱擴散係數比(Diffusivity Ratio)。

ε 孔隙度(Porosity)。

ξ 渦度(Vorticity)。

η 孔隙度修正熱傳導係數比(Porosity-modified Conductivity Ratio)。

μ 流體的黏滯性(Viscosity of Fluid)。

ρ 流體密度(Density of Fluid)。

β 流體的體膨脹係數(Volumetric Expansion Coefficient of Fluid)。

ψ 無因次流線(Dimensionless Stream)。

θ 微生物的平均體積 (Average Volume of Microorganism)。

κ

熱擴散係數(Diffusivity)。

下標

f 液體的物理性質。

s

固體的物理性質。

上標

→ 向量。

∼ 有因次參數。

第一章 緒論

1.1 研究動機

某些細菌及微生物具有自我推進(self-propelled)的能力，通常這些微生物依統計 量而言會因特定的驅動力而往某個特定方向游動，嗜氧性(oxytactic)微生物因在獲取 能量時會消耗氧氣，故此類微生物會往懸浮液中氧濃度高的方向游動。

在含有游動的嗜氧性微生物懸浮液中，因懸浮液上層氧濃度較高，嗜氧性微生物 通常會聚集懸浮液上層，若微生物較液體稍重，向上游動聚集的微生物會產生懸浮液 不穩定的密度分布，而導致對流的發生，此過程類似熱對流，故名之為生物對流。

在不同的微生物體培養皿中常觀察到因生物對流造成的一些複雜的對流圖案 (convection patterns such as hexagons, rolls, eddy, jets, etc.)。生物對流會造成培養皿內 流場不穩定進而影響實驗的進行，但也可能影響微生物的分布並可再活化(reactivate) 位於底部因缺氧而處於休眠狀態(inactive)的微生物，因此瞭解其相關力學機制對基礎 生物技術將有重要的貢獻與應用。

1.2 文獻回顧

目 前 研 究 生 物 對 流 將 懸 浮 液 視 為 連 續 體 模 型(continuum models of the suspension)。Childress等人[1]基於Navier-Stokes方程式配合Boussinesq近似考慮推導出 連續體模型，探討微生物引發之生物對流問題。Fujita與Watanabe[2]以Childress的模

型 方 程 式 計 算 生 物 對 流 問 題 ， 並 發 現 隨 著 生 物 對 流 雷 里 數(Rayleigh number of bioconvection)增加，流場經由一連串的分歧(bifurcation)進入渾沌行為。Harashima 等 人[3]分析矩形空穴內趨地性生物對流所形成之流場圖形。Ghorai與Hill[4-7]在一系列 的文章中利用stream-vorticity方法來解流場分布，探討趨地性生物造成之二維噴流 (plume)的穩定性與發展。

游動生物的本身除了濃度分佈造成之對流效應外，流體的溫度分布與游動生物濃 度分布耦合造成之對流現象通常稱為熱-生物對流(thermo-bioconvection)，常在熱流體 內有嗜熱性(thermophilic)微生物存在時發生[8]。Kuznetsov [9-10]發現對於嗜氧性微生 物造成之熱-生物對流現象(thermo-bioconvection)，因底部加熱造成的溫度不均勻分布 懸浮液比等溫微生物懸浮液更不穩定。Kuznetsov與Jiang [11]推導在液體飽合多孔介 質中連續體模型的生物對流方程式，他們利用達西模型(Darcy model)描述多孔介質中 之流動行為，結果發現多孔性介質有一個臨界滲透率，當滲透率低於臨界滲透率時，

不會有生物對流發生而造成微生物聚集在上表層。Nield與Kuznetsov [12]研究培養皿 由底部冷卻之情況之熱-生物對流穩定性，並發現由底部冷卻會穩定懸浮液但在某些 情況下會有振盪對流(oscillatory convection)產生。Alloui等人[13]也考慮熱-生物對流的 穩定問題，結果顯示熱溫度分布的效應可以使懸浮液穩定或不穩定，同時也會影響生

物對流之流場型態。Alloui等人[14]更利用數值方法解熱-生物對流之流場分布，並發 現當熱雷里數增加時，流場會由次臨界分歧(subcritical bifurcation)過渡到超臨界分歧 (supercritical bifurcation)。Kuznetsov的研究團隊針對多孔性介質內嗜氧性微生物所造 成之生物對流以及熱-生物對流進行一系列的探討[15-17]。這些研究中利用穩定性分 析得到多孔性介質內生物對流的穩定條件， Nguyen-Quang等人[18]探討多孔性材質

內趨地性生物對流的穩定性，將微生物游動速度的影響做更詳細的探討，結果發現當 游動速度很小時，流場為平行流(parallel flow)，而當游動速度增加時，則對應的較窄 的流場圖型(flow pattern)。在很多實際情況裡，多孔性介質內固體和流體具有不同的 差異，此時必需將固體和流體的溫度分開處理。Nield和Bejan[19]及Pop與Ingham[20]

利用兩個方程式來分別模擬多孔性材質內液體與固體的溫度分布，透過一對流項來模 擬 液 體 與 固 體 間 的 熱 傳 遞 ， 此 模 型 一 般 稱 為 局 部 熱 不 平 衡 模 型(Local thermal non-equilibrium model)。Rees等人[21-23] 在一系列的報告中研究液體與固體局部熱不 平衡對於多孔性材質內熱對流的影響。施人豪[24]發現路易斯數對穩定性的影響，其 值越大時對流現象較不易發生，吳思諺[25]發現嗜氧性微生物在多孔性介質內的熱生 物對流，因不同的培萊克特數與氧消耗率與擴散率的比值之間的改變，會影響流場的 穩定性。王志豪[26]發現趨地性微生物在多孔性介質內熱-生物對流，隨著熱雷里數增 加，流場會出現分歧現象。

1.3 研究目的

為了瞭解熱對流與生物對流的耦合現象，考慮多孔性介質內的固體與液體溫度不 同的差異，本文採用局部熱不平衡模型來考慮多孔性介質內固體與液體分布，以了解

兩相溫度不平衡對流場的影響。因在多孔性介質內具有氧濃度的分布，故針對流體飽 合多孔性介質內嗜氧性微生物進行熱-生物對流之研究。

1.4 研究方法

本論文假設多孔性飽合介質內含有嗜氧性微生物，所造成之熱-生物對流流場分布 的現象。因實際情況裡多孔性介質內液體與固體溫度具有差異，故採用局部熱不平衡 模型的兩方程式分別描述固體與液體的溫度，以模擬較接近實際情況之情形，對於嗜 氧性微生物游動速度與氧濃度分布梯度有關。利用有限差分法，對空間項使用中間差 分法，對時間項使用後差分法，將數學離散化後，利用ADI(Alternating Direction Implicit) 方法解此二維暫態問題，探討各種參數對流場、溫度場及微生物濃度場、氧濃度場分 布的影響。

第二章 數學理論與模型建立 2.1 物理模型

圖一 二維流場物理模型圖

考慮如圖一所示之流體飽合多孔性介質層的厚度為d寬度為L，飽合層下端邊界保持在

而上端溫度保持在 ( )，微生物流動通量為

Tl T_u T_l >T_u q， i 為x邊界單位法向量，j為 y邊界單位法向量，q ii =0與q ji =0表示邊界無微生物穿透， C= 為上表面氧濃度

為一常數，

C0

∂ =

∂ T 0

x 代表左右兩邊壁面絕熱，同時微生物的密度高於多孔性介質內的流

體密度，因此會發生生物對流。

2.2 數學方程式推導

以達西(Darcy)模型來描述流體的動量方程式且流場假設滿足Boussinesq近似，則動量

方程式可以表示成：

(

^{∇ −P (ρf −ρ0)g}

)

⁺_K^{μ u=0} (1)

0 0 ( )

= − − + Δ

f Tf Tu n

ρ ρ ρ β ρθ (2)

其中 u 為流體速度、P 為壓力。μ、K、ρ為流體的黏滯性(viscosity)、滲透率(permeability) 及密度(density)；β為流體的體膨漲係數；Δ =ρ ρ_cell −ρ_f 為游動微生物與流體的密度差;θ

與n為游動微生物的平均體積與濃度。

流體的連續方程式為：

0

∇ =iu (3)

假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物濃度滿足：

n q

ε^∂t = −∇

∂ i (4)

其中

(5)

q=nu+nV − ∇Dn n

ε為孔隙度，q為微生物的流動通量。其中Dn為擴散係數。方程式(5)中的V 為微生物

的游動速度，對嗜氧性微生物而言，微生物的游動速度通常與懸浮液內的氧濃度梯度 成正比，參考Metcalfe與Pedly的實驗結果[27]並且修正改寫成：

V =bWc∇ C (6) 其中 b為化學趨向常數其因次是長度，W 為細胞最大游動速度其因次是速度，c bW 的c

乘積為一常數。C 為無因次氧濃度可定義為：

0

C C

=C (7) 其中 C 為有因次氧濃度、C₀為上表面氧濃度。

考慮多孔性介質固體與流體處在熱不平衡狀態(thermal non-equilibrium)，因此以兩個 方程式模型(two temperature model)[19, 20]來描述液體與固體的溫度分布分別如下：

( )_f T^f ( )_{f f f} 2 _f ( _{s f})

c c u T k T h T T

ε ρ ^∂t + ρ ∇ =ε ∇ + −

∂ i (8)

(1 )( )_s T^s (1 ) _s 2 _s ( _{s f})

c k T h T

ε ρ ^∂t ε

− = − ∇ −

∂ −T (9) 其中T 為溫度、c為比熱(specific heat)、ε為孔隙度(porosity)、k為熱傳導係數、 為固 體與液體的熱傳係數(interphase heat transfer coefficient)、下標s 及 f 分別代表固體與 液體的物理性質。

h

對於嗜氧性微生物，尚須考慮氧濃度分布如下：

2 c

C n

u C D C

t C

ε^∂ + ∇ = ∇ − γ

∂ i Δ (10) 其中Dc為氧的擴散係數，−γn/ΔC為嗜氧性微生物的氧消耗率，

C C0

Δ =

方程式(1)-(10)配合下面邊界條件為：

∂ ∂ ∂

= = = = = =

∂ ∂ ∂

f s

T T C =

x 0 : u v 0, 0, 0, q i 0, 0

x x i x (11)

: 0, ∂ 0, ∂ 0, 0, ∂

= = = = = =

∂T^f ∂T^s i ∂C =0

x L u v q i

x x x (12)

0 : 0, , , 0, ∂ 0

= = = = = = =

i ∂

f l s l

y u v T T T T q j C

y (13) : 0, , , 0, 0

= = = _f = _{u s} = _u i = =

y d u v T T T T q j C C (14)

將方程式(1)到(14)以下面參數來無因次化：

2

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

( ) ( )

( )

( ) , ( ) ,

f f

f f

f

f l u f u s l u s u

f

k k

x y d x y u v u v P P

c d c K

T T T T T T T T T T t c d t

k

ε μ

ρ ρ

ρ

= = =

= − + = − + =

(15)

並得到無因次化方程式為：

1 P T_f n u 0

ε^{∇ +Ra +Rb + =} (16) (17) 0

∇ =iu

n q

t

∂ = −∇

∂ i (18)

2 ( )

f

f s f

T u T T T T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

∂ i H (19)

2 ( )

s

s s f

T T T

t

∂ = ∇ − −

α ∂ ηH T (20) C 2

C C

t n

ε^∂ + ∇ = ∇ −σ

∂ ui δ δ (21) 而無因次的邊界條件可改寫成：

0 : 0, ∂ 0, ∂ 0, 0, ∂ 0

= = = = = =

∂T^f ∂T^s i ∂C =

x u v q i

x x x (22) : 0, T^f 0, T^s 0, 0, C 0

x L u v q i

x x x

∂ ∂ ∂

= = = = = =

∂ ∂ i ∂ = (23) 0 : 0, 1, 1, 0, ∂ 0

= = = = = =

∂

f s

y u v T T q j C

y =

i (24)

: 0, 0, 0, 0, =1

= = = _f = _s = =

y d u v T T q ji C (25) 方程式(18)以及邊界條件中的q是微生物流動通量，而對嗜氧性微生物則可表示成：

q=nu+nPe∇ −C Le∇n (26) 上

面無因次方程式中; ⁰

f

g ΔTKd

= ρ β

Ra εμκ 為達西熱雷里數(Darcy thermal Rayleigh number)；

0 f

g Δ n Kd

= θ ρ

Rb εμκ 為 達 西 生 物 對 流 雷 里 數(bioconvection Darcy Rayleigh number) ；

n

f

= D

Le εκ 為修正路易斯數(modified Lewis number)； ₌ ^c

n

W d

Pe D 為修正培克萊特數

(modified Pelect number)； ²

f

hd

= k

H ε 為無因次兩相熱傳係數((Non-dimensional Interphase

Heat Transfer Coefficient)；α =κ κ_f / _s為流體與固體熱擴散係數比(diffusivity ratio)；

(1 )

f s

k

= k η −ε

ε 為 孔 隙 度 修 正 熱 傳 導 係 數 比(porosity-modified conductivity ratio) ； ( nH2) /(D C_c

σ = γ Δ )為 氧 的 消 耗 率 與 擴 散 率 的 比 值; ^c

n

D

= D

δ 為 濃 度 擴 散 係 數 比

(Concentration Diffusivity Ratio)。

考慮如圖一所示之物理模式，流體飽合多孔性介質寬度為L厚度為d，引入

vorticity (ζ)與stream (ψ) 函數，則可將方程式(16)-(21)改寫成:

ζ = −∇2ψ (27)

2 Tf n

x x

ψ ^{∂ ∂}

∇ = −

∂ ∂

Ra Rb (28)

2 ( )

∂ −∂ ∂ +∂ ∂ = ∇ + −

∂T^f ∂ ∂T^f ∂ ∂T^f _f H _{s f}

T T T

t y x x y

ψ ψ

(29)

2 ( )

s

s s f

T T T

t

∂ = ∇ − −

α ∂ ηH T (30) 嗜氧性微生物的濃度方程式及氧濃度方程式為

( ) ( ) 2

n C n C n

n C n

t x y x y x y

ψ ψ 2

ε^∂ + ^∂ +^{∂ ∂} + ^∂ −^{∂ ∂} + ∇ = ∇

∂ Pe ∂ ∂ ∂ Pe ∂ ∂ ∂ Pe (31)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2

− + = ∇ −

∂C ∂ ∂C ∂ ∂C δ

C n

t ψy x ψx y δ

ε σ (32)

起始條件與邊界條件：

在 t=0 時，假設微生物的濃度是均勻分布，則 ( , , 0) 1, ( , , 0) 1

n x y = C x y = , (33)

f s 0

T T

ψ = = = (34) 對於嗜氧性微生物，其邊界條件為

0 : 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0, C 0

x u

x x x x

ψ ^{∂ ∂ ∂ ∂}

= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ = (35) / : 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0, C 0

x L d u

x x x x

ψ ^{∂ ∂ ∂ ∂}

= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ = (36) 0 : 0, 0, _f 1, _s 1, n 0, C 0

y u T T

y y

ψ ^{∂ ∂}

= = = = = =

∂ ∂ = (37) 1: 0, 0, _f 0, _s 0, C n, 1

y u T T n

y y

ψ ∂ ∂ C

= = = = = =

∂ ∂

Pe = (38)

第三章 結果與討論

將方程式(27)-(32)配合邊界條件方程式(33)-(38)，用有限差分法將數學方程式離 散化，經過格點測試當格點數小於51X51時會發生數據不精確的結果，而當取大於 51X51格點時所得出的結果並沒太大的差異，為了方便計算，故本文採用51X51格點。

利 用Fortran 帶 入 副 程 式 tridiagonal matrix 演 算 法 去 做 數 值 模 擬 ， 收 斂 條 件 為

1

, ,

1 ,

n n

i j i j

n i j

f f

f δ

+ +

− ≤

∑

^，∀i j, ，其中流體溫度、固體溫度、微生物濃度、氧濃度收斂條件取

δ = 。將得到的數據放入繪圖軟體去了解流體溫度、固體溫度、微生物濃度、氧

濃度等分布圖狀態，使用Excel 繪出流場分布圖。對H、 10⁻7

Ra、 Pe 三種不同的參數做 不同改變，去探討這些參數對流場之影響。

3.1 無因次固體與液體熱傳係數 對於流場之影響 H

本節將針對流場在相同達西生物對流雷里數 的狀態下，改變無因次固體與液

體熱傳係數H，隨著達西熱雷里數 漸漸增加時，探討無因次流體與液體熱傳係數

對整個系統流場的變化。

Rb Ra

H

由圖二可看出，當達西熱雷里數 逐漸變大時，會發生由熱傳導過渡轉變為熱

對流的現象，當 =1時圖二(a)中發現在達西熱里數 =62時出現分岔，此時流體開

始流動並且造成溫度分布出現變化，圖三(a)中流體溫度等溫線分佈開始有彎曲現象發 生，顯示並非單純熱傳導造成，已有熱對流產生。觀察圖三(d)的微生物濃度分布，

發現微生物因流體的的流動的影響而被帶至右上角落聚集，當無因次固體與液體熱傳

係數 =10時，圖二(b)發現達西熱里數 =67才發生熱傳導過渡到熱對流的分岔現

象，隨著增加無因次固體與液體熱傳係數至 =100圖二(c)分岔現象到達西熱雷里數

Ra

H Ra

H Ra

H

當無因次固體與液體熱傳係數H越增加時，流體溫度等溫線彎曲程度趨緩，顯示對流

效果開始降低，同時固體與液體的溫度在較高的無因次固體與液體熱傳係數 會較接

近，由此可知，在相同的達西生物對流雷里數 情況下，較高的無因次固體與液體

熱傳係數H會提高固液相間之熱傳，對於流場有穩定的效果，故需要較高的達西熱雷

里數 才能有對流發生，因為液體與固體進行熱交換的同時，會讓液體分布較均勻，

降低溫度梯度產生的浮力，同時影響微生物的濃度分布。

H Rb

Ra

(a)

(b)

(C)

圖二 相同Rb=1、Le =1、 Pe =1、σ = 條件下，不同無因次固體與液體熱傳係數 之流場分布圖(a) =1，(b) =10，(c) =100

10^-3 H

H H H

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物濃度分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖三 H=1、Rb=1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分布 圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖， (d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖_s

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物濃度分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖四 H=10、 Rb =1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分布 圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物濃度分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖五 H=100、Rb=1、Ra=90、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖， (c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

3.2 達西熱雷里數 R a 對於流場之影響

本節主要針對相同的達西生物對流雷里數 與相同的無因次固體與液體熱傳 係數H，去探討達西熱雷里數

Rb

Ra逐漸增加對系統流場的影響。利用模擬出的數據繪

出流體溫度(T_f)分布圖、固體溫度(T )分布圖、流線圖、微生物濃度分布圖、氧濃度_s 分布圖，得出各種分布現象。

由上面圖二(b)顯示，發現在達西熱雷里數Ra=100和Ra=110時，ψ_Max突然從4.2 降至2.2，流線圖由一個渦流變成兩個渦流，表示流場在此又發生第二次分岔現象，

圖六與圖七分別顯示第二次分岔前後之流場、溫度場與濃度場之分布。在一個渦流 時，因為流體順時針流動，流動方向在左邊壁面由下往上，流動方向在右邊壁面由上 往下，故造成如圖六(a)、圖六(b)的等溫線分布，圖六(d)可看出嗜氧性微生物被流體 帶至右上角落聚集。圖七(a)、圖七(b)固體與液體溫度的等溫線受到兩個渦流對流的 影響而往中間向下彎曲，圖七(c)右邊的渦流是逆時針流動、左邊的渦流是順時針流 動，此時由圖七(d)發現嗜氧性微生物會聚集在上方兩個渦流中間。圖八與圖九為經 過二次分岔後，顯示在Ra持續增加時各個流場，溫度場，濃度場之分布情況，隨著Ra 的變大由圖八(c)、圖九(c)可看出流場的流速跟著變大，顯示熱對流強度增加，此時 比較圖七(a)、圖八(a)、圖九(a)的液體溫度等溫線，可觀察出當熱對流強度越強時溫 度等溫線彎曲程度更加明顯。因本論文採用局部熱不平衡模型由圖八與圖九的溫度場 可看出液體溫度等溫線與固體溫度等溫線的差異明顯的不同。圖八與圖九的濃度場圖 顯示微生物濃度與氧濃度在經過二次分岔後，當受到較旺盛的對流影響時會聚集在流 場的右邊。

上述分析可得知，隨著達西熱雷里數Ra增大，影響流場出現不同的分岔現象。

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖六 H=10、Rb=1、Ra=100、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d) 微生物濃度分布圖

(e) 氧濃度分布圖

圖七 H=10、Rb=1、Ra=110、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖八 H=10、Rb=1、Ra=200、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

(a)流體溫度(T_f )分布圖 (b)固體溫度(T )分布圖 _s

(c)流線圖 (d)微生物濃度分布圖

(e)氧濃度分布圖

圖九 H=10、Rb=1、Ra=400、 Le =1、 Pe =1、σ =10^-3條件下的(a)流體溫度(T_f )分 布圖，(b)固體溫度(T )分布圖，(c)流線圖，(d)微生物濃度分布圖，(e)氧濃度分布圖 _s

3.3 修正培克萊特數 Pe 對於流場之影響

本節探討在相同的無因次固體與液體熱傳係數 以及相同的達西熱雷里數 的狀態下，隨著達西生物對流雷里數

H Ra

Rb逐漸增加，修正培克萊特數 Pe 對整個系統流 場的影響。

由圖十可看出，隨著達西生物對流雷里數Rb變大，系統流場型態為一個渦流 並沒有出現分岔現象，當圖十 (a) Pe =0.1 、圖十 (b) Pe =1 、圖十 (c) Pe =10 時，

由右上與左下的氧濃度分布可觀察出，系統流場的氧濃度梯度非常低，因嗜氧性微生 物游動速度與氧濃度梯度成正比，此時嗜氧性微生物在飽合介質內的游動速度非常緩 慢，因此由圖十一(a)、圖十一(b) 、圖十一(c)之間比較得出，當氧濃度梯度較小時改 變修正培克萊特數 Pe 的大小，對整個流場並沒有明顯的影響。當 Pe =10 時，由圖十 二(a)與圖十二(b)中看出ψ_MAX 隨著Rb增加而變大，流場分布形狀也開始呈現不對稱的 趨勢，圖十二(c)與圖十二(d)觀察出，當ψ_MAX 增加到7 左右時，此時ψ_MAX 已經不受到 達西生物對流雷里數Rb增加的影響。

(a) (b)

(c)

圖十 當相同H=10、Rb=1000、Ra=70、 Le =1、σ =10^-3條件下當(a)Pe =0.1、

(b) Pe =1、(c) Pe =10 條件下的氧濃度分布圖

(a)

(b)

(c)

圖十一 當相同H=10、Ra=70、 Le =1、σ=10^-3條件下當不同修正培克萊特數Pe 之 流場分布圖(a) Pe =0.1，(b) Pe =1，(c) Pe =10

(a) (b)

(c) (d)

圖十二 當相同H=10、Ra=70、 Pe =10、 Le =1、σ=10^-3條件下當(a)Rb=0、

(b)Rb=400、(c)Rb=1000、(d)Rb=2000 條件下的流線分布圖

H

第四章 結論

本論文利用ADI數值方法將方程式以有限差分法去模擬嗜氧性微生物在飽合多 孔性介質內熱生物對流現象，利用Fortran代入副程式tridiagonal matrix 演算法去做數

值模擬分析，以局部熱不平衡模型去考慮多孔性介質內固體與液體溫度分布，以模擬 求得的數據去探討不同情況下各種參數對於流場的影響。

由模擬出的結果可歸納下列結論：

1. 因採用局部熱不平衡模型，故能描述在多孔性介質內熱交換的影響，當液體與

固體熱傳導係數H較大的時候，固體與液體之間的熱傳會增加，相對的流體對流較不

易發生，具有穩定流場的作用，當液體與固體熱傳系數 較小時，兩相間熱傳會降低，

液體的對流較容易發生。

2. 在固定的條件下，當達西熱雷里數Ra逐漸增加時，流場會出現熱傳導到熱對

流以及單一渦流發展到兩個渦流的分岔現象，流場裡的嗜氧性微生物受到流場變化的 影響會聚集在不同地點，在單一渦流時聚集在右上方角落，在兩個渦流時會聚集在上

方兩個渦流的中間，當達西熱雷里數Ra較大時，因受到液體對流以及氧濃度分布影

響會聚集在右邊渦流。

3. 在相同的條件下，隨著達西生物對流雷里數Rb逐漸增加時，在氧濃度梯度非

常低時，因嗜氧性微生物游動速度緩慢，此時改變修正培克萊特數 Pe 的大小，對於 整個系統流場並沒明顯的影響。

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