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習題 5.1 習題

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Academic year: 2022

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(1)

習題 5.1

習題 5.1-1

證明 5.1-1 線段中點的作圖是正確的作法,即圖 5.1-2 的 C 點為 之中點。

C D

E A B

圖 5.1-2 作法:

(1) 以 A 為圓心,以 r 為半徑(大於1

2 的任意長),作一弧。

(2) 以 B 為圓心,以 r 為半徑,作一弧。

(3) 兩弧相交於 D 和 E。

(4) 連接 D、E。

(5) 和 交於 C,C 即為 之中點。

證明:

敘述 理由

(1) 在△ADE 與△BDE 中 =

= =

(2) △ADE △BDE (3) ADE=BDE (4) △ADB 為等腰三角形 (5) 所以 為 的平分線 ( 即 C 點為 之中點 )

如圖 5.1-2 所示

等圓半徑相等(作法之(1)&(2)) 等圓半徑相等(作法之(1)&(2)) 同線段相等

由(1) & 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) & 兩全等三角形對應角相等

由(1) = & 兩腰等長為等腰三角形 由(4) & (3) 等腰三角形頂角平分線垂直 平分底邊

(2)

習題 5.1-2

三角形的中線為邊的中點與對角頂點的連線,三邊中線的交點稱為三角形的 重心,如圖 5.1-9 中的點 S 為△ABC 的重心,求作三角形的重心。

圖 5.1-9 想法:三角形三邊中線的交點稱為三角形的重心

圖 5.1-9(a)

圖 5.1-9(b) 作法:

(1) 利用 5.1-1(求線段之中點作圖),分別作 中點 D、 中點 E、 中點 F,

如圖 5.1-9(a)所示。

(2) 連接 A、E;C、D;B、F,且 、 與 三線相交於 S 點,如圖 5.1-9(b) 所示。

(3) S 點即為所求。

(3)

習題 5.1-3

三角形三內角平分線的交點為三角形的內心,如圖 5.1-10 中的點 I 為△ABC 的內心,求作三角形的內心。

圖 5.1-10

想法:三角形三內角平分線的交點為三角形的內心

圖 5.1-10(a) 作法:

(1) 利用 5.1-2(角平分線作圖),分別作BAC、ABC、ACB 的角平分線 L、M、

N,且 L、M、N 三線相交於 I 點,如圖 5.1-10(a)所示。

(2) I 點即為所求。

(4)

習題 5.1-4

求作一等腰三角形。

已知一線段長度為 a,求作一等腰三角形。

想法:(1) 等腰三角形兩腰等長 (2) 同圓半徑等長

圖 5.1-14

作法一:(此線段 a 為等腰三角形的底邊),如圖 5.1-14 所示。

(1) 在平面上作 =a。

(2) 分別以 A、B 為圓心,大於 2

1a 為半徑畫兩弧,兩弧相交於 C 點。

(3) 連接 A、C;B、C。

(4) △ABC 即為所求。

作法二:(此線段 a 為等腰三角形的腰),如圖 5.1-14(a)所示。

(1) 在平面上找一點 O,以 O 為圓心,線段長 a 為半徑作一圓弧。

(2) 在圓弧上找任意相異 D、E 兩點。

(3) 連接 O、D;O、E;D、E。

(4) △ODE 即為所求。

圖 5.1-14(a)

a a

(5)

習題 5.1-5

如圖 5.1-11,利用尺規作圖,在 上畫出一點 E,使

5

= 3 ED

CE

圖 5.1-11 想法:(1)

5

= 3 ED

CE

,即 為 3 份, 為 5 份,兩線段和 為 8 份,所以只要 將 線段分成 8 等份,每份為 的 8 分之 1,E 點就是距離 C 點 3 份的位置。

(2) 利用 5.1-1 的線段中點作圖可以將線段分成兩等份,

(3) ∵

8 1 2 1 

3

=

 

,所以作三次線段中點就可以求得線段的 8 分之 1。

圖 5.1-11(a)

圖 5.1-11(b)

圖 5.1-11(c) 作法:

(1) 作 的中點 M,則

CM CD

2

=1 ,

DM CD

2

=1 ,如圖 5.1-11(a)所示。

(2) 作 的中點 N,則

CN CD

4

=1 ,

NM CD

4

=1 ,如圖 5.1-11(b)所示。

(3) 作 的中點 E,則

NE CD

8

=1 ,

EM CD

8

=1 ,如圖 5.1-11(c)所示。

(4) E 點即為所求。

5 3 8

5 8 3

2 1 8

1

8 1 4

1

=

= +

= + +

= +

CD CD CD

CD

CD CD

MD EM

NE

CN

ED

CE

(6)

習題 5.1-6

如圖 5.1-12,以尺規作圖分別畫出∠AOC 和∠BOC 的角平分線。

圖 5.1-12

圖 5.1-12(a)

圖 5.1-12(b)

圖 5.1-12(c)

(7)

圖 5.1-12(d) 作法:

(1) 以 O 點為圓心,適當長度為半徑畫弧交 於 D 點、交 於 E 點、交 於 F 點,如圖 5.1-12(a)所示。

(2) 分別以 D、E 為圓心,以大於 2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 G 點,如圖 5.1-12(b) 所示。

(3) 分別以 E、F 為圓心,以大於 2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 H 點,如圖 5.1-12(c) 所示。

(4) 連接 O、G;O、H,如圖 5.1-12(d)所示。

(5) 、 即為所求。

( 其中 為∠AOC 的角平分線; 為∠BOC 的角平分線 )

(8)

習題 5.1-7

如圖 5.1-13,以尺規作圖將∠D 平分成四等份。

圖 5.1-13 想法:做一次角平分線可將原角平分成兩等份

圖 5.1-13(a)

圖 5.1-13(b)

圖 5.1-13(c)

(9)

作法:

(1) 以 D 點為圓心,適當長度為半徑畫弧,交∠D 的兩邊於 E、F 兩點,

如圖 5.1-13(a)所示。

(2) 分別以 E、F 兩點為圓心,以大於 2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 A 點,

如圖 5.1-13(a)所示。

(3) 連接 D、A,且 交作法(1)所畫之弧於 G 點,如圖 5.1-13(a)所示。

( 平分∠D )

(4) 分別以 E、G 兩點為圓心,以大於 2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 B 點,

如圖 5.1-13(b)所示。

(5) 連接 D、B,如圖 5.1-13(b)所示。( 平分∠EDA ) (6) 分別以 F、G 兩點為圓心,以大於

2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 C 點,

如圖 5.1-13(c)所示。

(7) 連接 D、C,如圖 5.1-13(c)所示。( 平分∠FDA )

(8) 、 、 即為所求。( 、 、 將∠D 平分成四等份 )

(10)

習題 5.1-8

利用角平分線作圖將一個角平分成 8 等份,至少須作 次角平分線。

想法:(1) 角平分線作圖,可將一角平分成兩等份,每一等份為原角的 2 1, 共有 2 等份;

(2) 若每一 2

1的角再作一次角平分線作圖(相當於作了 3 次角平分線作

圖),則每一角為原角的 4

1,共有 4 等份(即

2

2等份);

(3) 若每一 4

1的角再作一次角平分線作圖(相當於作了 7 次角平分線作

圖),則每一角為原角的 8

1,共有 8 等份(即

2

3等份)。

圖 5.1-15 解:

敘述 理由

(1) 作 1 次角平分線作圖(如圖 5.1-15 之 L1 )可將原角平分為 2 等份,

(2) 將敘述(1)中的兩等份再各作 1 次角平分線(如圖 5.1-15 之 L2、 L3),可將原角平分為 4 等份。

( 共作了 3 次角平分線作圖 )

(3) 將敘述(2)中的 4 等份再各作 1 次角平分線(如圖 5.1-15 之 L4、 L5、L6、 L7),可將原角平分為 8 等份。

( 共作了 7 次角平分線作圖 )

(4) 所以要將一個角平分成 8 等份,至少須作 7 次角平分線 作圖

角平分線性質

角平分線性質

角平分線性質

由(1)~(3)

(11)

習題 5.1-9

利用角平分線作圖,做出一個角的 16

3 ,至少須作圖 次。

圖 5.1-16 想法:(1) 假設將∠ABC 分為∠ABG 與∠GBC,且

13

= 3

GBC

ABG

,即∠ABG 為 3 等份,∠GBC 為 13 等份,兩角和∠ABC 為 16 等份,所以只要將∠ABC 分成 16 等份,每份為∠ABC 的 16 分之 1。

(2) 利用 5.1-2(角平分線作圖)可以將角分成兩等份,每份為原角的 2 1。

(3) ∵

16 1 2 1 

4

=

 

,所以作 4 次角平分線就可以求得角的 16 分之 1。

解:

敘述 理由

(1) 做出一個角的 16

3 ,也就是要將一個角平分為 16 等份

(2) 作第一次角平分線 平分∠ABC,則

∠ABD=

2

1∠ABC

(3) 作第二次角平分線 平分∠ABD,則

∠ABE=

2

1∠ABD=

2 1×

2

1∠ABC=

4

1∠ABC

題目所求,做出一個角的 16

3

角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的

2 1

角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的

2

1 & (2)

(12)

(4) 作第三次角平分線 平分∠ABE,則 ∠ABF=∠EBF=

2

1∠ABE=

2 1×

4

1∠ABC

=8

1∠ABC

(5) 作第四次角平分線 平分∠ABF,則

∠FBG=

2

1∠EBF=

2 1×

8

1∠ABC=

16

1 ∠ABC

(6) ∠ABG=∠ABF+∠FBG =

8

1∠ABC+

16

1 ∠ABC=

16

3 ∠ABC

(7) 所以至少作 4 次角平分線,可做出一個角的 16

3

角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的

2

1 & (3)

角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的

2

1 & (4)

全量等於分量之和 由(4) & (5)

由(1)~(6)

(13)

習題 5.2

習題 5.2-1

已知一邊長,求作正方形。

已知一線段長度 a,求作一邊長為 a 的正方形。

想法:正方形四邊等長且四個內角皆為直角

圖 5.2-11(a)

圖 5.2-11(b) 圖 5.2-11(c)

圖 5.2-11(d) 圖 5.2-11(e)

(14)

作法:

(1) 在平面上作一線段 =a,如圖 5.2-11(a)所示。

(2) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 L⊥ ,如圖 5.2-11(b) 所示。

(3) 在 L 上取 = =a,如圖 5.2-11(c)所示。

(4) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 B 點作 N⊥ ,過 D 點作 M⊥ 且 M、N 相交於 C 點,如圖 5.2-11(d)所示。

(5) 連接 D、C;B、C,如圖 5.2-11(e)所示。

(6) 四邊形 ABCD 為正方形即為所求。

(15)

習題 5.2-2

已知長方形的長邊及短邊,求作長方形。

想法:長方形四個角內角皆為直角

圖 5.2-12(a)

圖 5.2-12(b) 圖 5.2-12(c)

圖 5.2-12(d) 圖 5.2-12(e)

(16)

作法:

(1) 在平面上作一線段 =a,如圖 5.2-12(a)所示。

(2) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 L⊥ ,如圖 5.2-12(b) 所示。

(3) 在 L 上取 =b,如圖 5.2-12(c)所示。

(4) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 B 點作 M⊥ ,過 D 點作 N⊥ 且 M、N 相交於 C 點,如圖 5.2-12(d)所示。

(5) 連接 D、C;B、C,如圖 5.2-12(e)所示。

(6) 四邊形 ABCD 為長方形即為所求。

習題 5.2-3

如圖 5.2-6,在△ABC 中,利用尺規作圖,作出 上的高 。

圖 5.2-6

想法: 上的高 ⊥

圖 5.2-6(a) 圖 5.2-6(b) 作法:

(1) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 A 點作 L⊥ ,且 L 交 於 H 點,

如圖 5.2-6(a)所示。

(2) 連接 A、H, 為 上的高即為所求,如圖 5.2-6(b)所示。

(17)

習題 5.2-4

如圖 5.2-7,△ABC 中,∠C 為鈍角,求作 邊上的高。

圖 5.2-7

想法: 上的高 ⊥

圖 5.2-7(a) 圖 5.2-7(b) 作法:

(1) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 A 點作 L 垂直 的延長線,且 L 交 的延長線於 H 點,如圖 5.2-7(a)所示。

(2) 連接 A、H, 為 上的高即為所求,如圖 5.2-7(b)所示。

(18)

習題 5.2-5

如圖 5.2-8,以尺規在梯形 ABCD 上作圖,則圖上的痕跡是下列哪一種作圖 的必要步驟?

(A) 梯形的高

(B) ∠ABC 的角平分線 (C) 的中點

(D) 的垂直平分線

圖 5.2-8

想法: 上的高 ⊥

解:

敘述 理由

(1) 圖 5.2-8 上的痕跡是作梯形的高的 步驟

根據 5.2-2(過線外一點垂直線作圖)

(19)

習題 5.2-6

三角形三邊的中垂線之交點稱為三角形的外心,求作圖 5.2-9 中△ABC 的外 心點 V。

圖 5.2-9

想法:三角形三邊的中垂線之交點稱為三角形的外心

圖 5.2-9(a) 作法:

(1) 利用 5.2-3(線段的中垂線作圖),分別作 、 、 的中垂線 L、M、N,且 L、M、N 三線相交於 V 點,如圖 5.2-9(a)所示。

(2) V 點即為所求。

(20)

習題 5.3

習題 5.3-1

試利用平行線同位角相等的性質,設計過線外一點之平行線作法。

如圖 5.3-3 所示:

F

E

A

C

D

B

圖 5.3-3

如圖 5.3-3(a)所示,已知平面上一線段 與線段外一點 E 點,求作通過 E 點且平 行 的直線。

圖 5.3-3(a) 想法:利用平行線同位角相等的性質作圖

圖 5.3-3(b) 圖 5.3-3(c)

(21)

圖 5.3-3(d) 圖 5.3-3(e) 作法:

(1) 過 E 點作一線段 交 於 F 點,如圖 5.3-3(b)所示。

(2) 分別以 E、F 為圓心,適當長為半徑畫弧,兩弧分別交 於 I、G 兩點,交 於 H 點,如圖 5.3-3(c)所示。

(3) 以 I 點為圓心, 為半徑畫弧,交作法(2)中以 E 點為圓心所畫之弧於 J 點,

如圖 5.3-3(d)所示。

(4) 過 E、J 兩點作直線 L,如圖 5.3-3(e)所示。

(5) L∥ 且通過 E 點,直線 L 即為所求,如圖 5.3-3(e)所示。

(22)

習題 5.4

習題 5.4-1

已知等腰三角形的底角及底邊,求作此等腰三角形。

已知等腰三角形的底角α 及底邊 a,求作此等腰三角形。

想法:利用例題 5.4-1(等角作圖二)來作圖

圖 5.4-9(a)

圖 5.4-9(b) 作法:

(1) 在平面上作 =a,如圖 5.4-9(a)所示。

(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),分別作DAB=EBA=α,且 與 相交於 C 點,如圖 5.4-9(b)所示。

(3) △ABC 即為所求,如圖 5.4-9(b)所示。

(23)

習題 5.4-2

圖 5.4-5 為直線 L 及線外一點 P,利用內錯角相等的原理,以尺規作圖過 P 點畫一直線,使該直線與 L 平行。

圖 5.4-5 想法:利用內錯角相等的原理作圖

圖 5.4-5(a) 圖 5.4-5(b)

圖 5.4-5(c) 圖 5.4-5(d) 作法:

(1) 過 P 點作一直線 M 交 L 於 A 點,如圖 5.4-5(a)所示。

(2) 分別以 A、P 為圓心,適當長為半徑畫弧,兩弧分別交 M 於 B、D 兩點,交 L 於 C 點,如圖 5.4-5(b)所示。

(3) 以 D 點為圓心, 為半徑畫弧,交作法(2)中以 D 點為圓心所畫之弧於 E 點,

如圖 5.4-5(c)所示。

(4) 過 P、E 兩點作直線 N,則 N∥L 且通過 P 點,直線 N 即為所求,如圖 5.4-5(d) 所示。

(24)

習題 5.4-3

已知直角三角形直角之兩邊長,求作此三角形。

已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a、b 為兩股的直角三角形。

圖 5.4-10(a)

圖 5.4-10(b)

圖 5.4-10(c) 作法:

(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上取 =a,如圖 5.4-10(a)所示。

(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),作BAD=90,

如圖 5.4-10(b)所示。

(3) 在 上取 =b,並連接 C、B,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-10(c)。

(25)

習題 5.4-4

已知等腰三角形兩腰長及其底邊之高,求作此三角形。

已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a 為兩腰長、b 為底邊上的高之等腰三角形。

圖 5.4-11(a)

圖 5.4-11(b)

圖 5.4-11(c)

圖 5.4-11(d)

(26)

圖 5.4-11(e) 作法:

(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取一點 H 點,如圖 5.4-11(a)所示。

(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 H 點作 M⊥L,如圖 5.4-11(b) 所示。

(3) 在 M 上取 =b,如圖 5.4-11(c)所示。

(4) 以 A 點為圓心,以 a 為半徑畫弧,交 L 於 B、C 兩點,如圖 5.4-11(d)所示。

(5) 連接 A、B,A、C,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-11(e)所示。

(27)

習題 5.4-5

已知直角三角形之斜邊及另一邊,求作此三角形。

已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a 為斜邊、b 為一股的直角三角形。

圖 5.4-12(a)

圖 5.4-12(b) 圖 5.4-12(c) 作法:

(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取 =b,如圖 5.4-12(a)所示。

(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 M⊥L,如圖 5.4-12(b) 所示。

(3) 以 B 為圓心,以 a 為半徑畫弧,交直線 H 於 C 點,連接 B、C,則△ABC 即 為所求,如圖 5.4-12(c)所示。

(28)

習題 5.4-6

已知等腰三角形的底角及腰長,求作此等腰三角形。

已知等腰三角形的底角α 及腰長 a,求作此等腰三角形。

想法:利用例題 5.4-1(等角作圖二)來作圖

圖 5.4-13(a)

圖 5.4-13(b) 圖 5.4-13(c)

圖 5.4-13(d) 圖 5.4-13(e)

(29)

作法:

(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取一點 A 點,如圖 5.4-13(a)所示。

(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),分別作DAE=α,如圖 5.4-13(b)所示。

(3) 在 上取 =a,如圖 5.4-13(c)所示。

(4) 以 B 點為圓心,以 =a 為半徑畫弧,交 L 於 C 點,如圖 5.4-13(d)所示。

(5) 連接 B、C,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-13(e)所示。

習題 5.4-7

如圖 5.4-6,在 上找一點 D,使得△ABD 為腰長等於 的等腰三角形。

圖 5.4-6 想法:(1) 等腰三角形兩腰等長

(2) 同圓半徑相等

圖 5.4-6(a) 圖 5.4-6(b) 作法:

(1) 以 B 點為圓心,以 為半徑畫弧,交 於 D 點,如圖 5.4-6(a)所示。

(2) 連接 B、D,則△ABD 即為所求,如圖 5.4-6(b)所示。

(30)

習題 5.4-8

如圖 5.4-7,已知線段長 a,利用尺規作圖,任意作一等腰三角形,使得其腰 長為 a,並作出底邊上的高。

圖 5.4-7 想法:(1) 等腰三角形兩腰等長

(2) 同圓半徑相等

圖 5.4-7(a)

圖 5.4-7(b)

(31)

圖 5.4-7(c) 作法:

(1) 在平面上任找一點 O 點,並以 O 點為圓心,以 a 為半徑畫弧,如圖 5.4-7(a) 所示。

(2) 在圓弧上任取相異兩點 A 點與 B 點,並連接 O、A;A、B;O、B,則△ABC 為腰長為 a 之等腰三角形,如圖 5.4-7(b)所示,其中 = =a。

(3) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 O 點作 L 垂直 ,且 L 交 於 H 點,

如圖 5.4-7(c)所示。

(4) △ABC 為腰長為 a 之等腰三角形,且 為 上的高,△ABC 與 即為所 求,如圖 5.4-7(c)所示。

(32)

習題 5.4-9

如圖 5.4-8,已知∠1、∠2 與長度為 a 的線段,求作一個三角形,使得這個 三角形的兩個內角分別為∠1 和∠2,且∠1 的對邊長度為 a。

圖 5.4-8 想法:利用等角作圖及平行線作圖來完成此圖形

圖 5.4-8(a)

圖 5.4-8(b)

(33)

圖 5.4-8(c)

圖 5.4-8(d) 作法:

(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),在平面上作BAC=1,如圖 5.4-8(a)所示。

(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),以 C 為頂點作DCA=2,如圖 5.4-8(b)所示。

(3) 在 上取 =a,如圖 5.4-8(c)所示。

(4) 利用同位角相等則兩直線平行的性質,應用例題 5.4-1(等角作圖二),過 E 點 作直線 L∥ ,且 L 交 於 F 點,如圖 5.4-8(d)所示。

(5) △CEF 即為所求,如圖 5.4-8(d)所示。

(34)

習題 5.4-10

在△ABC 中,求作過 的中點 M 且平行 交 於點 N 的線段 。

圖 5.4-14

想法:利用兩平行線間同位角相等的性質及等角作圖來完成此圖形

圖 5.4-14(a) 作法:

(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),作AMP=B,且 交 於 N 點,

如圖 5.4-14(a)所示。

(2) ∥ , 即為所求,如圖 5.4-14(a)所示。

(35)

習題 5.4-11

已知三角形的一底角、底邊長及底邊上的高,求作三角形。

圖 5.4-15 想法:(1) 等角作圖

(2) 過線上一點垂直線作圖 (3) 平行線作圖

圖 5.4-15(a)

圖 5.4-15(b)

(36)

圖 5.4-15(c)

圖 5.4-15(d)

圖 5.4-15(e)

(37)

圖 5.4-15(f) 作法:

(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),在平面上作ABC=1,如圖 5.4-15(a)所示。

(2) 在 上取 =a,如圖 5.4-15(b)所示。

(3) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 C 點作 L⊥ ,並在 L 上取

=h,如圖 5.4-15(c)所示。

(4) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 E 點作 M⊥L,且 M 交 於 F 點,如圖 5.4-15(d)所示。

(5) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 F 點作 N⊥M,且 N 交 於 H 點,如圖 5.4-15(e)所示。

(6) 連接 F、D,則△BDF 中,ABC=1、 =a 且 =h 為底邊上的高,故

△BDF 即為所求,如圖 5.4-15(f)所示。

(38)

習題 5.5

習題 5.5-1:

如圖 5.5-8,利用尺規作圖,以 L 為對稱軸,畫出 的對稱線段。

圖 5.5-8 作法:

(1) 分別作 A 點對稱 L 的對稱點 A'點、B 點對稱 L 的對稱點 B'點,

如圖 5.5-8(a)所示。

(2) 連接 A'、B',則 為 以 L 為對稱軸的對稱線段, 即為所求,

如圖 5.5-8(b)所示。

圖 5.5-8(a) 圖 5.5-8(b)

(39)

習題 5.5-2:

利用尺規作圖,完成下列各線對稱圖形。(L 為對稱軸)

(1) (2)

圖 5.5-9(a) 圖 5.5-9(b) 第(1)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E,如圖 5.5-9(a)所示。

(2) 分別作 A、B、C、D、E 五個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C、D'、E,

如圖 5.5-9(c)所示。

(3) 連接 A、B';B'、C; C、D';D'、E,則多邊形 ABCDED'CB'為以 L 為對稱 軸的線對稱圖形,多邊形 ABCDED'CB'即為所求,如圖 5.5-9(d)所示。

圖 5.5-9(c) 圖 5.5-9(d)

(40)

第(2)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C,如圖 5.5-9(b)所示。

(2) 分別作 A、B、C 三個點對稱於 L 的對稱點 A'、B'、C',如圖 5.5-9(e)所示。

(3) 連接 A'、B';B'、C'; C'、A',則三角形 A'B'C'與三角形 ABC 為以 L 為對 稱軸的線對稱圖形,三角形 A'B'C'與三角形 ABC 即為所求,如圖 5.5-9(f)所 示。

圖 5.5-9(e) 圖 5.5-9(f)

(41)

習題 5.5-3:

利用尺規作圖,畫出下列各線對稱圖形的對稱軸。

(1) (2)

圖 5.5-10(a) 圖 5.5-10(b) 第(1)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、A',如圖 5.5-10(a)所示。

(2) 作 中垂線 L,如圖 5.5-10(c)所示。

(3) 圖 5.5-10(c)中任一點在 L 的另一側都可以找到一對稱點,所以直線 L 為圖 形對稱軸,直線 L 即為所求。

圖 5.5-10(c)

(42)

第(2)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、O、A'、B',如圖 5.5-10(b)所示。

(2) 連接 A、A',並作 的中垂線 L,如圖 5.5-10(d)所示。

(3) 圖 5.5-10(d)中任一點在 L 的另一側都可以找到一對稱點,所以直線 L 為圖 形對稱軸,直線 L 即為所求。

圖 5.5-10(d)

(43)

習題 5.5-4:

下列各圖形都是線對稱圖形的一半,直線 L 是對稱軸,完成這些圖形。

(1) (2)

圖 5.5-11(a) 圖 5.5-11(b) (3) (4)

圖 5.5-11(c) 圖 5.5-11(d) 第(1)小題作法:如圖 5.5-11(e)所示

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E。

(2) 分別作 A、B、C、D、E 五個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、E。

(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E,則多邊形 ABCDED'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,多邊形 ABCDED'C'B'即為所求。

圖 5.5-11(e)

(44)

第(2)小題作法:如圖 5.5-11(f)所示

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G、H。

(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G、H 八個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、

D'、E'、F'、G'、H。

(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G';G'、H,則多邊形 ABCDEFGHG'F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,

多邊形 ABCDEFGHG'F'E'D'C'B'即為所求。

圖 5.5-11(f) 第(3)小題作法:如圖 5.5-11(g)所示

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、M、N、O、P、

Q。

(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、M、N、O、P、Q 十六個點 對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、E'、F'、G'、H'、I'、J'、K'、M'、N'、

O'、P'、Q。

(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G';G'、H';H'、I';I'、

J';J'、K';K'、M';M'、N';N'、O';O'、P';P'、Q,則多邊形 ABCDEFGHIJKMNOPQ P' O' N' M' K' J' I' H'G'F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,

多邊形 ABCDEFGHIJKMNOPQ P' O' N' M' K' J' I' H'G'F'E'D'C'B'即為所求。

圖 5.5-11(g)

(45)

第(4)小題作法:如圖 5.5-11(h)所示

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G。

(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G 七個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、

E'、F'、G。

(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G,則多邊形 ABCDEFGF'E'D'C'B' 為對稱軸為 L 的線對稱圖形,多邊形 ABCDEFGF'E'D'C'B'即為所求。

圖 5.5-11(h)

(46)

習題 5.5-5:

下列各圖形都是線對稱圖形的一部分,直線 L、M 為兩條對稱軸,完成這些 圖形。

(1) (2)

圖 5.5-12(a) 圖 5.5-12(b) 第(1)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F,並分別作 A、B、C、D、E、F 六個點對稱於 M 的對稱點 A、B'、C'、D'、E'、F',連接 A、B';B'、C';

C'、D';D'、E';E'、F',如圖 5.5-12(c)所示。

(2) 分別作 F'、E'、D'、C'、B'、A、B、C、D、E、F 十一個點對稱於 L 的對稱 點 F'、E'''、D'''、C'''、B'''、A'、B''、C''、D''、E''、F,連接 F'、E''';E'''、D''';

D'''、C''';C'''、B''';B'''、A';A'、B'';B''、C'';C''、D'';D''、E'';E''、F,

則多邊形 ABCDEFE''D''C''B''A'B'''C'''D'''E'''F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 與 M 的線 對稱圖形,多邊形 ABCDEFE''D''C''B''A'B'''C'''D'''E'''F'E'D'C'B'即為所求。如 圖 5.5-12(d)所示。

圖 5.5-12(c)

圖 5.5-12(d)

(47)

第(2)小題作法:

(1) 標示圖形上幾個端點 O、C、A、B,並分別作 O、C、A、B 四個點對稱於 M 的對稱點 O、C'、A'、B',連接 O、C';C'、A';A'、B';B'、C',如圖 5.5-12(e) 所示。

(2) 分別作 B、A、C、O、C'、A'、B'七個點對稱於 L 的對稱點 B''、A''、C''、O、

C'''、A'''、B''',連接 O、C'';C''、A'';A''、B'';B''、C'';O、C''';C'''、A''';

A'''、B''';B'''、C''',則圖 5.5-12(f)中之圖形為對稱軸為 L 與 M 的線對稱圖 形,圖 5.5-12(f)中之圖形即為所求。

圖 5.5-12(e)

圖 5.5-12(f)

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