習題 5.1
習題 5.1-1
證明 5.1-1 線段中點的作圖是正確的作法,即圖 5.1-2 的 C 點為 之中點。
C D
E A B
圖 5.1-2 作法:
(1) 以 A 為圓心,以 r 為半徑(大於1
2 的任意長),作一弧。
(2) 以 B 為圓心,以 r 為半徑,作一弧。
(3) 兩弧相交於 D 和 E。
(4) 連接 D、E。
(5) 和 交於 C,C 即為 之中點。
證明:
敘述 理由
(1) 在△ADE 與△BDE 中 =
= =
(2) △ADE △BDE (3) ADE=BDE (4) △ADB 為等腰三角形 (5) 所以 為 的平分線 ( 即 C 點為 之中點 )
如圖 5.1-2 所示
等圓半徑相等(作法之(1)&(2)) 等圓半徑相等(作法之(1)&(2)) 同線段相等
由(1) & 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) & 兩全等三角形對應角相等
由(1) = & 兩腰等長為等腰三角形 由(4) & (3) 等腰三角形頂角平分線垂直 平分底邊
習題 5.1-2
三角形的中線為邊的中點與對角頂點的連線,三邊中線的交點稱為三角形的 重心,如圖 5.1-9 中的點 S 為△ABC 的重心,求作三角形的重心。
圖 5.1-9 想法:三角形三邊中線的交點稱為三角形的重心
圖 5.1-9(a)
圖 5.1-9(b) 作法:
(1) 利用 5.1-1(求線段之中點作圖),分別作 中點 D、 中點 E、 中點 F,
如圖 5.1-9(a)所示。
(2) 連接 A、E;C、D;B、F,且 、 與 三線相交於 S 點,如圖 5.1-9(b) 所示。
(3) S 點即為所求。
習題 5.1-3
三角形三內角平分線的交點為三角形的內心,如圖 5.1-10 中的點 I 為△ABC 的內心,求作三角形的內心。
圖 5.1-10
想法:三角形三內角平分線的交點為三角形的內心
圖 5.1-10(a) 作法:
(1) 利用 5.1-2(角平分線作圖),分別作BAC、ABC、ACB 的角平分線 L、M、
N,且 L、M、N 三線相交於 I 點,如圖 5.1-10(a)所示。
(2) I 點即為所求。
習題 5.1-4
求作一等腰三角形。
已知一線段長度為 a,求作一等腰三角形。
想法:(1) 等腰三角形兩腰等長 (2) 同圓半徑等長
圖 5.1-14
作法一:(此線段 a 為等腰三角形的底邊),如圖 5.1-14 所示。
(1) 在平面上作 =a。
(2) 分別以 A、B 為圓心,大於 2
1a 為半徑畫兩弧,兩弧相交於 C 點。
(3) 連接 A、C;B、C。
(4) △ABC 即為所求。
作法二:(此線段 a 為等腰三角形的腰),如圖 5.1-14(a)所示。
(1) 在平面上找一點 O,以 O 為圓心,線段長 a 為半徑作一圓弧。
(2) 在圓弧上找任意相異 D、E 兩點。
(3) 連接 O、D;O、E;D、E。
(4) △ODE 即為所求。
圖 5.1-14(a)
a a
習題 5.1-5
如圖 5.1-11,利用尺規作圖,在 上畫出一點 E,使
5
= 3 ED
CE
。圖 5.1-11 想法:(1)
5
= 3 ED
CE
,即 為 3 份, 為 5 份,兩線段和 為 8 份,所以只要 將 線段分成 8 等份,每份為 的 8 分之 1,E 點就是距離 C 點 3 份的位置。(2) 利用 5.1-1 的線段中點作圖可以將線段分成兩等份,
(3) ∵
8 1 2 1
3=
,所以作三次線段中點就可以求得線段的 8 分之 1。圖 5.1-11(a)
圖 5.1-11(b)
圖 5.1-11(c) 作法:
(1) 作 的中點 M,則
CM CD
2=1 ,
DM CD
2=1 ,如圖 5.1-11(a)所示。
(2) 作 的中點 N,則
CN CD
4=1 ,
NM CD
4=1 ,如圖 5.1-11(b)所示。
(3) 作 的中點 E,則
NE CD
8=1 ,
EM CD
8=1 ,如圖 5.1-11(c)所示。
(4) E 點即為所求。
∵
5 3 8
5 8 3
2 1 8
1
8 1 4
1
=
= +
= + +
= +
CD CD CD
CD
CD CD
MD EM
NE
CN
ED
CE
習題 5.1-6
如圖 5.1-12,以尺規作圖分別畫出∠AOC 和∠BOC 的角平分線。
圖 5.1-12
圖 5.1-12(a)
圖 5.1-12(b)
圖 5.1-12(c)
圖 5.1-12(d) 作法:
(1) 以 O 點為圓心,適當長度為半徑畫弧交 於 D 點、交 於 E 點、交 於 F 點,如圖 5.1-12(a)所示。
(2) 分別以 D、E 為圓心,以大於 2
1 為半徑畫弧,兩弧相交於 G 點,如圖 5.1-12(b) 所示。
(3) 分別以 E、F 為圓心,以大於 2
1 為半徑畫弧,兩弧相交於 H 點,如圖 5.1-12(c) 所示。
(4) 連接 O、G;O、H,如圖 5.1-12(d)所示。
(5) 、 即為所求。
( 其中 為∠AOC 的角平分線; 為∠BOC 的角平分線 )
習題 5.1-7
如圖 5.1-13,以尺規作圖將∠D 平分成四等份。
圖 5.1-13 想法:做一次角平分線可將原角平分成兩等份
圖 5.1-13(a)
圖 5.1-13(b)
圖 5.1-13(c)
作法:
(1) 以 D 點為圓心,適當長度為半徑畫弧,交∠D 的兩邊於 E、F 兩點,
如圖 5.1-13(a)所示。
(2) 分別以 E、F 兩點為圓心,以大於 2
1 為半徑畫弧,兩弧相交於 A 點,
如圖 5.1-13(a)所示。
(3) 連接 D、A,且 交作法(1)所畫之弧於 G 點,如圖 5.1-13(a)所示。
( 平分∠D )
(4) 分別以 E、G 兩點為圓心,以大於 2
1 為半徑畫弧,兩弧相交於 B 點,
如圖 5.1-13(b)所示。
(5) 連接 D、B,如圖 5.1-13(b)所示。( 平分∠EDA ) (6) 分別以 F、G 兩點為圓心,以大於
2
1 為半徑畫弧,兩弧相交於 C 點,
如圖 5.1-13(c)所示。
(7) 連接 D、C,如圖 5.1-13(c)所示。( 平分∠FDA )
(8) 、 、 即為所求。( 、 、 將∠D 平分成四等份 )
習題 5.1-8
利用角平分線作圖將一個角平分成 8 等份,至少須作 次角平分線。
想法:(1) 角平分線作圖,可將一角平分成兩等份,每一等份為原角的 2 1, 共有 2 等份;
(2) 若每一 2
1的角再作一次角平分線作圖(相當於作了 3 次角平分線作
圖),則每一角為原角的 4
1,共有 4 等份(即
2
2等份);(3) 若每一 4
1的角再作一次角平分線作圖(相當於作了 7 次角平分線作
圖),則每一角為原角的 8
1,共有 8 等份(即
2
3等份)。圖 5.1-15 解:
敘述 理由
(1) 作 1 次角平分線作圖(如圖 5.1-15 之 L1 )可將原角平分為 2 等份,
(2) 將敘述(1)中的兩等份再各作 1 次角平分線(如圖 5.1-15 之 L2、 L3),可將原角平分為 4 等份。
( 共作了 3 次角平分線作圖 )
(3) 將敘述(2)中的 4 等份再各作 1 次角平分線(如圖 5.1-15 之 L4、 L5、L6、 L7),可將原角平分為 8 等份。
( 共作了 7 次角平分線作圖 )
(4) 所以要將一個角平分成 8 等份,至少須作 7 次角平分線 作圖
角平分線性質
角平分線性質
角平分線性質
由(1)~(3)
習題 5.1-9
利用角平分線作圖,做出一個角的 16
3 ,至少須作圖 次。
圖 5.1-16 想法:(1) 假設將∠ABC 分為∠ABG 與∠GBC,且
13
= 3
GBC
ABG
,即∠ABG 為 3 等份,∠GBC 為 13 等份,兩角和∠ABC 為 16 等份,所以只要將∠ABC 分成 16 等份,每份為∠ABC 的 16 分之 1。(2) 利用 5.1-2(角平分線作圖)可以將角分成兩等份,每份為原角的 2 1。
(3) ∵
16 1 2 1
4=
,所以作 4 次角平分線就可以求得角的 16 分之 1。解:
敘述 理由
(1) 做出一個角的 16
3 ,也就是要將一個角平分為 16 等份
(2) 作第一次角平分線 平分∠ABC,則
∠ABD=
2
1∠ABC
(3) 作第二次角平分線 平分∠ABD,則
∠ABE=
2
1∠ABD=
2 1×
2
1∠ABC=
4
1∠ABC
題目所求,做出一個角的 16
3
角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的
2 1
角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的
2
1 & (2)
(4) 作第三次角平分線 平分∠ABE,則 ∠ABF=∠EBF=
2
1∠ABE=
2 1×
4
1∠ABC
=8
1∠ABC
(5) 作第四次角平分線 平分∠ABF,則
∠FBG=
2
1∠EBF=
2 1×
8
1∠ABC=
16
1 ∠ABC
(6) ∠ABG=∠ABF+∠FBG =
8
1∠ABC+
16
1 ∠ABC=
16
3 ∠ABC
(7) 所以至少作 4 次角平分線,可做出一個角的 16
3
角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的
2
1 & (3)
角平分線可以將角分成兩等 份,每份為原角的
2
1 & (4)
全量等於分量之和 由(4) & (5)
由(1)~(6)
習題 5.2
習題 5.2-1
已知一邊長,求作正方形。
已知一線段長度 a,求作一邊長為 a 的正方形。
想法:正方形四邊等長且四個內角皆為直角
圖 5.2-11(a)
圖 5.2-11(b) 圖 5.2-11(c)
圖 5.2-11(d) 圖 5.2-11(e)
作法:
(1) 在平面上作一線段 =a,如圖 5.2-11(a)所示。
(2) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 L⊥ ,如圖 5.2-11(b) 所示。
(3) 在 L 上取 = =a,如圖 5.2-11(c)所示。
(4) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 B 點作 N⊥ ,過 D 點作 M⊥ 且 M、N 相交於 C 點,如圖 5.2-11(d)所示。
(5) 連接 D、C;B、C,如圖 5.2-11(e)所示。
(6) 四邊形 ABCD 為正方形即為所求。
習題 5.2-2
已知長方形的長邊及短邊,求作長方形。
想法:長方形四個角內角皆為直角
圖 5.2-12(a)
圖 5.2-12(b) 圖 5.2-12(c)
圖 5.2-12(d) 圖 5.2-12(e)
作法:
(1) 在平面上作一線段 =a,如圖 5.2-12(a)所示。
(2) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 L⊥ ,如圖 5.2-12(b) 所示。
(3) 在 L 上取 =b,如圖 5.2-12(c)所示。
(4) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 B 點作 M⊥ ,過 D 點作 N⊥ 且 M、N 相交於 C 點,如圖 5.2-12(d)所示。
(5) 連接 D、C;B、C,如圖 5.2-12(e)所示。
(6) 四邊形 ABCD 為長方形即為所求。
習題 5.2-3
如圖 5.2-6,在△ABC 中,利用尺規作圖,作出 上的高 。
圖 5.2-6
想法: 上的高 ⊥
圖 5.2-6(a) 圖 5.2-6(b) 作法:
(1) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 A 點作 L⊥ ,且 L 交 於 H 點,
如圖 5.2-6(a)所示。
(2) 連接 A、H, 為 上的高即為所求,如圖 5.2-6(b)所示。
習題 5.2-4
如圖 5.2-7,△ABC 中,∠C 為鈍角,求作 邊上的高。
圖 5.2-7
想法: 上的高 ⊥
圖 5.2-7(a) 圖 5.2-7(b) 作法:
(1) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 A 點作 L 垂直 的延長線,且 L 交 的延長線於 H 點,如圖 5.2-7(a)所示。
(2) 連接 A、H, 為 上的高即為所求,如圖 5.2-7(b)所示。
習題 5.2-5
如圖 5.2-8,以尺規在梯形 ABCD 上作圖,則圖上的痕跡是下列哪一種作圖 的必要步驟?
(A) 梯形的高
(B) ∠ABC 的角平分線 (C) 的中點
(D) 的垂直平分線
圖 5.2-8
想法: 上的高 ⊥
解:
敘述 理由
(1) 圖 5.2-8 上的痕跡是作梯形的高的 步驟
根據 5.2-2(過線外一點垂直線作圖)
習題 5.2-6
三角形三邊的中垂線之交點稱為三角形的外心,求作圖 5.2-9 中△ABC 的外 心點 V。
圖 5.2-9
想法:三角形三邊的中垂線之交點稱為三角形的外心
圖 5.2-9(a) 作法:
(1) 利用 5.2-3(線段的中垂線作圖),分別作 、 、 的中垂線 L、M、N,且 L、M、N 三線相交於 V 點,如圖 5.2-9(a)所示。
(2) V 點即為所求。
習題 5.3
習題 5.3-1
試利用平行線同位角相等的性質,設計過線外一點之平行線作法。
如圖 5.3-3 所示:
F
E
A
C
D
B
圖 5.3-3
如圖 5.3-3(a)所示,已知平面上一線段 與線段外一點 E 點,求作通過 E 點且平 行 的直線。
圖 5.3-3(a) 想法:利用平行線同位角相等的性質作圖
圖 5.3-3(b) 圖 5.3-3(c)
圖 5.3-3(d) 圖 5.3-3(e) 作法:
(1) 過 E 點作一線段 交 於 F 點,如圖 5.3-3(b)所示。
(2) 分別以 E、F 為圓心,適當長為半徑畫弧,兩弧分別交 於 I、G 兩點,交 於 H 點,如圖 5.3-3(c)所示。
(3) 以 I 點為圓心, 為半徑畫弧,交作法(2)中以 E 點為圓心所畫之弧於 J 點,
如圖 5.3-3(d)所示。
(4) 過 E、J 兩點作直線 L,如圖 5.3-3(e)所示。
(5) L∥ 且通過 E 點,直線 L 即為所求,如圖 5.3-3(e)所示。
習題 5.4
習題 5.4-1
已知等腰三角形的底角及底邊,求作此等腰三角形。
已知等腰三角形的底角α 及底邊 a,求作此等腰三角形。
想法:利用例題 5.4-1(等角作圖二)來作圖
圖 5.4-9(a)
圖 5.4-9(b) 作法:
(1) 在平面上作 =a,如圖 5.4-9(a)所示。
(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),分別作DAB=EBA=α,且 與 相交於 C 點,如圖 5.4-9(b)所示。
(3) △ABC 即為所求,如圖 5.4-9(b)所示。
習題 5.4-2
圖 5.4-5 為直線 L 及線外一點 P,利用內錯角相等的原理,以尺規作圖過 P 點畫一直線,使該直線與 L 平行。
圖 5.4-5 想法:利用內錯角相等的原理作圖
圖 5.4-5(a) 圖 5.4-5(b)
圖 5.4-5(c) 圖 5.4-5(d) 作法:
(1) 過 P 點作一直線 M 交 L 於 A 點,如圖 5.4-5(a)所示。
(2) 分別以 A、P 為圓心,適當長為半徑畫弧,兩弧分別交 M 於 B、D 兩點,交 L 於 C 點,如圖 5.4-5(b)所示。
(3) 以 D 點為圓心, 為半徑畫弧,交作法(2)中以 D 點為圓心所畫之弧於 E 點,
如圖 5.4-5(c)所示。
(4) 過 P、E 兩點作直線 N,則 N∥L 且通過 P 點,直線 N 即為所求,如圖 5.4-5(d) 所示。
習題 5.4-3
已知直角三角形直角之兩邊長,求作此三角形。
已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a、b 為兩股的直角三角形。
圖 5.4-10(a)
圖 5.4-10(b)
圖 5.4-10(c) 作法:
(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上取 =a,如圖 5.4-10(a)所示。
(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),作BAD=90,
如圖 5.4-10(b)所示。
(3) 在 上取 =b,並連接 C、B,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-10(c)。
習題 5.4-4
已知等腰三角形兩腰長及其底邊之高,求作此三角形。
已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a 為兩腰長、b 為底邊上的高之等腰三角形。
圖 5.4-11(a)
圖 5.4-11(b)
圖 5.4-11(c)
圖 5.4-11(d)
圖 5.4-11(e) 作法:
(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取一點 H 點,如圖 5.4-11(a)所示。
(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 H 點作 M⊥L,如圖 5.4-11(b) 所示。
(3) 在 M 上取 =b,如圖 5.4-11(c)所示。
(4) 以 A 點為圓心,以 a 為半徑畫弧,交 L 於 B、C 兩點,如圖 5.4-11(d)所示。
(5) 連接 A、B,A、C,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-11(e)所示。
習題 5.4-5
已知直角三角形之斜邊及另一邊,求作此三角形。
已知長度為 a 與 b 的兩線段,求作以 a 為斜邊、b 為一股的直角三角形。
圖 5.4-12(a)
圖 5.4-12(b) 圖 5.4-12(c) 作法:
(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取 =b,如圖 5.4-12(a)所示。
(2) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 A 點作 M⊥L,如圖 5.4-12(b) 所示。
(3) 以 B 為圓心,以 a 為半徑畫弧,交直線 H 於 C 點,連接 B、C,則△ABC 即 為所求,如圖 5.4-12(c)所示。
習題 5.4-6
已知等腰三角形的底角及腰長,求作此等腰三角形。
已知等腰三角形的底角α 及腰長 a,求作此等腰三角形。
想法:利用例題 5.4-1(等角作圖二)來作圖
圖 5.4-13(a)
圖 5.4-13(b) 圖 5.4-13(c)
圖 5.4-13(d) 圖 5.4-13(e)
作法:
(1) 在平面上畫一直線 L,並在其上任取一點 A 點,如圖 5.4-13(a)所示。
(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),分別作DAE=α,如圖 5.4-13(b)所示。
(3) 在 上取 =a,如圖 5.4-13(c)所示。
(4) 以 B 點為圓心,以 =a 為半徑畫弧,交 L 於 C 點,如圖 5.4-13(d)所示。
(5) 連接 B、C,則△ABC 即為所求,如圖 5.4-13(e)所示。
習題 5.4-7
如圖 5.4-6,在 上找一點 D,使得△ABD 為腰長等於 的等腰三角形。
圖 5.4-6 想法:(1) 等腰三角形兩腰等長
(2) 同圓半徑相等
圖 5.4-6(a) 圖 5.4-6(b) 作法:
(1) 以 B 點為圓心,以 為半徑畫弧,交 於 D 點,如圖 5.4-6(a)所示。
(2) 連接 B、D,則△ABD 即為所求,如圖 5.4-6(b)所示。
習題 5.4-8
如圖 5.4-7,已知線段長 a,利用尺規作圖,任意作一等腰三角形,使得其腰 長為 a,並作出底邊上的高。
圖 5.4-7 想法:(1) 等腰三角形兩腰等長
(2) 同圓半徑相等
圖 5.4-7(a)
圖 5.4-7(b)
圖 5.4-7(c) 作法:
(1) 在平面上任找一點 O 點,並以 O 點為圓心,以 a 為半徑畫弧,如圖 5.4-7(a) 所示。
(2) 在圓弧上任取相異兩點 A 點與 B 點,並連接 O、A;A、B;O、B,則△ABC 為腰長為 a 之等腰三角形,如圖 5.4-7(b)所示,其中 = =a。
(3) 利用 5.2-2(過線外一點垂直線作圖),過 O 點作 L 垂直 ,且 L 交 於 H 點,
如圖 5.4-7(c)所示。
(4) △ABC 為腰長為 a 之等腰三角形,且 為 上的高,△ABC 與 即為所 求,如圖 5.4-7(c)所示。
習題 5.4-9
如圖 5.4-8,已知∠1、∠2 與長度為 a 的線段,求作一個三角形,使得這個 三角形的兩個內角分別為∠1 和∠2,且∠1 的對邊長度為 a。
圖 5.4-8 想法:利用等角作圖及平行線作圖來完成此圖形
圖 5.4-8(a)
圖 5.4-8(b)
圖 5.4-8(c)
圖 5.4-8(d) 作法:
(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),在平面上作BAC=1,如圖 5.4-8(a)所示。
(2) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),以 C 為頂點作DCA=2,如圖 5.4-8(b)所示。
(3) 在 上取 =a,如圖 5.4-8(c)所示。
(4) 利用同位角相等則兩直線平行的性質,應用例題 5.4-1(等角作圖二),過 E 點 作直線 L∥ ,且 L 交 於 F 點,如圖 5.4-8(d)所示。
(5) △CEF 即為所求,如圖 5.4-8(d)所示。
習題 5.4-10
在△ABC 中,求作過 的中點 M 且平行 交 於點 N 的線段 。
圖 5.4-14
想法:利用兩平行線間同位角相等的性質及等角作圖來完成此圖形
圖 5.4-14(a) 作法:
(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),作AMP=B,且 交 於 N 點,
如圖 5.4-14(a)所示。
(2) ∥ , 即為所求,如圖 5.4-14(a)所示。
習題 5.4-11
已知三角形的一底角、底邊長及底邊上的高,求作三角形。
圖 5.4-15 想法:(1) 等角作圖
(2) 過線上一點垂直線作圖 (3) 平行線作圖
圖 5.4-15(a)
圖 5.4-15(b)
圖 5.4-15(c)
圖 5.4-15(d)
圖 5.4-15(e)
圖 5.4-15(f) 作法:
(1) 利用例題 5.4-1(等角作圖二),在平面上作ABC=1,如圖 5.4-15(a)所示。
(2) 在 上取 =a,如圖 5.4-15(b)所示。
(3) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 C 點作 L⊥ ,並在 L 上取
=h,如圖 5.4-15(c)所示。
(4) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 E 點作 M⊥L,且 M 交 於 F 點,如圖 5.4-15(d)所示。
(5) 利用 5.2-1(通過線上一點作一垂直線的作圖),過 F 點作 N⊥M,且 N 交 於 H 點,如圖 5.4-15(e)所示。
(6) 連接 F、D,則△BDF 中,ABC=1、 =a 且 =h 為底邊上的高,故
△BDF 即為所求,如圖 5.4-15(f)所示。
習題 5.5
習題 5.5-1:
如圖 5.5-8,利用尺規作圖,以 L 為對稱軸,畫出 的對稱線段。
圖 5.5-8 作法:
(1) 分別作 A 點對稱 L 的對稱點 A'點、B 點對稱 L 的對稱點 B'點,
如圖 5.5-8(a)所示。
(2) 連接 A'、B',則 為 以 L 為對稱軸的對稱線段, 即為所求,
如圖 5.5-8(b)所示。
圖 5.5-8(a) 圖 5.5-8(b)
習題 5.5-2:
利用尺規作圖,完成下列各線對稱圖形。(L 為對稱軸)
(1) (2)
圖 5.5-9(a) 圖 5.5-9(b) 第(1)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E,如圖 5.5-9(a)所示。
(2) 分別作 A、B、C、D、E 五個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C、D'、E,
如圖 5.5-9(c)所示。
(3) 連接 A、B';B'、C; C、D';D'、E,則多邊形 ABCDED'CB'為以 L 為對稱 軸的線對稱圖形,多邊形 ABCDED'CB'即為所求,如圖 5.5-9(d)所示。
圖 5.5-9(c) 圖 5.5-9(d)
第(2)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C,如圖 5.5-9(b)所示。
(2) 分別作 A、B、C 三個點對稱於 L 的對稱點 A'、B'、C',如圖 5.5-9(e)所示。
(3) 連接 A'、B';B'、C'; C'、A',則三角形 A'B'C'與三角形 ABC 為以 L 為對 稱軸的線對稱圖形,三角形 A'B'C'與三角形 ABC 即為所求,如圖 5.5-9(f)所 示。
圖 5.5-9(e) 圖 5.5-9(f)
習題 5.5-3:
利用尺規作圖,畫出下列各線對稱圖形的對稱軸。
(1) (2)
圖 5.5-10(a) 圖 5.5-10(b) 第(1)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、A',如圖 5.5-10(a)所示。
(2) 作 中垂線 L,如圖 5.5-10(c)所示。
(3) 圖 5.5-10(c)中任一點在 L 的另一側都可以找到一對稱點,所以直線 L 為圖 形對稱軸,直線 L 即為所求。
圖 5.5-10(c)
第(2)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、O、A'、B',如圖 5.5-10(b)所示。
(2) 連接 A、A',並作 的中垂線 L,如圖 5.5-10(d)所示。
(3) 圖 5.5-10(d)中任一點在 L 的另一側都可以找到一對稱點,所以直線 L 為圖 形對稱軸,直線 L 即為所求。
圖 5.5-10(d)
習題 5.5-4:
下列各圖形都是線對稱圖形的一半,直線 L 是對稱軸,完成這些圖形。
(1) (2)
圖 5.5-11(a) 圖 5.5-11(b) (3) (4)
圖 5.5-11(c) 圖 5.5-11(d) 第(1)小題作法:如圖 5.5-11(e)所示
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E。
(2) 分別作 A、B、C、D、E 五個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、E。
(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E,則多邊形 ABCDED'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,多邊形 ABCDED'C'B'即為所求。
圖 5.5-11(e)
第(2)小題作法:如圖 5.5-11(f)所示
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G、H。
(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G、H 八個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、
D'、E'、F'、G'、H。
(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G';G'、H,則多邊形 ABCDEFGHG'F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,
多邊形 ABCDEFGHG'F'E'D'C'B'即為所求。
圖 5.5-11(f) 第(3)小題作法:如圖 5.5-11(g)所示
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、M、N、O、P、
Q。
(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、M、N、O、P、Q 十六個點 對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、E'、F'、G'、H'、I'、J'、K'、M'、N'、
O'、P'、Q。
(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G';G'、H';H'、I';I'、
J';J'、K';K'、M';M'、N';N'、O';O'、P';P'、Q,則多邊形 ABCDEFGHIJKMNOPQ P' O' N' M' K' J' I' H'G'F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 的線對稱圖形,
多邊形 ABCDEFGHIJKMNOPQ P' O' N' M' K' J' I' H'G'F'E'D'C'B'即為所求。
圖 5.5-11(g)
第(4)小題作法:如圖 5.5-11(h)所示
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G。
(2) 分別作 A、B、C、D、E、F、G 七個點對稱於 L 的對稱點 A、B'、C'、D'、
E'、F'、G。
(3) 連接 A、B';B'、C';C'、D';D'、E';E'、F';F'、G,則多邊形 ABCDEFGF'E'D'C'B' 為對稱軸為 L 的線對稱圖形,多邊形 ABCDEFGF'E'D'C'B'即為所求。
圖 5.5-11(h)
習題 5.5-5:
下列各圖形都是線對稱圖形的一部分,直線 L、M 為兩條對稱軸,完成這些 圖形。
(1) (2)
圖 5.5-12(a) 圖 5.5-12(b) 第(1)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F,並分別作 A、B、C、D、E、F 六個點對稱於 M 的對稱點 A、B'、C'、D'、E'、F',連接 A、B';B'、C';
C'、D';D'、E';E'、F',如圖 5.5-12(c)所示。
(2) 分別作 F'、E'、D'、C'、B'、A、B、C、D、E、F 十一個點對稱於 L 的對稱 點 F'、E'''、D'''、C'''、B'''、A'、B''、C''、D''、E''、F,連接 F'、E''';E'''、D''';
D'''、C''';C'''、B''';B'''、A';A'、B'';B''、C'';C''、D'';D''、E'';E''、F,
則多邊形 ABCDEFE''D''C''B''A'B'''C'''D'''E'''F'E'D'C'B'為對稱軸為 L 與 M 的線 對稱圖形,多邊形 ABCDEFE''D''C''B''A'B'''C'''D'''E'''F'E'D'C'B'即為所求。如 圖 5.5-12(d)所示。
圖 5.5-12(c)
圖 5.5-12(d)
第(2)小題作法:
(1) 標示圖形上幾個端點 O、C、A、B,並分別作 O、C、A、B 四個點對稱於 M 的對稱點 O、C'、A'、B',連接 O、C';C'、A';A'、B';B'、C',如圖 5.5-12(e) 所示。
(2) 分別作 B、A、C、O、C'、A'、B'七個點對稱於 L 的對稱點 B''、A''、C''、O、
C'''、A'''、B''',連接 O、C'';C''、A'';A''、B'';B''、C'';O、C''';C'''、A''';
A'''、B''';B'''、C''',則圖 5.5-12(f)中之圖形為對稱軸為 L 與 M 的線對稱圖 形,圖 5.5-12(f)中之圖形即為所求。
圖 5.5-12(e)
圖 5.5-12(f)