第一章排列組合 自我評量 詳解
__________班 座號__________姓名__________
總 分
一 (25 題 每 4 分 共 100 分 ) 、單選題 題
( 1.設 10個 ) 大禮堂共有 門,老張由不同的門進出禮堂,共有方法
(A)100 種 (B)90 種 (C)20 種 (D)19 種
B 解答
解 進 10種 9 種 析 有 方法,出有 方法,
由 10 ´ 9 = 90 種 乘法原理知:共有 方法
( 2.10件 1 ) 相同的東西,任意分給甲、乙、丙、丁四人,則每人至少得
件 (A)48 種 (B)60 種 (C)84 種 (D)96 種 的分法有
C 解答
解 10 44 64 96 93 9 8 7 析
3 2 1 84
H
=H
=C
=C
= ´ ´ =´ ´
( 3. )
某 拳 擊 比
賽 ,規定每位選手必須和其他所有選手各比賽一場,如果賽程共有
105 場 (A)12 人 (B)14 人 (C)15 人 ,則選手共有
(D)16 人
C 解答
解 設 n 個
C
2n 析 選手共有 人,因每兩個選手均須比賽一場,所以賽程共有場 ,
亦
C
2n=105 , 即則 ( 1) 2 1 105
n
´ n
´ = ,
整 n2 n 210 = 0 , 理得
因 (n 15)(n + 14) = 0 , 式分解得
故 n = 15 或 n = 14 ,
但 n 為 n = 15 正整數,因此,
( 4.將 (a + b) ´ (m + n + p) ´ (x + y + z) )
展 (A)18 (B)12 (C)10 開,共可得多少個不同的項?
(D)8
A 解答
解 由 2 ´ 3 ´ 3 = 18 個 析 乘法原理知:共可得 不同的項
( 5.7 本
A 、 B 二
) 不同的書排放在書架上,其中 本必相鄰的排法有(A)720 種 (B)1440 種 (C)2520 種 (D)5040 種
B 解答
解 6! ´ 2! = 1440 析
( 6.5 個 4 ) 桃子、
個 1 梨子任意分給兩位兒童,若每位兒童至少得到桃子或梨子
個 (A)28 (B)30 (C)58 (D)60 ,則共有多少種給法?
A 解答
解
H
52´H
24 =2C
65´C
54 =2 28 析( 1 人 即任意給法,減去其中 均未分得的方法)
( 7.某 13題 10題 5 題 3 ) 次考試由 選做 ,但規定前 中至少選做
題 (A)80 (B)220 (C)252 ,則共有多少種選做方法?
(D)276
D 解答
解
C
53´C
87+C
54´C
86+C
55´C
85= ´ + ´10 8 5 28 1 56 276+ ´ = 種 析( 8.方
x + y + z + u = 13 的 a 組 b
) 程式 非負整數解有 ,又正整數解有組 (a,b) = (A)(560,220) (B)(540,210) (C)(462,216) (D) ,則
(432,186)
A 解答
解 非 134 1613 163 16 15 14 析 負整數解有
3 2 1 560
H
=C
=C
= ´ ´ =´ ´ 組 ,
正 13 44 49 129 123 12 11 10 整數解有
3 2 1 220
H
=H
=C
=C
= ´ ´ =´ ´ 組 ,
即a = 560, b = 220
所 (a,b) = (560,220) 以
( 9.用 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 )
排 5 的 (A)52 個 成三位數,數字不可重複使用,其中 倍數有
(B)48 個 (C)40 個 (D)36 個
D 解答
解 個 0 的 析 位數為 情形:
個 5 的 位數為 情形:
所 5 的 5 ´ 4 + 4 ´ 4 = 36個 以 倍數有
( 10. 將 1 張 100 元 50元 10元 5 ) 鈔票兌換成 、 及
元 (A)15 (B)16 (C)18 的硬幣,共有多少種兌換方法?
(D)20
C 解答
解 設 50元 x 個 10元 y 個 5 元 z 個 析 兌換成 硬幣 、 硬幣 、 硬幣 ,
依 50x + 10y + 5z = 100( x 、 y 、 z 為 題意得 其中 非負整數),
化 10x + 2y + z = 20 , 簡得
當x = 0時 2y + z = 20 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
y
z
有11組 解,當x = 1時 2y + z = 10 :
0 1 2 3 4 5 10 8 6 4 2 0
y
z
有 6 組 解,當x = 2時 2y + z = 0 , y = z = 0 有 1 組 : 即 解,
由 11 + 6 + 1 = 18種 加法原理知:共有 兌換方法
( 11. 設 m ³ 5 ,
C
206 C
20m+2=0 ,C
5m= (A)504 (B)720 ) 若 則(C)792 (D)840
C 解答
解 因
C
206 C
20m+2=0 , m ³ 5 , 析 為 又則 6 + (m + 2) = 20 , m = 12 , 即
所 5 125 12 11 10 9 8 以
5 4 3 2 1 792
C
m=C
= ´ ´ ´ ´ =´ ´ ´ ´
( 12.(x + y)n 展 5 項 20項
n =
) 開式中,第 與第 係數相等,則(A)22 (B)23 (C)24 (D)25
B 解答
解 第 5 項
C
4n、 20項C
19n , 5 項 20 析 係數為 第 係數為 已知第 係數和第項
C
4n=C
19n 係數相等,故- 1 -
因 n = 4 + 19 = 23 此
( 13.5男 3 女 (A)720 種 ) 圍一圓桌而坐,女生全部相鄰的坐法有
(B)840 種 (C)1440 種 (D)2160 種
A 解答
解 女 3 女 析 生全部相鄰,視 為一單位,
與 5 男 6 個 6! 共 單位的環狀排列數為
5! 120 6 = = ,
又 3 女 3! = 6 , 互換位置的排列數為
故 120 ´ 6 = 720 種 所求坐法共有
( 14. 一 7 人 5 人 ) 家族 分乘二部車,每部車限乘 ,則乘車方法有
(A)108 種 (B)112 種 (C)114 種 (D)120 種
B 解答
解 乘 析 車方法共有
7 5 7 4 7 3 7 2
2 5 3 4 4 3 5 2 21 35 35 21 112
C
´C
+C
´C
+C
´C
+C
´C
= + + + = 種2 5
3 4
4 3
5 2
第一部車 第二部車
人 人
人 人
人 人
人 人
( 15. 若 6 )
對
夫 婦排成一列,且每對夫婦必須相鄰,則共有幾種不同的排法?
(A)2 ´ 6! (B)(3!)2 ´ 26 (C)2 ´ (3!)2 ´ 26 (D)26 ´ 6!
D 解答
解 每 6 對 6 析 對夫婦必須相鄰,故視為一個單位, 夫婦視為
個 6! , 單位,其排列數為
又 2 種 6 對 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 每對夫婦互換位置,方法有 , 夫婦共有
´ 2 = 26種 ,
故 26 ´ 6! 種 所求排法共有
( 16. 12 12 )
(
x
)
x
展x
6項 (A)220 (B) 220 開整理後, 的係數為(C)66 (D) 66
C 解答
解 12 12 析
(
x
)
x
展 開式的一般項為12 12 12 12 3
2
( 1 ) ( 1)
r r r r
r r
C x C x
x
= ,
因 x6項 所求為 係數,
故 12 3r = 6 , r = 2, 得 即
則x6項 122 2 12 11 係數為
( 1) 66
C
= 2 1´ =´
( 17. 若 8 個 3 個 1 ) 有相同的玩具 分裝於 相同的箱子,每箱至少
個 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 ,則共有多少種裝法?
A 解答
解 8 = 1 + 1 + 6 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 2 + 3 + 3 , 析
相 8 個 3 個 1 同的 玩具分裝於 相同的箱子,每箱至少
個 {1,1,6} 、 {1,2,5} 、 {1,3,4} 、 {2,2,4} 、 {2,3,3} 共 5 ,其裝法有
種
( 18. 大 4 個 3 個 ) 小相同的跳棋,紅色棋子 、黃色棋子 、白色棋子
5 個 ,今由其中任意取之,但規定每次至少取一個,則取法共有
(A)120 種 (B)119 種 (C)60 種 (D)59 種
B 解答
解 利 n 件 析 用 不盡相異物組合總數公式:
取 (4 + 1)(3 + 1)(5 + 1) 1 = 119 種 法共有
( 19. 一 3 枚 2 枚 7 ) 元硬幣 、五元硬幣 ,分給
個 1 枚 (A)210 種 (B)360 種 兒童,每人至多得 ,方法有
(C)420 種 (D)480 種
A 解答
解 所 析 有分給的方法
相 3 個 2 個 2 當於 「一元」、 「五元」及
個 0 」 「 的直線排列數,
即 7!
3!2!2!=210 種
( 20. 設a > 0, (
a
2 3 )6 ) 若x
x
展 270 ,a =
開後常數項為 則(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 2
D 解答
解 (
a
2 3 )6 析x
x
展 開後一般項為6 6 6 6 3 12
( 2) (r 3 )r r( 3)r r
r r
C a x C a x
x
= ,
令 3r 12 = 0 , r = 4, 即
因
C a
64 2( 3)4 =270 , 此常數項為故 15 ´ a2 ´ 9 = 270 , 得
但a > 0,
a
= 2 所以( 21.5男 4 女 (A)5760 種 ) 排成一列,男女相間的排法有
(B)2880 種 (C)1440 種 (D)1080 種
B 解答
解 析
所 5! ´ 4! = 2880 種 求排法共有
( 22. 0 1 22 )
7 7 7
n
n n
n n
n
C C C
C
+ + + + 的 (A) 8 值為( )7
n (B) 8 1
( )7
n
(C) 8 ( ) 1
7
n (D) 8 ( ) 1
7
n+
A 解答
解 利 析 用二項式定理
1 2 2
0 1 2
(
x y
+ )n =C x
n n+C x y C x
n n + n ny
+ +C x
nr n ry
r+ +C y
nn n,以x = 1, 1
y
=7 代 入得1 2
0 2
( )8
7 7 7 7
n
n n
n n n
n
C
C C
=
C
+ + + +( 23. )
甲
、 乙
、 丙、丁、戊五人排成一列,若甲不排首且乙不排末,則排法有
(A)96 種 (B)84 種 (C)78 種 (D)72 種
C 解答
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解 ( 析 所求排法)
= ( ( ( + 任意排法) 甲排首) 乙排末)
( 甲排首且乙排末)
= 5! 4! 4! + 3! = 78種
( 24. 用 0 、 1 、 2 、 3 、 5 )
五 個數字,數字可以重複使用,排成不同的四位數,其中偶數有
(A)120 個 (B)180 個 (C)200 個 (D)250 個
C 解答
解 析
因 0 , 0 、 2 , 為首位數不得排 個位數只能排
所 4 ´ 5 ´ 5 ´ 2 = 200 個 以偶數有
( 25.5 )
件 1 不同的獎品任意分給甲、乙、丙、丁四個人,其中甲至少分得
件 (A)1024 種 (B)781 種 (C)630 種 (D)243 種 的方法有
B 解答
解 ( 1 件 析 甲至少分得 的方法)
= ( ( 任意給法) 甲均未分得的方法)
= 45 35 = 781 種
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