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第一章排列組合 自我評量 詳解 __________

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Academic year: 2023

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第一章排列組合 自我評量 詳解

__________班 座號__________姓名__________

總 分

(25 題 每 4 分 共 100 分 ) 、單選題 題

( 1.設 10個    ) 大禮堂共有 門,老張由不同的門進出禮堂,共有方法 

(A)100 種 (B)90 種 (C)20 種 (D)19 種      

  B 解答 

解 進 10種 9 種 析 有 方法,出有 方法,

由 10 ´ 9 = 90 種 乘法原理知:共有 方法

( 2.10件 1    ) 相同的東西,任意分給甲、乙、丙、丁四人,則每人至少得

件 (A)48 種 (B)60 種 (C)84 種 (D)96 種 的分法有       

  C 解答 

10 44 64 96 93 9 8 7 析

3 2 1 84

H

=

H

=

C

=

C

= ´ ´ =

´ ´

( 3.    )

某 拳 擊 比

賽 ,規定每位選手必須和其他所有選手各比賽一場,如果賽程共有

105 場 (A)12 人 (B)14 人 (C)15 人 ,則選手共有       

(D)16 人

  C 解答 

解 設 n 個

C

2n 析 選手共有 人,因每兩個選手均須比賽一場,所以賽程共有

場 ,

C

2n=105 , 即

則 ( 1) 2 1 105

n

´ 

n

´ = ,

n2  n  210 = 0 , 理得

(n  15)(n + 14) = 0 , 式分解得

n = 15 或 n =  14 ,

n 為 n = 15 正整數,因此,

4.將 (a + b) ´ (m + n + p) ´ (x + y + z)    )

展 (A)18   (B)12   (C)10   開,共可得多少個不同的項? 

(D)8

  A 解答 

解 由 2 ´ 3 ´ 3 = 18 個 析 乘法原理知:共可得 不同的項

( 5.7 本

A 、 B 二

   ) 不同的書排放在書架上,其中 本必相鄰的排法有 

(A)720 種 (B)1440 種 (C)2520 種 (D)5040 種      

  B 解答 

解 6! ´ 2! = 1440 析

( 6.5 個 4    ) 桃子、

個 1 梨子任意分給兩位兒童,若每位兒童至少得到桃子或梨子

個 (A)28   (B)30   (C)58   (D)60 ,則共有多少種給法? 

  A 解答 

H

52´

H

24 =2

C

65´

C

54 =2 28 析

( 1 人 即任意給法,減去其中 均未分得的方法)

( 7.某 13題 10題 5 題 3    ) 次考試由 選做 ,但規定前 中至少選做

題 (A)80   (B)220   (C)252   ,則共有多少種選做方法? 

(D)276

  D 解答 

C

53´

C

87+

C

54´

C

86+

C

55´

C

85= ´ + ´10 8 5 28 1 56 276+ ´ = 種 析

( 8.方

x + y + z + u = 13 的 a 組 b

   ) 程式 非負整數解有 ,又正整數解有

(a,b) =  (A)(560,220) (B)(540,210) (C)(462,216)  (D) ,則

(432,186)

  A 解答 

解 非 134 1613 163 16 15 14 析 負整數解有

3 2 1 560

H

=

C

=

C

= ´ ´ =

´ ´ 組 ,

13 44 49 129 123 12 11 10 整數解有

3 2 1 220

H

=

H

=

C

=

C

= ´ ´ =

´ ´ 組 ,

即a = 560, b = 220

(a,b) = (560,220)

( 9.用 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5    )

排 5 的 (A)52 個 成三位數,數字不可重複使用,其中 倍數有   

(B)48 個 (C)40 個 (D)36 個    

  D 解答 

解 個 0 的 析 位數為 情形:

個 5 的 位數為 情形:

所 5 的 5 ´ 4 + 4 ´ 4 = 36個 以 倍數有

( 10. 將 1 張 100 元 50元 10元 5    ) 鈔票兌換成 、 及

元 (A)15   (B)16   (C)18   的硬幣,共有多少種兌換方法? 

(D)20

  C 解答 

解 設 50元 x 個 10元 y 個 5 元 z 個 析 兌換成 硬幣 、 硬幣 、 硬幣 ,

50x + 10y + 5z = 100( x 、 y 、 z 為 題意得 其中 非負整數),

10x + 2y + z = 20 , 簡得

當x = 0時 2y + z = 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

y

z

有11組 解,

當x = 1時 2y + z = 10

0 1 2 3 4 5 10 8 6 4 2 0

y

z

有 6 組 解,

當x = 2時 2y + z = 0 , y = z = 0 有 1 組 : 即 解,

由 11 + 6 + 1 = 18種 加法原理知:共有 兌換方法

11. 設 m ³ 5 ,

C

206

C

20m+2=0 ,

C

5m=   (A)504   (B)720    ) 若 則

(C)792   (D)840

  C 解答 

解 因

C

206

C

20m+2=0 , m ³ 5 , 析 為 又

則 6 + (m + 2) = 20 , m = 12 ,

5 125 12 11 10 9 8 以

5 4 3 2 1 792

C

m=

C

= ´ ´ ´ ´ =

´ ´ ´ ´

12.(x + y)n 展 5 項 20項

n =  

   ) 開式中,第 與第 係數相等,則

(A)22   (B)23   (C)24   (D)25

  B 解答 

解 第 5 項

C

4n、 20項

C

19n , 5 項 20 析 係數為 第 係數為 已知第 係數和第

C

4n=

C

19n 係數相等,故

- 1 -

(2)

n = 4 + 19 = 23

( 13.5男 3 女 (A)720 種    ) 圍一圓桌而坐,女生全部相鄰的坐法有   

(B)840 種 (C)1440 種 (D)2160 種    

  A 解答 

解 女 3 女 析 生全部相鄰,視 為一單位,

與 5 男 6 個 6! 共 單位的環狀排列數為

5! 120 6 = = ,

又 3 女 3! = 6 , 互換位置的排列數為

故 120 ´ 6 = 720 種 所求坐法共有

( 14. 一 7 人 5 人    ) 家族 分乘二部車,每部車限乘 ,則乘車方法有 

(A)108 種 (B)112 種 (C)114 種 (D)120 種      

  B 解答 

解 乘 析 車方法共有

7 5 7 4 7 3 7 2

2 5 3 4 4 3 5 2 21 35 35 21 112

C

´

C

+

C

´

C

+

C

´

C

+

C

´

C

= + + + = 種

2 5

3 4

4 3

5 2

第一部車 第二部車

人 人

人 人

人 人

人 人

( 15. 若 6    )

夫 婦排成一列,且每對夫婦必須相鄰,則共有幾種不同的排法? 

(A)2 ´ 6!   (B)(3!)2 ´ 26  (C)2 ´ (3!)2 ´ 26  (D)26 ´ 6!

  D 解答 

解 每 6 對 6 析 對夫婦必須相鄰,故視為一個單位, 夫婦視為

個 6! , 單位,其排列數為

又 2 種 6 對 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 每對夫婦互換位置,方法有 , 夫婦共有

´ 2 = 26種 ,

故 26 ´ 6! 種 所求排法共有

( 16. 12 12    )

(

x

)

x

x

6項 (A)220   (B)  220 開整理後, 的係數為 

(C)66   (D)  66

  C 解答 

解 12 12

(

x

)

x

展 開式的一般項為

12 12 12 12 3

2

( 1 ) ( 1)

r r r r

r r

C x C x

x

  =   ,

x6項 所求為 係數,

故 12  3r = 6 , r = 2, 得 即

x6122 2 12 11 係數為

( 1) 66

C

 = 2 1´ =

´

( 17. 若 8 個 3 個 1    ) 有相同的玩具 分裝於 相同的箱子,每箱至少

個 (A)5   (B)6   (C)7   (D)8 ,則共有多少種裝法? 

  A 解答 

解 8 = 1 + 1 + 6 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 2 + 3 + 3 , 析

相 8 個 3 個 1 同的 玩具分裝於 相同的箱子,每箱至少

個 {1,1,6} 、 {1,2,5} 、 {1,3,4} 、 {2,2,4} 、 {2,3,3} 共 5 ,其裝法有

( 18. 大 4 個 3 個    ) 小相同的跳棋,紅色棋子 、黃色棋子 、白色棋子

5 個 ,今由其中任意取之,但規定每次至少取一個,則取法共有 

(A)120 種 (B)119 種 (C)60 種 (D)59 種      

  B 解答 

解 利 n 件 析 用 不盡相異物組合總數公式:

取 (4 + 1)(3 + 1)(5 + 1)  1 = 119 種 法共有

( 19. 一 3 枚 2 枚 7    ) 元硬幣 、五元硬幣 ,分給

個 1 枚 (A)210 種 (B)360 種 兒童,每人至多得 ,方法有     

(C)420 種 (D)480 種  

  A 解答 

解 所 析 有分給的方法

相 3 個 2 個 2 當於 「一元」、 「五元」及

個 0 」 「 的直線排列數,

即 7!

3!2!2!=210 種

20. 設a > 0, (

a

2 3 )6    ) 若

x

x

展 270 ,

a =  

開後常數項為 則

(A) 6   (B) 5   (C) 3   (D) 2

  D 解答 

解 (

a

2 3 )6

x

x

展 開後一般項為

6 6 6 6 3 12

( 2) (r 3 )r r( 3)r r

r r

C a x C a x

x

  =    ,

3r  12 = 0 , r = 4,

C a

64 2( 3)4 =270 , 此常數項為

故 15 ´ a2 ´ 9 = 270 , 得

但a > 0,

a

= 2 所以

( 21.5男 4 女 (A)5760 種    ) 排成一列,男女相間的排法有   

(B)2880 種 (C)1440 種 (D)1080 種    

  B 解答 

解 析

所 5! ´ 4! = 2880 種 求排法共有

( 22. 0 1 22    )

7 7 7

n

n n

n n

n

C C C

C

+ + + + 的 (A) 8 值為 

( )7

n  (B) 8 1

( )7

n  

(C) 8 ( ) 1

7

n   (D) 8 ( ) 1

7

n+

  A 解答 

解 利 析 用二項式定理

1 2 2

0 1 2

(

x y

+ )n =

C x

n n+

C x y C x

n n + n n

y

+ +

C x

nr n r

y

r+ +

C y

nn n

以x = 1, 1

y

=7 代 入得

1 2

0 2

( )8

7 7 7 7

n

n n

n n n

n

C

C C

=

C

+ + + +

( 23.    )

、 乙

、 丙、丁、戊五人排成一列,若甲不排首且乙不排末,則排法有 

(A)96 種 (B)84 種 (C)78 種 (D)72 種      

  C 解答 

- 2 -

(3)

解 ( 析 所求排法)

= (  (  ( + 任意排法) 甲排首) 乙排末)

( 甲排首且乙排末)

= 5!  4!  4! + 3! = 78種

( 24. 用 0 、 1 、 2 、 3 、 5    )

五 個數字,數字可以重複使用,排成不同的四位數,其中偶數有 

(A)120 個 (B)180 個 (C)200 個 (D)250 個      

  C 解答 

解 析

因 0 , 0 、 2 , 為首位數不得排 個位數只能排

所 4 ´ 5 ´ 5 ´ 2 = 200 個 以偶數有

( 25.5    )

件 1 不同的獎品任意分給甲、乙、丙、丁四個人,其中甲至少分得

件 (A)1024 種 (B)781 種 (C)630 種 (D)243 種 的方法有       

  B 解答 

解 ( 1 件 析 甲至少分得 的方法)

= (  ( 任意給法) 甲均未分得的方法)

= 45  35 = 781 種

- 3 -

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