高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：105.10.28 範

圍 2-2 四則運算 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題 10 分)

1. 有一多項式 f x( )，除以(x² x 1)之商為2x² x 5，餘式為 6x3則此多項式為______.

答案： 2x⁴3x³8x²2

解析： f x( )(x² x 1)(2x²  x 5) 6x 3 2x⁴3x³8x²2

2. 若 a, b, c 為實數， f x( )x⁴ax³bx² cx 10有因式(x²1)(x2)，則( , , )a b c ________.

答案： (7, 9, 7)

解析： ∵ (x1)(x1)(x2) f x( ) f( 1)=0, f(1)=0, f( 2)=0

∴

(1) 1 10 0

( 1) 1 10 0

( 2) 16 8 4 2 10 0

f a b c

f a b c

f a b c

     

       

       



9 9

8 4 2 6 4 2 3

a b c a b c

a b c a b c

  



    

       



得 2b18 b 9, 代入,得 0

4 21

a c a c

  

  

 , 解得a7, c 7 因此( , , )a b c (7,9, 7)

3. 若 a, b 為實數，且x² x 2可整除 f x( )(x a )[(x1)²b x(  1) 18]，則數對( , )a b _____.

答案： (1, 9)

解析： ∵(x2)(x1) | ( )f x  f(1)=0, f( 2)=0

∴ ^f

 

( 2) ( 2 )[9 3 18] 0 27 3 0 9

f    a  b    b  b ( , )a b  ( 1 , 9 )

4. 若多項式 f x( )除以x² x 2的餘式為 2x3，多項式g x( )除以x²5x6的餘式為x5，則：

(1)以x1除 f x( )的餘式為_______________.

(2)以x1除(x3) ( )f x xg x( )的餘式為_____________.

答案： (1) 1 (2)4

解析： (1) f x( )(x2)(x1)Q x₁( ) 2 x3，∴f( 1) 1 ∴ f x( )除以x1的餘式為 1 (2)g x( )(x6)(x1)Q x₂( ) x 5 ∴g( 1)  6

∴[(x3) ( )f x xg x( )]除以 x + 1 的餘式[( 1 3) ( 1)  f   ( 1) ( 1)]g      2 ( 6) 4

5. 若 f x( )3x³4x²ax5除以x1之餘式為 2，則 a 之值為_____, ( )¹

f 3 ______.

答案： 2, 4

解析： f(1)    3 4 a 5 2  a 2 3 4 2 5 1

1 1 1 3 3 3 3 3, 4 1 1 1

  

  

 

 

∴ ( )¹ 4 f 3 

6. 設 f x( )為四次多項式，若 f x( )除以(x2)³得餘式 4x5， f x( )除以x1得餘式 18， f x( )除 以x2得餘式 179，則 f(2)________，又 f(1)_______.

答案： 3,4

解析： ∵ f( 1) = 18, f( 2) = 179

設 f x( )(x2) (³ ax b ) 4x5 ∴ f(2)3

∴ ^{18 27( ) 9}

179 64( 2 ) 13

a b a b

    

     

  1

2 3

a b a b

  

  

 ∴a2,b1， ( ) ( 2) (23 1) 4 5

f x  x x  x

∴ f(1) ( 1)(3)   4 5 4

7. 設 f x( )3x⁴17x³28x²11x3，則 f(3)______，又 (^{4 13}) f 3

______.

答案： 6, 2 解析：

3  17 + 28  11 + 3 3

+ 9  24 + 12 + 3 3  8 + 4 + 1 + 6

2 2

4 3 2 2 2

(3) 6

4 13

(3 4) 13 3 8 1 0

3

3 17 28 11 3 (3 8 1)( 3 1) 2

f

x x x x

x x x x x x x x



        

         

∴ 令

∴ (^{4 13}) 0 2 2 f 3   

8. 若deg ( )f x 3，且多項式 f x( )除以(x1) ,² (x2)²的餘式分別為 3x1與 3x17，則以 (x1)(x2)除 f x( )之餘式為________，以(x1) (² x2)除 f x( )之餘式為________.

答案： 13 x15, 16x²35x17 解析：設 f x( )(x1)²Q x₁( )3x1 (x2)²Q x₂( ) 3 x17

∴ f(1)2, f(2) 11

再設 f x( )(x1)(x2)Q x₃( )a x(  1) 2 f( 2 )   a 2 1 1  a 1 3

∴r x( ) 13(x   1) 2 13x15

令 f x( )(x1) (² x2)q x₂( )b x( 1)²3x1

(2) 5 11 16

f       b b

∴r x( ) 16(x1)²3x1 16x²35x17

9. 若a0，a, b 為實數，多項式 f x( )被 ax b 除之，得商式為2x³x²1，若多項式 f x( )被x ^b

a 除之，得商式為4x³2x²2，則a________.

答案： 2

解析： f x( )(ax b )(2x³x² 1) r x( )

3 2

( b)[ (2 1)] ( )

x a x x r x

 a   

3 2

( b)(4 2 2) ( )

x x x r x

 a   

∴a2(商是原來的 2 倍，除式是原來的¹ 2 )

10. 設 a, b 為實數，若x² x 2是 f x( )x¹⁰30x⁵ax b 的因式，則數對( , )a b ________.

答案： (11, 42)

解析： ∵x² x 2 f x( ) (x2)(x1) f x( ) f( 2)  f(1)0

10 5

(1) 1 30 0

( 2) ( 2) 30( 2) 2 0

f a b

f a b

    



       



31

2 1024 960 64

a b a b

  

      解得a11, b 42

11. 若 k 為實數，以2x1除 f x( )2x³(2k1)x²7x3與g x( )2x⁴ (2 k x) ³4x²2x8所得 之餘式相同，則 k________.

答案： 5

解析： ( )¹ ( )¹

2 2

f g

1 2 1 7 1 2

3 1 1 8

4 4 2 8 8

k k

         2 (4k 2) 28 24 1 2 k 64

         4k 52 k 67

      3k 15

   5

  k

12. 設 f x( )為 x 的三次多項式，g x( )為 x 的四次多項式，則 (1) f x( ²)是 x 的____次多項式.

(2) f x( )g x( )是 x 的____次多項式.

(3) f x( )g x( )是 x 的____次多項式.

答案： 6, 7, 4

解析： 令 f x( )ax³bx²cxd ，a b c d, , , 為實數

(1) f x( ²)a x( ^{2 3}) b x( ^{2 2}) c x( ²) d ax⁶ bx⁴cx²d deg (f x²)6 (2)deg( ( )f x g x ( ))deg ( ) deg ( )f x  g x 7

(3)deg( ( )f x g x( ))deg ( )g x 4

13. 設 f x( )為一個三次多項式，若 f( 2) 9, ( 1)f   1, (0)f  9, (1)f  3，則 f x( )___________.

答案： 2x³7x²4x9

解析： 設 f x( )ax x( 1)(x2)bx x(  1) cx9

( 1) 1 9

f      c

∵ ，∴c 8

( 2) 9 2 16 9 f    b 

∵ ，∴b1

(1) 3 6 2 8 9

f    a  

∵ ，∴a2

( ) 2 ( 1)( 2) ( 1) 8 9

f x  x x x x x  x

∴ 2x³7x²4x9

14. 若以(x2)³除多項式 f x( )之餘式為3x²5x1，則以(x2)²除 f x( )之餘式為______.

答案： 7 x 11

解析： f x( )(x2)³Q x( ) 3 x²5x1

2 2

3x 5x 1 3(x2) 7x11，

∴餘式 7 x 11

15. 設 ( )f x (ax⁵x⁴x²  x 2) (bx⁴2x1)為 x 的二次多項式則 f x( )________，又 b =_____.

答案： x²3x3, 1

解析： f x( )ax⁵ (b 1)x⁴x²3x3為 x 的二次多項式 a 0, b1 則 ( )f x x²3x3

16. 4(^{3 2 2})⁴ 8(^{3 2 2})³ 15(^{3 2 2})² 13(^{3 2 2}) 4

2 2 2 2

   

    ________.

答案： 5

解析： 設 f x( )4x⁴8x³15x²13x4

又 ^{3 2 2} 2 3 2 2

x 2  x  

2 2

4x 12x 9 8 4x 12x 1 0

       

1 1 1 4 12 1 4 8 15 13 4

4 12 1 4 16 13

4 12 1 4 12 4 4 12 1 5

 

     

 

 

 

  

  

即 f x( )(4x²12x1)(x²  x 1) 5 3 2 2

( ) 0 5 5

f 2

   

17. 若x²nx1整除x³3x²mx2時，則m______, n ______。

答案： 3, 1 解析：

1 2

1 1 1 3 2

1 1 (3 ) ( 1) 2 2 2 2

0

n m

n

n m

n

    

 

    

 

∴ 3    n 2 0 n 1 1 2 0

m  n ，∴m3

18. 設 a, b 為實數，若3x³5x²ax b 可被(x1)(x3)整除，則a______, b______.

答案： 11,3

解析： (x1)(x3) f x( ) f( 1)  f(3)0

3 5 0

11, 3

81 45 3 0

a b a b

a b

    

     

    



19. 若 a, b 為實數，且

4 3 2

2

6 1

( ) 2 1

x ax x bx

f x x x

   

   為二次函數，則數對( , )a b ________，此二次 函數之頂點坐標為________.

答案： (0, 0), (0, 1)

解析： ∵ f x( )為二次函數

∴x²2x1為x⁴ax³6x²bx1之因式 1 2 1 1 6 1

1 2 1 ( 2) 5

( 2) (2 4) ( 2) (2 1) ( 2) 1

a b

a b

a a a

a a b

     

 

  

    

     

1 ( 2) 1

1 2 1 2 ( ) 0

a

a a b

  

  

  

∴ ^{2 0 0}

0 0

a a

a b b

 

 

    

 

∴ f x( )x²2x 1 (x1)²2 頂點V( 1, 2) 

20. 若 f x( )x³4x²8x1, g x( )a x( 1)(x2)(x 3) b x( 1)(x 2) c x(  1) d 且 f x( )g x( )， 則( , , , )a b c d ________.

答案： (1, 2, 3, 4) 解析： ∵ f x( )g x( )

∴ f(1)      1 4 8 1 4 d g(1)

(2) 8 16 16 1 7 4 (2) 3

f        c g  c

(3) 27 36 24 1 14 2 6 4 2 10 (3) 2

f       b   b g  b

(4) 64 64 32 1 31 6 12 9 4 6 25 (4) 1

f       a    a g  a 故( , , , )a b c d (1, 2,3, 4)

21. 已知 f x( )除以g x( )之商式為Q x( )，餘式為r x( )，若 a, b 為實數，且為非 0 之實數，則以af x( ) 除以bg x( )，可得商式________，餘式________.

答案： a ( ), bQ x ar x( )

解析： ∵ f x( )g x Q x( ) ( )r x( )

( ) ( ) ( ) ( )

af x ag x Q x ar x

    ( ) [a ( )] ( )

bg x Q x ar x

  b 

故商式為a ( )

bQ x ，餘式為ar x( )

22. 若 f x( )9x⁶49x⁵78x⁴135x³135x²49x17，則 f(4)________.

答案： 3

解析： f(4)之值即為 f x( )除以(x4)之餘式

9 49 78 135 135 49 17 4 36 52 104 124 44 20 9 13 26 31 11 5, 3

     

     

     

∴ f(4) 3

23. 若deg ( )f x 3，且 f(0) f(1) f(2)4, f(3) 2，則 f( 1) ________.

答案： 10

解析： 設 f x( )ax x( 1)(x 2) 4

(3) 3 2 1 4 2

f       a   a 1

∴ f x( ) x x( 1)(x 2) 4

故 f( 1)       1( 2)( 3) 4 6 4 10

24. 設多項式 f x( )的次數高於三次，且 f x( )除以x1, x²2x3之餘式分別為 2 與 4x8，則以 (x1)(x22x3)除 f x( )之餘式為________.

答案： 5x²14x7

解析： f x( )(x1)Q x₁( )2

(x²2x3)Q x₂( )4x8

設 f x( )(x1)(x²2x3)Q x₃( )a x( ²2x 3) 4x8

(1) 2 4 8 2 5

f  a     a

∴r x( ) 5(x²2x 3) 4x8 5x²14x7

25. 若多項式 f x( )以x²3x2除之餘式為 5x6，以x² x 20除之餘式為x2，且 degf x( )4，

則 f x( )除以x²4x5的餘式為________.

答案： 3x8

解析： f x( )(x1)(x2) ( ) 5Q x  x6，∴ f(1) 11

( ) ( 5)( 4) ( ) 2

f x  x x Q x  x ，∴ f( 5)  7 ( ) ( 5)( 1) ( )

f x  x x Q x ax b

∴ ¹¹

5 7

a b a b

  

   

  a 3,b8，故餘式為 3x8

26. 設 f x( )x³5x² kx 9可被x3整除，則 k = ______，又 f x( )0之根為______.

答案： 3 ; 3, 3,1

解析： f(3)0， 27 45 3∴   k 9 0，∴k 3 1  5 + 3 + 9 3

+ 3  6  9 1  2  3 + 0

∴ f x( )(x3)(x3)(x1)， ∴ f x( )0之三根為 3, 3,1

27. 設 f x( )為一多項式，a, b 為實數，且 a 0 ，若以(ax b )除 f x( )所得之商為q x( )，餘式為 r，

則以(x b )除 ( )x

x f a 之商式為____________，餘式為______.

答案： ( )x ,

xq r br

a 

解析： f x( )(ax b q x ) ( )r ( )x ( ) ( )x

f x b q r

a    a 

( )x ( ) ( )x ( )[ ( )x ]

x f x x b q rx x b xq r br

a a a

         ( r x ( x b) r b r) 故商式 ( )x

xq r

a  ，餘 br

28. 設 f x( )x³2x²ax7以x2與x3分別除之其餘數相同，則a____，又其餘數為_______.

答案： 5,1

解析： ∵ f(2) f( 3) ，∴ 8 8 2  a    7 27 18 3a   7 a 5 餘數為 f(2) 1 29. 設 ( )f x (x³⁷4x²³4x¹⁵3x²1)(x⁷2x⁶5x³ x 2)

2 44

0 1 2 44

a a x a x a x

   … ，則：

(1)a₀ a₁ a₂ … a₄₄ ____.

(2)a₁  a₃ a₅ a₇ … a₄₃____.

答案： 15,20

解析： a₀ a₁ a₂ … a₄₄  f(1)  ( 3) (5) 15

1 3 5 43

(1) ( 1) ( 15) 25

2 2 20

f f

a a a  … a        

1 0

r b r

r br br

 



