高雄市明誠中學

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：97.04.17 班級

範圍

2-1、2 集合、加法、

乘法原理座號

姓名一、選擇題每題 10 分)

1. (複選)若S表一集合，2^S= {A｜A ⊂ S}，則下列何者為真？

(A)

φ

∈2^S (B)

φ

⊂ 2^S (C) S ∈2^S (D) S ⊂ 2^S (E) {

φ

，S}⊂ 2^S

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】2^S ={

φ

，…………，S }

∵

φ

⊂ S ⇒

φ

∈ 2^S，又

φ

為任何集合之子集 ⇒

φ

⊂ 2^S

∵ S ⊂ S ⇒ S∈2^S，但S ⊄ 2^S ∵

φ

，S ∈2^S ⇒ {

φ

，S}⊂ 2^S 2. (複選)設 A∈N 且 1 ≤ A ≤ 500，則下列何者正確？

(A)不為 5 的倍數之 A 值有 400 個 (B)為 2 或 3 的倍數之 A 值有 333 個 (C)為完全平方數或完全立方數之 A 值有 27 個

(D)不為 2，不為 3 且不為 5 的倍數之 A 值有 134 個 (E)與 28 互質之 A 值有 214 個

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A) 500 − [ 5

500] = 500 − 100 = 400

(B) [ 2 500] + [

3 500] − [

6

500] = 250 + 166 − 83 = 333 (C) S：平方數，S = {1²，2²，…，22²}，n(S) = 22 C：立方數，C = {1³，2³，…，7³}，n(C) = 7 S ∩ C ={1⁶，2⁶}，n(S ∩ C) = 2

n(S ∪ C) = n(S) + n(C) − n(S ∩ C) = 22 + 7 − 2 = 27

(D) n(A2 ∪ A3 ∪ A5)= n(A2) + n(A3) + n(A5) − n(A6) − n(A15) − n(A10) + n(A30) = [

2 500] + [

3 500] + [

5 500] − [

6 500] − [

15 500] − [

10 500] + [

30 500] = 250 + 166 + 100 − 83 − 33 − 50 + 16 = 366

所求 = 500 − 366 = 134 (E) 28 = 2² × 7

n(A₂ ∪ A7) = n (A2) + n (A7) − n (A14) = [ 2 500] + [

7 500] − [

14

500]= 250 + 71 − 35 = 286 所求 = 500 − 286 = 214

二、填充題( 每題 10 分) 1. 小於 1000 的自然數中，

(1)不是 3 且不是 5 的倍數有個。

(2)是 3 或 5 或 7 的倍數者有個。

(3)是 3 或 5 但不為 7 的倍數者有個。

(2)

【解答】(1) 533 (2) 542 (3) 400

【詳解】

(1) 999 − ([

3 999] + [

5 999] − [

15

999]) = 999 − 333 − 199 + 66 = 533

(2) [ 3 999] + [

5 999] + [

7 999] − [

15 999] − [

35 999] − [

21 999] + [

105

999] = 542

(3) [ 3 999] + [

5 999] − [

15 999] − [

35 999] − [

21 999] + [

105

999] = 400

2. 某地街道圖如下，則

(1)由A → E走捷徑有種走法，

(2)由A → C走捷徑有種走法。

【解答】21 種；84 種

【詳解】

3. 職棒四年季後冠軍爭霸戰，是由季內賽前兩名，作七戰四勝的比賽，爭年度總冠軍，現已賽畢三場，兄弟象以 2：1 勝統一獅，則往後的比賽結果有種以決定冠軍。

【解答】10

【詳解】

利用樹形圖：4 5 6 7

從象 2 獅 1 開始，往後比賽的情形共有 10 種

4. 540 的正因數有個，其總和 = 。

【解答】24；1680

【詳解】

540 = 2²× 3³× 5 ∴ 正因數有(2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 24 個因數總和 = (1 + 2 + 2²)(1 + 3 + 3²+ 3³)(1 + 5) = 7 × 40 × 6 = 1680

(3)

5. 7200 之正因數中為 5 的倍數但不為 9 的倍數者有個。

【解答】24

【詳解】

7200 = 2⁵．3²．5²，d | 7200 且 5 | d，但 9 d，即 5 的次方必須 1 次以上，3 的次方不能 2 次以 上，則d為(2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵)(3⁰ + 3¹)(5¹ + 5²)展開式的各項，故d共有 6 × 2 × 2 = 24 個 6. 1 至 800 的自然數中與 42 互質者有個。

【解答】229

【詳解】

1 至 800 的自然數中與 42 互質，即去掉 2 或 3 或 7 的倍數

⇒ 800 − ([

42=2 3 7× ×

2 800] + [

3 800] + [

7 800] − [

6 800] − [

21 800] − [

14 800] + [

42 800])

= 800 − (400 + 266 + 114 − 133 − 38 − 57 + 19) = 229

7. 甲地與乙地之間共有六條道路，其中三條是雙向道，兩條是甲地到乙地的單向道，一條是乙地到甲地的單向道。今有一人從甲地騎車到乙地，請問

(1)有多少路徑供他選擇？；

(2)他從甲地騎車到乙地，再騎回甲地，那麼他有多少方法？。

【解答】5；20

【詳解】

(1)甲到乙的路徑有 3 2 5 條

(2)甲到乙再回到甲的路徑，先由甲到乙有 5 條，再由乙到甲有 4 條，共 5 × 4 = 20 條路徑 + =

8. 將 10 個相同的球分給甲，乙，丙三人，每人至少 2 個，至多 4 個，有種分法，其中甲分得的球比乙多的方法有種。

【解答】6；2

【詳解】

10 個相同的球，分給甲，乙，丙各 x，y，z 個，且 2 ≤ x，y，z ≤ 4 則x+ + =y z 10中 x，y，z 之解，有下列情況

x 4 4 4 3 3 2 y 4 3 2 4 3 4 z 2 3 4 3 4 4

共有 6 種分法，其中甲比乙多的分法有 2 種

9. 由 1，2，3，4，5，…到 123 共 123 個正整數，這 123 個正整數中，數字含 0 的有個，又這 123 個正整數的數字中，共含有個 0。

【解答】21；22

【詳解】

1 到 123 的正整數中，數字裡有 0 的有下列的情況 (1)二位數有 10，20，…，90 共 9 個

(4)

(2)三位數有 100，101，…，109，110，120 共 12 個所以共有 9 + 12 = 21 個數的數字內有 0

這 21 個數，0 共出現 9 + 2 + 11 = 22 個

10.以紅、藍、黃、綠、橙、紫、黑七色塗下圖之A，B，C，D，E，F六部分，每一部分僅以一色 塗之，顏色可重複使用，相鄰部分必須不同色，則有種塗法。

【解答】30240

【詳解】

11.如圖，以 5 種不同顏色塗在下圖區域中，相鄰區域顏色須相異，則有種塗法。

【解答】420

【詳解】

BD 同色時，A → BD → C → E：5 × 4× 1 × 3 × 3 = 180 種 BD 異色時，A → B → D → C → E：5 × 4 × 3 × 2 × 2 = 240 種 故共有 180 + 240 = 420 種塗法

12.教室有四門，甲、乙二人由不同門進入，由不同門出來，且各人不可由同一門進出，則有種走法。

【解答】84

【詳解】

進入：4 × 3 = 12 出來：

(1)甲由乙進之門出：1 × 3 = 3 (2)甲不由乙進之門出：2 × 2 = 4 ∴ 出來有 3 + 4 = 7 種進出共有 12 × 7 = 84 種

13.若 A = {(t，t − 5) | t∈R}，B = {(t + 1，2t − 1) | t∈R}，試求 A ∩ B=____________。

【解答】{(− 2，− 7)}

【詳解】設( , )x y ∈A ∩ B

(1) A 中，( , )x y ∈A ∩ B，則 x = t，y = t − 5 ⇒ x − y = 5……..①

(2) B 中，( , )x y ∈A ∩ B，則 x = t + 1，y = 2t − 1 ⇒ 2x − y = 3………②

由①②解 ⇒

⎩⎨

⎧

3

=

− 2

5

=

− y x

y x

⎩⎨

⎧

−

=

−

= 7 2 y x

14.若 A = {x | x∈N， x∈ ，1 ≤ x ≤ 10000}，B = {x | x = 12m，m∈N，1 ≤ x ≤ 10000}， N 試求：(1) n(A ∩ B)=________。 (2) n(A − B)=___________。

(5)

【解答】(1)16 (2)84

【詳解】

A = {1²，2²，3²，…，100²} ⇒ n(A) = 100

B = {12，24，36，…，9996} = {12 × 1，12 × 2，12 × 3，…，12 × 833}⇒ n(B) = 833 (1) A ∩ B = {x | x = 12m=2²⋅ ⋅3 t² ²，其中 1 ≤ t ≤ 16 }

A ∩ B = {6² × 1²，6² × 2²，6² × 3²，…，6² × 16²} ⇒ n(A ∩ B) = 16 (2)n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) = 100 − 16 = 84

15.將下圖 A，B，C，D 四個區域，用 3 種顏色塗色，且相鄰區域不同色，則

(1)有幾種塗法？_____________ (2)若三種顏色都用，塗法有幾種？__________種

【解答】24，18

【詳解】

(1) 3 × 2 × 2 × 2 = 24（種）

(2) AC 同色 ⇒ A → C → B → D：3 × 1 × 2 × 1 = 6（種）

AC 異色 ⇒ A → C → B → D：3 × 2 × 1 × 2 = 12（種）

共有 6 + 12 = 18 種