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初中數學課程闡釋

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Academic year: 2022

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(1)

初中數學課程闡釋

教育局 課程發展處

數學教育組

二零二零年

(2)

目 錄

頁數

前 言 i

學 習 單 位 1 基 礎 計 算 1

學 習 單 位 2 有 向 數 3

學 習 單 位 3 近 似 值 與 數 值 估 算 5

學 習 單 位 4 有 理 數 與 無 理 數 7

學 習 單 位 5 百 分 法 9

學 習 單 位 6 率 、 比 及 比 例 11

學 習 單 位 7 代 數 式 13

學 習 單 位 8 一 元 一 次 方 程 15

學 習 單 位 9 二 元 一 次 方 程 16

學 習 單 位 10 整 數 指 數 律 18

學 習 單 位 11 多 項 式 20

學 習 單 位 12 恆 等 式 23

學 習 單 位 13 公 式 24

學 習 單 位 14 一 元 一 次 不 等 式 26

學 習 單 位 15 量 度 的 誤 差 28

學 習 單 位 16 弧 長 和 扇 形 面 積 30

學 習 單 位 17 立 體 圖 形 32

學 習 單 位 18 求 積 法 35

學 習 單 位 19 角 和 平 行 線 38

學 習 單 位 20 多 邊 形 40

學 習 單 位 21 全 等 三 角 形 42

學 習 單 位 22 相 似 三 角 形 44

學 習 單 位 23 四 邊 形 46

學 習 單 位 24 三 角 形 的 心 48

(3)

學 習 單 位 25 畢 氏 定 理 50

學 習 單 位 26 直 角 坐 標 系 52

學 習 單 位 27 三 角 學 55

學 習 單 位 28 數 據 的 組 織 57

學 習 單 位 29 數 據 的 表 達 58

學 習 單 位 30 集 中 趨 勢 的 度 量 61

學 習 單 位 31 概 率 63

學 習 單 位 32 探 索 與 研 究 65

鳴 謝 66

(4)

前 言

為 配 合 中 、 小 學 的 學 校 課 程 持 續 更 新 , 由 課 程 發 展 議 會 編 訂 更 新 的 《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引 ( 小 一 至 中 六 )》(2017) 及 說 明 各 學 習 階 段 數 學 科 學 習 內 容 的 相 關 補 充 文 件 , 已 於 2017 年 底 公 布 。 其 中《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引 補 充 文 件 ︰ 初 中 數 學 科 學 習 內 容 》(2017) ( 以 下 簡 稱《 補 充 文 件 》), 旨 在 詳 細 闡 述 初 中 數 學 課 程 的 學 習 目 標 和 學 習 內 容 。

在 《 補 充 文 件 》 中 , 初 中 數 學 課 程 的 學 習 重 點 以 表 列 形 式 歸 於 不 同 學 習 單 位 內 , 而 表 中 「 注 釋 」 欄 的 內 容 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 。

本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 旨 在 進 一 步 解 釋 :

(一) 初 中 數 學 課 程 學 習 重 點 的 要 求 ;

(二) 初 中 數 學 課 程 的 教 學 建 議 ;

(三) 初 中 數 學 課 程 學 習 單 位 之 間 的 關 係 和 結 構 ; 及

(四) 初 中 數 學 課 程 與 其 他 學 習 階 段( 如 第 一 、二 和 第 四 學 習 階 段 )的 發 展 脈 絡 。

本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 配 合《 補 充 文 件 》內 每 一 學 習 單 位 的「 注 釋 」欄 及 教 學 時 數 , 可 作 為 教 師 規 劃 該 學 習 單 位 教 學 的 闊 度 和 深 度 之 參 考 。 教 師 宜 在 施 教 初 中 數 學 課 程 時 , 把 內 容 視 為 連 貫 的 數 學 知 識 , 並 培 養 學 生 運 用 數 學 解 決 問 題 、 推 理 及 傳 意 的 能 力 。 此 外 , 教 師 須 留 意 ,《 補 充 文 件 》中 的 學 習 單 位 及 學 習 重 點 的 編 排 次 序 並 不 等 同 於 學 與 教 的 次 序 , 教 師 可 因 應 學 生 需 要 有 系 統 地 編 排 學 習 內 容 。

歡 迎 各 界 人 士 就 本 小 冊 子 提 供 意 見 和 建 議 。 來 函 請 寄 : 九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號

九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處

總 課 程 發 展 主 任 ( 數 學 ) 收 傳 真 :3426 9265

電 郵 :ccdoma@edb.gov.hk

(5)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

1. 基 礎 計 算 1.1 認 識 4、 6、 8 和 9 的 整 除 性 判 別 方 法 1.2 理 解 乘 方 的 概 念

1.3 進 行 正 整 數 的 質 因 數 分 解 1.4 求 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數

1.5 進 行 涉 及 多 重 括 號 的 正 整 數 四 則 混 合 運 算 1.6 進 行 分 數 和 小 數 四 則 混 合 運 算

8

課 程 闡 釋 :

設 置 本 學 習 單 位 的 目 的 在 於 優 化 第 二 與 第 三 學 習 階 段 數 學 課 程 的 銜 接,加 強 課 程 的 縱 向 連 貫 。 本 學 習 單 位 的 學 習 重 點 均 為 第 三 學 習 階 段 的 基 礎 知 識,用 以 承 接 學 生 在 第 二 學 習 階 段 的 學 習,以 及 預 備 學 生 學 習 第 三 學 習 階 段 的 其 他 學 習 單 位 。因 此,在 課 程 編 排 上,教 師 宜 安 排 於 第 三 學 習 階 段 首 先 教 授 本 學 習 單 位 。

在 學 習 重 點 1.1, 學 生 須 認 識 4、 6、 8 和 9 的 整 除 性 判 別 方 法 。 整 除 性 判 別 方 法 是 指 判 定 一 個 正 整 數 能 否 被 某 正 整 數 整 除 的 方 法,包 括 能 整 除 及 不 能 整 除 的 條 件 。 學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N2「 除 法 ( 二 )」 中 已 認 識 2、 3、 5 和 10 的 整 除 性 判 別 方 法 , 但 學 生 只 需 直 觀 認 識 這 些 判 別 方 法 而 不 須 證 明 。 在 本 學 習 重 點 , 學 生 須 進 一 步 認 識 4、6、 8 和 9 的 整 除 性 判 別 方 法。因 應 學 生 的 能 力 和 興 趣,教 師 可 解 說 各 個 整 除 性 判 別 方 法 為 何 有 效,但 這 些 解 釋 並 非 課 程 所 需 。有 關 6 的 整 除 性 判 別 方 法,一 般 為 一 個 數 能 否 同 時 通 過 2 和 3 的 整 除 性 判 別 方 法。教 師 可 考 慮 與 學 生 討 論 這 個 整 除 性 判 別 方 法 能 成 立 , 並 非 單 因 為 6 = 2  3。 教 師 可 強 調 2 和 3 並 無 大 於 1 的 公 因 數 是 使 這 方 法 成 立 的 重 要 條 件。教 師 可 透 過 不 同 例 子,如 ︰4、12、

20、 28、 36…… 可 以 分 別 被 2 和 4 整 除 , 但 卻 不 能 被 8 整 除 的 例 子 , 令 學 生 認 識 不 是 所 有 的 合 成 數 的 判 別 方 法 也 能 用 類 似 的 方 式 構 成,惟 相 關 的 解 說 和 證 明 並 非 課 程 所 需。本 學 習 重 點 有 助 學 生 處 理 學 習 重 點 1.3 進 行 正 整 數 的 質 因 數 分 解 及 學 習 重 點 1.4 求 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數 的 運 算 。 小 學 課 程 不 要 求 學 生 學 習 乘 方 的 概 念。學 習 重 點 1.2 為 學 生 提 供 相 關 數 值 運 算 上 的 概 念,以 協 助 學 生 在 其 他 課 題 的 學 習。本 學 習 重 點 僅 要 求 學 生 能 求 出 任 意 一 個 底 數 為 正 整 數 的 乘 方,學 生 須 懂 得 34 = 3 333 = 81,學 生

(6)

亦 須 能 把 81 寫 成 34。 而 本 學 習 重 點 不 包 括 涉 及 諸 如 72  73 = 75 的 乘 方 運 算 。 教 師 亦 可 介 紹 冪 的 概 念 。

學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N3「 倍 數 和 因 數 」中 已 認 識 質 數 和 合 成 數 的 概 念 , 並 且 認 識 1 既 不 是 質 數 也 不 是 合 成 數 。 在 學 習 重 點 1.3, 學 生 須 從 辨 別 質 數 和 合 成 數 , 進 一 步 學 習 如 何 將 正 整 數 分 解 為 其 所 有 質 因 數 的 積 , 並 運 用 指 數 形 式 表 達 出 來 。

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N4「 公 倍 數 和 公 因 數 」中,學 生 已 認 識 運 用 列 舉 法 和 短 除 法 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數,並 認 識 它 們 的 簡 稱 分 別 為 H.C.F.和 L.C.M.。 在 學 習 重 點 1.4, 學 生 須 運 用 學 習 重 點 1.3 中 的 質 因 數 分 解,和 進 一 步 運 用 短 除 法,求 兩 個 或 以 上 的 數 的 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數。 教 師 可 自 行 決 定 在 討 論 質 因 數 分 解 時 是 否 引 入「 指 數 記 數 法 」一 詞 。 在 此 學 習 重 點 , 學 生 亦 須 認 識 H.C.F.、 gcd 等 皆 可 用 作 最 大 公 因 數 的 簡 稱。學 習 以 質 因 數 分 解 求 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數 有 助 學 生 理 解 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 學 習 重 點 4.4 中 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 。

學 習 重 點 1.4 不 限 於 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數,因 此 教 師 在 引 入 利 用 短 除 法 求 多 於 兩 個 數 的 最 小 公 倍 數 時 , 宜 透 過 合 適 的 例 子 及 反 例 子,說 明 若 所 選 取 的 公 因 數 均 為 質 數 ,則 可 按 任 意 次 序 作 除 數( 不 論 是 所 有 數 的 公 因 數 或 只 是 其 中 部 分 數 的 公 因 數 ), 以 短 除 法 求 得 正 確 的 結 果 。 由 於 本 學 習 重 點 旨 在 幫 助 學 生 將 來 進 行 代 數 式 的 化 簡 和 運 算,因 此 相 關 練 習 應 避 免 過 分 繁 複 的 運 算 及 處 理 過 大 的 數 。

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 3N4「 四 則 運 算 ( 一 )」 中 , 學 生 已 經 認 識 及 運 用 括 號 作 四 則 混 合 運 算,當 中 的 混 合 運 算 可 涉 及 多 於 一 對 括 號,但 不 包 括 諸 如 (4  (2  1)) × 3 等 涉 及 多 重 括 號 的 運 算 , 但 是 以 上 限 制 於 第 三 學 習 階 段 不 再 適 用 。 因 此 在 學 習 重 點 1.5, 學 生 須 進 行 涉 及 多 重 括 號 的 正 整 數 四 則 混 合 運 算 , 諸 如 12 + (7 – (5 – 2))、 ((35 – 20) – (5 + 7)) × 2 等 。 教 師 可 在 此 引 入 不 同 類 型 的 括 號 , 諸 如 ( )、 [ ] 和 { } 等 , 讓 學 生 認 識 括 號 的 不 同 記 法 。

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N5「 四 則 運 算( 二 )」、5N5「 分 數( 五 )」及 6N1

「 小 數( 四 )」, 學 生 須 進 行 三 個 數( 包 括 整 數 、 分 數 和 小 數 )的 四 則 混 合 運 算,而 當 涉 及 三 個 異 分 母 分 數 的 比 較 或 加 減 混 合 運 算 時,這 些 分 數 的 分 母 皆 不 應 超 過 12, 但 是 以 上 限 制 於 第 三 學 習 階 段 不 再 適 用 。 透 過 學 習 重 點 1.5 和 1.6 的 學 習,學 生 應 能 進 行 包 含 整 數、分 數 和 小 數 並 涉 及 多 重 括 號 的 四 則 混 合 運 算 , 惟 學 生 不 須 進 行 過 度 繁 複 的 運 算 。

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學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

2. 有 向 數 2.1 理 解 有 向 數 的 概 念

2.2 進 行 有 向 數 的 四 則 混 合 運 算 2.3 解 涉 及 有 向 數 的 應 用 題

9

課 程 闡 釋 :

此 學 習 單 位 為 第 三 學 習 階 段 的 基 礎 知 識 及 概 念 , 承 接 學 生 在 小 學 的 學 習 , 用 以 預 備 學 生 學 習 第 三 學 習 階 段 的 其 他 學 習 單 位 。

在 學 習 重 點 2.1,教 師 可 利 用 溫 度 計 、 升 降 機 指 示 牌 等 常 見 事 例 引 入 負 數 的 概 念 , 並 與 學 生 討 論 在 現 實 生 活 中 負 數 通 常 代 表 的 意 義 , 諸 如 : 負 債 、 零 度 以 下 的 氣 溫、地 面 以 下 的 樓 層 等,均 帶 有 比 某 一 個 參 考 點 小 或 前 的 含 義 ; 亦 可 利 用 有 向 數 作 為 記 數 的 例 子 , 諸 如 溫 度 、 賺 蝕 等 , 讓 學 生 理 解 並 接 受 負 數 的 概 念 和 應 用 , 並 理 解 有 向 數 的 概 念 。

教 師 應 利 用 數 線 幫 助 學 生 理 解 有 向 數 的 概 念。教 師 可 引 導 學 生 理 解 數 線 上 不 同 的 點 代 表 不 同 的 數 , 其 中 代 表 「0」 的 點 可 被 視 為 數 線 的 參 考 點 , 數 線 上 其 他 點 與「0」的 距 離 是 該 點 所 代 表 的 數 的 數 值 。 數 線 由「 0」向 兩 個 相 反 方 向 延 伸 , 因 此 在「0」的 兩 方 總 會 分 別 找 到 一 點 , 使 它 們 和「 0」的 距 離 相 等 。 這 兩 點 所 代 表 的 數 便 互 為 相 反 數 , 其 中 在 「0」 的 右 方 的 通 常 記 為 正 數 , 在 「0」 左 方 的 通 常 記 為 負 數 。 教 師 可 利 用 例 子 講 解 上 述 抽 象 概 念 , 如 1 的 相 反 數 是 –1、 –2 的 相 反 數 是 2 等 。 而 0 作 為 原 點 , 既 不 是 正 數 , 亦 不 是 負 數 , 而 有 向 數 即 所 有 負 數 、0 和 所 有 正 數 。 在 本 學 習 重 點,學 生 須 在 數 線 上 表 示 有 向 數,和 比 較 有 向 數 的 大 小。學 生 須 認 識 一 般 而 言,數 線 上 右 邊 的 數 比 左 邊 的 數 大。教 師 可 引 導 學 生 利 用「<」和「 >」

符 號 , 表 達 諸 如 :–7 < –5 與 7 > 5 等 關 係 。

在 學 習 重 點 2.2,學 生 須 理 解 涉 及 負 數 的 四 則 運 算,並 進 行 涉 及 多 重 括 號 的 有 向 數 四 則 混 合 運 算。教 師 可 利 用 數 線 上 點 的 移 動 或 其 他 方 法,說 明 有 向 數 的 加 減 法。學 生 亦 須 從 數 線 上 點 的 移 動 或 其 他 方 法 過 渡 至 涉 及 有 向 數 的 算 式 運 算,處 理 諸 如 (+3) + (–4)、(–5) – (–7)等 涉 及 有 向 數 的 數 式 計 算。

教 師 可 利 用 諸 如 以 下 的 乘 數 表,透 過 觀 察 規 律 幫 助 學 生 建 立 有 向 數 乘 法 和

(8)

除 法 的 概 念 :

+3 +2 +1 0 −1 −2 −3 +3 +9 +6 +3 0 −3 −6 −9 +2 +6 +4 +2 0 −2 −4 −6 +1 +3 +2 +1 0 −1 −2 −3

0 0 0 0 0 0 0 0

−1 −3 −2 −1 0 1 2 3

−2 −6 −4 −2 0 2 4 6

−3 −9 −6 −3 0 3 6 9

教 師 可 引 導 學 生 通 過 填 空 格 去 發 現 規 律,如 首 先 填 正 數 相 乘 的 積,觀 察 行 列 之 間 的 規 律, 然 後 再 填 正、負 數 相 乘 的 積 和 兩 負 數 相 乘 的 積。 教 師 和 學 生 亦 可 編 製 類 似 的 除 數 表 。

進 行 有 向 數 的 四 則 混 合 運 算 時 , 學 生 須 把 第 二 學 習 階 段 和 學 習 單 位 1「 基 礎 計 算 」中 掌 握 的 正 數 四 則 混 合 運 算 法 則,擴 展 至 有 向 數 的 四 則 混 合 運 算,

當 中 涉 及 運 用 括 號 的 法 則,是 學 生 必 須 掌 握 的 基 礎 運 算 能 力。學 生 可 透 過 處 理 有 向 數 四 則 混 合 運 算 , 從 而 熟 練 有 關 法 則 , 惟 應 避 免 複 雜 的 運 算 。 在 學 習 重 點 2.3,學 生 須 解 涉 及 有 向 數 的 應 用 題,如 運 用 有 向 數 描 述 不 同 的 現 實 或 數 學 情 境 。 應 用 題 宜 與 學 生 日 常 生 活 經 驗 或 現 實 生 活 情 境 相 關 。

(9)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

3. 近 似 值 與 數 值 估 算

3.1 認 識 近 似 值 的 概 念 3.2 理 解 估 算 策 略

3.3 解 現 實 生 活 中 相 關 的 應 用 題

3.4 ** 按 情 境 設 計 估 算 策 略 , 並 判 斷 估 算 結 果 的 合 理 性

6

課 程 闡 釋 :

本 學 習 單 位 由 原 課 程 兩 個 學 習 單 位「 數 值 估 算 」及「 近 似 與 誤 差 」部 分 內 容 合 併 而 成。學 生 須 在 本 學 習 單 位 認 識 近 似 值 的 概 念、理 解 估 算 策 略 及 解 現 實 生 活 中 相 關 的 應 用 題。按 情 境 設 計 估 算 策 略,並 判 斷 估 算 結 果 的 合 理 性 則 屬 增 潤 課 題。至 於 認 識 最 大 絕 對 誤 差、相 對 誤 差 和 百 分 誤 差 的 概 念 在 學 習 重 點 15.2 討 論 , 而 有 關 科 學 記 數 法 的 內 容 則 在 學 習 重 點 10.4 討 論 。

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4D1「 棒 形 圖( 二 )」、5N1「 多 位 數 」及 6N2「 小 數 ( 五 )」 中 , 學 生 已 認 識 近 似 值 的 概 念 及 以 四 捨 五 入 法 取 正 整 數 的 近 似 值 至 最 接 近 的 位 和 把 小 數 取 近 似 值 至 最 接 近 的 十 分 位 或 百 分 位 。

在 學 習 重 點 3.1,學 生 須 進 一 步 認 識 近 似 值 的 概 念,包 括 以 四 捨 五 入 法 把 數 取 近 似 值 至 指 定 位 數 的 有 效 數 字、最 接 近 的 位 和 指 定 位 數 的 小 數。教 師 可 從 日 常 生 活 的 例 子( 例 如 估 計 全 校 學 生 和 老 師 的 人 數、地 鐵 站 與 學 校 的 距 離 和 球 場 面 積 等 )引 入 使 用 近 似 值 的 需 要,加 深 學 生 對 近 似 值 的 概 念 的 認 識。教 師 可 與 學 生 討 論 把 數 字 取 近 似 值 的 一 些 原 因。學 生 須 認 識 有 效 數 字 的 概 念, 如 取 較 多 位 數 有 效 數 字 的 近 似 值 較 接 近 實 際 值。同 理,教 師 應 與 學 生 探 討 把 小 數 取 近 似 值 至 指 定 位 數 的 小 數 之 概 念 。 學 習 重 點 3.1 關 於 近 似 值 的 概 念 可 幫 助 學 生 在 學 習 重 點 15.1 認 識 量 度 中 誤 差 的 概 念 。 學 習 重 點 3.2 涉 及 包 括 捨 入 、 上 捨 入 和 下 捨 入 三 個 估 算 策 略 。 學 生 須 理 解 上 述 三 種 估 算 策 略 的 異 同,包 括 使 用 上 捨 入 和 下 捨 入 估 算 策 略 時,近 似 值 必 分 別 不 小 於 和 不 大 於 實 際 值,而 捨 入 則 不 然。教 師 可 在 討 論 估 算 時 使 用 「 大 約 」、「 接 近 」、「 略 多 於 」、 或 「 略 少 於 」 等 詞 來 形 容 估 算 結 果 。

(10)

延 續 學 習 重 點 3.2, 在 學 習 重 點 3.3, 學 生 須 在 現 實 生 活 情 境 應 用 合 適 的 估 算 策 略 解 應 用 題。教 師 可 利 用 實 際 例 子,讓 學 生 於 日 常 活 動 中 辨 別 何 時 適 合 使 用 估 算,以 及 判 斷 在 特 定 的 情 況 下,該 使 用 哪 種 估 算 策 略 及 決 定 所 需 的 準 確 程 度 。

在 學 習 重 點 3.4,教 師 可 按 學 生 的 能 力 和 興 趣,安 排 合 適 的 增 潤 學 習 活 動,

與 學 生 討 論 如 何 因 應 不 同 情 境 設 計 更 多 的 估 算 策 略。教 師 亦 可 與 學 生 討 論 和 分 析 估 算 的 結 果 是 否 合 理 。

(11)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

4. 有 理 數 與 無 理 數

4.1 認 識 n 次 方 根 的 概 念

4.2 認 識 有 理 數 和 無 理 數 的 概 念

4.3 進 行 簡 單 二 次 根 式 𝑎√𝑏 的 四 則 混 合 運 算 4.4 **探 究 可 構 造 數 與 有 理 數 和 無 理 數 的 關 係

7

課 程 闡 釋 :

本 學 習 單 位 作 為 學 生 對 整 數 及 分 數 的 認 識 之 延 伸,引 入「 有 理 數 」和「 無 理 數 」 兩 個 概 念 。 學 生 須 在 本 學 習 單 位 認 識 有 理 數 和 無 理 數 的 定 義 和 一 些 例 子 , 學 生 不 須 證 明 某 數 為 無 理 數 , 但 須 認 識 一 些 常 見 的 無 理 數 , 諸 如 2、 3、 π 等 。

學 生 在 學 習 單 位 1 「 基 礎 計 算 」中 已 理 解 乘 方 的 概 念 及 進 行 正 整 數 的 質 因 數 分 解 ,並 用 指 數 形 式 表 示 出 來 。 在 學 習 重 點 4.1,學 生 須 認 識 n 次 方 根 的 概 念 和 記 法 。 教 師 可 透 過 諸 如 以 下 例 子 , 讓 學 生 認 識 平 方 和 平 方 根 的 關 係:有 兩 個 正 方 形,一 個 已 知 正 方 形 的 邊 長,求 其 面 積;另 一 個 已 知 正 方 形 的 面 積 , 求 其 邊 長 。 同 理 , 學 生 可 透 過 從 立 方 體 邊 長 求 體 積 和 從 立 方 體 體 積 求 邊 長 的 運 算,認 識 立 方 及 立 方 根 的 關 係,進 而 認 識 n 次 方 根 的 概 念 和 記 法 。 學 生 須 懂 得 計 算 一 已 知 數 的 n 次 方 根 的 值 , 諸 如

3√−8

、 √814 等,但 諸 如 √23 √43 = √83 等 的 運 算,則 非 本 學 習 重 點 的 要 求。

學 生 亦 不 須 在 本 學 習 重 點 使 用 分 數 指 數 表 達 n 次 方 根 。

學 生 須 透 過 諸 如 22 = (–2)2 = 4, 但 4 只 等 於 2 等 例 子 , 認 識 a 的 記 法 代 表 a 的 正 平 方 根。教 師 可 因 應 學 生 的 能 力 和 興 趣,與 學 生 討 論 為a 中 的 a 須為非負的數。關 於 複 數 的 討 論 則 在 高 中 數 學 科 必 修 部 分 學 習 單 位 1「 一 元 二 次 方 程 」 中 處 理 。

在 學 習 重 點 4.2,學 生 須 認 識 有 理 數 和 無 理 數 的 概 念,包 括 有 理 數 可 寫 成 分 子 和 分 母 皆 為 整 數 的 分 數( 其 中 分 母 非 零 ),而 無 理 數 則 不 能 寫 成 上 述 形 式 的 分 數。學 生 只 需 認 識 諸 如 2、 3、π 等 無 理 數 的 例 子,並 不 須 證 明 以 上 的 數 為 無 理 數,但 學 生 須 透 過 比 較 數 值 的 大 小,如 2 介 乎 1 和 2 之 間 , 在 數 線 上 表 示 有 理 數 和 無 理 數 。 學 生 不 須 透 過 諸 如 尺 規 作 圖 等 方 法 求 無 理 數 在 數 線 上 的 位 置 , 僅 需 標 示 大 約 位 置 , 和 不 會 混 淆 不 同 數

(12)

的 大 小 次 序 即 可 。

在 學 習 重 點 4.3,學 生 須 進 行 簡 單 二 次 根 式 的 化 簡 和 四 則 混 合 運 算。在 本 學 習 重 點 , 簡 單 二 次 根 式 僅 限 於 a b 形 式 的 根 式 , 其 中 a 為 有 理 數 , b 為 正 有 理 數 。 學 生 須 運 用 公 式 √𝑐𝑑 = √𝑐√𝑑 ( 其 中 c、 d 為 非 負 的 有 理

數 )和 d

c

dc  ( 其 中 c 為 非 負 的 有 理 數 、 d 為 正 有 理 數 )對 這 類 根 式 進 行 化 簡 和 四 則 混 合 運 算 , 包 括 諸 如 12= 4× 3=2 3 、

3+ 12= 3+2 3=3 3 、 8

3√2= 8×√2

3√2×√2= 4√2

3 等 , 但 較 繁 複 的 運 算 如 1

2+√3=

2−√3

(2+√3)(2−√3)= 2−√3

4−3 = 2 − √3, 則 屬 高 中 數 學 科 延 伸 部 分 單 元 二 的 學 習 內 容 , 並 非 本 學 習 重 點 所 需 。

進 行 簡 單 二 次 根 式 的 四 則 混 合 運 算 時 , 學 生 須 認 識 如 何 將 根 式 化 為 最 簡 根 式 , 和 處 理 同 類 根 式 的 運 算 , 教 師 可 藉 重 溫 同 類 項 幫 助 學 生 理 解 同 類 根 式 的 概 念 , 惟 應 避 免 複 雜 的 運 算 。

在 學 習 重 點 4.4, 教 師 可 因 應 學 生 的 能 力 和 興 趣 加 入 合 適 的 增 潤 教 學 活 動 , 與 學 生 探 討 可 構 造 數 與 有 理 數 和 無 理 數 的 關 係 。 教 師 可 透 過 相 關 數 學 史 的 資 料 , 與 學 生 探 討 2 不 是 有 理 數 在 數 學 發 展 上 的 意 義 , 從 而 引 起 學 生 對 數 系 發 展 的 興 趣 。 教 師 可 考 慮 讓 能 力 較 高 的 學 生 初 步 認 識 2 為 無 理 數 的 證 明 。 當 學 生 認 識 學 習 重 點 20.5 的 尺 規 作 圖 技 巧 和 學 習 單 位 25「 畢 氏 定 理 」後,教 師 亦 可 讓 學 生 探 究 如 何 從 已 知 的 單 位 長 度,以 尺 規 作 圖 的 方 式 構 作 長 度 為 有 理 數 或 一 些 長 度 為 無 理 數 的 線 段 。 教 師 可 引 導 學 生 思 考 會 否 有 一 些 長 度 不 能 用 類 似 方 法 構 作 , 從 而 帶 出 可 構 造 數 的 基 本 概 念 , 學 生 應 能 指 出 所 有 有 理 數 的 平 方 根 均 為 可 構 造 數 。 教 師 亦 可 讓 學 生 進 一 步 探 究 除 有 理 數 的 平 方 根 外,還 有 哪 些 數 為 可 構 造 數( 如 2、

1+ 2 等 可 構 造 數 )。

(13)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

5. 百 分 法 5.1 理 解 百 分 變 化 的 概 念

5.2 解 現 實 生 活 中 相 關 的 應 用 題

15

課 程 闡 釋 :

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 6N3「 百 分 數 (一 )」 和 6N4「 百 分 數 (二 )」, 學 生 已 認 識 百 分 數 的 基 本 概 念,並 能 進 行 百 分 數 與 小 數,和 百 分 數 與 分 數 之 間 的 互 化。在 解 應 用 題 時,學 生 在 小 學 階 段 只 須 解 簡 單 百 分 數 和 百 分 變 化 的 應 用 題 , 並 不 須 計 算 諸 如 以 下 較 複 雜 的 應 用 題 :

 100 比 80 大 百 分 之 幾

 由 100 增 至 120, 增 加 了 百 分 之 幾

本 學 習 單 位 旨 在 讓 學 生 進 一 步 理 解 百 分 變 化 的 概 念 。

學 習 重 點 5.1 中 , 學 生 須 從 原 值 和 新 值 計 算 百 分 變 化 。 學 生 須 理 解 由 100 增 至 120, 增 加 了 20%( 亦 可 以 「 百 分 變 化 為 +20%」 表 示 ), 但 由 120 減 少 至 100,並 不 是 減 少 20%。學 生 須 掌 握 原 值、新 值 及 和 百 分 變 化 的 關 係。

他 們 須 認 識 百 分 變 化 亦 可 稱 為「 百 分 改 變 」、「 百 分 增 減 」或「 改 變 的 百 分 數 」。

教 師 可 考 慮 使 用 圖 像 , 諸 如 以 下 圖 示 , 幫 助 學 生 理 解 百 分 變 化 的 概 念 。

學 生 須 靈 活 運 用 以 下 公 式 計 算 原 值 、 新 值 和 百 分 變 化 。

 新 值=原 值 ( 1+百 分 變 化 )

 百 分 變 化 = 新 值 −原 值

原 值 × 100%

學 生 須 注 意 百 分 變 化 可 以 是 正 值 或 負 值。學 生 須 理 解 百 分 變 化 為 正 數 或 負

100% +20% 100% 20%

100% 20% 100% 20%

(14)

數 在 實 際 情 境 時 的 意 義 。

學 習 重 點 5.2 的 應 用 題 包 括 折 扣 和 盈 虧 問 題 、 增 長 和 折 舊 問 題 、 單 利 息 和 複 利 息 問 題、連 續 增 減 和 成 分 增 減 問 題、薪 俸 稅 問 題。 由 於 百 分 法 的 應 用 題 可 以 引 伸 出 很 多 公 式,教 師 應 讓 學 生 在 不 同 情 境 中 也 能 靈 活 運 用 上 述 兩 條 公 式,以 減 少 學 生 背 誦 過 多 意 義 重 複 的 公 式。在 引 入 折 扣 和 盈 虧 問 題 時,

學 生 須 認 識 成 本、標 價、售 價 等 名 稱 及 它 們 的 關 係。 在 計 算 有 關 折 扣 的 問 題 時,學 生 須 認 識 日 常 用 語 諸 如 八 折、八 五 折 的 意 義 ,教 師 亦 可 按 學 生 的 能 力 和 需 要 向 學 生 介 紹 諸 如 20% off 等 英 文 日 常 用 語 的 意 義 。 在 引 入 單 利 息 和 複 利 息 問 題 時 , 學 生 須 認 識 本 金 、 利 率 、 年 期 、 利 息 、 本 利 和 及 它 們 的 關 係。學 生 須 分 辨 單 利 息 和 複 利 息。 學 生 學 習 計 算 薪 俸 稅,可 作 為 百 分 法 在 現 實 生 活 情 景 的 一 種 應 用,惟 應 避 免 繁 複 的 運 算,如 從 已 知 薪 俸 稅 款 項 和 免 稅 額 , 求 年 薪 等 問 題 。

教 師 亦 可 考 慮 透 過 一 些 與 科 學 或 科 技 教 育 相 關 的 情 境,諸 如 自 然 界 中 某 物 種 的 增 長 率、或 機 械 零 件 的 折 舊 率 等,設 計 教 學 活 動 或 課 堂 例 子,讓 學 生 有 機 會 認 識 百 分 變 化 在 這 些 情 境 和 解 現 實 生 活 問 題 中 的 應 用,及 如 何 利 用 百 分 法 量 性 描 述 現 實 情 境 。

(15)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

6. 率 、 比 及 比 例

6.1 理 解 率 、 比 及 比 例 的 概 念 6.2 解 涉 及 率 、 比 及 比 例 的 應 用 題

8

課 程 闡 釋 :

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 6M4「 速 率 」, 學 生 已 認 識 率 的 基 本 概 念 。 學 生 亦 透 過 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N5「 四 則 運 算 (二 )」 和 5N5「 分 數 (五 )」,

認 識 以 歸 一 法 解 涉 及 正 比 例 的 應 用 題 , 惟 沒 有 介 紹「 正 比 例 」一 詞 。 本 學 習 單 位 進 一 步 討 論 率 、 比 及 比 例 , 包 括 正 比 例 和 反 比 例 的 概 念 。

在 學 習 重 點 6.1, 教 師 可 通 過 日 常 生 活 的 例 子 , 如 打 字 速 率 、 班 內 男 女 生 人 數 的 比,讓 學 生 理 解 率、比 及 比 例 的 意 義 及 其 關 係。 教 師 在 引 入 率 的 概 念 時,須 強 調 率 是 表 達 一 個 量 與 每 一 單 位 的 另 一 個 量 的 關 係。教 師 可 透 過 諸 如 速 率( 即 表 達 每 單 位 時 間 的 距 離 變 化 )說 明 此 概 念。 教 師 亦 可 讓 學 生 理 解 如 何 將 率 的 不 同 單 位 進 行 轉 換 , 諸 如 km/h 與 m/s 等 單 位 的 轉 換 。

學 生 須 理 解 兩 項 比 的 概 念 和 記 法 。 在 介 紹 a:b 時 , 可 以 分 數 𝑎

𝑏 表 示 , 其 中 b0。教 師 可 從 一 些 日 常 生 活 例 子 介 紹 比。例 如,清 潔 劑 和 水 以 1:99 的 比 混 和、「16:9」闊 銀 幕 電 影 和 電 視 等。教 師 亦 可 釐 清 數 學 上 比 的 概 念 和 日 常 生 活 中 所 使 用 比 的 記 法 並 非 一 定 相 同,教 師 可 提 供 諸 如 足 球 賽 事 中 的 比 數 1:0 等 非 例 子 加 以 說 明 。

學 生 須 理 解 比 的 以 下 性 質 :

a:b 與 b: a 是 不 相 同 的 。

a:b= 2:7 並 不 表 示 a= 2 及 b= 7。

a:b= ka:kb, 其 中 k 為 任 意 非 零 的 實 數 。

教 師 可 向 學 生 介 紹 如 何 以 「k 方 法 」( 如 a:b= 2:7 時 , 可 假 設 a = 2k, b = 7k 其 中 k  0) 解 有 關 比 的 問 題 。

學 生 須 理 解 如 何 從 兩 項 比 推 廣 至 三 項 或 以 上 的 比 。 在 解 有 關 比 的 問 題 時 , 學 生 經 常 要 面 對 諸 如 𝑥

3 = 𝑥+1

5 等 涉 及 分 數 的 方 程。教 師 可 與 學 生 重 點 重 溫

(16)

解 這 類 方 程 的 相 關 技 巧 。

教 師 可 透 過 與 學 生 重 溫 歸 一 法,引 入 正 比 例。教 師 亦 可 選 取 日 常 生 活 的 不 同 例 子,與 學 生 討 論 正 比 例 和 反 比 例。由 於 學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 6M4「 速 率 」已 認 識 速 率 , 教 師 可 考 慮 與 學 生 討 論 若 距 離 固 定 時 , 時 間 和 速 率 成 反 比 例 作 為 概 念 的 引 入。學 生 可 從 等 比 的 概 念 理 解 正 比 例,亦 可 從 正 比 例 理 解 反 比 例 的 概 念 。 教 師 可 以 列 表 方 式 , 探 究 當 x 與 1

𝑦 成 正 比 例 時 x 和 y 的 關 係 , 以 引 入 反 比 例 的 概 念 。

教 師 亦 應 透 過 等 比 的 概 念,與 學 生 釐 清 一 般 人 對 正 比 例 和 反 比 例 常 見 的 誤 解,例 如「 如 果 x 遞 增, y 隨 之 遞 增( 遞 減 ),則 x 與 y 必 成 正( 反 ) 比 例 」 這 誤 解 。 教 師 可 利 用 反 例 證 明 上 述 斷 言 為 假 , 例 如 :

x 1 2 3 4

y 1 4 9 16

其 中 x 和 y 並 不 能 滿 足 正 比 例 的 關 係 。

在 學 習 重 點 6.2, 學 生 須 解 涉 及 率 、 比 及 比 例 的 應 用 題 。 學 生 亦 須 在 不 同 情 境,運 用 正 比 例 或 反 比 例 來 解 有 關 問 題。教 師 應 留 意 本 學 習 單 位 著 重 以 比 來 處 理 正 比 例 和 反 比 例 應 用 題 , 至 於 以 變 量 關 係 來 處 理 正 比 例 和 反 比 例,即 正 變 和 反 變,及 以 圖 像 來 理 解 正 比 例 和 反 比 例,則 屬 高 中 數 學 必 修 部 分 學 習 單 位 6「 變 分 」的 內 容。學 生 須 解 涉 及 比 例 尺 的 平 面 圖 的 應 用 題。

在 利 用 正 比 例 和 反 比 例 解 應 用 題 時,有 關 的 方 程 應 只 涉 及 一 個 未 知 量。教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育、科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 促 進 教 學 , 諸 如 以 地 圖 和 有 標 度 的 平 面 圖 、 折 扣 、 利 率 、 匯 率 、 密 度 和 濃 度 等 常 見 的 例 子 作 介 紹。教 師 亦 可 利 用 顯 微 鏡 下 的 細 胞 圖,網 上 地 圖 或 其 他 現 實 生 活 例 子 , 介 紹 比 例 尺 的 概 念 並 利 用 有 關 的 情 境 設 計 課 堂 例 題 或 習 題,以 提 升 學 生 在 真 實 或 STEM 相 關 情 境 運 用 數 學 知 識 和 技 能 的 能 力 和 信 心 。 本 學 習 單 位 亦 聯 繫 至 學 習 重 點 18.3 和 22.3, 讓 學 生 運 用 比 和 比 例 的 知 識 解 涉 及 相 似 圖 形 的 問 題 。

(17)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

7. 代 數 式 7.1 以 代 數 式 表 達 文 字 片 語 7.2 以 文 字 片 語 表 達 代 數 式 7.3 認 識 數 列 的 概 念

7.4 認 識 函 數 的 初 步 概 念

7

課 程 闡 釋 :

在 中 學 階 段 ,學 生 須 運 用 代 數 符 號,表 達 較 抽 象 的 數 學 概 念。其 中 代 數 式 是 數 學 語 言 的 重 要 基 礎,因 此 教 師 應 選 取 不 同 的 例 子,在 本 學 習 單 位 讓 學 生 建 立 穩 固 的 根 基 , 使 他 們 能 更 有 效 學 習 往 後 相 關 的 課 題 。

在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 5A1「 代 數 的 初 步 認 識 」中,學 生 已 認 識 運 用 英 文 字 母 表 示 數 , 包 括 認 識 諸 如 3x、2𝑥

3 等 記 法 的 意 義 ( 其 中 的 代 數 式 只 須 涉 及 一 個 未 知 量 ),當 中 3x 即 3x、x3 或 x+x+x,𝑥

3 即 x3、1

3× 𝑥 或 𝑥 ×1

3。 學 生 亦 懂 得 運 用 代 數 式 表 達 以 文 字 敍 述 和 涉 及 未 知 量 的 運 算 和 數 量 關 係,

以 此 為 基 礎 解 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 5A2「 簡 易 方 程 (一 )」 和 6A1「 簡 易 方 程(二 )」 中 的 簡 易 方 程 問 題 。 學 習 單 位 7「 代 數 式 」 讓 學 生 進 一 步 學 習 代 數 式 及 相 關 概 念 , 但 有 關 同 類 項 和 異 類 項 的 運 算 在 學 習 單 位 11「 多 項 式 」 才 處 理 。

學 習 重 點 7.1 讓 學 生 學 習 以 代 數 式 表 達 文 字 片 語,其 中 的 代 數 式 不 限 於 一 個 未 知 量 , 但 所 討 論 的 代 數 式 只 限 於 涉 及 數 或 變 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 或 乘 方 運 算 。 學 生 須 認 識 諸 如 ab 即 ab、

ba 即 ab 等 記 法 的 意 義 , 教 師 可 提 醒 學 生 ab 這 記 法 與 諸 如 53( 即 510+3)的 不 同 之 處。學 生 亦 須 認 識 諸 如

2𝑥

3 =−2𝑥

3 = 2𝑥

−3 及 4(2a)不 宜 寫 作 42a。 由 於 學 生 在 本 學 習 階 段 會 接 觸 更 多 較 複 雜 的 代 數 式,為 免 引 起 歧 義,學 生 在 處 理 代 數 式 時 須 逐 步 由 使 用 除 號 「 ÷」過 渡 至 使 用 分 式 來 表 達 。

在 第 二 學 習 階 段 5M1「 面 積 (二 )」 中 有 關 面 積 的 公 式 , 是 以 文 字 來 描 述 ,

(18)

如 三 角 形 面 積 是 底 乘 高 除 以 2。在 本 學 習 單 位,學 生 須 以 代 數 式 表 達 公 式,

例 如 上 述 的 三 角 形 面 積 公 式 可 以 𝐴 =𝑏ℎ

2 表 示。學 生 須 認 識 一 些 數 學 上 常 用 的 文 字 片 語 , 其 中 包 括 諸 如「 和 」、「 積 」、「 平 方 」 等 數 學 用 詞 。 他 們 亦 須 認 識 括 號 的 重 要 性 , 例 如 (𝑎 + 𝑏)2和 𝑎2+ 𝑏2是 不 同 的 代 數 式 , 其 意 義 不 同 。 為 了 讓 學 生 深 入 認 識 代 數 式 , 學 生 須 在 學 習 重 點 7.2 中 , 以 文 字 片 語 表 達 代 數 式 。

學 生 須 在 學 習 重 點 7.3 中 , 從 數 列 的 幾 個 已 知 項 猜 測 數 列 的 下 一 項 , 並 作 出 解 釋 , 如 學 生 在 已 知 數 列 1, 3, 5, ? 中 猜 測 下 一 項 為 7, 並 指 出 其 猜 測 建 基 於 數 列 的 項 為 連 續 奇 數 , 或 1, 2, 3, 5, 8, ? 中 猜 測 下 一 項 為 13, 並 指 出 其 猜 測 建 基 於 由 第 三 項 起,數 列 的 項 均 為 前 兩 項 之 和。教 師 應 強 調 僅 以 幾 個 已 知 項 去 猜 測 數 列 下 一 項 時,該 項 並 非 唯 一,因 此 本 學 習 重 點 強 調 學 生 須 就 其 猜 測 作 出 解 釋,惟 學 生 不 須 運 用 代 數 方 法 表 達 其 猜 測 及 解 釋。教 師 亦 不 須 在 本 學 習 階 段 引 入 運 用 代 數 方 法 表 達 數 列 的 項 的 遞 歸 關 係 。 在 本 學 習 重 點 , 學 生 亦 須 從 數 列 的 通 項 求 數 列 的 特 定 項 , 如 從 數 列 通 項 𝑎𝑛 = 𝑛2+ 1 求 數 列 的 第 三 項 𝑎3。 上 述 的 數 列 須 包 括 奇 數 數 列 、 偶 數 數 列 、 正 方 形 數 數 列( 又 稱 為 正 方 形 數 列 )和 三 角 形 數 數 列( 又 稱 為 三 角 形 數 列 )。 教 師 可 與 學 生 討 論 利 用 通 項 表 達 數 列 和 給 予 數 列 的 開 首 幾 項 來 表 達 數 列 的 分 別。學 生 須 認 識 若 已 知 數 列 的 通 項,則 該 數 列 的 所 有 項 的 值 均 能 透 過 通 項 求 得 , 而 且 數 列 每 一 項 的 值 均 唯 一 。

教 師 可 透 過 討 論 諸 如 正 方 形 數 列 的 通 項 𝑛2,引 入 學 習 重 點 7.4「 認 識 函 數 的 初 步 概 念 」, 包 括 輸 入 - 處 理 - 輸 出 的 概 念 。 這 裡 的 輸 入 是 正 整 數 , 輸 出 為 正 方 形 數 。 而 正 方 形 面 積 公 式 𝑥2則 不 同 , 因 為 輸 入 不 限 於 正 整 數 。 至 於 有 關 函 數 的 嚴 格 定 義 , 如 定 義 域 、 上 域 , 自 變 量 和 應 變 量 的 概 念 , 則 屬 高 中 必 修 部 分 學 習 單 位 2「 函 數 及 其 圖 像 」 所 需 。

本 學 習 單 位 中 所 討 論 的 代 數 式 只 限 於 涉 及 數 或 變 數 的 加、減、乘、除 或 乘 方 運 算 。

(19)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

8. 一 元 一 次 方 程

8.1 解 一 元 一 次 方 程

8.2 由 文 字 情 境 建 立 一 元 一 次 方 程 8.3 解 涉 及 一 元 一 次 方 程 的 應 用 題

7

課 程 闡 釋 :

學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 5A2「 簡 易 方 程 (一 )」和 6A1「 簡 易 方 程 (二 )」

中,已 懂 得 解 特 定 類 型 的 一 元 一 次 方 程 和 相 關 的 應 用 題。學 生 亦 認 識 解 方 程 時 所 運 用 的 天 平 原 理。本 學 習 單 位 要 求 學 生 能 進 一 步 解 一 般 的 一 元 一 次 方 程 。 學 生 須 認 識 一 元 一 次 方 程 亦 可 稱 為 「 一 元 線 性 方 程 」。

在 學 習 重 點 8.1, 學 生 須 理 解 「 解 」 的 意 義 。

由 於 學 生 已 在 學 習 單 位 7「 代 數 式 」中 懂 得 以 代 數 式 表 達 文 字 片 語 , 學 生 應 具 備 足 夠 基 礎 , 在 學 習 重 點 8.2 由 文 字 情 境 建 立 一 元 一 次 方 程 , 並 在 學 習 重 點 8.3 利 用 一 元 一 次 方 程 解 應 用 題 。

本 學 習 單 位 只 討 論 只 有 一 個 解 的 一 元 一 次 方 程 , 而 在 學 習 單 位 9「 二 元 一 次 方 程 」 和 學 習 單 位 12「 恆 等 式 」, 學 生 有 機 會 接 觸 有 無 限 多 個 解 或 沒 有 解 的 一 元 一 次 方 程 。

(20)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

9. 二 元 一 次 方 程

9.1 理 解 二 元 一 次 方 程 的 概 念 及 其 圖 像 9.2 以 圖 解 法 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 9.3 以 代 數 方 法 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 9.4 由 文 字 情 境 建 立 聯 立 二 元 一 次 方 程 9.5 解 涉 及 聯 立 二 元 一 次 方 程 的 應 用 題

12

課 程 闡 釋 :

學 生 在 初 中 階 段 除 須 在 學 習 單 位 8「 一 元 一 次 方 程 」掌 握 如 何 建 立 及 解 一 元 一 次 方 程 外,亦 須 在 本 學 習 單 位 進 一 步 理 解 及 解 有 兩 個 未 知 量 的 聯 立 二 元 一 次 方 程。同 時 利 用 兩 個 未 知 量 建 立 方 程 和 組 成 聯 立 二 元 一 次 方 程,有 助 拓 展 學 生 對 方 程 的 理 解,且 能 處 理 一 些 不 能 簡 單 地 以 一 元 一 次 方 程 描 述 的 較 複 雜 情 境。本 學 習 單 位 亦 為 學 生 引 入 代 數 與 圖 像 之 間 的 關 係。在 學 生 學 習 以 圖 解 法 及 以 代 數 方 法 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 後,可 延 伸 相 關 概 念 來 學 習 高 中 數 學 的 有 關 課 題 , 包 括 高 中 數 學 必 修 部 分 學 習 單 位 5 「 續 方 程 」、

學 習 單 位 6「 變 分 」、 學 習 單 位 9「 續 函 數 的 圖 像 」、 學 習 單 位 10「 直 線 方 程 」、學 習 單 位 13「 圓 方 程 」和 高 中 數 學 延 伸 部 分 單 元 二 的 學 習 單 位 14「 線 性 方 程 組 」 等 。 本 學 習 單 位 討 論 的 二 元 一 次 方 程 的 形 式 為 ax + by = c, 其a 和 b 並 非 同 時 為 零 。

學 生 在 學 習 單 位 7「 代 數 式 」 中 已 懂 得 運 用 代 數 式 表 示 未 知 量 , 亦 已 掌 握 函 數 的 輸 入 - 處 理 - 輸 出 的 概 念 。 在 學 習 重 點 9.1, 學 生 須 理 解 在 同 一 條 方 程 中 利 用 兩 個 代 數 符 號 代 表 兩 個 未 知 量 的 概 念。學 生 在 學 習 單 位 13「 公 式 」中 , 亦 會 學 習 運 用 代 入 法 求 公 式 中 未 知 數 的 值 。 因 此 , 學 生 在 理 解 二 元 一 次 方 程 的 解 的 概 念 時 , 教 師 可 從 代 入 法 解 釋 二 元 一 次 方 程 ax + by = c 有 無 限 多 個 解( 或 無 窮 多 個 解 ),但 學 生 不 須 學 習 解 集 的 概 念。學 生 亦 由 此 理 解 二 元 一 次 方 程 的 解 和 其 圖 像 的 關 係 : 學 生 須 透 過 學 習 單 位 26「 直 角 坐 標 系 」中 的 點 的 坐 標 的 概 念,理 解 二 元 一 次 方 程 的 每 個 解 可 被 視 為 一 點 的 坐 標,而 所 有 解 對 應 的 點 組 成 該 方 程 的 圖 像。關 於 二 元 一 次 方 程 的 圖 像 , 學 生 須 理 解 :

 二 元 一 次 方 程 的 圖 像 為 一 直 線

 直 線 上 的 所 有 點 的 坐 標 皆 滿 足 該 二 元 一 次 方 程

 直 線 外 的 所 有 點 的 坐 標 皆 不 滿 足 該 二 元 一 次 方 程

(21)

學 生 須 認 識 方 程 x = c 和 y = d 的 圖 像 分 別 是 鉛 垂 線 和 水 平 線 。 教 師 可 借 助 資 訊 科 技,幫 助 學 生 更 深 入 理 解 二 元 一 次 方 程 的 圖 像。但 學 生 仍 須 利 用 紙 筆 在 方 格 紙 上 作 二 元 一 次 方 程 的 圖 像。學 生 須 認 識 二 元 一 次 方 程 亦 可 稱 為 「 二 元 線 性 方 程 」。

在 學 習 重 點 9.2, 學 生 須 以 圖 解 法 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 。 學 生 須 理 解 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 即 找 出 同 時 符 合 該 組 聯 立 方 程 中 所 有 方 程 的 解。因 此,學 生 在 學 習 重 點 9.1 中 理 解 二 元 一 次 方 程 的 圖 像 為 一 直 線 後,他 們 須 理 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 的 解 即 同 時 位 於 該 兩 條 直 線 上 的 點 的 坐 標。適 當 的 資 訊 科 技,包 括 圖 像 放 大 的 功 能,有 助 提 升 解 的 數 值 準 確 度,但 學 生 須 在 學 習 重 點 9.2 中 , 認 識 以 圖 解 法 不 一 定 能 求 得 解 的 真 確 值 。 學 習 重 點 9.2 所 包 括 的 聯 立 二 元 一 次 方 程,只 限 於 只 有 一 個 解 的 方 程。至 於 以 圖 解 法 處 理 沒 有 解 或 有 多 於 一 個 解 的 聯 立 二 元 一 次 方 程 , 屬 高 中 必 修 部 分 學 習 重 點 10.2 的 內 容 。

在 學 習 重 點 9.3, 學 生 須 以 代 數 方 法 , 包 括 代 入 法 和 消 元 法 , 解 聯 立 二 元 一 次 方 程。學 生 須 認 識 以 代 數 方 法 處 理 沒 有 解、只 有 一 個 解 ,和 有 多 於 一 個 解 的 聯 立 方 程。學 生 只 須 以「 方 程 沒 有 解 」和「 方 程 有 無 限 多 個 解 」( 或 無 窮 多 個 解 )來 分 別 描 述 上 述「 沒 有 解 」和「 有 多 於 一 個 解 」這 兩 種 特 殊 情 況 的 結 論。學 生 並 不 須 以 通 解 來 寫 出 有 無 限 多 個 解 的 聯 立 二 元 一 次 方 程 的 解 。

學 生 在 學 習 重 點 9.2 和 9.3 掌 握 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 的 方 法 後 , 須 在 學 習 重 點 9.4 和 9.5 學 習 從 文 字 情 境 建 立 並 解 二 元 一 次 方 程 , 以 解 應 用 題 。 教 師 可 強 調 雖 然 部 分 情 境 也 可 以 用 一 元 一 次 方 程 來 表 達,但 以 聯 立 二 元 一 次 方 程 表 達 這 些 情 境 一 般 能 更 清 晰 地 描 述 各 未 知 量 之 間 的 關 係 。

教 師 教 授 學 習 重 點 9.5 時 , 可 多 選 擇 與 學 生 生 活 經 驗 相 關 的 應 用 題 , 同 時 討 論 不 同 情 境 中 方 程 解 的 意 義,讓 學 生 掌 握 如 何 解 涉 及 聯 立 二 元 一 次 方 程 的 應 用 題 。

(22)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

10. 整 數 指 數 律

10.1 理 解 正 整 數 指 數 定 律

10.2 理 解 零 指 數 和 負 整 數 指 數 的 定 義 10.3 理 解 整 數 指 數 定 律

10.4 理 解 科 學 記 數 法 10.5 理 解 二 進 制 和 十 進 制

10.6 **理 解 其 他 進 制 , 如 十 六 進 制

11

課 程 闡 釋 :

在 本 學 習 單 位 , 學 生 從 學 習 正 整 數 指 數 定 律 開 始 , 進 一 步 理 解 這 定 律 亦 適 用 於 整 數 指 數 。 整 數 指 數 定 律 其 中 一 些 重 要 的 應 用 包 括 科 學 記 數 法 和 不 同 進 制 的 展 開 式 。 這 些 應 用 加 強 了 數 學 科 和 其 他 學 科 , 包 括 科 學 科 和 電 腦 科 的 橫 向 連 接 。

在 學 習 重 點 1.2 中,學 生 只 理 解 乘 方 的 概 念 並 應 用 在 已 知 的 數 上。在 學 習 重 點 10.1, 學 生 則 須 理 解 以 代 數 式 表 達 的 正 整 數 指 數 定 律 並 應 用 於 代 數 式 中 , 定 律 包 括 :

 a p a q = a p + q

q

p

a

a

= a p  q

 (a p)q = a pq

 a p b p = (ab) p

p p

p

b a b

a

 

 

首 三 個 定 律 關 乎 同 底 的 運 算 , 其 餘 定 律 關 乎 相 同 指 數 的 運 算 。 學 生 在 計 算 過 程 中 , 須 分 辨 是 同 底 或 是 同 指 數 , 再 選 擇 合 適 的 定 律 , 以 減 少 常 犯 的 錯 誤 , 例 如 :

 m 3 n 2 = (mn) 3 +2

(23)

2 4

2 4

3 6 3

6

 

 

 

 (x 3)2 = x 3+2

教 師 可 在 學 習 重 點 10.1 中 , 加 強 釐 清 這 些 錯 誤 , 並 讓 學 生 純 熟 運 用 正 整 數 指 數 定 律 , 建 立 穩 固 的 基 礎 , 以 便 學 習 整 數 指 數 定 律 。

在 學 習 重 點 10.2, 教 師 可 讓 學 生 認 識 透 過 適 當 地 定 義 零 指 數 和 負 指 數 , 正 整 數 指 數 定 律 可 以 擴 展 為 整 數 指 數 定 律 。 學 生 亦 會 在 高 中 學 習 必 修 部 分 學 習 單 位 3「 指 數 函 數 與 對 數 函 數 」時,進 一 步 理 解 有 理 指 數 定 律。教 師 應 向 學 生 強 調 00 不 被 定 義 。 在 理 解 零 指 數 和 負 指 數 的 定 義 後 , 學 生 須 理 解 在 學 習 重 點 10.1 列 明 的 指 數 定 律 亦 適 用 於 整 數 指 數 , 因 此 這 些 定 律 亦 為 整 數 指 數 定 律 , 但 所 涉 及 的 底 須 為 非 零 。

在 學 習 重 點 10.3, 學 生 須 延 伸 學 習 重 點 10.1 和 10.2, 以 理 解 整 數 指 數 定 律。學 生 須 應 用 整 數 指 數 定 律 處 理 涉 及 整 數 指 數 的 算 式 和 代 數 式 的 運 算。

惟 本 學 習 重 點 的 焦 點 集 中 於 學 生 對 整 數 指 數 定 律 的 理 解 , 因 此 應 避 免 過 度 繁 複 的 運 算 。

在 學 習 重 點 10.4 中 , 學 生 須 理 解 科 學 記 數 法 的 優 點 , 即 能 以 較 簡 潔 的 形 式 , 表 達 一 些 非 常 大 或 非 常 接 近 0 的 值 。 以 科 學 記 數 法 表 示 這 些 數 常 見 於 科 學 計 算 機 。 教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素 , 如 地 球 與 太 陽 的 距 離 、 顯 微 鏡 顯 示 的 微 觀 度 量 、 光 速 (3×108 m/s)、 電 腦 處 理 器 的 計 算 速 度 、 發 電 廠 溫 室 氣 體 排 放 量 等 提 升 學 生 的 興 趣 , 從 而 促 進 教 學 。

學 習 重 點 10.5 只 涉 及 二 進 制 和 十 進 制 中 非 負 的 整 數 的 理 解 , 包 括 二 進 制 和 十 進 制 的 互 換 。 學 生 不 須 學 習 十 進 制 以 外 其 他 進 制 的 數 的 運 算 。 當 學 生 掌 握 學 習 重 點 10.5 中 位 值 的 概 念 後 , 教 師 可 考 慮 因 應 學 生 的 能 力 和 興 趣 , 與 學 生 討 論 學 習 重 點 10.6 中 有 關 其 他 進 制 的 增 潤 課 題 。

(24)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

11. 多 項 式 11.1 理 解 多 項 式 的 概 念

11.2 進 行 多 項 式 的 加 、 減 、 乘 及 其 混 合 運 算 11.3 因 式 分 解 多 項 式

15

課 程 闡 釋 :

學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 6A1「 簡 易 方 程 (二 )」 對 同 類 項 和 異 類 項 已 有 基 本 的 認 識 , 亦 懂 得 運 用 同 類 項 加 減 法 則 , 處 理 諸 如 8x+3x = 11x 的 關 係 , 但 在 小 學 階 段 學 生 不 須 學 習「 同 類 項 」和「 異 類 項 」的 名 稱 。 在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 進 一 步 處 理 多 項 式 的 運 算 。

學 生 須 在 學 習 重 點 11.1 中,理 解 多 項 式 的 概 念,包 括 認 識 項、單 項 式、二 項 式、次( 或 作 次 數 )、冪、常 數 項、同 類 項、異 類 項、係 數 等 數 學 用 詞 的 概 念 。 教 師 可 與 學 生 釐 清 他 們 的 常 犯 錯 誤 , 諸 如 把 多 項 式 x32x 的 項 誤 認x32x 兩 項 。 另 外 , 學 生 須 以 變 數 的 升 冪 次 序 或 降 冪 次 序 排 列 多 項 式 的 項 。

學 生 於 學 習 單 位 10「 整 數 指 數 律 」已 理 解 正 整 數 指 數 定 律,如 x2 x3=x5等,

並 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 4N5「 四 則 運 算 ( 二 )」 認 識 乘 法 分 配 性 質 。 在 學 習 重 點 11.2 中,學 生 須 運 用 這 些 知 識 進 行 多 項 式 的 加、減、乘 及 其 混 合 運 算 。 學 生 須 學 習 多 於 一 個 變 數 的 多 項 式 的 運 算 。 至 於 多 項 式 的 除 法 , 屬 高 中 必 修 部 分 學 習 單 位 4「 續 多 項 式 」 的 學 習 內 容 。 學 生 須 從 多 項 式 的 乘 法 理 解 展 開 多 項 式 的 概 念。教 師 可 考 慮 利 用 以 下 關 乎 面 積 的 圖 形,闡 明 有 關 概 念 。

x

x x2 2x

+ 2

+

1 x 2

= +

+ +

(25)

在 學 習 重 點 11.3 中 , 學 生 須 理 解 因 式 分 解 是 展 開 多 項 式 的 逆 運 算 。 學 生 須 理 解 一 個 多 項 式 是 另 一 個 多 項 式 的 因 式 的 意 義,從 而 理 解 因 式 分 解 的 意 義。學 生 須 運 用 提 取 公 因 式( 及 併 項 )和 十 字 相 乘 法 進 行 多 項 式 的 因 式 分 解。教 師 可 提 供 合 適 的 例 子 讓 學 生 認 識 並 非 所 有 二 次 多 項 式 均 能 用 上 述 方 法 進 行 因 式 分 解 。 學 生 會 在 學 習 重 點 12.3 運 用 恆 等 式 因 式 分 解 多 項 式 , 亦 會 在 高 中 必 修 部 分 學 習 單 位 4「 續 多 項 式 」 中 , 運 用 因 式 定 理 , 進 一 步 因 式 分 解 多 項 式。教 師 可 考 慮 利 用 下 列 示 意 圖,讓 學 生 理 解 因 式 分 解 多 項 式 的 意 義 。

a b a+b x + x = x

xa + xb = x(a + b)

a b a+b y + y = y

ya + yb = y( a + b)

x2 + 2x + x + 2

=

= x2 + 3x + 2

(26)

教 師 可 將 圖 合 併, 展 示 如 何 運 用 併 項 法 進 行 因 式 分 解 。

xa + xb + ya + yb = x(a + b) + y( a + b) = (x + y)(a + b)

a+b x

a+b y

教 師 可 讓 學 生 改 變 併 圖 的 方 法 , 讓 學 生 探 究 以 其 他 併 項 法 進 行 因 式 分 解 。 a b

x+y xa + xb + ya + yb = (xa + ya) + (xb + yb) = (x + y)a + (x + y)b

= (x + y)(a + b)

本 學 習 單 位 並 不 涉 及 運 用 平 方 差 或 完 全 平 方 的 恆 等 式 因 式 分 解 多 項 式,有 關 的 部 分 屬 學 習 單 位 12「 恆 等 式 」 的 內 容 。

(27)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

12. 恆 等 式 12.1 理 解 恆 等 式 的 概 念 12.2 運 用 恆 等 式 展 開 代 數 式 12.3 運 用 恆 等 式 因 式 分 解 多 項 式

8

課 程 闡 釋 :

學 習 重 點 12.1 中 , 學 生 須 理 解 方 程 與 恆 等 式 的 分 別 和 證 明 恆 等 式 。 恆 等 式 可 被 理 解 為 一 條 解 為 任 何 數 的 方 程。教 師 可 在 此 以 有 無 限 多 個 解 的 一 元 一 次 方 程 作 為 恆 等 式 的 例 子 說 明 相 關 概 念 。

教 師 宜 與 學 生 辨 別 恆 等 式 的 變 量 和 未 知 係 數,並 向 學 生 介 紹 比 較 多 項 式 的 對 應 係 數 以 求 未 知 係 數 的 方 法 。 例 如 從 恆 等 式 A(2x+1)+B(x1)5x2 中 , 分 別 比 較 x 的 係 數 和 常 數 項 , 得 出 2A + B = 5 和 AB = 2, 再 解 A 和 B。

學 生 亦 可 代 入 x 的 特 殊 數 值 解 A 和 B, 例 如 代 入 𝑥 = −1

2 和 𝑥 = 1。

學 習 重 點 12.2 涉 及 運 用 恆 等 式 展 開 代 數 式 , 所 運 用 的 恆 等 式 包 括 平 方 差 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) ≡ 𝑎2− 𝑏2 和 完 全 平 方 (𝑎 ± 𝑏)2 ≡ 𝑎2± 2𝑎𝑏 + 𝑏2, 而 所 展 開 的 代 數 式 不 限 於 多 項 式 , 如 ( 1)2 2 2 12

a a

aa    。

在 學 習 重 點 12.3, 學 生 須 運 用 學 習 重 點 12.2 中 的 恆 等 式 作 因 式 分 解 , 因 式 分 解 的 對 象 則 僅 限 於 多 項 式 。

學 生 不 須 學 習 立 方 和 及 立 方 差 的 恆 等 式。學 生 可 於 高 中 必 修 部 分 學 習 單 位 4「 續 多 項 式 」 運 用 因 式 定 理 因 式 分 解 諸 如 x3  a3 的 多 項 式 。

本 學 習 單 位 亦 有 助 學 生 理 解 學 習 重 點 27.2 引 入 的 三 角 恆 等 式 。

(28)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

13. 公 式 13.1 進 行 代 數 分 式 運 算

13.2 運 用 代 入 法 求 公 式 中 未 知 數 的 值 13.3 變 換 不 涉 及 根 號 的 公 式 的 主 項

9

課 程 闡 釋 :

學 生 在 學 習 單 位 7「 代 數 式 」 中 須 掌 握 利 用 代 數 式 表 達 公 式 ; 在 學 習 單 位 11「 多 項 式 」中 亦 須 對 多 項 式 進 行 加 、 減 、 乘 及 其 混 合 運 算 , 以 及 因 式 分 解。在 本 學 習 單 位,學 生 須 進 一 步 運 用 上 述 知 識,對 代 數 式 進 行 包 括 移 項、

併 項 、 化 簡 等 運 算 , 並 運 用 代 入 法 和 解 方 程 求 未 知 數 的 值 。

在 學 習 重 點 13.1,學 生 須 對 代 數 分 式 進 行 約 分,以 化 簡 代 數 分 式。為 避 免 過 於 繁 複 的 運 算,學 習 重 點 所 涉 及 的 代 數 分 式,其 分 母 必 須 表 達 為 係 數 為 有 理 數 的 一 次 因 式 之 積,諸 如 ︰

xy1 、 32 xy

x

) 1 (

1 x

x2

) 1 ( x x

xy2

) 2 (

6 3

x x

x

等,令 學 生 即 使 未 曾 學 習 因 式 分 解 一 般 多 項 式 和 求 最 大 公 因 式( 於 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 學 習 內 容 才 處 理 ), 亦 能 把 代 數 分 式 化 至 最 簡 。 教 師 亦 可 比 較 化 簡 代 數 分 式 的 方 法 與 化 簡 分 數 的 方 法 , 協 助 學 生 釐 清 一 些 常 犯 錯 誤 , 諸 如 ︰ 部 分 學 生 可 能 將 代 數 分 式

y x

x 3

3 中 分 子 和 分 母 的 3x 錯 誤 地 化

簡 而 得 出

y 1

1 。

在 本 學 習 重 點,學 生 不 須 進 行 過 度 繁 複 的 代 數 分 式 運 算。學 生 在 本 學 習 階 段 不 須 進 行 涉 及 求 最 大 公 因 式 的 異 分 母 代 數 分 式 運 算。學 生 不 須 學 習 部 分 分 式 分 解 。

學 習 重 點 13.2 旨 在 讓 學 生 理 解 公 式 為 一 描 述 變 量 關 係 的 代 數 等 式 , 在 代 入 同 一 個 變 量 不 同 的 值 時 可 透 過 步 驟 相 同 的 運 算 , 求 得 未 知 變 量 的 對 應 值。教 師 可 考 慮 以 現 實 生 活 例 子 或 科 學 教 育、科 技 教 育 學 習 領 域 相 關 學 習 元 素,加 強 學 生 的 知 識 聯 繫,例 子 諸 如 ︰ 密 度 公 式

D m

v

、溫 度 單 位 轉 變 公 式

9 32

5

F  C

等 。

(29)

在 學 習 重 點 13.3,學 生 須 運 用 移 項 法 對 不 涉 及 根 號 的 公 式 進 行 主 項 變 換。

學 生 在 變 換 公 式 主 項 的 過 程 中 或 需 因 式 分 解 公 式 中 的 部 分 代 數 式。教 師 亦 可 歸 納 和 比 較 算 術 四 則 運 算、解 方 程 和 主 項 變 換 時 的 運 算 步 驟 和 次 序,鞏 固 學 生 對 代 數 基 礎 運 算 的 知 識 和 技 能,以 備 學 生 日 後 應 用 代 數 處 理 較 複 雜 的 現 實 生 活 情 境 或 在 科 學 教 育 、 科 技 教 育 學 習 領 域 中 面 對 的 數 學 問 題 。

(30)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 數 與 代 數 範 疇

14. 一 元 一 次 不 等 式

14.1 理 解 不 等 式 的 概 念 14.2 認 識 不 等 式 的 基 本 性 質 14.3 解 一 元 一 次 不 等 式

14.4 解 涉 及 一 元 一 次 不 等 式 的 應 用 題

6

課 程 闡 釋 :

學 生 在 小 學 階 段 已 認 識「>」和「 <」符 號,並 用 以 表 達 兩 個 數 的 大 小 關 係;

而 在 學 習 重 點 7.1, 學 生 亦 須 以 代 數 式 表 達 文 字 片 語 。 在 這 些 基 礎 上 , 學 生 須 於 本 學 習 單 位 將 代 數 式 和 方 程 的 概 念 擴 闊 至 利 用 「>」、「 <」、「 ≥」 和

「≤」 符 號 建 立 並 解 一 元 一 次 不 等 式 。 學 習 重 點 14.1 須 包 括 ︰

 以 不 等 式 表 達 文 字 語 句

 在 數 線 上 表 示 以 下 不 等 式 ︰ x > a, x  a, x < a 和 x  a

學 生 須 理 解 符 號「>」、「 <」、「 ≥」和「 ≤」在 數 學 上 的 意 義 , 以 及 在 文 字 上 的 不 同 表 達 方 式。教 師 可 與 學 生 討 論 涉 及 諸 如「 最 多 」、「 最 少 」、「 至 多 」、

「 至 少 」、「 不 多 於 」、「 不 少 於 」等 用 語 的 現 實 生 活 情 境 , 加 深 學 生 理 解 符 號「>」、「 <」、「 ≥」和「 ≤」的 意 思 , 避 免 混 淆 。 教 師 亦 可 協 助 學 生 建 立 解 集 的 初 步 概 念 ( 學 生 不 須 認 識 「 解 集 」 一 詞 和 其 定 義 ), 例 如 不 等 式 x ≥ 3 的 解 即 所 有 符 合 這 個 數 值 關 係 的 值 , 如 3、 3.1、 4、 100 …… , 讓 學 生 理 解 不 等 式 的 解 在 數 線 上 的 表 示 方 法 所 包 含 的 數 學 意 義,以 便 銜 接 將 來 學 習 二 元 一 次 方 程、二 元 一 次 不 等 式 等 的 解 的 圖 象 表 達 方 法。 學 生 須 認 識「 一 元 一 次 不 等 式 」 亦 可 稱 為 「 一 元 線 性 不 等 式 」。

學 生 須 認 識 和 運 用 學 習 重 點 14.2 所 列 明 的 不 等 式 基 本 性 質 , 作 為 學 習 重 點 14.3 中 解 一 元 一 次 不 等 式 的 運 算 之 用 。 這 些 性 質 包 括 ︰

 若 a > b 和 b > c 則 a > c

 若 a > b 則 a  c > b  c

 若 a > b 和 c 為 正 數 , 則 ac > bc 和

c

b

a  c

(31)

 若 a > b 和 c 為 負 數 , 則 ac  bc 和

c b a  c

其 中 性 質 中 的 「 >」 和 「 <」 可 分 別 更 改 為 「 ≥」 和 「 ≤」 。 教 師 可 比 較 一 元 一 次 方 程 和 一 元 一 次 不 等 式 的 基 本 性 質,並 透 過 實 際 例 子 強 調 和 說 明 其 相 異 之 處 , 如 不 等 式 中「>」、「 <」、「 ≥」和「 ≤」四 種 關 係 只 具 傳 遞 性 而 不 具 對 稱 性( 學 生 不 須 認 識「 傳 遞 性 」、「 對 稱 性 」等 數 學 用 詞 )、

「 若 x > y 則 ax > ay」 並 非 恆 真 等 , 減 少 學 生 在 解 不 等 式 時 的 常 犯 運 算 錯 誤 。

學 生 須 於 學 習 重 點 14.3 解 一 元 一 次 不 等 式 並 在 數 線 上 表 示 不 等 式 的 解 , 但 不 包 括 涉 及 邏 輯 連 詞 「 和 」( 或「 及 」) 或 「 或 」 的 複 合 不 等 式 。 這 些 複 合 不 等 式 會 於 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 學 習 重 點 8.1 中 處 理 。

學 生 亦 須 於 學 習 重 點 14.4 應 用 上 述 的 概 念 和 知 識 , 解 涉 及 一 元 一 次 不 等 式 的 應 用 題 。

(32)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

15. 量 度 的 誤 差

15.1 認 識 量 度 中 誤 差 的 概 念

15.2 認 識 最 大 絕 對 誤 差 、 相 對 誤 差 和 百 分 誤 差 的 概 念

15.3 解 與 誤 差 有 關 的 應 用 題

15.4 ** 按 情 境 設 計 量 度 的 估 算 策 略 , 並 判 斷 結 果 的 合 理 性

6

課 程 闡 釋 :

學 生 在 小 學 數 學 課 程 度 量 範 疇 中 已 掌 握 選 擇 和 運 用 適 當 的 量 度 工 具 和 標 準 單 位 來 量 度 物 件 的 長 度 、 重 量 、 容 量 和 物 件 間 的 距 離 等 。 在 學 習 重 點 15.1, 學 生 須 進 一 步 認 識 任 何 度 量 的 實 際 值 均 為 未 知 量 , 而 不 同 量 度 工 具 和 量 度 方 法 的 結 果,如 從 數 碼 化 量 度 工 具 或 一 般 量 度 工 具 的 刻 度 讀 出 的 定 值,皆 視 為 度 量 的 近 似 值。雖 然 教 師 不 須 在 本 學 習 階 段 引 入 絕 對 值 的 名 稱 和 符 號 , 但 學 生 須 在 學 習 重 點 15.2 認 識 量 度 所 得 的 值 與 度 量 的 實 際 值 之 差 的 絕 對 值 為 該 量 度 的 絕 對 誤 差。教 師 可 引 導 學 生 認 識 絕 對 誤 差 與 刻 度 間 距 的 關 係,及 由 此 求 實 際 度 量 的 取 值 範 圍 和 該 量 度 的 最 大 絕 對 誤 差。教 師 應 在 關 於 最 大 絕 對 誤 差 的 討 論 中 引 入 實 際 值 的 上 限、下 限 的 概 念,及 以 最 大 絕 對 誤 差 描 述 量 度 的 準 確 度 。

學 生 亦 須 藉 著 延 伸 最 大 絕 對 誤 差 的 概 念 認 識 相 對 誤 差 及 百 分 誤 差。教 師 可 透 過 不 同 現 實 生 活 例 子 說 明 最 大 絕 對 誤 差、相 對 誤 差 和 百 分 誤 差 的 用 途 及 對 量 度 的 準 確 度 之 描 述 。 然 而 , 學 生 不 須 認 識 在 對 度 量 進 行 算 術 運 算 時 , 運 算 對 誤 差 的 影 響 ; 學 生 亦 不 須 處 理 運 用 公 式 計 算 度 量 時 的 累 積 誤 差 問 題 。

在 學 習 重 點 15.3,學 生 須 從 對 物 件 的 已 知 量 度 結 果 及 量 度 工 具 的 刻 度 間 距 或 實 際 值 的 取 值 範 圍,計 算 該 量 度 的 各 種 誤 差。學 生 亦 須 認 識 從 對 物 件 的 已 知 量 度 結 果 及 準 確 度 , 求 該 物 件 的 度 量 的 實 際 值 的 上 、 下 限 。 由 此 , 學 生 亦 須 處 理 諸 如 由 長 方 形 的 長 和 闊 的 量 度 結 果 及 準 確 度,求 長 方 形 面 積 的 上 限 和 下 限 等 問 題 。

在 學 習 重 點 15.4,教 師 亦 可 按 學 生 能 力 和 興 趣 加 入 適 當 的 增 潤 課 題,如 引

(33)

導 學 生 探 索 在 不 同 情 境 中 一 些 能 減 少 誤 差 的 量 度 策 略,如 同 時 量 度 多 件 相 同 物 件 的 總 重 量 然 後 取 平 均 值 作 該 物 件 的 重 量,在 假 設 這 些 相 同 物 件 重 量 皆 相 同 下 , 上 述 策 略 可 減 少 量 度 的 相 對 誤 差 和 百 分 誤 差 。

(34)

學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇

16. 弧 長 和 扇 形 面 積

16.1 理 解 圓 的 弧 長 公 式 16.2 理 解 圓 的 扇 形 面 積 公 式

16.3 解 與 圓 的 弧 長 和 扇 形 面 積 有 關 的 應 用 題 16.4 ** 認 識 中 國 古 代 數 學 家 劉 徽 的 割 圓 術 , 和 進

一 步 認 識 徽 率 和 祖 率

8

課 程 闡 釋 :

學 生 在 小 學 數 學 課 程 學 習 單 位 6M3「 周 界( 二 )」和 6M5「 面 積( 三 )」已 認 識 及 運 用 圓 的 圓 周 和 面 積 公 式,惟 不 包 括 從 已 知 圓 面 積 求 該 圓 的 直 徑 或 半 徑 等 問 題 。

在 本 學 習 單 位 , 學 生 須 理 解 圓 的 圓 心 角 、 弧 和 扇 形 等 數 學 概 念 。

在 學 習 重 點 16.1,學 生 須 理 解 弧 與 所 對 應 的 圓 心 角 成 正 比 例 的 性 質。教 師 可 考 慮 先 引 導 學 生 發 現 將 一 個 圓 在 圓 心 的 周 角 等 分 即 將 該 圓 等 分,從 而 理 解 若 弧 所 對 應 的 圓 心 角 為 一 周 角 等 分 n 份 後 取 m 份 , 則 該 弧 的 弧 長 亦 為 所 屬 的 圓 的 圓 周 等 分 n 份 後 取 m 份 。 由 此 理 解 任 何 弧 所 對 應 的 圓 心 角 與 一 周 角 之 比 與 該 弧 的 弧 長 與 所 屬 之 圓 的 圓 周 之 比 相 等。教 師 不 須 進 一 步 解 釋 這 個 比 例 關 係 在 無 理 數 時 的 情 況,但 由 此 衍 生 出 的 圓 的 弧 長 公 式 可 應 用 於 所 有 圓 的 弧 。 利 用 相 同 的 概 念 , 學 生 應 在 學 習 重 點 16.2 理 解 扇 形 面 積 與 對 應 圓 面 積 之 比 亦 等 於 該 扇 形 的 角 與 一 周 角 之 比,從 而 理 解 扇 形 面 積 公 式 。

在 學 習 重 點 16.3,學 生 須 運 用 圓 的 面 積 公 式、弧 長 公 式 及 扇 形 面 積 公 式 從 已 知 的 資 料 求 諸 如 面 積 、 半 徑 、 直 徑 、 弧 長 等 未 知 量 。 教 師 應 在 本 學 習 重 點 加 入 從 已 知 圓 面 積 求 圓 的 半 徑 和 直 徑 的 問 題,作 為 中、小 學 課 程 的 銜 接。

學 生 亦 須 解 與 圓 的 弧 長 和 扇 形 面 積 相 關 的 現 實 生 活 問 題 , 包 括 涉 及 由 圓 、 扇 形 、 長 方 形 等 圖 形 所 組 成 的 複 合 圖 形 的 周 界 和 面 積 的 應 用 題 。

在 學 習 重 點 16.4,教 師 可 按 學 生 能 力 和 興 趣 加 入 適 當 的 增 潤 課 題,如 認 識 劉 徽 如 何 利 用 割 圓 術 , 以 邊 數 為 6 的 倍 數 的 正 多 邊 形 逐 漸 逼 近 其 外 接 圓 , 以 求 出 更 準 確 的 圓 面 積 及 圓 周 率 的 近 似 值(徽 率 )。教 師 亦 可 向 學 生 介 紹 祖

(35)

沖 之 在 計 算 圓 周 率 的 近 似 值 所 取 得 的 成 果 , 如 祖 沖 之 提 出 的 約 率

22 7

和 密 率

355

113

(亦 稱 祖 率 )。 事 實 上 , 祖 沖 之 求 得 的 密 率

355

113

更 準 確 至 圓 周 率 的 7 個 有 效 數 字 。

參考文獻

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