  109 年特種考試地方政府公務人員考試試題

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(1)

等 別:三等考試

類 科:電力工程、電子工程 科 目:工程數學

考試時間: 2小時 座號:

※注意:禁止使用電子計算器。

甲、申論題部分:(50分)

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。

本科目除專門名詞或數理公式外,應使用本國文字作答。

一、假設 X 和 Y 為兩個獨立(independent)的隨機變數(random variables)且 X 和 Y 之平均值(mean)均為零,變異數(variance)為

2

的高斯分 布(Gaussian distribution)。隨機變數 X 和 Y 的聯合機率密度函數(joint pdf)為:

2 2

2 2

( , ) 1 exp ,

2 2

XY

x y

f x y x y

 

  

        

  ,

定義兩個新的隨機變數R及如下:假設

RX2Y2

  tan (1 Y X)

使得

XRcos

,且

Y

R

sin  。請證明隨機變數R的機率密度函數為

2

2 2

( ) exp 0

R

2

r r

f r r

 

 

      

  , 。 (6分)

二、假設 z 為一複數,求所有的 z 使得

cosz  2

。(4分)

假設 z 為一複數,計算

3 2

4 2

2 4

4

C

z z z z dz

 

,其中積分路徑 C 為圓

z 2 4

之順時針(clockwise)方向圓周(circle)。(4分)

三、 已 知 一 RC 電 路 系 統 可 由 微 分 方 程 式 ( differential equation ) ( ) 5 ( )=5 ( )

d y t y t x t

dt

表示,其中 x(t)為輸入,且 y(t)為輸出。假設

( ) (3 / 5) 2t ( )

x te u t

,且初始條件(initial condition)

y(0 )  2

,求 y(t)。

(8分)

已知一訊號 x(t)的單邊拉普拉斯轉換(unilateral Laplace transform)為:

2 2

2

2 1

( ) ( 2)

s s

X s e

s s

 

請求該訊號 x(t)的初值(initial value)及終值(final value)。(8分)

(2)

代號:34370 34470 頁次:4-2

四、求 k 使得

Axb

,其中

1 2 3 1 3 2 1 4 2 6 10 3 1 1 1 1

 

 

 

 

 

 

A

1 2 3 4

x x x x

  

 

  

 

x

3 6 6 k

  

 

  

 

b

; (7分)

如小題,求矩陣 A 的行列式值(determinant)。(3分)

請求以下線性系統的解

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

2 2 3

3

dx x x x

dt

dx x x x

dt

dx x x x

dt

   



   



   



,其中 x

1

(0)=1,x

2

(0)=0及

x3

(0)=1/2。 (10分)

乙、測驗題部分:(50分) 代號:7343

本測驗試題為單一選擇題,請選出一個正確或最適當的答案,複選作答者,該題不予計分。

共20題,每題2.5分,須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記,於本試題或申論試卷上作答者,不予計分。

1 對稱矩陣 = 1 0 2 0 0 0 2 0 4

,其對角化矩陣(diagonal matrix) = ,其中 是正交矩陣,求 =?

 0 0 0 0 0 0 0 0 5

 1 0 0 0 0 0 0 0 5

 0 0 0 0 2 0 0 0 5

 1 0 0 0 2 0 0 0 5 2 矩陣 和 ,令det = 6和det = 2,求det =?

12 6 3 0

3 設 為常數向量(constant vector), = + + ,∇= + + ,下列何者錯誤?

∇ ∙ = 3 ∇ ∙ ( × ) = 0

∇ × = 0 ∇ × ( × ) =

4 求∫( , )( , )2 + =?

10 15 20 25

5 矩陣 = 1 0

0 −1 ,求 =?

 2 0

0  0

0 2  0

0  2 0

0 2

(3)

6 下列矩陣何者的秩(rank)等於2。

 2 −2

0 0 

1 −23 −6 7 −14 5

 3 1 2 0

6 2 4 0 

2 1 3 6 3 9

−1 − −

7 下 列 那 一 個 是 適 合 的 積 分 因 子 ( integrating factor ) , 乘 上 它 以 後 , 將 使 微 分 方 程 式 (x+y)dx+xl n(x)dy=0變成正合(exact)?

x 3 1

x  12

x

8 微分方程式y6y9yt e2 3t,其中 (0) 2,yy(0) 。以拉普拉斯轉換(Laplace transform)求6

解後得到 ( ) 2( ) 2

( )

d

b

s c

Y s s a

,則下列何者錯誤?

a+b+c+d=15 a+b+c−d=7 a−b−c+d=−1 −a+b−c+d=−3 9 設 ( ) = + ∑ ( cos + sin )為函數 ( ) = ,− < < 之傅立葉級數(Fourier

series),其中 , , 為常數,下列何者正確?

 + ≠ 0  + ≠ 0  ∙ ≠ 0  ≠ 0

10 設 = + + 為微分方程 + + + = 0的通解(general solution),其中 , , , , , 為常數,下列何者正確?

 = −1  = −1  = −1  + + = −1

11 求積分方程 ( ) = cos + ∫ ( − ) 的解。

1 − sin 1 + sin cos − sin cos + sin

12 令連續隨機函數 X 具有機率密度函數 ( ) = , 0 ≤ ≤ 1

0 , otherwise ,求其變異數(variance) 。(其中 k 為常數)

1

403

401

803

80

(4)

代號:34370 34470 頁次:4-4 13 令連續二維隨機變數 X 和 Y 具有機率密度函數 ( , ) = , 0 ≤ ≤ 1 and 0 ≤ ≤ 1

0 , otherwise ,求 其機率 ( > 0.25, > 0.5)。(其中 k 為常數)

5

89

1645

6475

128

14 求複變函數積分∮ ( )( ) ,其中積分路徑 為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。

4i

4i

2i

2i

15 求複變函數積分∮ ( )( ) ,其中積分路徑 為逆時鐘方向繞橢圓周16 + = 4。

2 −2  −

16 複變函數 ( ) = − 3 + 4 − 5 ,求 =?

5 4 3 2

17 z 為一複數,若Γ 是平面中一個包含原點 z=0之封閉路徑,∮ ( ) =?

0 − 2 2  2

18 曲線 C 為平面上一個正向簡單封閉路徑,則 cos(2 ) 2sin(2 )

Cx y dx xy dy

 

=?

 xsin(2y)4  xsin(2y)2

0 1

2cos(2 ) 2cos(2 )

2 x yx y 19 令一曲線 C 為xt2, y t z, t2, 0  ,則t 1 2 z

Cx dxyzdye dz

=?

 1

e12  1

e12  11

e12  11

e12

20 下表所示為 x 及 y 機率質量函數(probability mass function, PMF),則 X 與 Y 之共變異數 COV(X,Y )=?

x1=1 x1=0 x1=−1

y1=1 0 1/4 1/4

y2=−1 1/4 1/4 0

1

4  1

2 −1 1

(5)

類科名稱:

109年特種考試地方政府公務人員考試

科目名稱:工程數學(試題代號:7343) 考試名稱:

電子工程、電力工程

單選題數:20題 單選每題配分:2.50分

題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案

第1題 A

第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題

第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題

第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題

第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題 第13題

第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題

第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題

第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題

第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題

第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題

第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題

C D B C B C D A D

D D C A C A D C C B

複選題數: 複選每題配分:

標準答案:

備  註:

數據

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參考文獻

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