投稿類別：數學類 篇名：

投稿類別：數學類

篇名：

k 階遞迴見矩形階遞迴見矩形階遞迴見矩形階遞迴見矩形，，，非似完美卻完美，非似完美卻完美非似完美卻完美 非似完美卻完美

作者：

張晏誠。台北市立成淵高中。高二 9 班 林芳生。台北市立成淵高中。高二 9 班 劉書妤。台北市立成淵高中。高二 9 班

指導老師：

林鳳美老師

壹 壹 壹

壹●前言前言前言前言

一 一 一

一、、、、研究動機研究動機研究動機研究動機：：： ：

在科學數學研究課老師介紹從數列的規律性找出其遞迴關係(recurrence relation)與一般式，其解法的概念是觀察觀察觀察→觀察→→歸納→歸納歸納歸納→→猜想→→猜想猜想猜想→→→→證明證明證明證明，也特別說明「遞 迴」(recursion) 是一種思考的方法，是解決問題的策略，遞迴概念並不只是代數 操作，可藉由此數列規律性的形式，這概念引起我們的興趣，於是開始思考透過 遞迴關係是否能建構出完美矩形或殘缺矩形的幾何圖形呢？於是展開我們的研 究。

二 二 二

二、、、、研究目的研究目的研究目的研究目的：：： ：

(一) 建構遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1的幾何圖形-完美矩形與找其一般式，且探討此 矩形的邊長比，同時探討邊長比與「無窮根式」的關係。

(二) 建構遞迴關係a_n+2 =ha_n+ka_n+1的幾何圖形-殘缺矩形。

(三 )建構遞迴關係a_n+3= +a_n a_n+1+a_n+2的幾何圖形。

(四 )建構遞迴關係a_n+4 = +a_n a_n+1+a_n+2+a_n+3的幾何圖形。

(五 )建構遞迴關係a_{n k+} = +a_n a_n+1+a_n+2+ +⋯ a_{n k+ −1}的幾何圖形。

三 三 三

三、、、、研究方法研究方法研究方法研究方法：：： ：

以許多觀點探討，並適時地向指導老師請教，其方法與流程圖如下圖一：

圖一：研究流程圖

貳 貳 貳

貳●●●●正文正文正文正文

一一

一一、、、、 k 階的線性遞迴階的線性遞迴階的線性遞迴階的線性遞迴關係關係關係關係式式定義式式定義定義定義與與與與一般式一般式一般式：一般式：： ：

遞迴關係 遞迴關係 遞迴關係

遞迴關係 ( ( ( (recurrence relationrecurrence relationrecurrence relationrecurrence relation))))，也就是差分差分方程差分差分方程方程方程 ( ( ( (difference equationdifference equationdifference equationdifference equation))))，是一個 公式可以循環使用，即一個序列{ }a_n ，

則 (1)初始初始初始初始條件條件條件條件：給定前幾項(如a a a …)的值。 ₁, ₂, ₃, (2)一般項a 可用前相鄰數項_n a_n−1,a_n−2,⋯表示。

符合(1)與(2)這種定義叫做遞迴遞迴遞迴關遞迴關關係關係係定義係定義定義定義。

遞迴遞迴關係式為遞迴遞迴關係式為關係式為關係式為a_{n k+} =c a_{1 n k+ −1}+c a_{2 n k+ −2}+c a_{3 n k+ −3}+ +⋯ c a_{k n}，其中c c c₁, ₂, ,₃ …,c_k 為常數且n≥k a, _k ≠0，稱為 k 階的線性遞迴階的線性遞迴關階的線性遞迴階的線性遞迴關關係關係係係，舉例如下：

1 2 3

n n n n n k

a =a ₋ +a₋ +a ₋ + +⋯ a ₋

例 1：a_n+2 =3a_n+1+5a_n是一個二二階二二階階階線性遞迴線性遞迴線性遞迴線性遞迴關關關關係係係係式式式式 例 2： ₂ 3 ¹

5

n n

n

a a

a

+ = + 是一個二二二二階階階階非非線性遞迴非非線性遞迴線性遞迴線性遞迴關關關關係係係係式式式 式

二 二 二

二、、、、二二二二階線性遞迴式階線性遞迴式階線性遞迴式階線性遞迴式a_n+2 =a_n +ca_n+1的一般式與的一般式與的一般式與的一般式與lim ^{n 1}

n n

a a

+

→∞ 的探討的探討的探討的探討：：：：

性質 性質 性質

性質 1111：：：：設二階遞迴關係式a_n+2 =a_n+ca_n+1⋯(1 1)− ，n≥1，其中c≠0， 則(1)存在 ,α β∈R使得a_n+2−αa_n+1=β(a_n+1−αa_n)的形式

(2) ₁ 1

[(1 ) ⁿ (1 ) ⁿ]

an β α α β

+ =α β − ⋅ − − ⋅

− 。

【證明證明證明】(1)設二階遞迴關係式證明 a_n+2 =a_n+ca_n+1⋯(1 1)− ，n≥1，其中c≠0 首先透過分拆項的方法可將二階遞迴關係式變形成為

2 1 ( 1 )

n n n n

a₊ −αa ₊ =β a₊ −αa 的形式，

展開得a_n+2−(α β+ )a_n+1+αβa_n =0， (2)與 (1 1)− 比較得

1 α β c

αβ + =



 = − ⇒ ,α β ^{為二次方程式x2}− − =^{cx 1 0}之二根 因為判別式D= −( c)²− ⋅ ⋅ − = + >4 1 ( 1) c² 4 0

所以方程式x²− − =cx 1 0有兩個相異實根得

2

2

4 2

4 2

c c

c c

α β

 = + +



 − +

 =



或

2

2

4 2

4 2

c c

c c

α β

 = − +



 + +

 =



因為a_n+2−αa_n+1=β(a_n+1−αa_n) 當n=1時，a₃−αa₂ =β(a₂−αa₁) 當n=2時，a₄−αa₃ =β(a₃−αa₂) 當n=3時，a₅−αa₄ =β(a₄−αa₃) ⋮

當n= −n 2時，a_n−αa_n−1 =β(a_n−1−αa_n−2) 當n= −n 1時，a_n+1−αa_n =β(a_n−αa_n−1) 將上各式兩邊相乘、化簡後得

a_n+1−αa_n =βⁿ⁻¹(a₂−αa₁)...(1 2)−

將 (1 2)− 式中 ,α β ^互換得a_n+1−βa_n =αⁿ⁻¹(a2 −βa1)...(1 3)− 令初始條件為a₁=1,a₂ =1

則由 (1 3)− 式 (1 2)− − 式得

1 1

2 1 2 1

(α β− )a_n =(a −βa)⋅αⁿ⁻ −(a −α βa) ⁿ⁻

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1

1 1

1 [(1 ) (1 ) ]

n n n n

n

n n

a a a a

a β α α β β α α β

α β α β α β α β

β α α β

α β

− − − −

− −

− − − −

= ⋅ − = ⋅ −

− − − −

= − ⋅ − − ⋅

− 因此 ₁ 1

[(1 ) ⁿ (1 ) ⁿ] (1 4)

an β α α β

+ =α β − ⋅ − − ⋅ −

− ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

將二階遞迴關係式a_n+2 =a_n+ca_n+1的一般式列出當c=1, 2, 3, 4, 5時，說明如下：

(1)當c=1時，設 ,α β ^{為二次方程式x2}− − =^{x 1 0}之二根相異實數，

則其解 1 5

x= ±2 ，取 1 5

α = ⁺2 與 1 5 β = ⁻2

得出 1 5 1 5

5, 1 , 1

2 2

α β− = − =α ⁻ − =β ⁺ 代入 (1 4)− 式得

1 1

1

1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 5 1 5

[( ) ( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ]

2 2 2 2 2 2

5 5

n n n n

an₊ = + ⋅ + − − ⋅ − = + ⁺ − − ⁺

因此 _{1 2 1} 1 1 5 ¹ 1 5 ¹

1, 1, [( ) ( ) ], 2

2 2

5

n n

a = a = an₊ = + ⁺ − − ⁺ n≥

(2)當c=2時，設 ,α β ^{為二次方程式x2}−^2x− =^{1 0}之二根相異實數，

則其解x= ±1 2^，取α = +1 2^與β = −^{1 2}

得出α β− =2 2, 1− = −α 2, 1− =β 2 代入 (1 4)− 式得

1

1 1

[( 2) (1 2) ( 2) (1 2) ] [(1 2) (1 2) ] 2 2 2

n n n n

an₊ = ⋅ + − − ⋅ − = + + −

(3)同理可推得當c=3, 4, 5時情形的一般式，如下表一：

表一：當c=1, 2, 3, 4, 5時，二階遞迴關係式a_n+2 = +a_n ca_n+1的一般式。

2 1

n n n

a₊ = +a ca ₊ α β, ^{二階遞迴關係式二階二階二階遞迴關係式遞迴關係式遞迴關係式}an₊2 = +an can₊1的一般式的一般式 的一般式的一般式

2 1

n n n

a₊ = +a a₊ 1 5 2

± ^{1 1}

1

1 1 5 1 5

[( ) ( ) ]

2 2

5

n n

an₊ = + ⁺ − − ⁺

2 2 1

n n n

a₊ =a + a ₊ 1± 2

1

1[(1 2) (1 2) ] 2

n n

an₊ = + + −

2 3 1

n n n

a₊ =a + a ₊ 3 13 2

±

1

1 1 13 3 13 1 13 3 13

[( )( ) ( )( ) ]

2 2 2 2

13

n n

an₊ = − + + + + −

2 4 1

n n n

a₊ =a + a ₊

2± 5

1

1 [( 1 5)(2 5) (1 5)(2 5) ] 2 5

n n

an₊ = − + + + + −

2 5 1

n n n

a₊ =a + a ₊

5 29

2

±

1

1 29 3 5 29 29 3 5 29

[( )( ) ( )( ) ]

2 2 2 2

29

n n

an₊ = − + + + −

接著探討二階遞迴關係式a_n+2 =a_n+ca_n+1中lim ^{n 1}

n n

a a

+

→∞ 為何？

定理 定理 定理

定理 1111：：：設二階遞迴關係式： a_n+2 =a_n+ca_n+1變形為a_n+2−αa_n+1=β(a_n+1−αa_n)，其 中c≠0的正整數且n≥2，且 ,α β ^{為二次方程式x2}− − =^{cx 1 0}之二相異 實根，且α β> ，則lim ^{n 1}

n n

a a⁺ α

→∞ = 。

【證明證明證明證明】 ¹

1 1

1 [(1 ) (1 ) ]

lim lim

1 [(1 ) (1 ) ]

n n

n

n n n n n

a a

β α α β α β

β α α β

α β

+

→∞ →∞ − −

− ⋅ − − ⋅

= −

− ⋅ − − ⋅

−

1

1 1

1

(1 ) (1 ) ( )

(1 ) (1 )

lim lim

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( )

n

n n

n n

n n n

β α α β β

β α α β α

β α α β β α β

α

−

− −

→∞ →∞ −

− ⋅ − − ⋅ ⋅

− ⋅ − − ⋅

= =

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

因為α β> ，所以 1 β 0

− < <α ，考慮當n→ ∞^{時，( )}β ^{n 1 0} α ^{− →} 故當n→ ∞^時，

1 1

1

(1 ) (1 ) ( )

(1 ) 0

lim lim

(1 ) 0 (1 ) (1 ) ( )

n n

n n n n

a a

β αβ αα αββ β β αβ α α

− +

→∞ →∞ −

− ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ −

= = =

− −

− − − ⋅

定理 定理 定理

定理 2222：：：設二階遞迴關係式： a_n+2 = +a_n ca_n+1變形為a_n+2−αa_n+1=β(a_n+1−αa_n)，其 中c≠0的正整數且n≥2，且 ,α β ^{為二次方程式x2}− − =^{cx 1 0}之二相異 實根，且α β> ，則α ^{化為無窮根式}無窮根式無窮根式無窮根式有其規律性有其規律性有其規律性有其規律性。

【證明證明證明證明】令

2 4

2

c c

x= + + ，則2x c− = c²+4

兩邊平方得(2x c− )² =( c²+4)²

推得4x²−4cx c+ = +² c² 4⇒4x²−4cx− =4 0 兩邊同除以 4 得x² = +cx 1

因此

2 4

2

c + +c_為方程式 2

1

x = +cx 的正實根且令

2 4

2

c c

α = ^{+ +} 因為x= 1+cx

可推得α ^{可化為無窮根式 1}+^{c 1}+^{c 1}+^{c 1}+^c ⋯

加以證明，令α = 1+c 1+c 1+c 1+c ⋯

兩邊平方得α² = +1 c 1+c 1+c 1+c ⋯ 利用無窮觀念得α² = +1 cα

移項得α²−cα− =1 0，代入公式解得

2 4

2

c c

α = ^{+ +}

因此α ^{可化為無窮根式 1}+^{c 1}+^{c 1}+^{c 1}+^c ⋯ 。

下表二：當c=1, 2, 3, 4, 5時，二二二二階階階階遞迴關係式遞迴關係式遞迴關係式遞迴關係式a_n+2 =a_n +ca_n+1的無窮根式。。。。 二階二階

二階二階遞迴關係式遞迴關係式遞迴關係式遞迴關係式

2 1

n n n

a ₊ =a +ca ₊

α 為二次方程式為二次方程式^{為二次方程式}為二次方程式

2 1 0

x − − =cx 之一正實根之一正實根之一正實根之一正實根

化成無窮根式 化成無窮根式化成無窮根式 化成無窮根式

2 1

n n n

a₊ =a +a₊ 1 5

α = ⁺2 1+ 1+ 1+ 1+ ⋯

2 2 1

n n n

a₊ =a + a ₊ α = +1 2

1 2 1 2 1 2 1 2+ + + + ⋯

2 3 1

n n n

a₊ =a + a ₊ 13 3

α = 2⁺ 1 3 1 3 1 3 1 3+ + + + ⋯

2 4 1

n n n

a₊ =a + a ₊ α = 5+2

1 4 1 4 1 4 1 4+ + + + ⋯

2 5 1

n n n

a₊ =a + a ₊ 29 5

α = 2⁺ 1 5 1 5 1 5 1 5+ + + + ⋯

⋮ ⋮ ⋮

2 1

n n n

a₊ =a +ca ₊

2 4

2

c c

α = ^{+ +} _{1+c 1+c 1+c 1+c} ⋯

三 三 三

三、、、建構、建構建構建構二階二階二階遞迴關係二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1的幾何圖形的幾何圖形 的幾何圖形的幾何圖形

((((一一一))))建構一建構建構二階建構二階二階遞迴關係二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 = +a_n a_n+1的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形

令 n N∈ ，設a 為正方形的邊長，且此正方形邊長數列_n

{ }

1

2

3 1 2

4 2 3

5 3 4

1 1

1 1 2 1 2 3 2 3 5 a

a

a a a a a a a a a

=

=

= + = + =

= + = + =

= + = + =

⋮

對於任意自然數n，a_n+2 =a_n+a_n+1 同時我們可建構完美矩形完美矩形完美矩形完美矩形如下圖二所示：

a1 a₂ a3 a⁴

a5

a6

1 1 1 2

3

5

8

圖二 圖二 圖二

圖二：：：遞迴關係：遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 =a_n +a_n+1前 6666 項前前前 項項項經經經經 4444 次遞迴次遞迴建構次遞迴次遞迴建構建構建構的的的的完美矩形完美矩形完美矩形完美矩形

由上圖由上圖由上圖二由上圖二二二可知此數列為費氏數列可知此數列為費氏數列，可知此數列為費氏數列可知此數列為費氏數列，，當，當當當n→ ∞^{時時時時，，，，最大完美矩形的長邊最大完美矩形的長邊最大完美矩形的長邊最大完美矩形的長邊：：：：短邊短邊短邊短邊}

的比值的比值

的比值的比值逼近逼近逼近逼近黃金比為黃金比為黃金比為黃金比為 5 1 2

+ ，，，也是長邊，也是長邊也是長邊也是長邊：：短邊的比值為：：短邊的比值為短邊的比值為短邊的比值為lim ^{n 1}

n n

a a

+

→∞ 。。 。。

((((二二二))))建構二建構建構二階建構二階二階遞迴關係二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 =a_n+2a_n+1的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形

令 n N∈ ，設a 為正方形的邊長，且此正方形邊長數列_n

{ }

1

2

3 1 2

4 2 3

5 3 4

1 1

2 1 2 3

2 1 6 7

2 3 14 17

a a

a a a

a a a

a a a

=

=

= + = + =

= + = + =

= + = + =

⋮

對於任意自然數n，a_n+2 = +a_n 2a_n+1 同時我們可建構完美矩形完美矩形完美矩形完美矩形如下圖三所示：

a1 a₂ 1 1

1 a2

1

3

3

7

7 7

7 a3

a3

a4 a₄

圖 圖 圖

圖三三三：三：：：遞迴關係遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 = +a_n 2a_n+1前 4444 項前前前 項項項經經經經 2222 次遞迴次遞迴建構次遞迴次遞迴建構建構的建構的的完美矩形的完美矩形完美矩形 完美矩形

由上圖由上圖三由上圖由上圖三三三可知此數列當可知此數列當可知此數列當可知此數列當n→ ∞^{時時時時，，最大完美矩形，，最大完美矩形最大完美矩形最大完美矩形的長邊的長邊的長邊的長邊：：：：短邊的比值逼近短邊的比值逼近短邊的比值逼近短邊的比值逼近為為為為} 1+ 2^{，，也是長邊，，也是長邊：也是長邊也是長邊：：：短邊的比值為短邊的比值為短邊的比值為短邊的比值為lim n 1}

n n

a a

+

→∞ 。。 。。

((((三三三))))建構三建構建構二階建構二階二階遞迴關係二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形

令 ,n c∈N且，設a 為正方形的邊長，且此正方形邊長數列_n

{ }

1

2

3 1 2

2

4 2 3

2 3 2

5 3 4

2 3 2 4 3 2

6 4 5

1 1

1

1 ( 1) 1

(1 ) ( 1) 2 1

( 1) ( 2 1) 3 2 1

a a

a a ca c

a a ca c c c c

a a ca c c c c c c c

a a ca c c c c c c c c c c

=

=

= + = +

= + = + + = + +

= + = + + + + = + + +

= + = + + + + + + = + + + +

⋮

對於任意自然數n，a_n+2 =a_n+ca_n+1 同時我們可建構完美矩形完美矩形完美矩形完美矩形如下圖四所示：

⋮ c 1+

c 1+ c 1+

c2+ +c 1

⋯ 1

1 1

c

⋮ c

c2+ +c 1

3 2

2 1 c c+ + +c

圖 圖圖

圖四四：四四：：遞迴關係：遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1前 5555 項前前前 項項項經經經經 3333 次遞迴次遞迴建構次遞迴次遞迴建構建構建構的的的的完美矩形完美矩形完美矩形完美矩形

由上圖由上圖由上圖由上圖四四四四可知此數列當可知此數列當可知此數列當可知此數列當n→ ∞^{時，時時時，，最大完美矩形的長邊，最大完美矩形的長邊最大完美矩形的長邊最大完美矩形的長邊：：：：短邊的比值逼近為短邊的比值逼近為短邊的比值逼近為短邊的比值逼近為}

2 4

2 c + +c

，，

，，也是長邊也是長邊也是長邊也是長邊：：：：短邊的比值為短邊的比值為短邊的比值為短邊的比值為lim ^{n 1}

n n

a a

+

→∞ 。。。。 結論結論

結論結論：：：在符合：在符合在符合在符合二階遞迴關係二階遞迴關係二階遞迴關係二階遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1下下，下下，因，，因矩形因因矩形矩形的矩形的的邊長的邊長邊長邊長a_n+2恰好由恰好由恰好由恰好由 1111 個個個個a_n 和和

和和c個個個個a_n+1所組成的矩形是所組成的所組成的所組成的矩形是矩形是矩形是完美完美完美完美的的的的，，故，，故故二階遞迴關係故二階遞迴關係二階遞迴關係二階遞迴關係a_n+2 = +a_n ca_n+1幾何圖形必幾何圖形必幾何圖形必幾何圖形必 為完美矩形

為完美矩形 為完美矩形 為完美矩形。。。 。

四 四 四

四、、、、建構建構建構建構二階二階二階遞迴關係二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 =ha_n +ka_n+1的幾何圖形的幾何圖形 的幾何圖形的幾何圖形 考慮h=2,k =3，即二階二階遞迴關係二階二階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 =2a_n+3a_n+1

令 n N∈ ，設a 為正方形的邊長，且此正方形邊長數列_n

{ }

1

2

3 1 2

4 2 3

1 1

2 3 2 1 3 1 5

2 3 2 1 3 5 17

a a

a a a

a a a

=

=

= + = ⋅ + ⋅ =

= + = ⋅ + ⋅ =

⋮

對於任意自然數n，a_n+2 =2a_n +3a_n+1 同時我們可建構殘缺殘缺殘缺殘缺矩形矩形矩形矩形如下圖五所示：

a1 a1 a2 a2 a2 a2

a3

a3

a

a

a

a

a3

圖 圖 圖

圖五五：五五：：遞迴關係：遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_n+2 =2a_n+3a_n+1前前前前 5555 項經項經項經項經 3333 次遞迴次遞迴建構次遞迴次遞迴建構建構建構的殘缺的殘缺的殘缺的殘缺矩形矩形矩形矩形 結論結論

結論結論：：：在符合：在符合在符合二階遞迴關係在符合二階遞迴關係二階遞迴關係二階遞迴關係a_n+2 =ha_n +ka_n+1(((( ,h k 大於大於大於 1111 的正整數大於 的正整數的正整數的正整數))))下下下下，，因，，因因因矩形矩形矩形矩形的的的的 邊長邊長

邊長邊長a_n+2需要需要需要需要 h 個個個個a 和_n和和和 k 個個個個a_n+1所組成的所組成的所組成的所組成的，，，，但在滿足但在滿足 h 和但在滿足但在滿足 和和 k 個數時和 個數時個數時，個數時，，，只能使其與只能使其與只能使其與只能使其與 符合邊長符合邊長

符合邊長符合邊長a_n+2，，，，而矩形會產生部份空白的而矩形會產生部份空白的而矩形會產生部份空白的而矩形會產生部份空白的，，此矩形是殘缺的，，此矩形是殘缺的此矩形是殘缺的，此矩形是殘缺的，，故，故故二階遞迴關係故二階遞迴關係二階遞迴關係二階遞迴關係

2 1

n n n

a₊ =ha +ka₊ 的幾何圖形必為的幾何圖形必為殘缺的幾何圖形必為的幾何圖形必為殘缺殘缺矩形殘缺矩形矩形。矩形。。 。

五 五 五

五、、、、建構遞迴關係建構遞迴關係建構遞迴關係建構遞迴關係a_n+3 = +a_n a_n+1+a_n+2的幾何圖形的幾何圖形 的幾何圖形的幾何圖形

令 n N∈ ，設a 為正方形的邊長，且此正方形邊長數列_n

{ }

1

2

3

4 1 2 3

5 2 3 4

6 3 4 5

1 1 2

1 1 2 4

1 2 4 7

2 4 7 13 a

a a

a a a a a a a a a a a a

=

=

=

= + + = + + =

= + + = + + =

= + + = + + =

⋮

對於任意自然數n，a_n+3= +a_n a_n+1+a_n+2 同時我們可建構殘缺殘缺殘缺殘缺矩形矩形矩形矩形如下圖六所示：

7

a1

a4

a3

4 2

a

a2

a32

a2

a4 4

2 1 1

a

a

24 24

a

結論結論

結論：結論：：：由上推論得三階遞迴關係由上推論得三階遞迴關係由上推論得三階遞迴關係由上推論得三階遞迴關係a_n+3 = +a_n a_n+1+a_n+2的幾何圖形必為殘缺矩的幾何圖形必為殘缺矩的幾何圖形必為殘缺矩的幾何圖形必為殘缺矩 形形

形形，，，，同理可推同理可推同理可推同理可推 k 階階階遞迴關係階遞迴關係遞迴關係遞迴關係a_{n k+} = +a_n a_n+1+a_n+2+ +⋯ a_{n k+ −1}的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形的幾何圖形必為殘缺必為殘缺必為殘缺必為殘缺 矩形矩形

矩形矩形。。。。

參 參 參

參●●●●結論結論結論結論

本研究先從二階線性遞迴關係為主軸，透過探討我們發現，其可以推導出對 應的通式以及無窮根式，並且透過分析，我們發現遞迴關係式數列相鄰兩項的比 值取極限後會恰等於特徵方程式x²− − =cx 1 0的實根，同時建構出完美矩形的幾 何意義，再將其推廣至 k 階線性遞迴關係，都存在有一個對應的幾何圖形，我們 分完美與殘缺兩種型矩形，雖有殘缺與完美，但若從其邊長恰為前幾項的角度來 看，皆為完美的，當深入觀察圖形推衍的規律性，即能見到完美之處！

本研究源於數，興於圖，成於論，從一個簡短的遞迴關係式出發，進而演變 出幾何圖形，再透過幾何圖形去發現新的遞迴關係式，這就如同遞迴關係式一 樣，不斷的輪迴，不斷的精進，不停地創造我們的奇蹟。

肆 肆 肆

肆●●●●引註資料引註資料引註資料引註資料

1. 張福春、莊淨惠(2009)。線性遞迴關係之求解。數數數數學傳學傳學傳學傳播播播播，33(4)，47-62。

2. 吳振奎(1993)。斐波那契數列斐波那契數列斐波那契數列斐波那契數列。台北市：九章出版社。

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台北市，南一書局。

4. 郭印川、李佳穎(2007)。完美正方形完美正方形完美正方形完美正方形。臺灣二 O O 七年國際科學展覽會作品。

5. 世部真市(2004)。

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