製作老師:趙益男 / 基隆女中教師
發行公司:龍騰文化事業股份有限公司
Ch1 三角
1-3 正弦定理與餘弦定理
甲、三角形面積公式
課本頁次: 32
△ ABC中, 以符號 a, , b c 分別表 , B,
A C
的對邊長。
A B
C
b
c
a
甲、三角形面積公式
課本頁次: 32
三角形面積 = 1 2
(底 × 高)
(1) 為銳角 A
= 1 ( sin )
2 c b A 1
= sin 2 bc A
A B
C
b
c
sin b A
底 高
H
甲、三角形面積公式
課本頁次: 32
三角形面積 = 1 2
(底 × 高)
(2) 為直角 A
= 1 ( sin )
2 c b A 1
= sin 2 bc A sin A 1
A B
C
b
底 高
c sin
b A =
甲、三角形面積公式
課本頁次: 32
三角形面積 = 1 2
(底 × 高)
(3) 為鈍角 A
= 1 ( sin )
2 c b A 1
= sin 2 bc A
A B
C
b
底 高
c
18
sin 0
b A
sin b A
180 A
=
甲、三角形面積公式
課本頁次: 33
△ ABC
若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,
A B C
的對邊長,則
△ ABC 的面積 1
= sin
2 bc A 1
2 ca sin B
1
2 absinC
已知三角形「兩邊的邊長」 及其「夾角的度數」 , 求三角形的面積 .
兩邊夾角_SAS
使用時機:
例 1
課本頁次: 33
在△ ABC中, 已知 a 8, b 10, 且 C 30, 求△ ABC的面積 .
解: △ ABC 的面積 1 sin
2 ab C
10 i 3 1 8
n 0 2 s
20
8 10 30
1 8 2
1 10 2
隨 1
求下列 △ ABC 的面積 . (1) a 4, c 5, B 120解: △ ABC 的面積 1 sin 2 ac B
5 1
2 4 n 20
1 si
5 3
3 1
2 4 5 2
課本頁次: 33
隨 1
求下列 △ ABC 的面積 . (2) b 5, c 4, B 90 解: △ ABC 的面積1 sin 2 ac B
4 i 90 1 3
2 s n
6 1 3
2 4 1
B A C
5
4 3
課本頁次: 33
例 2
在△ ABC中, 已知 b 4, c 5,A 於
(1) 求面積比 ABD 解:
ABD
的內角平分線交 BC D
: ACD
A
B C
4
5 x
D 設 AD x
ACD =
2 5 s n
1 x i
2 4 s n
1 x i
= 5 4
= 5 : 4
課本頁次: 34
2 5 i 6
1 x s n 0 i 6 2 4
1 x s n 0 1
si 1 0
4 2
2 5 n
例 2
(2) 已知 解: ABD求 AD
ACD
20
x 9
20 120 9
A , 長
+ = ABC
+ =
5x 4x 5 4
9x 20 6012060
A
B C
5 4
D xx
課本頁次: 34
隨 2
在△ ABC中, 已知 b 2, c 1,A 於
解:
的內角平分線交 BC D 設 AD x
90
A
求 長
, AD
2 1 i 4
1 x s n 5 i 4 2 2
1 x s n 5 1 2
sin 90 2 1
2 2 x 3
+ =
1 2 1
2 1 2
x x 2
3 2 2
x 45 45
A
B C
1 2
D x
2 2 3
90
課本頁次: 34
乙、正弦定理
1 sin 2 ab C 1
2 bcsin A
1
2 casin B
ABC
的面積 12 abc 時除以
同
sin A
=
sin B=
sin Ca b c
= =
sin A sin B sin C
a b c
課本頁次: 34
△
乙、正弦定理
△ ABC
若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,
A B C
的對邊長,而外接圓半徑為 R , 則
= =
sin A sin B sin C
a b c
=
2R試證: 2
sin
a R
A
課本頁次: 35
乙、正弦定理
試證: 2
sin
a R
A
設 A 為銳角 證明:
A
A
2R
a
銳角三角形 sin A sin A
2R
a
sin 2 a
A R
課本頁次: 35
乙、正弦定理
試證: 2
sin
a R
A
設 A 為銳角 證明:
A
A
2R
鈍角三角形 a sin A sin A
2R
a
sin 2 a
A R
課本頁次: 35
乙、正弦定理
試證: 2
sin
a R
A
設 A 為銳角 證明:
A
A
2R
直角三角形 a sin A sin A
2R
a
sin 2 a
A R
課本頁次: 35
乙、正弦定理
應用:
a : :b c sin A: sin B : s ni C
a 2 sinR A, b 2 sinR B, c 2 sinR C
sin A
2R
a sin B
2R
b sinC
2R
c
, ,
R 2sina
A
2sin b
B
2sin c
C
課本頁次: 35
例 3
在△ ABC中, 已知 A: B : C 1:4:1求 a : :b c 解:
= 1: 3 :1 180 1 30 A 6
4
180 6 120 B
180 1 30 C 6
: :
a b c sin : sin : sinA B C 1
sin30 : sin 20 : sin30
3 1
2 :
2 2 : 1
1: 3 :1
課本頁次: 36
隨 3
在△ ABC中,
b c
: c a
: a b
5 : 6 : 7求 sin : sin : sinA B C 解:
= 4 : 3 : 2 5 , 0
b c k k 6
c a k 7 a b k
a b c 5 6 7 2 9
k k k
k
9 5 4 9 6 3 9 7 2
a k k k
b k k k
c k k k
sin : sin : sinA B C
4 : 3: 2
+ )
: : a b c
課本頁次: 36
例 4
在△ ABC中, A 45 , B 60 , BC 2(1) 解:
長與 6 2
(sin 75 ) 4
AC AB 長
2 sin 45
2 2
2 2
3
AC AC 3 sin60
AC
課本頁次: 36
例 4
在△ ABC中, A 45 , B 60 , BC 2(1) 解:
長與 6 2
(sin 75 ) 4
AC AB 長
2 sin 45
6 2
2 2
2 4
AB
6 2
AB 2
sin75
AB
75
課本頁次: 36
例 4
在△ ABC中, A 45 , B 60 , BC 2(2) 解:
外接圓半徑
△ ABC
2sin R a
A
2 2 2
2
1
2si 2
5 n 4
課本頁次: 36
A C B
隨 4
在△ ABC中, A 30 , C 45 , BC 2(1) 解:
AC 長 2 sin 30
6 2
1 2
2 4
AC
3 1
AC
sin105
AC
30 45
105 2
課本頁次: 37
A C B
隨 4
在△ ABC中, A 30 , C 45 , BC 2解:
30 45
2 (2) △ ABC 外接圓半徑
2sin R a
A
2 2 1
2
2
2si 2
0 n3
課本頁次: 37
丙、餘弦定理
△ ABC
若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,
A B C
的對邊長,則
2 b2 2 2 cos a c bc A
2 c2 2 2 cos b a ca B
2 a2 2 2 cos c b ab C
課本頁次: 37
丙、餘弦定理
2 b2 2 2 cos a c bc A 證:
c
a
bcos , sinA
C b A
b
x y
A B
c,0a2 ( cosb A c)2 ( sinb A 0)2
2 2 2 2 2
(b cos A 2 cosbc A c ) b sin A
2(cos2 sin2 ) 2 2 cos
b A A c bc A
2 2 2 cos
b c bc A
課本頁次: 38
丙、餘弦定理
2 b2 2 2 cos a c bc A
2 c2 2 2 cos b a ca B
2 a2 2 2 cos
c b ab C
2 2 2
cos 2
b
b c
c A a
2 2 2
cos 2
c
c a
a B b
2 2 2
cos 2
a
a b
b
C c
課本頁次: 38
丙、餘弦定理
2 b2 2 2 cos a c bc A (1) A 是銳角
90
A cos A 0 a2 b2 c2 (2) A 是鈍角
90
A cos A 0 a2 b2 c2 (3) A 是直角
90
A cos A 0 a2 b2 c2
課本頁次: 38
例 5
課本頁次: 39
在△ ABC中,已知 AB 8, AC 3, A 60 求
解:
BC 長度
A B
C 3
8 60
BC2 32 82 2 3 8 cos60
2 2 2
3 3 1
8 8
2
64 9
9 24 4
∴ BC 49 7
隨 5
課本頁次: 39
在△ ABC中,已知 AB 3, AC 5, A 120 求
解:
BC 長度
A B
C 3
5 120
BC2 32 52 2 3 5 cos120
2 2
3 5 2 3 5 ( 1 2)
25 9
9 15 4
∴ BC 49 7
, , 3
15 7 1
AB AC BC
例 6
課本頁次: 39
在△ ABC中,已知 求
解:
A 的度數
c b a
2 2 2
cos 2
A b c
b
a c
2 2 1 2
7
2 15
1
3 7 5
169 2
4 1
2 5
9 225 1 7
∴ A 60
3, 5 7,
AB AC BC
隨 6
課本頁次: 39
在△ ABC中,已知 求
解:
C 的度數
c b a
2 2 2
cos 2
C a b
a
c b
2 2 72
2 3
3 5
5
2
49 1 9
2 5
3 2
5
∴ C 120
3, 7, 3, 5 AB AC BD CD
例 7
課本頁次: 40
在△ ABC中,
求 解:
的長度 ____
AD
x
cos B 32 32 2 2 3 3
x
2 2 2
3 8 7
2 3 8
2 9
18 3
64 49 8
x
2
9
x AD x 3
3
5, 7, 6 AB AC BC
隨 7
課本頁次: 40
在△ ABC中,
求中線 解:
的長度 ____
AM
x cos B
2 2 2
5 3
2 5 3
x
2 2 2
5 6 7
2 5 6
2 25 36 49 6
34 3
x
2 28
x AM x 2 7
2 7 A
B M C
5
3
7
3
4, 5, 4, AB BC CD
例 8
課本頁次: 40
ABCD 為圓內接四邊形﹐
求對角線 解:
的長度 ____
4, AC DA
x cosB cos D 0
2 2 2 2 2 2
5 4 4 4
2 5 4 2 4 4 0
x x
2 2
41 32 5 4 0
x x
x2 36
6 AC x
6
4, 6, 6, AB BC CD
隨 8
課本頁次: 41
ABCD 為圓內接四邊形﹐
求 解:
的長度 ____
120 , AD
B 10
A
B C
x D
6 6
2 4
AC 42 62 2 4 6cos120
2 62 2 6cos60
x x
120
24 2 36 6 6
16 3 x x
2 6 40 0
x x
x 10
x 4
010
x 4
AD 1060
或 ∴
海龍公式
在△ ABC 中 , 若三邊長為 a, b 和 c, 則△ABC 的面積 1
2 bcsin A
= 1 cos2 2
bc A
1 cos
1
= 2c cos
A A
b
2 2
2 2 2 2
( )(1
2
2 )
2 1
b c a
bc
a
b b
c
c c
b
2 2 2 2 2 2
(2 )(2
2 2 2 )
bc b c a bc
bc b c a bc
bc
課本頁次: 41
海龍公式
在△ ABC 中 , 若三邊長為 a, b 和 c, 則△ABC 的面積 1
2 bcsin A
= 1 cos2 2
bc A
2 2 2 2 2 2
(2 )(2
2 2 2 )
bc b c a bc
bc b c a bc
bc
2 2 2 2 2 2 2
( )( 2 )
2 2
2
b bc c a bc
a b bc c b
bc
c
課本頁次: 41
海龍公式
在△ ABC 中 , 若三邊長為 a, b 和 c, 則△ABC 的面積 1
2 bcsin A
= 1 cos2 2
bc A
2 2 2 2 2 2 2
( )( 2 )
2 2
2
b bc c a bc
a b bc c b
bc
c
2 2 2
22 2
( )( )
2
b c a bc
a b c bc
bc
2 2 2 2
a b c b c a a c b a b c
課本頁次: 42
海龍公式
在△ ABC 中 , 若三邊長為 a, b 和 c, 則△ABC 的面積 1
2 bcsin A
= 1 cos2 2
bc A
2 2 2 2
a b c b c a a c b a b c
( )( )( ) s s a s b s c
s s a s b s c
其中 2
a b c s
課本頁次: 42
海龍公式
在△ ABC 中 , 若三邊長為 a, b 和 c,
且 ,
2
a b c
s 則
△ABC 的面積 s s a s b s c( )( )( )
課本頁次: 42
, 7
10, 9 1
a b c
例 9
課本頁次: 42
在△ ABC中,已知 求△ ABC 的面積 解:
s s a s b s c
18 18 10 18 9 18 17
9 1
8 8 36
1
( 0 9 18) 2
1 17
s
36
13 1
, , 5
4
a b c
隨 9
課本頁次: 42
在△ ABC中,已知 求△ ABC 的面積 解:
s s a s b s c
16 16 4 16 13 16 15
12
6 1
1 3 24
( 13 16)
2
4 15
s
24
例 10
課本頁次: 43
解:
某校欲在校園內 A B C﹑ ﹑ 三地都等距離的地 方設置無線網路基地台﹐已知三地間的距離
求基地台與三地的距離﹒
70 , 80 , 90 ,
AB 公尺公尺公尺AC BC
7 0
8 0
9 0
例 10
課本頁次: 43
解:
求基地台與三地的距離﹒
70 80
P 90 A
B C
設基地台的位置為點 P,
則 P 為△ ABC 外接圓的圓心 , 所求距離為外接圓半徑 R.
90 80 7
4
, ,
2
0 abc
a b c
a b
a b c
s s s s
s R
c
其中
R
例 10
課本頁次: 43
70 80
P 90 A
B C
, 90, 80, 7 4
2 abc 0
a b c
a b c
a
s s s b c
R
s s
其中
90 80 70
1200 5 )
4 21 5(
R
基地台與三地的距離 公尺
120 120 90 120 80 120 70 1200 5
70 80 2 120
s 90
R
隨 10
課本頁次: 43
解:
探險隊從沉船上撈起一只手錶﹐僅有鏽蝕的 時針痕跡及 12 點方向的刻度存在﹐如圖所示﹒
利用直尺量得﹐手錶中心點與 12 點的距離為 5 ; 鏽蝕的時針長度為 3﹐
問該只手錶停於幾點幾分?
5
3
7
cos 2 2 72 2
3
3 5
5
1
2
120
手錶停於四點整
而 12 點與時針尖端的距離為 7﹒