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1-3 正弦定理與餘弦定理

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Academic year: 2021

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(1)

製作老師:趙益男 / 基隆女中教師

發行公司:龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 三角

1-3 正弦定理與餘弦定理

(2)

甲、三角形面積公式

課本頁次: 32

△ ABC中, 以符號 a, , b c 分別表 , B,

A C

的對邊長。

A B

C

b

c

a

(3)

甲、三角形面積公式

課本頁次: 32

三角形面積 = 1 2

(底 × 高)

(1)  為銳角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A

A B

C

b

c

sin b A

H

(4)

甲、三角形面積公式

課本頁次: 32

三角形面積 = 1 2

(底 × 高)

(2)  為直角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A sin A 1

 

A B

C

b

c sin

b A

(5)

甲、三角形面積公式

課本頁次: 32

三角形面積 = 1 2

(底 × 高)

(3)  為鈍角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A

A B

C

b

c

18

sin 0

b   A

sin b A

180  A

(6)

甲、三角形面積公式

課本頁次: 33

△ ABC

a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長,則

△ ABC 的面積 1

= sin

2 bc A 1

2 ca sin B

 1

2 absinC

已知三角形「兩邊的邊長」 及其「夾角的度數」 , 求三角形的面積 .

兩邊夾角_SAS

使用時機:

(7)

例 1

課本頁次: 33

在△ ABC中, 已知 a8, b  10, 且 C30, 求△ ABC的面積 .

解: △ ABC 的面積 1 sin

2 ab C

10 i 3 1 8

n 0 2 s

   

20

8 10 30

1 8 2

1 10 2

   

(8)

隨 1

求下列 △ ABC 的面積 . (1) a4, c5, B  120

解: △ ABC 的面積 1 sin 2 ac B

5 1

2 4 n 20

1 si

   

5 3

3 1

2 4 5 2

   

課本頁次: 33

(9)

隨 1

求下列 △ ABC 的面積 . (2) b  5, c4,B  90 解: △ ABC 的面積

1 sin 2 ac B

4 i 90 1 3

2 s n

    

6 1 3

2 4 1

   

B A C

5

4 3

課本頁次: 33

(10)

例 2

在△ ABC中, 已知 b 4, c 5,

A

(1) 求面積比 ABD 解:

ABD

的內角平分線交 BC D

: ACD

A

B C

  4

5 x

D 設 AD x

ACD

2 5 s n

1   x i 

2 4 s n

1   x i 

5 4

5 : 4

課本頁次: 34

(11)

2 5 i 6

1   x s n 0 i 6 2 4

1   x s n 0 1

si 1 0

4 2

2   5 n 

例 2

(2) 已知 解: ABD

求 AD

ACD

20

x9

20 120 9

 A , 長

+ = ABC

+ =

5x  4x  5 4

 9x  20 6012060

A

B C

5 4

D xx

課本頁次: 34

(12)

隨 2

在△ ABC中, 已知 b 2, c 1,

A

 解:

的內角平分線交 BC D 設 AD x

90

 A

求 長

AD

2 1 i 4

1   x s n 5 i 4 2 2

1   x s n 5 1 2

sin 90 2   1

2 2 x3

+ =

 1 2 1

2 1 2

x   x 2  

 3 2 2

x  45 45

A

B C

1 2

D x

2 2 3

90

課本頁次: 34

(13)

乙、正弦定理

1 sin 2 ab C 1 

2 bcsin A

 1

2 casin B

ABC

的面積  1

2 abc 時除以

sin A

=

sin B

=

sin C

a b c

= =

sin A sin B sin C

a b c

課本頁次: 34

(14)

乙、正弦定理

△ ABC

a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長,而外接圓半徑為 R , 則

= =

sin A sin B sin C

a b c

=

2R

試證: 2

sin

a R

A

課本頁次: 35

(15)

乙、正弦定理

試證: 2

sin

a R

A

設 A 為銳角 證明:

A

A

2R

a

 銳角三角形 sin Asin A

2R

a

sin 2 a

AR

課本頁次: 35

(16)

乙、正弦定理

試證: 2

sin

a R

A

設 A 為銳角 證明:

A

A

2R

 鈍角三角形 a sin Asin A

2R

a

sin 2 a

AR

課本頁次: 35

(17)

乙、正弦定理

試證: 2

sin

a R

A

設 A 為銳角 證明:

A

A

2R

 直角三角形 a sin Asin A

2R

a

sin 2 a

AR

課本頁次: 35

(18)

乙、正弦定理

應用:

a : :b c  sin A: sin B : s ni C

a  2 sinR Ab  2 sinR Bc  2 sinR C

 sin A

2R

a sin B

2R

b sinC

2R

c

, ,

R 2sina

A

2sin b

B

2sin c

C

課本頁次: 35

(19)

例 3

在△ ABC中, 已知  A: B :  C 1:4:1

a : :b c 解:

1: 3 :1 180 1 30 A    6

  4

180 6 120 B    

 

180 1 30 C    6

 

: :

a b c  sin : sin : sinA B C 1

sin30 : sin 20 : sin30

 

3 1

2 :

2 2 : 1

  1: 3 :1

課本頁次: 36

(20)

隨 3

在△ ABC中,

b c

 

: c a

 

: a b

5 : 6 : 7

求 sin : sin : sinA B C 解:

4 : 3 : 2 5 , 0

b c  k k 6

c a  k 7 a b  k

a b c  5 6 7 2 9

k k k

k

9 5 4 9 6 3 9 7 2

a k k k

b k k k

c k k k

   

sin : sin : sinA B C

4 : 3: 2

+ )

: : a b c

課本頁次: 36

(21)

例 4

在△ ABC中,  A 45 ,  B 60 , BC 2

(1) 解:

長與 6 2

(sin 75 ) 4

   AC AB

2 sin 45

2 2

2 2

3

ACAC3 sin60

AC

課本頁次: 36

(22)

例 4

在△ ABC中,  A 45 ,  B 60 , BC 2

(1) 解:

長與 6 2

(sin 75 ) 4

   AC AB

2 sin 45

6 2

2 2

2 4

AB

6 2

AB 2

 

sin75

AB

75

課本頁次: 36

(23)

例 4

在△ ABC中,  A 45 ,  B 60 , BC 2

(2) 解:

外接圓半徑

△ ABC

2sin R a

A

2 2 2

2

 1

2si 2

5 n 4

課本頁次: 36

(24)

A C B

隨 4

在△ ABC中,  A 30 ,  C 45 , BC 2

(1) 解:

AC2 sin 30

6 2

1 2

2 4

AC

3 1

AC

sin105

AC

30 45

105 2

課本頁次: 37

(25)

A C B

隨 4

在△ ABC中,  A 30 ,  C 45 , BC 2

解:

30 45

2 (2) △ ABC 外接圓半徑

2sin R a

A

2 2 1

2

 2

2si 2

0 n3

課本頁次: 37

(26)

丙、餘弦定理

△ ABC

a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長,則

2 b2 2 2 cos a   cbc A

2 c2 2 2 cos b   aca B

2 a2 2 2 cos c   bab C

課本頁次: 37

(27)

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   cbc A 證:

c

a

bcos , sinA

C b A

b

x y

A B

 

c,0

a2  ( cosb Ac)2  ( sinb A 0)2

2 2 2 2 2

(b cos A 2 cosbc A c ) b sin A

   

2(cos2 sin2 ) 2 2 cos

b A A c bc A

   

2 2 2 cos

b c bc A

  

課本頁次: 38

(28)

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   cbc A

2 c2 2 2 cos b   aca B

2 a2 2 2 cos

c   bab C

2 2 2

cos 2

b

b c

c A   a

 

2 2 2

cos 2

c

c a

a B   b

 

2 2 2

cos 2

a

a b

b

C   c

 

課本頁次: 38

(29)

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   cbc A (1) A 是銳角

90

A cos A 0 a2 b2 c2 (2) A 是鈍角

90

A cos A 0 a2 b2 c2 (3) A 是直角

90

A cos A 0 a2 b2 c2

課本頁次: 38

(30)

例 5

課本頁次: 39

在△ ABC中,已知 AB  8, AC   3, A 60 求

解:

BC 長度

A B

C 3

8 60

BC2  32  82    2 3 8 cos60

2 2 2

3 3 1

8 8

      2

64 9

9 24 4

  BC 49 7

(31)

隨 5

課本頁次: 39

在△ ABC中,已知 AB3, AC   5, A 120 求

解:

BC 長度

A B

C 3

5 120

BC2  32  52    2 3 5 cos120

2 2

3 5 2 3 5 ( 1 2)

      

25 9

9 15 4

  BC 49 7

(32)

, , 3

15 7 1

ABACBC

例 6

課本頁次: 39

在△ ABC中,已知

解:

A 的度數

c b a

2 2 2

cos 2

A b c

b

a c

 

2 2 1 2

7

2 15

1

3 7 5

 

  

169 2

4 1

2 5

9 225 1 7

 

 

  ∴  A 60

(33)

3, 5 7,

ABACBC

隨 6

課本頁次: 39

在△ ABC中,已知

解:

C 的度數

c b a

2 2 2

cos 2

C a b

a

c b

 

2 2 72

2 3

3 5

5

 

  

2

49 1 9

2 5

3 2

5

   

 ∴  C 120

(34)

3, 7, 3, 5 ABACBDCD

例 7

課本頁次: 40

在△ ABC中,

求 解:

的長度 ____

AD

x

cos B 32 32 2 2 3 3

   x

 

2 2 2

3 8 7

2 3 8

  

 

2 9

18 3

64 49 8

x  

2

9

x AD x  3

3

(35)

5, 7, 6 ABACBC

隨 7

課本頁次: 40

在△ ABC中,

求中線 解:

的長度 ____

AM

x cos B

2 2 2

5 3

2 5 3

   x

 

2 2 2

5 6 7

2 5 6

  

 

2 25 36 49 6

34 3

x  

  

2 28

x AM  x 2 7

2 7 A

B M C

5

3

7

3

(36)

4, 5, 4, ABBCCD

例 8

課本頁次: 40

ABCD 為圓內接四邊形﹐

求對角線 解:

的長度 ____

4, AC DA

x cosB  cos D0

2 2 2 2 2 2

5 4 4 4

2 5 4 2 4 4 0

x x

     

   

2 2

41 32 5 4 0

x x

 

    x2  36

6 AC x

   6

(37)

4, 6, 6, ABBCCD

隨 8

課本頁次: 41

ABCD 為圓內接四邊形﹐

求 解:

的長度 ____

120 , AD

 B10

A

B C

x D

6 6

2 4

AC  4262   2 4 6cos120

2 62 2 6cos60

x x

     

120

24 2 36 6 6

16 3 x x

     

2 6 40 0

x x

   

x 10

 

x 4

0

10

 x  4

 

AD 10

60

或 ∴

(38)

海龍公式

在△ ABC 中 ,  若三邊長為 a, b 和 c, 則

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos2 2

bcA

1 cos

 

1

= 2c cos

A A

b

2 2

2 2 2 2

( )(1

2

2 )

2 1

b c a

bc

a

b b

c

c c

b

 

2 2 2 2 2 2

(2 )(2

2 2 2 )

bc b c a bc

bc b c a bc

bc

 

課本頁次: 41

(39)

海龍公式

在△ ABC 中 ,  若三邊長為 a, b 和 c, 則

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos2 2

bcA

2 2 2 2 2 2

(2 )(2

2 2 2 )

bc b c a bc

bc b c a bc

bc

 

2 2 2 2 2 2 2

( )( 2 )

2 2

2

b bc c a bc

a b bc c b

bc

c

 

 

課本頁次: 41

(40)

海龍公式

在△ ABC 中 ,  若三邊長為 a, b 和 c, 則

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos2 2

bcA

2 2 2 2 2 2 2

( )( 2 )

2 2

2

b bc c a bc

a b bc c b

bc

c

 

 

 

2 2 2

 

2

2 2

( )( )

2

b c a bc

a b c bc

bc

       

2 2 2 2

a b c  b c a  a c b  a b c 

   

課本頁次: 42

(41)

海龍公式

在△ ABC 中 ,  若三邊長為 a, b 和 c, 則

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos2 2

bcA

       

2 2 2 2

a b c  b c a  a c b  a b c 

   

( )( )( ) s s a s b s c

   

s s as bs c

其中 2

a b c s  

課本頁次: 42

(42)

海龍公式

在△ ABC 中 ,  若三邊長為 a, b 和 c,

且 ,

2

a b c

s    則

△ABC 的面積 s s a s b s c(  )(  )(  )

課本頁次: 42

(43)

, 7

10, 9 1

abc

例 9

課本頁次: 42

在△ ABC中,已知 求△ ABC 的面積 解:

     

s s a s b s c

    

     

18 18 10 18 9 18 17

   

9 1

8 8 36

 1    

( 0 9 18) 2

1 17

s  

 

36

(44)

13 1

, , 5

4

abc

隨 9

課本頁次: 42

在△ ABC中,已知 求△ ABC 的面積 解:

     

s s a s b s c

    

     

16 16 4 16 13 16 15

   

12

6 1

1 3 24

    

( 13 16)

2

4 15

s  

 

24

(45)

例 10

課本頁次: 43

解:

某校欲在校園內 A B C﹑ ﹑ 三地都等距離的地 方設置無線網路基地台﹐已知三地間的距離

求基地台與三地的距離﹒

70 , 80 , 90 ,

AB  公尺公尺公尺ACBC

7 0

8 0

9 0

(46)

例 10

課本頁次: 43

解:

求基地台與三地的距離﹒

70 80

P 90 A

B C

設基地台的位置為點 P,

則 P 為△ ABC 外接圓的圓心 , 所求距離為外接圓半徑 R.

     

90 80 7

4

, ,

2

0 abc

a b c

a b

a b c

s s s s

s R

c

  

   

  

其中

R

(47)

例 10

課本頁次: 43

70 80

P 90 A

B C

     

, 90, 80, 7 4

2 abc 0

a b c

a b c

a

s s s b c

R

s s

   

   

  

 

其中

90 80 70

1200 5 )

4 21 5(

R  

  

基地台與三地的距離  公尺

     

120 120 90 120 80 120 70 1200 5

 

   

70 80 2 120

s    90

R

(48)

隨 10

課本頁次: 43

解:

探險隊從沉船上撈起一只手錶﹐僅有鏽蝕的 時針痕跡及 12 點方向的刻度存在﹐如圖所示﹒

利用直尺量得﹐手錶中心點與 12 點的距離為 5 ; 鏽蝕的時針長度為 3﹐

問該只手錶停於幾點幾分?

5

3

7

cos 2 2 72 2

3

3 5

5

 

  

1

2

120

  手錶停於四點整

而 12 點與時針尖端的距離為 7﹒

(49)

離開確認

你確定要離開嗎?

參考文獻

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