單元三 特殊四邊形

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單元三 特殊四邊形

課文A： 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質

這邊要介紹箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質。

第一個要介紹的是箏形，在前面多邊形的單元當中曾經 介紹過箏形就是兩雙鄰邊分別等長的四邊形，因為會長得跟 風箏很像，所以稱為「箏形」或叫作「鳶形」。

在前面線對稱的單元當中有提到箏形就是一種線對稱圖形，

如圖中的箏形 ABCD，如果沿著 AC 對摺，會使 B 點疊合在 D 點 上， AB 和 AD 疊合， CB 和 CD 疊合，也就是 AC 是箏形 ABCD 的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC 會垂直平分 BD 。

換句話說，箏形的兩條對角線互相垂直，但是其中一條對角線會平分 另外一條對角線。來練習一些有關箏形題目！

例題一：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10， BC = CD =17，O 為 AC 和 BD 的交點，如果 BD =16，則：

(1)AC =？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

A

B

C

D

60

解：(1)箏形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，也就是 BO OD 。 又 BD =16，所以 BO OD =8。

先看△AOB，∠AOB=90°，

△AOB 是一個直角三角形。

直角三角形有一個很重要的三邊關係就是畢氏定理：

兩股的平方和等於斜邊的平方，可以列出式子：

2 2 2

OA OB AB ⇒OA² 8² 10²⇒OA² 100 64 ⇒OA=6 再看△BOC，因為 AC 垂直 BD ，

也就是∠BOC=90°，△BOC 是一個直角三角形。

2 2 2

OC OB BC ⇒OC² 8² 17²⇒OC² 289 64

⇒OC =15

AC = AO + OC =6+15=21

(2)接下來要計算箏形 ABCD 的面積。

箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：

△ABD 面積=1

2× BD × AO =1

2×16×6=48。

△CBD 面積=1

2× BD × OC =1

2×16×15=120。

箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積 =48+120=168

A

B

C

D 17

8 8 15 A

B

C

D 10

8 8

6

61

例題二：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD， BC = CD ， AC =21， BD =24，

O 為兩對角線AC 和 BD 的交點。

如果 AB = AD =13，則：

(1)箏形 ABCD 的周長=？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

◎解題思維：

要計算箏形 ABCD 的周長，必須求出箏形的四邊長，已經知道了其中 兩邊 AB = AD =13，所以剩下要求 BC 跟 CD ，而 BC = CD ，所以只要求出 其中一邊就可以了！

解：(1)箏形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，也就是 BO OD 。 又因為 BD =24，所以 BO OD =12。

直角△AOB 中，根據畢氏定理可列出等式：

2 2 2

OA OB AB ⇒OA²12² 13²⇒

2 169 144

OA   ⇒ OA=5 OC = AC− OA=21−5=16 根據畢氏定理列出式子：

2 2 2

BC OC OB

⇒BC² 16²12²⇒BC²400

⇒ BC =20

箏形 ABCD 的周長=13+20+20+13=66

62

(2) 接下來要計算箏形 ABCD 的面積。

箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：

△ABD 面積=1

2× BD × AO =1

2×24×5=60。

△CBD 面積=1

2× BD × OC =1

2×24×16=192。

箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積=60+192=252

第二個要介紹的是菱形，四邊等長的四邊形稱為「菱形」。

在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「如 果四邊形有兩組對邊等長，那麼這四邊形必為平行四邊形」。 既然我們知道菱形的四邊會等長，那麼菱形就一定有兩組 等長的對邊，換句話說，菱形是平行四邊形的一種。

在前面線對稱的單元當中有提到菱形也是一種線對稱圖形，

如圖中的菱形 ABCD，如果沿著對角線 AC 對摺，會使 B 點疊合 在 D 點上， AB 和 AD 疊合，CB 和 CD 疊合，也就是 AC 是菱形 ABCD 的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC 會垂直平分 BD。

同理， BD 也會垂直平分 AC 。也就是說，菱形的兩條對角線互 相垂直平分。

63

讓我們來練習有關菱形的題目！

例題三：如圖菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC 和 BD 的交點，

AC =10， BD =24。

(1)菱形 ABCD 周長=？

(2)菱形 ABCD 面積=？

解：因為四邊形 ABCD 是一個菱形，所以 兩條對角線 AC 、 BD 互相垂直平分。

AC =10，所以 AO OC =5；

BD =24，所以BO OD =12。

因為 AC 、 BD 互相垂直，所以△AOB 為直角三角形。

根據畢氏定理可以列式：AB² AO²OB²

2 2 2

5 12

AB   =25+144=169 AB =13

菱形四邊都一樣長，所以菱形 ABCD 周長=13×4=52。

(2)要計算菱形 ABCD 面積，可以分成兩個三角形△ABD、△CBD，

菱形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積

=24 5 2

 24 5 2

 +=60+60=120。

64

第三個要介紹的是矩形，四個內角都是直角的四邊形就是「矩形」。

在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「四邊形的兩組對 角相等，則此四邊形為平行四邊形」。既然我們知道矩形的四個內角都是 90°，那麼矩形的對角相等就一定會相等，所以矩形為平行四邊形的一種。

那矩形的對角線有什麼性質呢？

下圖四邊形 ABCD 為一個長方形，而 AC 、BD 是兩條對角線，O 點是 AC 和 BD 的交點。

既然矩形是平行四邊形的一種，所以矩形也會有平行四邊形的性質，

就是對角線會互相平分， OA OC 、 OB OD 。

除此之外，我們知道矩形四個內角都是直角而且兩雙對邊會等長。

分別連接對角線 AC 、對角線 BD ：

65

因為對邊 AB = DC 、共同邊 BC = BC 、內角∠B=∠C=90°，根據 SAS 全等性質，△ABC≅△DCB。

AC 和 DB 是對應邊，所以 AC = DB 。 AC 、 BD 就是矩形的兩條對角 線，也就是說矩形的兩條對角線會互相平分且等長。

讓我們來練習有關矩形的題目！

例題四：矩形 ABCD 的周長為 14，且兩對角線和為 10，求矩形面積為何？

◎解題思維：矩形面積=長×寬，要算出面積需要長和寬。

解：矩形 ABCD 的對角線會平分且等長，

而兩對角線和為 10，所以 AC = BD =5。

矩形 ABCD 的周長為 14，所以長+寬=7。

因為矩形的內角都是 90°，所以△ABC 為一個直角三角形：

令 AB =x，則 BC =7−x， AC =5

根據畢氏定理列出式子：AB²BC² AC²

 ²

2 2

7 5

x  x 

 

2 2 2

49 14 5

x   xx  相加整理

2x214x4925 等號右邊的 25 移項到等號左邊

66

2x214x240 等號兩邊同除以 2

2 7 12 0

x  x  利用十字交乘法：

^x3^{x 4} ⁰

x=3 或 4

若 AB =3，則 BC =7−3=4；若 AB =4，則 BC =7−4=3。

所以矩形 ABCD 長若是 4、寬會是 3，面積=3×4=12。

第四個要介紹的是正方形，四邊會等長而且四個內角都是 直角的四邊形就是「正方形」。

因為正方形的四邊會等長，所以正方形就是菱形的一種；又因為正方 形的四個內角都是直角，所以正方形也是矩形的一種。

那正方形的對角線有什麼性質呢？右圖為四邊形 ABCD 為一 個正方形，而 AC、BD 是兩條對角線，O 點是 AC 和 BD 的交點。

因為正方形就是菱形的一種，所以正方形對角線就會具有菱形 對角線的性質，菱形的兩條對角線會互相垂直平分，所以正方形的 對角線也會互相垂直平分。

又因為正方形就是矩形的一種，所以正方形對角線就會具有矩

形對角線的性質，矩形的兩條對角線會互相平分且等長，所以正方形的對 角線也會互相平分且等長，也就是 OA OC = OB OD ，而且 AC 垂直 BD 。

正方形的對角線性質：等長且垂直平分！讓我們來練習有關正方形的 題目！

67

例題五：如圖正方形 ABCD 的邊長為 4 2 ，P 為兩對角線 AC 和 BD 的交 點，若 Q 為 AP 線上的一點，QP ： AP =3：4，

(1) QP =？

(2) DQ =？

(3)△CDQ 面積=？

解：(1)因為 QP ： AP =3：4，所以 QP =3

4AP 。

又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且等長，所以 AP 會是 對角線 AC 的一半。

也就是先求出對角線 AC ，就可以求出 AP ，然後就可以求出 QP 。 正方形 ABCD 的邊長為 4 2 ，△ABC 為直角三角形：

根據畢氏定理列式：AC² AB²BC²

   

2 4 2 4 2

AC   =32+32=64 AC =8

AP 會是對角線 AC 的一半， AP =1

2 AC =1

2×8=4 QP =3

4AP =3/4×4=3

68

(2)要求 DQ ，找有關的直角三角形△DPQ：

△DPQ 中， QP =3；又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且 等長，所以 DP = AP =4。

根據畢氏定理列式：DQ² QP²PD²

2 32 42

DQ   =9+16=25 DQ =5

(3)要求△CDQ 面積：

因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且 等長，所以PC= DP =4。

QC = QP +PC=3+4=7。

△CDQ 面積=1

2× QC × DP =1

2×7×4=14。

重點提問

1.根據上面的課文，請寫出下列各個特殊四邊形的定義。

(1)箏形：

(2)菱形：

(3)矩形：

(4)正方形：

69

2.請在下面的方格中，畫出箏形、菱形、矩形、正方形各一個。

3.根據上面的課文，請說明箏形的性質，並利用提問 2 所畫出箏形做說明。

4.根據上面的課文，請說明菱形的性質，並利用提問 2 所畫的菱形做說明。

5.根據上面的課文，請說明矩形的性質，並利用提問 2 所畫的矩形做說明。

6.根據上面的課文，請說明正方形的性質，並利用提問 2 所畫的正方形做 說明。

70

7.下列有一些關於四邊形的性質：

(A)兩雙對邊相等 (B)兩組對角相等 (C)四邊等長

(D)四個內角都是 90° (E)兩雙對邊分別平行 (F)兩對角線互相垂直 (G)兩對角線互相平分 (H)兩對角線等長

請將下面這些四邊形所含有的性質代號填入問題中：

(1)任意平行四邊形有哪些性質？

(2)任意箏形有哪些性質？

(3)任意菱形有哪些性質？

(4)任意矩形有哪些性質？

(5)任意正方形有哪些性質？

8.若有一個四邊形的對角線互相垂直，請證明這個四邊形的面積為

「^{兩條對角線相乘}

2 」，並舉一個例子做說明。

71

․隨堂練習：

1.如圖，箏形 ABCD 中， AB =AD=15，BC=CD =13，O 為 AC 和 BD 的交 點，如果 BD =24，則：

(1)AC =？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

2.如圖，箏形 ABCD 中， AB =AD=10，BC=CD ， AC =21， BD =16，O 為兩對角線 AC 和 BD 的交點。求：

(1)箏形 ABCD 的周長=？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

3.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線AC 和 BD 的交點，AC =18，BD =24。

求：

(1)菱形 ABCD 面積=？

(2)菱形 ABCD 周長=？

72

4.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線AC 和 BD 的交點， AC =14，菱形 ABCD 周長=100。求：

(1) BD =？

(2)菱形 ABCD 面積=？

5.矩形 ABCD 的周長為 28，且兩對角線和為 20，求矩形面積為何？

6.如圖正方形 ABCD 中，P 為兩對角線AC 和 BD 的交點，Q、R 為 AP 線上 的一點， QP =6， AQ =2，RC=4。

求△DQR 面積=？

73

7.如圖正方形 ABCD 的邊長為3 2 ，P 為兩對角線 AC 和 BD 的交點，若 Q 為 AP 線上的一點， CQ ： QP =1：2，

(1) QP =？

(2) DQ =？

(3)△ADQ 面積=？

還是不太懂，請看下面影片 箏形

https://youtu.be/3g2iaYyW_2A

菱形

https://youtu.be/9r-di6lgO9A

矩形

https://youtu.be/HBl4L48-I8c

正方形

https://youtu.be/GJHUipn5ydU

綜合

https://youtu.be/TGhx0fh70KA

74

課文B： 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形

第一個先來看箏形的判別性質，課文 A 有提到：「箏形的其中 一條對角線會垂直平分另外一條對角線」。那如果有一個四邊形 ABCD，其中的一條對角線AC 會垂直平分另外一條對角線 BD ，這 個四邊形 ABCD 會是箏形嗎？

要看四邊形是不是箏形就是驗證看看這個四邊形是不是有兩 雙分別等長的鄰邊。因為 AC 垂直平分 BD ，所以將四邊形 ABCD 沿著 AC 對摺的話，B 點就會與 D 點疊合，而 AC 是對稱軸。AB =AD，

CB = CD ，故四邊形 ABCD 就是一個箏形。

由此可知：「一個四邊形中，有一條對角線垂直平分另一條對角線時，

則這個四邊形就是箏形。」

第二個要來看菱形的判別性質，課文 A 有提到：「菱形的兩條 對角線互相垂直平分」。那麼是否可以利用四邊形的對角線來判斷 此四邊形是不是菱形呢？如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線

AC、BD 會互相垂直平分，而這個四邊形 ABCD 會是一個菱形嗎？

兩條對角線 AC 、 BD 交於 O 點，兩條對角線 AC 、 BD 會互相垂直平 分，所以 AO OC 、 BO OD ，而且∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD 都是 90°，根據 SAS 全等性質，因此△AOB、△COB、△COD、△AOD 四個三 角形會全等三角形。所以可以得知 AB = CB = CD = AD ，也就是四邊等長，

四邊形 ABCD 是一個菱形。

由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直且平分，則這 個四邊形就是菱形。」

75

第三個要來看矩形的判別性質，課文 A 有提到：「矩形 的兩條對角線會互相平分且等長」。那可不可以利用四邊形 的對角線來判斷此四邊形是不是矩形呢？如果有一個四邊 形 ABCD，兩條對角線 AC 、 BD 會互相平分且等長，而這 個四邊形 ABCD 會是矩形嗎？

四邊形 ABCD 中，兩條對角線 AC、BD 交於 O 點，

而且這兩條對角線會互相平分且等長。所以可以知道 OA OB OC OD   。因此△AOB、△BOC、△COD、

△DOA 為四個等腰三角形。

在等腰三角形△AOB 中， OA OB ，所以∠1=∠2(設為 a°)；

在等腰三角形△BOC 中， OB OC ，所以∠3=∠4(設為 b°)；

看三角形△ABC：

由∠1+∠2+∠3+∠4=180°。得 a+a+b+b=180，即 a+b=90 得∠ABC=∠2+∠3=90°。

同理，∠BCD=90°、∠CDA=90°、∠DAB=90°，所以四邊形 ABCD 為 一個矩形。

由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相平分且等長，則這 個四邊形就是矩形。」

O A

B

C D 1

2 3

4 5 76 8

76

第四個要來看正方形的判別性質，課文 A 有提到：「正方形的兩條對 角線會互相垂直平分且等長」。那可不可以利用四邊形的對角線來判斷此 四邊形是不是正方形呢？

如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線 AC、BD 會互相垂直平分且等長，而這個四邊形 ABCD 會是 正方形嗎？

因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC 、 BD 會互 相垂直平分，從前面的討論就可以知道，四邊形 ABCD 會是一個菱形，它的四邊等長。

又因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD 會互相平 分且等長，從前面的討論就可以知道，四邊形 ABCD 會是 一個矩形，它的四個內角都是 90°。

四邊形 ABCD 的四邊等長，而且四個內角都是 90°，

所以四邊形 ABCD 會是一個正方形。

由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直平分且等長，

則這個四邊形就是正方形。」

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

77

重點提問

1.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是箏形，並解釋其原因。

2.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是菱形，並解釋其原因。

3.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是矩形，並解釋其原因。

4.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是正方形，並解釋其原因。

78

․隨堂練習：

1.下面各小題的正方形格子圖中，分別有 4 個不同的四邊形，請判斷分別 是什麼圖形，並解釋。

(1)AC 、 BD 為圓 的直徑。

(2) (3) (4)

2.連連看：四邊形 ABCD 中，對角線AC 、 BD 交於 O 點，請利用下列四邊 形的對角線判別是何種四邊形，並說明原因。

OA OB OC OD   =7

∠AOB=60° ․ ․箏形

OA OB OC OD   =5

∠AOB=90° ․ ․菱形

OA OC =4，OB OD =7

∠AOB=90°

․ ․矩形

OA=4， OC =2， OB OD =7

∠AOB=90°

․ ․正方形

A B

C D

E

F

G H

𝐼

L

K J

M

O

P N

79

課文C： 梯形的性質

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形就是梯形，其中平行的兩 邊分別稱為上底與下底，不平行的兩邊則稱為腰，梯形面積=^{(上底+下底)×高}

2 。

當兩腰相等時，這個梯形就稱為等腰梯形。

等腰梯形有兩個特別的性質：

第一個性質，等腰梯形的兩組底角會分別相等。如下圖的等腰梯形 ABCD 中，∠B 和∠C 為等腰梯形 ABCD 下底的底角，∠A 和∠D 為等腰 梯形 ABCD 上底的底角，兩組底角會分別相等，∠B=∠C，∠A=∠D。

第二個性質，等腰梯形的兩條對角線相等。如下圖等腰梯形 ABCD 中，

AC 和 BD 為等腰梯形 ABCD 的對角線，兩條對角線會相等， AC = BD 。

利用這兩個性質可以解決一些問題，證明在單元三課文 D，這裡先讓 同學經由練習來熟悉性質吧！

上底

下底

腰 腰

A

B C

D

A

B C

D

80

例題一：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，∠B=60°，∠ACD=30°，

AB = CD =3， BC =6，求 (1)∠BCA=？

(2)∠D=？

(3)∠CAB=?

(4) BD =？

解：(1)等腰梯形的底角會分別相等，所以∠BCD=∠B=60°。

∠ACD=30°，所以∠BCA=∠BCD−∠ACD=60°−30°=30°

(2)因為 AD // BC ，∠D、∠BCD 為同側內角，所以∠D+∠BCD=180°。

∠D=180°−∠BCD=180°−60°=120°

(3)等腰梯形的對角線會相等，所以 BD =AC 。 看△ABC：

∠B=60°、∠BCA=30°，因為三角形的內角和=180°，

所以∠CAB=180°−∠BCA−∠B=180°−30°−60°=90°。

(4) 因為△ABC 為直角三角形，根據畢氏定理列式：AC²AB² BC²

2 2 2

AC BC AB =6²3²=27，ACBD3 3。

A

B C

D

60° 60°

3 3

6

A

B C

D

60° 3 30° 3

6

30°

81

例題二：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = CD =13， AD =8，

BC =18，AE、 DF 為這個等腰梯形的高，求 (1) BE =？

(2) AE =？

(3)等腰梯形 ABCD 面積=？

解：(1)AE、DF為這個等腰梯形的高，所以AE⊥ BC 、DF ⊥ BC ， 四邊形 AEFD 有四個內角都是 90°，所以四邊形 AEFD 是一個矩形，

EF = AD =8。

BE + EF +FC=18，所以 BE +FC=18− EF =18−8=10。

看△ABE 和△DCF 兩個三角形：

AE、 DF 都是等腰梯形的高，所以∠AEB=∠DFC=90°、AE=DF ；而且 AB = CD 。

根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF，而其中對應邊 BE =FC。 BE +FC=10， BE =FC=5。

82

(2)看△ABE，因為 AE 為這個等腰梯形的高，所以 AE ⊥ BC ， 也就是△ABE 是一個直角三角形。而由(1)可以知道 BE =5。

根據畢氏定理列式：AE²BE² AB²

2 2 2

AE AB BE =13²5²=144 AE =12

(3)等腰梯形 ABCD 面積 =^{(上底+下底)×高}₂

等腰梯形 ABCD 面積=

 

2 2 156 AD BC AE  

 

A

B C

D

13

E F

5

A

B C

D

13 13

8

E 18 12

83

梯形當中還有一個關於兩腰中點連線長的性質！

有一個梯形 ABCD，其中 AD // BC ：

(1)找出 AB 的中點 E 點、 DC 的中點 F 點，並連接EF：

(2)複製與梯形 ABCD 相同的梯形 A'B'C'D'：

(3)將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與 CD 邊貼 合：

(4)請問四邊形 ABA'B'是一個什麼四邊形？

(5)請問梯形 ABCD 的兩腰中點連線長EF與梯形 ABCD 的上底、下底 有什麼關係？

A

B C

D

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

A’

B’ C’

D’

E’ F’

B’

A’

E’

A

B C(D’)

D(C’)

E F(F’)

84

從上面的活動可以知道梯形兩腰中點連線長的性質，就是兩腰的中點 連線長= ^{(上底+下底)}_𝟐 。

如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 E 為 AB 的中點、F 為 DC 的中

點，那麼 2

AD BC EF  。

這一性質的證明在後面，這裡先做應用熟悉性質！

例題三：若梯形上底、下底長度的比為 3：5，兩腰的中點連線長為 20，

求上底、下底的長度為何？

解：

任意梯形的兩腰中點連線長= ^{(上底+下底)}_𝟐 。 假設上底長為 3x、下底長為 5x。

兩腰的中點連線長為 20，可以列式：20=3 5 2 x x

， 整理成 20=4x x=5

所以 上底=3×5=15、下底 =5×5=25。

例題四：梯形下底比上底長 8，兩腰的中點連線長為 10，且面積為 50，

求：(1)兩底長為何？ (2)高為多少？

D

B

A

C

E F

85

解：(1)假設上底長為 x，下底長為 x+8。

梯形的兩腰中點連線= ^{(上底+下底)}_𝟐 ， 可以列式：  ⁸

2 x x

=10 整理成 2 8

2 x

=10 x+4=10 x=6 所以 上底=6、下底=6+8=14。

(2)題目當中有說梯形面積為 50，梯形面積= ^{(上底+下底)×高}₂ 。 由(1)可以知道上底=6、下底=14，所以可以列出式子：

(6 + 14) × 高

2 = 50 10 20

2

高

50 高=5

★省思：

例題四中的這個梯形來看，這個梯形的上底是 6、下底是 14、高是 5、

兩腰的中點連線長是 10、面積是 50。

觀察一下，梯形面積= ^{(上底+下底)×高}₂ 以外，還可以怎麼算呢？

會發現兩腰的中點連線長×高=10×5=50 剛好是面積 50。

其實利用梯形兩腰的中點連線長也可以求得梯形面積：

梯形面積= ^{(上底+下底)×高}₂ = ^{(上底+下底)}₂ × 高=兩腰的中點連線長×高

^{(上底+下底)}₂ =兩腰的中點連

86

重點提問

1.根據上面的課文，請寫出梯形及等腰梯形的定義。

2.請在下面的方格中，畫出一個梯形、一個等腰梯形。

3.根據上面的課文，請說明等腰梯形的性質，並利用提問 2 所畫的等腰梯 形做說明。

4.根據上面的課文，請說明梯形的兩腰中點連線長跟上底、下底有什麼關 係，並利用提問 2 所畫的梯形做說明。

87

5.根據上面的課文，請說明計算梯形面積的兩種方式，並利用提問 2 所畫 出的梯形做說明。

․隨堂練習：

1.等腰梯形 ABCD 中， AD //BC ，∠B=60°，∠DAC=30°， AB = CD =2，

BC =4，求 (1)∠ACD=？

(2) AD =？

(3) BD =？

(4)等腰梯形 ABCD 面積=？

2.等腰梯形 ABCD 中，AD //BC ， AB = CD =10，AD =6，BC =12，AE、DF 為這個等腰梯形的高，求

(1) BE =？

(2) AE =？

(3)等腰梯形 ABCD 面積=？

88

3.若梯形上底、下底長度的比為 3：7，兩腰的中點連線長為 50，求上底、

下底的長度分別為何？

4.梯形下底比上底長 7，兩腰的中點連線長為 15，且面積為 75，求：

(1)兩底長為何？

(2)高為多少？

5.有一個梯形，其兩腰的中點連線長為 18，高為 5，它的面積為多少？

還是不太懂，請看下面影片 梯形

https://youtu.be/VWt1bfIwYVo

例題二+更多例題

https://youtu.be/OwBX4lGHyCo

例題三、四+更多例題

https://youtu.be/TZo224tBSag

更多例題

https://youtu.be/vM7D1qtsWpk

89

課文D： 梯形的性質證明

課文 C 當中說了三個梯形的性質，第一個性質就是「等腰梯形的兩組 底角會分別相等」；第二個性質就是「等腰梯形的兩條對角線會相等」；第 三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長 = ^{(上底長+下底長)}

2 」。

課文 D 要來證明這三個性質。

先來證明第一個性質：「等腰梯形的兩組底角會分別相等」。

如下圖， AD // BC ， AB = CD ，作通過 A 點的高 AE 、通過 D 點的高 DF ：

因為 AD // BC ，高 AE 會等於高 DF ， AE = DF ，而且 AE 會垂直 EB 、 DF 會垂直FC。

看△ABE 和△DCF 兩個三角形：

∠E=∠F=90°， AB = CD ， AE = DF 。 根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF。

所以∠B=∠C。

A

B C

D

E F

90

再來看整個等腰梯形 ABCD， AD // BC ，∠A 是∠B 的同側內角，∠D 是∠C 的同側內角：

∠A+∠B=180°、∠D+∠C=180°，又因為∠B=∠C，所以∠A=∠D。

也就是等腰梯形的兩組底角會分別相等。

再來證明第二個性質：「等腰梯形的兩條對角線會相等」。

連接對角線 AC ，看到△ABC；而連接對角線 BD ，看到△DCB：

因為 AB 和 DC 為等腰梯形的兩腰，所以 AB = DC 。 又 BC = BC ，∠B=∠C。

根據 SAS 全等性質，△ABC≅△DCB。

所以 AC = DB 。

也就是等腰梯形的兩對角線會相等。

A

B C

D

A

B C B C

D

A

B C B C

D

91

梯形第三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長= ^{(上底長+下底長)}

𝟐 」。

如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 E 為 AB 的中點、F 為DC的 中點，

將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC邊與 C D 邊貼 合，其中相對應相等的角如下：

因為∠4+∠5=180°，所以 E、F、E'會在同一條直線上：

在梯形 ABCD 中， AD // BC ，所以∠3+∠6=180°，這也可以知道 B、

C、A'會在同一條直線上：

看EB和E A ，E 為 AB 的中點，所以EB=EA，而且EA=E A ， 故EB=E A ：

在四邊形 EBA'E'中，EE是這兩條線的截線，其截角∠1、∠2 為同側 內角，又因為∠1+∠2=180°，所以EB//E A 。

EB=E A 、EB//E A ，四邊形 EBA'E'有一雙對邊等長且平行，所以四 邊形 EBA'E'為一個平行四邊形。因此EE=BA。

而EE=2EF、BA= BC + CA= BC +D A = BC + AD ， 故得 2EF= AD + BC ，EF=，

2 ADBC

即兩腰的中點連線長= ^{(上底長+下底長)}

2 。

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重點提問

1. 如圖等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = CD， AE、DF 為梯形的高。

請證明：

(1)△ABE≅△DCF (2)∠B=∠C

(3)∠A=∠D

2. 如圖等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = CD 。請證明：

(1)△ABC≅△DCB (2)AC = BD

93

3.如圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 E 為 AB 的中點、F 為DC的中點。

我們將梯形 ABCD 沿 EF 剪開，並以 E 點為中心，將四邊形 AEFD 依逆時針方向旋轉 180° 後會形成下圖四邊形 F'D'CF。

請回答下列問題並解釋：

(1)四邊形 F'D'CF 是什麼四邊形？

(2)梯形 ABCD 的兩腰中點連線與上、下底有什麼關係？

D

B

A

C

E 1 F

2 3

4

D

B(A )

D C

E F

F

A