國立臺中女子高級中學 103 學年度第一次教師甄選數學科試題

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國立臺中女子高級中學 103 學年度第一次教師甄選數學科試題

壹、 填充題（每題 5 分）

1、 若方程式( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a )＝0 之兩根為 、 ，則

3 3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c

a a ^ b b ^ c c 之值為________。

2、 設 f x( )為一整係數多項式，滿足 f(5)6,f(12) 13 ，若 f x( ) x 11有兩相異整數解、，則的最大值為________。

3、 設 I 為ABC 的內心，且其三邊長為AB7,BC 6,AC5，已知 P 點在 AB 邊上且AP2，若直線 IP 交 BC 邊於 Q 點，

則QC之長為________。

4、 有 8 個 字 母 a ， a ， b ， b ， b， c， c， d 排 成 一 列 ， 則 同 字 不 相 鄰 的 排 法 有 ________種 。 5、 滿足方程式^log12





6、 若sec tan ²²

x x 7 ，則cscxcotx之值為________。

7、 數列{an}的相鄰兩項 an、an+1是 x 的方程式 ²

1 ( ) 0

5

n

x  c x

 

1 n n

c





8、 設複數z為







9、 某電視台舉辦抽獎遊戲，籤筒有15支籤，其中有 2 支為中獎籤，今由甲、乙、丙三人依序抽籤，規則如下：先由甲一次 抽一支籤，取後不放回，至多得連續抽5次籤，如果抽到第 k 次(1 k 5)抽中中獎籤，則停止抽籤，並從籤筒中取出





支未中獎的籤；接著再由乙從剩餘的10支籤中繼續抽籤，規則與甲相同；若最後籤筒剩下的5支籤中仍有中獎籤，就算 丙抽中中獎籤，若最後籤筒剩下的5支籤中沒有中獎籤，則視丙為未抽中中獎籤；試求在丙抽中中獎籤的條件下，甲亦 抽中中獎籤的機率為________。

10、 現有一隻青蛙在一個正三角形的三頂點間跳動，每次跳動可隨機由一頂點跳到其他兩個頂點中的一個。若此青蛙從某一 個頂點開始跳動，則經過 12 次跳動後會回到原來的頂點之機率為________（以最簡分數表示）。

11、 矩陣 T 將點(1，0)，( 3，1)分別變換至(³, ³

4 4 )，( ^{3 3},

2 2)，若 T 將 P( 2 ， 10 )變換至 Q，且 O 為原點，若OPQ之 外接圓方程式為



 







12、 在坐標平面上，有一直角ABC，以C 為直角，AD,BE,CF 為ABC 之三中線，已知AD落在直線2x y 5上，BE落 在直線x2y1上，AB30，則ABC 的面積為________。

13、 於空間中有三點 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)及平面 E：ax－2ay＋z＝0(但 a ≠ 0)，試問當 a＝________時，平 面 E 將△ABC 的面積平分。

14、 有一橢圓，其長軸長為 4，短軸長為 2，橢圓內兩等長的弦AB及 CD 將橢圓的面積四等分，則AB之長為________。

15、 從 a、b、c 中可以重複任取 n 個字母排成一列，就構成一個長度為 n 的字串。例如：aba， aaa ，abc，…等都是相異 且長度為 3 的字串，試求長度為 10 且含有奇數個 a 的字串有________個。

16、 已知 為實數，則 cos²2 2 cos 2 cos²4 2 cos4sin9之最大值為________。

壹、填充題解答

1.3(a  b  c) 2.70 3.

8

4.384

5.81 6.

15

7.

4

8.

2

  i

9.

5

10.

2048

11.

2 2

12.225

13.

2

14.

15.

310 1 2



16.