Precalculus，Ch5 曲線下的面積與積分，Cheng‐Fang Su
5-1-1
5-1 曲線下的面積與定積分
本章我們將進入微積分另一個重要的領域：積分。人類最初使用積分學解決的問題，就是 面積、體積與曲線長度。為了能更清楚地描述「定積分」的定義，我們先從計算平面上某區域 的面積出發，利用大家所熟悉的長方形面積計算方式，試著將題目定義的曲線下面積求出來。
值得注意的是，我們雖然利用了「函數與 x 軸、x＝a、x＝b 所圍成的面積」引入定積分的 定義，但「函數與 x 軸、x＝a、x＝b 所圍成的面積」卻非定積分的定義。
主題一 非負連續函數曲線下的面積
考慮連續函數 :[ , ]f a b R{0}（意即，在[ , ]a b 上的 f x( )0， R是指所有正實數所形 成的集合），欲求 f x( )與 x 軸、x＝a、x＝b 所圍成的面積 A，做法步驟如下：
1. 先將[ , ]a b 分成 n 等分，即每一個等分區間的長度為b a n
。
2. 因為第 1 個區間為[ , b a 1]
a a n
，第 2 個區間為[ b a 1, b a 2]
a a
n n
，…，第 n 個區
間為[ b a ( 1), ]
a n b
n
，所以我們可以把第i個區間寫為[ b a ( 1), b a ]
a i a i
n n
。
3. 在每一個等分區間內取 f x( )的最大值，並令第i個區間裡 f x( )的最大值為M 。 i 4. 我們以第i個區間的長度b a
n
為寬，第i個區間裡 f x( )的最大值M 為長，並寫出這個矩形i
的面積M (i b a n
)。
5. 把這n個矩形面積相加可得 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
n i
i
b a b a b a b a
M M M M
n n n n
，我們將1
( )
n i i
M b a
n
定義為上和（upper sum）。6. 用同樣的方法，令第i個區間裡 f x( )的最小值為m 。 i 7. 我們以第i個區間的長度b a
n
為寬，第i個區間裡 f x( )的最小值m 為長，並寫出這個矩形i
的面積為m (i b a n
)。
Precalculus，Ch5 曲線下的面積與積分，Cheng‐Fang Su
5-1-2
8. 把這n個矩形面積相加可得 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
n i
i
b a b a b a b a
m m m m
n n n n
，我們將1
( )
n i i
m b a
n
定義為下和（lower sum）。9. 明顯地，
1 1
( ) ( )
n n
i i
i i
b a b a
m A M
n n
，即「下和 A 上和」。10. 令n ，若
1 1
lim{ ( )} lim{ ( )}
n n
i i
n n
i i
b a b a
m M l
n n
，即lim{n 下和}lim{n 上和}l，則由夾擠定理，我們可以得到欲求的面積 A l 。
【例】設y f x( )x2與x 軸、x＝0、x＝2 所圍成的面積為A， (1) 將 [0,2] 分成 4 等分，求上和及下和。
(2) 將 [0,2] 分成 n 等分，求上和及下和。
(3) 求A值。
主題二 定積分
考慮一般的連續函數 f :[ , ]a b R：
1. 先把[ , ]a b 分成 n 等分，則每一個等分區間的長度為b a n
。
2. 同樣定義出上和
1
( )
n
n i
i
b a
U M
n
與下和1
( )
n
n i
i
L m b a
n
，其中M 為第i i個區間裡 f x( )的最大值，m 為第i i個區間裡 f x( )的最小值，此時M 、i m 不一定為正數。 i 3. 明顯地，
1 1
( ) ( )
n n
i i
i i
b a b a
m A M
n n
，即「下和 A 上和」。4. 令 n ，若
1 1
lim{ ( )} lim{ ( )}
n n
i i
n n
i i
b a b a
m M l
n n
，即lim{n 下和}nlim{ 上和}l，則由夾擠定理，我們稱 l 為 f x( )在 [ , ]a b 上的定積分，以 b ( )
l
a f x dx表示之。其中 a 稱為積分下限， b 稱為積分上限， f x( )稱為被積函數。
定義 若lim n lim n
n U n L l
，則 l 可稱為 f x( )在 [ , ]a b 上的定積分，或稱函數 f x( )在 [ , ]a b 上 可積分，且 l 可用符號 b ( )
a f x dx
