年公務人員高等考試三級考試試題

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104年公務人員高等考試三級考試試題 代號:22070 類 科: 統計

科 目: 抽樣方法

考試時間: 2 小時 座號:

※注意: 可以使用電子計算器。

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

(請接背面)

全一張

(正面)

與本試題有關的標準常態值可能有:

Z0.025 =1.96, Z0.05 =1.645, Z0.1 =1.28, 182

. 3 ) 3 ( ,

303 . 4 ) 2

( 0.025

025 .

0 = t =

t

計算題的答案要求:

平均數取兩位小數(算到第三位小數然後四捨五入)。

請以分數表示母體或是樣本比例的答案。

至於次數或是個數的答案取整數(算到第一位小數然後四捨五入)。

變異數取三位小數(算到第四位小數然後四捨五入)。

信賴區間請代入最多小數的平均數與變異數,然後取兩位小數(算到第三位小數然 後四捨五入)。

變異數與變異數的比例取三位小數(算到第四位小數然後四捨五入)。

計算過程保留越多小數越好,以確保滿足第 8 項要求。

答案只要與標準答案差別在最後一位小數以內都算是正確答案。

一、某消防局為了瞭解平均每天多少人打電話進來報案,於是隨機抽樣 30 天的電話紀 錄並且得到下表:

次數 0 1 2 3 4

天數 15 10 4 0 1

假設這是一個無限母體的問題,並且請根據上述表格回答以下的問題。

如果該消防局想估計一年 365 天下來的總報案次數,請協助消防局提供這一項估 計值。(5 分)

請提供上述總報案次數之變異數的不偏估計值。(10 分)

請提供總報案次數之近似的 95%信賴區間。(10 分)

二、某校有 45 棵樹,為了方便管理,每一棵樹上都被貼上了一個編號,從「00」開始 一直編到「44」。該校有一條榕樹大道,大道上的榕樹排列及它們的編號分別是 04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39。現在該校某一位求知若渴 的學生希望引用「每 5 個取 1 個」的系統抽樣估計榕樹的比例。

請提供所有「每 5 個取 1 個」之系統抽樣的樣本編號。(5 分)

請提供題所抽中之樣本榕樹比例的抽樣分配。(10 分)

請證明樣本榕樹比例確實是真實榕樹比例的不偏估計量。(10 分)

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104年公務人員高等考試三級考試試題 代號:22070 類 科: 統計

科 目: 抽樣方法

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(背面)

三、以下資料為紐約與倫敦兩城市的日均溫紀錄(以華氏計):

都市 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約 氣溫 48 54 52 47 57 54 49 都市 倫敦 紐約 紐約 紐約 紐約 倫敦 紐約 氣溫 59 53 50 52 57 55 54 都市 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦 氣溫 68 49 51 61 55 53 50 請根據上述表格回答以下的問題。

如果挑選一組「4 個單元」的「取後不放回」隨機樣本「48, 47, 57, 52」,請提供 這一項抽樣設計之母體平均數的 95%信賴區間。(10 分)

如果用地理位置把題意的母體切成「兩層」,然後每一層挑選一組「2 個單元」

的「取後不放回」隨機樣本,「52, 57」來自紐約,以及「57, 55」來自倫敦,請 提供這一項抽樣設計之母體平均數的 95%信賴區間。(10 分)

計算「題的抽樣設計」比上「題的抽樣設計」的相對有效性。(5 分)

四、假設樣本來自某一個簡單隨機抽樣設計,而且樣本數與母體都夠大。已知以下三種 母體平均數之估計量的變異數:

(E1) 2

1 ) 1

( y

N n N Y n

Var σ

= −

(E2) Var(Yratio) = n1 NNn1

[

σy2 +μr2σx2 2μrρxyσxσ y

]

(E3) Var(Yregression) = 1n NN1n

[

1ρxy2

]

σy2

其中 N 是母體規模(population size),n 是樣本規模(sample size),σ2y是母體 Y 的變異數,σx2是母體 X 的變異數,ρxy是母體 X 跟母體 Y 之間的相關係數,

x y

r μ μ

μ = / 是母體 Y 的母體平均數除以母體 X 的母體平均數。

請證明以下比例的正確性並且下結論:

(E1) / (E3)1。(10 分)

(E2) / (E3)1。(10 分)

根據上述兩項結果,請問(E1),(E2)及(E3)那一種估計量可以被認為「比較好」。

(5 分)

數據

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參考文獻

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