代數第五章 目錄

代數第五章

目錄

第五章 多項式 ... 1

學習目標 ... 1

5.1 節 多項式 ... 2

5.1.1 節 認識多項式 ... 2

5.1.2 節 多項式化簡 ... 9

5.1 節 習題 ... 11

5.2 節 多項式的四則運算 ... 13

5.2.1 節 多項式的加減法運算 ... 13

5.2.2 節 多項式的乘法運算 ... 20

5.2.3 節 多項式的除法運算 ... 28

5.2 節 習題 ... 39

5.3 節 多項式的乘法公式 ... 43

5.3.1 節 兩式相乘公式 ... 44

5.3.2 節 和的平方公式 ... 48

5.3.3 節 差的平方公式 ... 52

5.3.4 節 平方差公式 ... 56

5.3.5 節 其他乘法公式 ... 61

5.3 節 習題 ... 66

5.4 節 乘法公式在根號的應用 ... 71

5.4.1 節 根號的運算規則 ... 72

5.4.2 節 乘法公式在根號運算的應用 ... 76

5.4 節 習題 ... 81

5.5 節 多項式與乘法公式的應用題與綜合題 ... 83

5.5 節 習題 ... 96

第五章綜合習題 ... 101

基測與會考模擬試題... 105

習題解答 ... 111

第五章 多項式

在本章中，我們將學習多項式與乘法公式的運算。在瞭解這些觀念後，未來可以再延 伸應用到一元二次方程式與二次函數等章節。

學習目標

1.瞭解什麼是多項式。

2.能進行多項式的四則運算。

3.能活用乘法公式進行運算。

4.能利用乘法公式將根式化簡。

5.1 節 多項式

前面的章節中，我們學了一元一次式，例如^x1、^5x 、^7x9等。

其中像^5x只有一個項，我們也稱為單項式。

單項式： 1. 運算只有乘法和次方，不可有加減運算（除法可視為乘以分數）。

2. 變數不可放在分母、指數、根號或絕對值的位置。

例如：0.5x、 ²

3

2x 、4x³、6這些都可稱為單項式。(※) 接著我們再來看看本章要介紹的多項式。

顧名思義，多項式即是1 個或若干個單項式用加減符號組成的代數式。

譬如4x³ 3x² 7x2、3x² x4 5、6x³ 3.5x² 7x3、14、 ¹¹

8x

可稱為多項式。

而 ^4x7 、^{3 6}

x 、5^x9、 4x² x3 7 等皆不為多項式。

我們首先要認識多項式的次數、係數等有關名詞。接著再介紹多項式排列的兩種方法：

升冪排列、降冪排列以及多項式的同類項合併。

※ x²即x 的二次方，也就是x 。同理x x³即x 的三次方，也就是xxx。

5.1.1 節 認識多項式

讓我們來認識多項式各組成要素的名稱：

元： 在多項式中，變數的數量。

第一章我們學過一元一次式如7x1，變數只有1 個 x，可稱為一元多項式。

第三章學過二元一次式如7x y4 1，變數有x 和 y 共2 個，可稱為二元多項式

次數： 在多項式中，變數的最高次數就是這多項式的次數。

例：多項式5x³3x² 2x1，x 的最高次數是3，這個多項式稱為三次多項式。

多項式4x²  x9 1，x 的最高次數是2，這個多項式也可以簡稱為二次式。

若是多元多項式如2x³y²  xy9 1，2 yx^{3 2}中x 的次數是3，y 的次數是 2，

合起來是5，則這個多項式為五次多項式。

項： 在多項式中，加減號分開的每一部分，連同它前面的符號，稱為一個項。

例：多項式x²  x3 1，有三個項，分別為x 、² 3x、₁。

係數： 一個多項式中，未知數以外的部分，連同其前面的符號叫做係數。

例：2x是2跟x 的乘積，2是x 的係數。

常數項： 在多項式中，如某一個項只是一個數字，而不包含任何的未知數，

稱為常數項。例：x²  x3 1這個多項式中，1 為這個多項式的常數項。

常數多項式： 多項式只含有常數項，稱為常數多項式。

常數多項式又可細分為零次多項式與零多項式：

零次多項式： 次數為 0 且常數項不為 0 的多項式，例：2 2x⁰為零次多項式，

5, 8,π 也都是零次多項式。

零多項式： 若此多項式為0，即為零多項式。

例題 5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)3x²  x7 5 (2) ^{2x2  x5 3} (3) 9x (4)

1 2

2 

x (5) 2 (6)3y1 (7) x²  x2 1 (8) 9^x (9) x²  y1 (10) ^xy 詳解：

(1)是。 (2)不是，因為 x 在絕對值內。

(3)是。 (4)不是，因為 x 不能在分母。

(5)是。 (6)是。

(7)不是，因為 x 不能在根號內。 (8)不是，因為 x 不能在指數內。

(9)是。 (10)是。

【練習】5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)2x1 (2) x⁴ 4 (3) 5x (4) 7z1 (5) 3

(6) x

2 (7) ^{3x3 1} (8) 9^x1 (9) ^xyz (10) 0

例題 5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)4x³ x7 5 (2) x7 (3) 19 (4)x²y x1 詳解：

(1)最高次項4x 的次數為 3，是三次多項式。³

(3) 19 的次數為 0，是零次多項式。(19 也可以想成是19x )⁰

(4) 最高次項x²y，x 的次數為2，y 的次數為 1，合起來是 3，是三次多項式。

【練習】5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)2x⁶  x3 1 (2) 4x7 (3) 50 (4)x⁷y xy² 1

例題 5.1.1-3

請寫出多項式4x³  x2 ²1各項的係數：

(1)x 項的係數為？³ (2)x 項的係數為？²

(3)^x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

詳解：

(1)x 項為³ 4x ，係數為 4。³ (2)x 項為² 2x²，係數為－2。

(3)沒有^x項，係數為0。(可以想成是 x0 ) (4)常數項為 1，係數為 1。

【練習】5.1.1-3

請寫出多項式5x³3x4各項的係數：

(1)x 項的係數為？³ (2) x 項的係數為？² (3) ^x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

例題 5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 13x6是（　　　　　　　） (2) x² 4是（　　　　　　　） (3) 6 是（　　　　　　　） (4) 0 是（　　　　　　　） 詳解：

(1)13x6最高次數為1，為一次多項式，也是一元一次式，填入(B)、(F)。

(2)x² 4最高次數為2，為二次多項式，填入(A)。

(3) 6 的次數為 0，為常數多項式，常數項不為 0，也是零次多項式，填入(C)、

(D)。

(4)0 為常數多項式，也是零多項式，填入(C)、(E)。

【練習】5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 52 是（　　　　　　 　 ） (2) x²  x2 4是（　　　　　　 ） (3) 0 是（　　　　　　　 ） (4) x7是（　　　　　　　 ）

降冪排列與升冪排列：

一個多項式，將未知數的次數由高而低，由左而右的順序排列，稱為降冪排列。

反之，將未知數的次數由低而高，由左而右的順序排列，稱為升冪排列。

例如：

4 5

7xx²  x³ 是不規則的排列 4

7

5x³ x²  x 為降冪排列

3

2 5

7

4 xx  x

 為升冪排列

習慣上我們都會將整理完的多項式寫成降冪排列。

例題 5.1.1-5

多項式A＝x² 39x3x³ (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列 詳解：

(1)3x³ x² 9x3 (2)39xx² 3x³

【練習】5.1.1-5

多項式B＝7x3x² 515x³ (1)將多項式 B 按降冪排列 (2)將多項式 B 按升冪排列

5.1.2 節 多項式化簡

在學多項式的各種運算之前，我們要先會化簡多項式。

在多項式中，如果某一項次與另一項次的文字與次數相同，我們就稱之為同類項。

例：在多項式6x²3x² 7x3中，6x 與² 3x 的次數相同，都是 2，則我們可以將這兩² 個同類項做合併，得到比較簡潔的式子。

3 7 3

6x²  x²  x

＝ (63)x² 7x3

＝ 9x²  x7 3 像這種合併的動作，稱為同類項合併。

例題 5.1.2-1

(A)4x (B) ² 3

2x (C) 6 (D)7x² (E)4x³ (F)2.1x

(1)上面選項中，與2x 是同類項的有（　　　　　　　）。² (2)上面選項中，與

4

x是同類項的有（　　　　　　　）。

(3)上面選項中，與 52 是同類項的有（　　　　　　　）。. 詳解：

(1)2x 的次數是 2，同樣次數是 2 的選項有(B)、(D)。²

(2) x x 4 1

4  ，次數是1，同樣次數是 1 的選項有(A)、(F)。

(3) 52 的次數是. 0，同樣次數是 0 的選項有(C)。

※ 52 可以想成是. 2 x ，次數為 0。.5 ⁰

【練習】5.1.2-1

(A)9x(B)2x³ (C) 27. (D)x³ (E)0.5x (F) 5 2

(1)上面選項中，與5x 是同類項的有（　　　　　　　）。³ (2)上面選項中，與

3

x是同類項的有（　　　　　　　）。

(3)上面選項中，與 9 是同類項的有（　　　　　　　）。

例題 5.1.2-2

將下列各多項式做同類項合併：

(1)2x² 4x5x81 (2)3x² x² 4x6 (3)2x³4x99x³ (4)7x² 33x4 詳解：

(1) 2x² 4x5x81 (2) 3x² x² 4x6

＝ 2x²(45)x(81) ＝ (31)x²4x6

＝ 2x²  x9 7 ＝ 2x²  x4 6

(3) 2x³ 4x99x³ (4) 7x² 33x4

＝ 2x³9x³ 4x9 ＝ 7x²  x3 34

＝ (29)x³4x9 ＝ 7x²  x3 (34)

＝ 7x³ x4 9 ＝ 7x²  x3 1

【練習】5.1.2-2

將下列各多項式做同類項合併：

(3)3x³3x2x³ 4 (4)6x² 57x1

5.1 節 習題

習題 5.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)2x² x6 1 (2) ^{x2  x6 5} (3) 8x (4)

2 3

2 

y (5) 6 (6)4x5 (7) y²  y3 3 (8) 2^x (9) x²  x1 (10) x²y

習題 5.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)3x⁴  x2 ² 6 (2) 3 (3) y5 (4)xy x2

習題 5.1-3

請寫出多項式3y³ 5y² 4y2各項的係數：

(1)y³項的係數為？ (2) y²項的係數為？

(3) ^y項的係數為？ (4)常數項的係數為？

習題 5.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) x²1是（　　　　　　　 ） (2) 8 是（　　　　　　　 ） (3) 0 是（　　　　　　　　　 ） (4) 5x1是（　　　　　　　） 習題 5.1-5

有多項式A＝35x² 6x2x³ (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列

習題 5.1-6

(A)5x(B) x 2

1 (C)5x² (D)8 (E)3x² (F) 3 1

(1)上面選項中，與6x 是同類項的有（　　　　　　　）。² (2)上面選項中，與

4

x是同類項的有（　　　　　　　）。

(3)上面選項中，與3 是同類項的有（　　　　　　　）。

習題 5.1-7

將下列各多項式做同類項合併：

(1)3x³2xx23 (2)4x² 3x² x2 (3)2x³x5x³ (4)6x² 22x2

5.2 節 多項式的四則運算

5.1 節中我們已經瞭解了多項式的基本觀念，本節將繼續介紹多項式與多項式之間的 四則運算。

5.2.1 節 多項式的加減法運算

瞭解多項式化簡方法後，我們就可以進行多項式之間的加減法運算。

多項式與多項式的加減法運算，計算方式與前面的併項類似，先將同類項放在一起，

然後利用加法或減法運算將同類項合併。

例如：多項式3x²  x2 4與x² 3x2相加，寫成算式為：





2 4) 3

( x² x (x² 3x2)

＝ 3x² 2x4x² 3x2 (拆括號)

＝ 3x² x² 2x3x42 (整理同類項)

＝ (31)x² (23)x(42)

＝ 2x²  x5 6

多項式3x² x2 4減去x² 3x2，寫成算式為：





2 4) 3

( x² x (x² 3x2)

＝ 3x² 2x4x² 3x2 (拆括號)

＝ 3x² x²2x3x42 (整理同類項)

＝ (31)x² (23)x(42)

＝ 4x²  x2

例題 5.2.1-1

計算下列各式：

(1)(5x² 3x2)(2x² 4x7) (2)(2x² 4x1)(x² 3x5) 詳解：

(1) (5x²3x2)(2x² 4x7)

＝ 5x² 3x22x² 4x7 (拆括號)

＝ 5x² 2x² 3x4x27 (整理同類項)

＝ (52)x²(34)x(27)

＝ 7x²  x7 9

(2) (2x² 4x1)(x² 3x5)

＝ 2x²4x1x² 3x5 (拆括號)

＝ 2x²x²4x3x15 (整理同類項)

＝ (21)x² (43)x(15)

＝ x²  x7 4

【練習】5.2.1-1 計算下列各式：

(1)(2x² x4)(x²3x6) (2)(2x² 3x2)(x² 4x3)

例題 5.2.1-2

計算下列各式：

(1)(2x² 4x6)(x²2x4) (2)(8x² 3x6)(2x² 4x4) 詳解：

(1) (2x² 4x6)(x² 2x4)

＝ 2x² 4x6x²2x4 (拆括號)

＝ 2x² x² 4x2x64 (整理同類項)

＝ (21)x² (42)x(64)

＝ x²  x6 2

(2) (8x² 3x6)(2x²4x4)

＝ 8x² 3x62x² 4x4 (拆括號)

＝ 8x² 2x² 3x4x64 (整理同類項)

＝ (82)x² (34)x(64)

＝ 6x²  x10

【練習】5.2.1-2 計算下列各式：

(1)(3x² 2x1)(x² 2x7) (2)(7x² 3x1)(2x² 4x3)

例題 5.2.1-3

(1)計算(4x² 23x)(3x² 42x³)，並將結果按降冪排列。

(2)計算(2x² x3)(5x² 4x2x³)，並將結果按升冪排列。

詳解：

(1) (4x² 23x)(3x² 42x³)

＝ 4x²23x3x²42x³ (拆括號)

＝ 4x²3x² 243x2x³ (整理同類項)

＝ (43)x² (24)3x2x³

＝ 7x² 63x2x³

＝ 2x³7x² 3x6 (降冪排列)

(2) (2x² x3)(5x² 4x2x³)

＝ 2x² x35x² 4x2x³ (拆括號)

＝ 2x²5x² x4x32x³ (整理同類項)

＝ (25)x² (14)x32x³

＝ 3x² 5x32x³

＝ 35x3x² 2x³ (升冪排列)

【練習】5.2.1-3 計算下列各式：

(2)計算(x3)(x² 3x³2)，並將結果按升冪排列。

多項式的加減運算，除了前述的橫式運算外，也可以進行直式運算。

以例題5.1.2-3(1)為例，計算(5x² 3x2)(2x²4x7) 寫成直式算式：

5x2 3x 2

＋） ₂

2x 4x 7 7x2 7x 9 得到答案為7x²  x7 9

再以例題5.1.2-4(2)為例，計算(8x²3x6)(2x² 4x4) 寫成直式算式：

8x2 3x 6

－） ₂

2x 4x 4 6x2 ^x 10 得到答案為6x²  x10

注意直式算式需要將同類項對齊，若是式子有缺項，則將該位置補上零。

計算(3x³2x4)(7x² 3x2) 寫成直式算式：

3x3 0x² 2x 4

＋） ₂

7x 3x 2 3x3 7x² 5x 2 得到答案為3x³ 7x² 5x2

為了讓計算更簡便，我們在項次對齊後，可以省略x 的次方項，只留下各項的係數。

這種方法稱為分離係數法。

以前題(3x³2x4)(7x² 3x2)為例，計算可省略如下：

x

x

^{x 1}

3 0 2 4

＋） 7 3 2

3 7 5 2

再將x 的次方項補上，一樣可得到答案為3x³7x² 5x2

例題 5.2.1-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(5x² 15x12)(3x² 4x2) (2)(6x² x4)(3x³5x2) 詳解：

(1)

x

^{x 1}

5 15 12

＋） 3 4 2

2 19 14

答案為2x² x19 14

(2)

x

x

^{x 1}

6 1 4

－） 3 0 5 2

3 6 4 6

答案為3x³ 6x² 4x6

【練習】5.2.1-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(3x³14x8)(x² 2x3) (2)(2x³x4)(3x³2)

5.2.2 節 多項式的乘法運算

經過上一節介紹多項式加減法運算後，本節將繼續介紹多項式的乘除法運算。

在多項式乘除法運算中我們會運用到下列幾個指數運算：

n m n

m a a

a   ^

n m n

m a a

a   ^

mn n

m a

a )  (

首先單項式的相乘開始介紹

。

針對兩個單項式的相乘，我們會將係數與文字符號都進行相乘，然後把係數寫在前面 。 例如：

4 2

2

2x x x 5x735x 4x3x² 12x³

例題 5.2.2-1

計算下列各式：

(1)32x (2)(5)4x (3)7x 6 x (4)5x(x) (5)( x2 )² (6)4x³3x² (7)3x 2³ x

詳解：

(1) 32x 6 x (2) (5)4x20x (3) 7x6x 42x² (4) 5x(x)5x² (5) (2x)² 2x2x4x² (6) 4x³3x² 12x⁵ (7) 3x³2x 6x⁴

【練習】5.2.2-1 計算下列各式：

(1)^34x (2)^(2)3x (3)^56x (4)^2(x) (5)^{( x7 )2} (6)2x²3x² (7)6x²2x

瞭 解 了 單 項 式 的 乘 法 後 ， 讓 我 們 來 看 多 項 式 的 乘 法 ， 如 果 我 們 想 計 算 )

3 2 ( ) 1

(x  x ，應該怎麼做呢？

我們可以先令A x1

那麼算式就會變成 A x(2 3)

＝ A2x A3 (利用分配律)

＝ (x1)2x(x1)3 (將 A 換回x1)

＝ 2x²2x3x3 (化簡)

＝ 2x²  x5 3 (同類項合併) 於是我們就得到了(x1)(2x3)＝2x²  x5 3

我們也可以不用A 來代換多項式：

) 3 2 ( ) 1

(x  x

＝ (x1)2x(x1)3 (利用分配律)

＝ 2x²2x3x3 (化簡)

＝ 2x²  x5 3 (同類項合併) 例題 5.2.2-2

計算下列各式：

(1)(x3)(x1) (2)(2x3)(x2) (3)(x6)(2x1) (4)(3x x1)( 5) 詳解：

(1)

＝

＝

＝

) 1 )(

3 (x x

1 ) 3 ( )

3

(x x x  3

2 3xx x

3

2  x4  x

(2 ) ＝

＝

＝

) 2 )(

3 2

( x x

2 ) 3 2 ( )

3 2

( x x x  6 4 3

2x²  x x 6 7 2x²  x (3)

＝

＝

＝

) 1 2 )(

6 (x x

1 ) 6 ( 2 ) 6

(x  x x  6 12

2x²  xx 6 13 2x²  x

(4 ) ＝

＝

＝

) 5 )(

1 3

( x x

5 ) 1 3 ( )

1 3

( x x x  5 15 3x² x x

5 16 3x²  x

【練習】5.2.2-2 計算下列各式：

(1)(x x1)( 2) (2)(3x2)(x4) (3)(x5)(4x3) (4)(3x2)(2x3)

例題 5.2.2-3

計算下列各式：

(1)(x3)(x1) (2)(3x2)(x5) (3)(x3)(2x7) (4)(3x1)(x2) 詳解：

(1)

＝

＝

＝

) 1 )(

3 (x x

1 ) 3 ( )

3

(x x x  3

2 3xx x

3

2  x2  x

(2 ) ＝

＝

＝

) 5 )(

2 3

( x x

5 ) 2 3 ( )

2 3

( x x  x  10 15 2

3 ²   

 x x x 10 17 3 ²  

 x x (3)

＝

＝

＝

) 7 2 )(

3

(x  x

7 ) 3 ( ) 2 ( ) 3

(x   x  x  21 7 6

2 ²  

 x x x 21 2 ²  

 x x

(4 ) ＝

＝

＝

) 2 )(

1 3

( x x

2 ) 1 3 ( ) ( ) 1 3

( x  x  x  2

6 3 ²  

 x x x 2 5 3 ²  

 x x

【練習】5.2.2-3 計算下列各式：

(1)(x4)(x2) (2)(5x2)(x3) (3)(x2)(x2) (4)(3x1)(3x1)

例題 5.2.2-4

計算下列各式：

(1)(x1)(x² x1)

(2)(5x1)(3x2)(3x4)(2x6) 詳解：

(1) (x1)(x² x1)

＝ (x1)x² (x1)x(x1)1 (A(abc) Aa Ab Ac)

＝ x³x² x² xx1

＝ x³1

(2) (5x1)(3x2)(3x4)(2x6)

＝ [(5x1)3x(5x1)2][(3x4)(2x)(3x4)6]

＝ [15x² 3x10x2][6x² 8x18x24]

＝ 15x² 3x10x26x²8x18x24

＝ 15x² 6x² 3x10x8x18x224 (整理同類項)

＝ (156)x² (310818)x(224)

＝ 21x²  x3 26

【練習】5.2.2-4 計算下列各式：

(1)(x1)(x² x1)

(2)(x3)(x3)(2x3)(2x3)

多項式的乘法，除了前述的橫式計算外，也可以使用直式計算。

例如我們要計算(x3)(x1)，直式計算可寫成：

x 3

×） ^x 1

x 3 (x3)1

x2 3x (x )3 x

x2 2x 3

得到答案為x²  x2 3

與直式加法相同，乘法也能用分離係數法計算：

x

x 1

1 3

×） 1 1

1 3

1 3

1 2 3

使用分離係數法時，務必注意同次項的對齊！

例題 5.2.2-5

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(x2)(3x1) (2)(x2)(2x²2x3) (3)(x² 1)(2x3) 詳解：

(1)(x2)(3x1)

x

^{x 1}

1 2

×） 3 1

1 2

3 6

3 7 2

2 7 3 ) 1 3 )(

2

(x  x  x²  x

(2) (x2)(2x² 2x3)

x

x

^{x 1}

1 2

×） 2 2 3

3 6

2 4

2 4

2 2 1 6 6

2 2 ) 3 2 2 )(

2

(x ²x x  x³ x² x

(3)(x² 1)(2x3)

x

x

^{x 1}

1 0 1

×） 2 3

3 0 3

2 0 2

2 3 2 3

3 2 3 2 ) 3 2 )(

1

(x²  x  x³ x²  x

【練習】5.2.2-5

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(2x3)(x5) (2)(3x² x5)(2x1) (3)(2x² 3)(x4)

5.2.3 節 多項式的除法運算

介紹完多項式的乘法後，接著我們來看看除法。

以前我們學過由236，可以得到632，其中6 是被除數，3 是除數，2 是商。

同樣地，例題5.2.1-3 中我們寫過(x3)(x1) x² 2x3 寫成除法算式則為(x² 2x3)(x3)(x1)

其中(x²  x2 3)是被除式，(x3)是除式，(x1)是商式。

※因除式為 0 時無意義，本節不考慮除式為 0 的情況

與乘法運算時相同，除法的計算我們先從單項式開始看。

在單項式的除法中，先將原式化為分式，即

除式

被除式 的形式，其中數字部分要均分，

文字部分則利用指數運算 _n ^{m n}

m

a a

a   來化簡。

舉例： x

x x x

x 3 3

3

2

2    (x0)

x x x x

x 2

3 3 6 6

2

2    (x0)

例題 5.2.3-1

計算下列各式：

(1)6x² 2x (2)15x 3 x (3)5x² 2x 詳解：

(1) x

x x x

x 3

2 2 6 6

2

2   

(2) 5

3 3 15

15    

 x

x x x

(3) x x

x x

x 2

5 2 2 5 5

2   2 

【練習】5.2.3-1 計算下列各式：

(1)16x³4x (2)25x² 5x (3)30x² 6x (4)81x² 9x

若被除數為多項式，除數為單項式，我們也可以拆解來計算，如下題：

例題 5.2.3-2

計算下列各式：

(1)(x² )3x x (2)(12x³8x²)4x 詳解：

(1)

＝

＝

＝

x x x  )3  ( ²

x x x² 3

x x x x²  3

3 x

(2 )

＝

＝

＝

x x

x 8 ) 4

12

( ³  ² 

x x x

4 8 12 ³ ²

x x x x

4 8 4

12 ³  ²

x x 2 3 ² 

【練習】5.2.3-2 計算下列各式：

(1)(x² )2x x (2)(9x³18x²)3x

接下來我們來看看多項式除以多項式要如何運算，這裡我們使用直式除法計算。

直式除法也稱為長除法，計算方式與一般數字的直式除法類似。

以計算(x² 2x3)(x1)為例：

(1) 先列出直式

1

x ₂

x 2x 3

(2) 被除式x²  x2 3的第一項是x ，除式² x1的第一項是^x， x

x

x²   ，因此我們商式的第一項放^x， 被除式下面放除式與商式第一項相乘的式子。

x

1

x ₂

x 2x 3

x2 ^x ← (x1)x x²x

(3) 計算(x² 2x3)(x² x)3x3 x

1

x ₂

x 2x 3 x2 ^x

x

3 3 ← (x² 2x3)(x² x)3x3 (4) 3x3的第一項是3 ，除式x x1的第一項是^x，

3

3x x  ，因此我們商式的第二項放3 ， x 3

1

x ₂

x 2x 3

x2 ^x

x

3 3 x

3 3 ← (x1)33x3 (5) 計算(3x3)(3x3)0

x 3 ← 此處(x3)為商式

1

x ₂

x 2x 3 x2 ^x

x

3 3 x

3 3

0 ← (3x3)(3x3)0，此處為餘式

於是我們得到了(x² 2x3)(x1) x3，餘式為0。

驗算： 無餘式時，除式×商式＝被除式 可計算(x1)(x3)x² 2x3

接著再看一題有餘式的計算：

計算(2x² 3x4)(x2)

x

2 1 ← 商式為(2x1)

2

x ₂

2x 3x 4

2x2 4x ← (x2)2x2x² 4x

x 4 ← (2x² 3x4)(2x4x)x4

x 2 ← (x2)(1)x2

6 ← (x4)(x2)6，餘式為6

因此我們得到，(2x² 3x4)(x2)，商式為2x1，餘式為6 。 驗算： 有餘式時，除式×商式＋餘式＝被除式

可計算(2x1)(x2)6=(2x² x3 2)6=2x²  x3 4

例題 5.2.3-3

直式計算下列各式並驗算：

(1)(3x² 5x)(x5) (2)(6x²5x)(2x1) 詳解：

(1) (3x² 5x)(x5)

x

3 10

5

x ₂

3x 5x 3x2 15x

x

10 x

10 50 50

) 5 ( ) 5 3

( x²  x  x 的商式為(3x10)，餘式為50。

驗算：計算(x5)(3x10)503x² 5x

(2) (6x² 5x)(2x1)

x

3 1 1

2x ₂

6x 5x 6x2 3x x 2

x

2 1

1

) 1 2 ( ) 5 6

( x²  x  x 的商式為(3x1)，餘式為( 。1) 驗算：計算(2x1)(3x1)(1)6x² 5x

【練習】5.2.3-3

直式計算下列各式並驗算：

(1)(18x² 15x)(6x3) (2)(4x² 7x)(2x1)

例題 5.2.3-4

直式計算下列各式並驗算：

(1)(48x² 30x3)(6x3) (2)(12x² 6x4)(6x1) 詳解：

(1)(48x² 30x3)(6x3)

x

8 1 3

6x ₂

48x 30x 3 48x2 24x

x

6 3 x

6 3 0

) 3 6 ( ) 3 30 48

( x²  x  x 的商式為(8x1)，餘式為0。

驗算：計算(6x3)(8x1)48x² 30x3

(2)(12x² 6x4)(6x1)

x

2 3

 2

1

6x ₂

12x 6x 4 12x2 2x

x

4 4 x

4 3

2

3 31

) 1 6 ( ) 4 6 12

( x²  x  x 的商式為 )

3 2 2

( x ，餘式為 3 3 。1

驗算：計算 12 6 4

3 31 3) 2 2 ( ) 1 6

( x  x   x²  x

【練習】5.2.3-4

直式計算下列各式並驗算：

(1)(5x² 9x2)(x2) (2)(8x² 2x6)(4x3)

例題 5.2.3-5

直式計算並驗算：

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³ x²  x  x²  x 詳解：

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³ x²  x  x²  x

x

3 1 2

3

5x²  x 15x³ 4x² 4x ^1 15x3 9x² 6x

5x2

 2x ^1 5x2

 3x ^2 x 3

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³ x²  x  x²  x 的商式為(3x1)，餘式為(x3)。 驗算：計算(5x²3x2)(3x1)(x3)15x³4x² 4x1

【練習】5.2.3-5

直式計算並驗算：

) 2 3 2 ( ) 2 5 2 8

( x³ x²  x  x²  x

例題 5.2.3-6 (缺 x 一次項的直式除法) 直式計算下列各式並驗算：

(1)(16x² 6)(4x3) (2)(9x² 4)(3x2) 詳解：

(1)(16x² 6)(4x3)

x

4 3 3

4x 16x² 0x 6 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 16x2 12x

x

12 6 x

12 9 15

) 3 4 ( ) 6 16

( x²   x 的商式為(4x3)，餘式為15。

驗算：計算(4x3)(4x3)1516x²6

(2)(9x² 4)(3x2)

x

3 2 2

3x 9x² 0x 4 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 9x2 6x

x

6 4 x

6 4 0

) 2 3 ( ) 4 9

( x²   x 的商式為(3x2)，餘式為0。

驗算：計算(3x2)(3x2)9x² 4

【練習】5.2.3-6

直式計算下列各式並驗算：

(1)(8x² 6)(2x1) (2)(9x²2)(3x1)

若在一個多項式除法中，被除式為A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R。(B 不為 0) 也就是：AB QR

我們在前面驗算時寫成： A BQR

也可以將此式同除以B 寫成：

B Q R B

A  

即 除式

商式 餘式 除式

被除式 

例題 5.2.3-7

有兩多項式A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 2A 除以 B 的商式與餘式。

(3)求 A 除以 5B 的商式與餘式。

詳解：

(1) 除式

商式 餘式 除式

被除式 

多項式A 除以 B，商式為 Q，餘式為 R。

關係式為 B

Q R B

A  

(2) 求 2A 除以 B 的商式與餘式。

將 B

Q R B

A   同乘以2

得 2(  )2 B Q R B

A

化簡為 B

Q R B

A 2

2 2 

對照 除式

商式 餘式 除式

被除式 

即2A 除以 B，商式為2Q，餘式為 2R。

(3) 求 A 除以 5B 的商式與餘式。

將 B

Q R B

A   同除以5

得 5(  )5 B Q R B

A

化簡為 B

R Q B A

5 5 5  

對照 除式

商式 餘式 除式

被除式 

即A 除以 5B，商式為 5

Q，餘式為R。

【練習】5.2.3-7

有兩多項式A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)求 4A 除以 B 的商式與餘式。 (2)求 A 除以 2B 的商式與餘式。

5.2 節 習題

習題 5.2-1

計算下列各式：

(1)(3x² x1)(6x² 2x3) (2)(x³ 3x2)(2x³6x3)

習題 5.2-2

計算下列各式：

(1)(5x² 3x1)(2x² 4x7) (2)(2x² 4x3)(x² 3x5)

習題 5.2-3

(1)計算(4x² 2x)(3x² 32x)，並將結果按降冪排列。

(2)計算(x³ 2x²1)(5x² x3)，並將結果按升冪排列。

習題 5.2-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(2x² 6x8)(4x² 2x2) (2)(3x² 4x3)(x² x1)

習題 5.2-5

計算下列各式：

(1)42x (2)(2)3x (3)4x 2 x (4)6x(x)

(5)^{( x3 )2} (6)5x³3x² (7)4x 2³ x

習題 5.2-6

計算下列各式：

(1)(x2)(x1) (2)(2x3)(x1) (3)(x4)(3x2) (4)(3x2)(x3)

習題 5.2-7

計算下列各式：

(1)(x x1)( 2) (2)(2x1)(x2) (3)(x3)(x1) (4)(3x1)(2x1)

習題 5.2-8

計算下列各式：

(1)(x2)(x² 2x1)

(2)(2x1)(3x1)(3x2)(2x5)

習題 5.2-9

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(x x1)( 3)

(2)(x2)(2x² x1) (3)(x²  x1)( 2)

習題 5.2-10

計算下列各式：

(1)4x² 2x (2)18x 6 x (3)7x² 3x

習題 5.2-11

計算下列各式：

(1)(2x³ )3x x (2)(18x³4x²)2x

習題 5.2-12

計算下列各式並驗算：

(1)(2x² 5x42)(x2) (2)(3x² 13x14)(3x1)

習題 5.2-13

計算下列各式並驗算：

(1)(30x² 16x2)(5x1) (2)(24x² 25x6)(8x3)

習題 5.2-14

計算下列各式並驗算：

(1)(25x² 3)(5x1) (2)(16x²2)(4x1)

習題 5.2-15

有兩多項式A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 3A 除以 B 的商式與餘式。

(3)求 A 除以 4B 的商式與餘式。

5.3 節 多項式的乘法公式

在5.2 節中，我們學習了如何展開兩個多項式的乘法。在這一節，我們將學習下列多 項式的乘法公式：

兩式相乘 (ab)(cd)acad bcbd 和的平方 (x y)²  x² 2xy y²

差的平方 (x y)²  x² 2xy y² 平方差 ^{x2 y2 (x y)(x y)}

立方和 ^{x3y3 (xy)(x2xyy2)} 立方差 ^{x3 y3 (xy)(x2 xy y2)} 和的立方 (x y)³  x³ 3x²y3xy²  y³ 差的立方 (x y)³  x³3x²y3xy²  y³

三數和平方 (x yz)²  x² y² z² 2xy2yz2zx 我們將在以下各小節推導這些公式並學習如何應用。

5.3.1 節 兩式相乘公式

本節我們要學習的乘法公式是兩式相乘公式： (ab)(cd)acad bcbd 我們利用5.2 節學過的多項式乘法，來計算(ab)(cd)

令A ab

那麼算式就會變成 A(cd)

＝ Ac Ad (利用分配律)

＝ (ab)c(ab)d (將 A 換回a )b

＝ acbcadbd (化簡)

＝ acadbcbd

於是我們就得到了(ab)(cd)＝acadbcbd

除了利用分配律計算外，我們也可以從長方形面積來理解。

圖5.3-1 的長方形中，長為(a ，寬為b) (c 。d)

ac bc

ad bd

a b

圖5.3-1 我們想計算此長方形的面積，也就是(ab)(cd) 由圖可知，整個大長方形可以切成4 塊，

左上方長方形的面積為ac；左下方長方形的面積為 ad；

右上方長方形的面積為bc；右下方長方形的面積為 bd。

全部合起來就是acadbcbd

因此得到(ab)(cd)＝acadbcbd

c d

例題 5.3.1-1

利用(ab)(cd)＝acad bcbd 展開下列各式：

(1)(x3)(x5) (2)(2x6)(x4) (3)(2x x1)( 3) (4)(4x3)(3x2) 詳解：

(1)

＝

＝

) 5 )(

3 (x x

15 3

2 5x x x

15

2  x2  x

(2 ) ＝

＝

) 4 )(

6 2

( x x

24 6 8

2x²  x x 24 14 2x²  x

(3)

＝

＝

) 3 )(

1 2

( x x 3 6

2x²  xx 3 7 2x²  x

(4 ) ＝

＝

) 2 3 )(

3 4

( x x 6 9 8

12x² x x 6 12x²  x

【練習】5.3.1-1

利用(ab)(cd)＝acad bcbd 展開下列各式：

(1)(x x1)( 2) (2)(2x3)(x2) (3)(x4)(5x4) (4)(6x5)(2x1)

學習了多項式乘法公式之後，我們可以利用公式來做數字的計算。

我們先從簡單的乘法分配律開始練習。

例題 5.3.1-2

利用(a )b cacbc或(a )b cacbc，計算下列各式：

(1)102350 (2)992400 (3)123² 12323 (4)123² 12377 詳解：

(1)

＝

＝

＝

＝

350 102

350 ) 2 100 (  

350 2 350 100  

700 35000 35700

(2 ) ＝

＝

＝

＝

2400 99

2400 )

1 100 (  

2400 1

2400 100  

2400 240000 237600 (3)

＝

＝

＝

＝

23 123 123²  

23 123 123

123   ) 23 123 ( 123  123100

12300

(4 ) ＝

＝

＝

＝

77 123 123²  

77 123 123

123   ) 77 123 ( 123  123200

24600

【練習】5.3.1-2

利用(a )b cacbc或(a )b cacbc，計算下列各式：

(1)201250 (2)981200 (3)255² 25555 (4)255² 25545

接著我們利用公式(ab)(cd)＝acad bcbd 來做數字的計算。

例題 5.3.1-3

利用(ab)(cd)＝acad bcbd ，計算下列各式：

(1)71101 (2)49201 詳解：

(1)

＝

＝

＝

＝ 71101

) 1 100 ( ) 1 70

(   

1 1 100 1 1 70 100

70       1

100 70

7000   7171

(2 ) ＝

＝

＝

＝

201 49

) 1 200 ( )) 1 ( 50

(    

1 ) 1 ( 200 ) 1 ( 1 50 200

50         1

200 50

10000   9849

【練習】5.3.1-3

利用(a )b cacbc或(a )b cacbc，計算下列各式：

(1)41301 (2)49501

5.3.2 節 和的平方公式

本節要學習的乘法公式是和的平方公式：(x y)²  x² 2xy y² 公式推導：(x y)²

＝ (x y)(x y)

＝ (x y)x(x y)y (分配律)

＝ x² xyxy y²

＝ x² 2xy y²

除了利用分配律計算外，我們也可以從正方形面積來理解。

圖5.3-2 圖5.3-2 的正方形中，邊長為(x y)。

我們想計算此正方形的面積，也就是(x y)(x y)或(x y)²。 由圖可知，整個大正方形可以切成4 塊，

左上方正方形的面積為x²；左下方長方形的面積為xy；

右上方長方形的面積為xy；右下方正方形的面積為 y²。

全部合起來就是x² xyxy y²，化簡為x² 2xy y²。 因此得到(x y)²  x² 2xy y²。