國 立 中 央 大 學

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數 學 系 碩 士 論 文

學測成績分群結果與 微積分學習表現之間

的關係

研 究 生：梁仁馨

指導教授：單維彰 博士

中 華 民 國 九十八 年 六 月

國立中央大學圖書館 碩博士論文電子檔授權書

(98 年 4 月最新修正版)

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研究生簽名: 梁仁馨 學號： 962201023 論文名稱: 學測成績分群結果與微積分學習表現之間的關係 指導教授姓名： 單維彰 博士 系所 ： 數學研究 所 博士班 ■碩士班 日期：民國 98 年 6 月 12 日

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論文摘要

本研究的研究對象為國立中央大學 96 學年度入學的大一新生，樣本資料包 含：入學前的學科能力測驗成績、入學後的微積分聯合教學成績與大一英文分班 資料。研究使用的軟體主要為 Matlab 及 Microsoft Excel，利用其中的 k-means 分群法，以及統計上的相關係數、t 檢定與回歸等方法分析資料。

研究者嘗試將訊號分析 (signal analysis) 與機器學習 (machine learning) 領 域中，經常使用的 k-means 分群法以及做分布圖觀察的方法，運用在教育資料 上，討論其效益。以上述之樣本資料為例，經分群與作圖後，可支持研究者探討

「入學前的學科能力測驗成績」與「入學後的微積分學習表現」之間的關係。

研究的結果有二。第一，在技術上，k-means 分群法在教育意義上有實用價 值，可幫助研究者從眾多資料中觀察現象。第二，在教育上，學科能力測驗成績 變異數較大的分群與英文級分偏低的分群，在大一微積分的學習表現上是較危險 的，值得我們特別關注。

關鍵字

微積分、學科能力測驗、k-means 分群法

Abstract

The subjects of study are the freshmen of the National Central University in 2007.

The samples of study include the scores of the Scholastic Aptitude Test (SAT) by the College Entrance Examination Center, the achievements of the United Classes of Calculus (UCC), and the classes of the Freshman English Course. The main software of study is Matlab and Microsoft Excel. The data is analyzed by the methods of k-means and coefficients of correlation, t-test and regression in statistics.

The researcher tries to use the k-means and the graph of distribution, which are commonly used in the signal analysis and the machine learning, in education and discusses the benefit of the result. After classifying and graphing, the correlation between “the scores of SAT” and “the achievements of UCC” is discussed.

There are two conclusions in this research. Technologically, the k-means is useful in education and helpful for researchers to observe the data. Educationally, the groups of higher variance or lower English score in SAT have a higher risk of failure in UCC.

We should pay more attention to these groups of students.

Keywords

Calculus, Scholastic Aptitude Test, k-Means

致謝辭

對我而言，有機會再次進到校園中學習是非常可貴的。畢竟一旦開始出社會 工作，身上的責任就不只是唸書了。也因此，我特別感謝家人的支持，能夠讓我 安心的回到學校來讀書，算是圓了小小的夢。

中央的這兩年，遇到許多善良的好人。指導教授－單維彰老師，印象中總是 很忙，卻又不急不徐的完成所有的事－包括最愛的爬山；給予的指導也不限於研 究上而已，費心的帶我參加一些教師研習活動，增加未來發展的競爭力。親愛的 小學姐們，雖然叫學姐卻比我年輕多了；還好有妳們，我才能在修課與寫論文時 更平順些。最可愛的夥伴，雖然我們的研究方向只有短暫的交會，妳給我的鼓勵 卻從未間斷，陪我度過學習間遇到的所有挫折，是個讓人溫暖到心底的女孩。最 後，感謝各位同學，讓這段學習之路留下許多珍貴的回憶。

論文能夠順利完成，除了感謝各位之外，也必須感謝學校行政以及語言中心 的協助與配合。兩年的成長，除了專業的知識外，更懂得如何學習以及學習的方 法。學習越多，雖然讓人感覺自己更加渺小，心靈卻反而富足。或許這是我當學 生的最後一站，卻不會是學習的終點。

目錄

論文摘要 ... I

致謝辭 ... III 目錄 ... IV 圖目錄 ... VII 表目錄 ... VIII

第一章 緒論 ... 1

1.1 研究源起與動機 ... 1

1.2 研究目的與待答問題 ... 3

1.3 名詞解釋 ... 4

1.4 研究範圍與限制 ... 6

第二章 文獻探討 ... 7

2.1 學科能力測驗相關資料 ... 7

2.1.1 學科能力測驗概述 ... 7

2.1.2 96 學年度學測統計資料 ... 9

2.1.3 大學甄選入學實施成果 ... 14

2.2 學測成績與大學學業表現相關文獻 ... 19

第三章 研究設計與方法 ... 23

3.1 研究流程 ... 23

3.2 研究對象與工具 ... 24

3.3 實施步驟 ... 26

3.3.1 前置實驗 ... 26

3.3.2 研究主題 ... 29

3.3.3 延伸研究 ... 31

第四章 研究結果與討論 ... 33

4.1 前置實驗結果 ... 33

4.1.1 利用 k-means 分群後表現出的性質 ... 33

4.1.2 k-Means 分群結果與微積分的關係 ... 38

4.1.3 以學測成績變異數做分群與微積分的關係 ... 39

4.2 研究主題結果 ... 41

4.2.1 利用 k-means 分群後表現出的性質 ... 41

4.2.2 k-Means 分群結果與微積分的關係 ... 44

4.2.3 以學測成績變異數做分群與微積分的關係 ... 45

4.2.4 k-Means 分群性質與學測成績變異數的關係 ... 46

4.2.5 入學管道的討論 ... 48

4.3 延伸研究結果 ... 53

4.3.1 英文與微積分的關係 ... 53

4.3.2 訪談離群樣本對象 ... 56

第五章 結論與建議 ... 58

5.1 結論 ... 58

5.2 建議與發展 ... 61

參考書目 ... 64

附錄一 ... 66

1.1 k-Means 演算法 ... 66

1.2 在 Matlab 中的操作方法 ... 67

附錄二 ... 69

附錄三 ... 71

附錄四 ... 72

圖目錄

? 3-1 ????? ... 23

圖 3-2 前置樣本分布圖 ... 28

圖 4-1 甄選入學與分發入學的微積分成績 ... 49

圖 4-2 高級班與初級班六次會考差距之回歸直線圖 ... 55

表目錄

表 2-1 學科能力測驗各考科的測驗範圍 ... 8

表 2-2 九十六學年度學科能力測驗各科成績標準一覽表 ... 9

表 2-3 九十六學年度學科能力測驗原始分數與級分對照表 ... 10

表 2-4 學測成績篩選與採計 ... 12

表 3-1 學測成績變異數分群標準 ... 30

表 4-1 前置樣本分三群 ... 34

表 4-2 前置樣本分四群 ... 36

表 4-3 前置樣本分三群的微積分不及格率 ... 38

表 4-4 前置樣本分四群的微積分不及格率 ... 39

表 4-5 前置樣本依變異數分群的微積分不及格率 ... 40

表 4-6 研究樣本分三群 ... 41

表 4-7 研究樣本分四群 ... 42

表 4-8 研究樣本從三群到四群的變化 ... 43

表 4-9 研究樣本分三群的微積分不及格率 ... 44

表 4-10 研究樣本分四群的微積分不及格率 ... 44

表 4-11 研究樣本依變異數分群的微積分不及格率 ... 45

表 4-12 研究樣本學測成績變異數與各科的相關係數 ... 46

表 4-13 學測英文與學測變異數的關係（一） ... 47

表 4-14 學測英文與學測變異數的關係（二） ... 47

表 4-15 甄選入學與分發入學的學測成績 ... 48

表 4-16 三群中甄選與分發入學的微積分不及格率 ... 50

表 4-17 四群中甄選與分發入學的微積分不及格率 ... 50

表 4-18 甄選入學學測成績變異數分群標準 ... 50

表 4-19 分發入學學測成績變異數分群標準 ... 51

表 4-20 不同入學管道依變異數分群的微積分不及格率 ... 51

表 4-21 學測英文與六次會考相關係數 ... 53

表 4-22 英文分班後各班微積分標準分數的比較 ... 54

第一章 緒論

本章分成「研究源起與動機」、「研究目的與待答問題」、「名詞解釋」及「研 究範圍與限制」四節敘述。

1.1 研究源起與動機

大考中心網站提到：學科能力測驗（簡稱「學測」）旨在評量考生是否具有 接受大學教育的基本學科能力。因此我們考慮將學測成績視為學生入學前的能力 指標，藉由觀察學測成績去了解學生具備的特質，並經由關心「入學前的學測成 績」與「入學後的學習表現」之間的關係來檢視學生的學習狀況與需要。倘若我 們能從學測成績中看出學生具有的特質，並了解此特質與學習表現的關係，那麼 在面對「如何訂定一個學測成績的標準做為甄選入學制的依據」這樣的問題，或 許能找到更適合的方向。

另一採用學測成績的理由，是全體入學生皆有學測成績，但只有一部分的學 生參加了指定考試科目。

大學教育的課程安排上，微積分是理、工、商學院的必修科目，也是學生踏 入大學生活後的第一個重要的學習科目。了解學生學習微積分的狀況，一直是我 們有興趣的課題。在國立中央大學「微積分聯合教學」的課程設計裡，統一了授 課進度、考試範圍與作業內容，並採取聯合命題和聯合閱卷方式，成績的計算具 有公平一致的性質。此性質促使我們考量以聯合教學的微積分成績作為學生學習 表現的依據。

學生在進入大學後，需要面對的英文書漸漸地增加，英文儼然成為學生學習 的必備工具。在潘尚怡 (2008) 的研究中已經觀察到：英文作業對「微積分會考」

是有影響的。我們因此有這樣的猜想：英文程度與學生學習的成效是有關係的。

因此在本研究的實驗過程中，也會特別關心英文能力對學習成效的影響。

在訊號分析 (signal analysis) 與機器學習 (machine learning) 領域，k-means 分群法是經常被拿來使用的工具。由於在本研究決定進行之前，研究者幸運地有 機會學習到這分面相關的知識，因此在面對教育研究的問題時，「將其它領域常 用的工具運用在教育領域中，並從中發現值得觀察的現象與實用的價值」成為本 研究重要的目的。首先嘗試的是將 k-means 分群法利用在教育領域上，展開了 第一個試探性的實驗。

1.2 研究目的與待答問題

本研究有以下幾個主要的研究目的：

1 利用訊號分析與機器學習領域中常用的 k-means 方法將學測成績分群。其 目的是協助教育研究者，經由分群結果發現值得觀察的現象。

2 了解國立中央大學接受微積分聯合教學的學生，其「入學前的學測成績」與 「入學後的微積分學習表現」之間的關係。

3 探討學生「英文程度」與「學習表現」之間的關係。

依據研究目的，我們提出以下 5 個待答問題：

根據研究目的 1 提出以下具體的待答問題

1 利用 k-means 分群法將學測成績分群後的結果，有哪些值得觀察的現象？

根據研究目的 2 提出以下具體的待答問題

2 入學前的學測成績與入學後的微積分成績關係為何？

回答了上述問題後，我們延伸了以下待答問題 3 學測英文成績與學測成績變異數有何關係？

4 入學管道是否影響實驗結果？

根據研究目的 3 提出以下具體的待答問題

5 英文程度與微積分學習表現之間的關係為何？

1.3 名詞解釋

1 微積分聯合教學：國立中央大學的微積分聯合教學在 95 年開始實施。課程 設計上，統一課程的授課進度、考試範圍與作業內容，並採取聯合命題、聯 合閱卷的評分方式。

2 會考：會考是微積分聯合教學課程重要的活動，參與的學生被安排在同一時 間採同一試卷進行測驗。一學期舉行三次會考，整學年共六次，本研究以會 考一、會考二…會考六表示，每一次會考的滿分為 120 分。

3 微積分學習表現：本研究以國立中央大學 96 學年度微積分聯合教學「應屆 學生」的微積分六次會考成績作為樣本資料，並以微積分六次會考成績的平 均做為微積分學習表現的依據。

4 不及格率：指的是同群中不及格樣本數占總樣本數的百分比。有界定離群樣 本時則為扣除離群樣本數後，同群中不及格樣本數占總樣本數的百分比。注 意，此處的「不及格」指的是微積分會考成績並非指學期成績。

5 相關係數：本研究設定顯著水準為 .05。文中所有相關係數 r 值，皆在 Matlab 中以指令 corrcoef 求得，並以同時求得的 p 值界定是否達顯著。

指令 corrcoef 中所使用的相關為 Pearson 相關。

6 大一英文：國立中央大學明文規定，大一新生（除英文系學生及語言中心核 可免試者外）均須參加大一英文能力分級測驗。語言中心依學生分級測驗的 成績，配合開設「高級」、「中級」及「初級」的大一英文課程。分班的成績

標準，由語言中心開會決定。課程內容分為「閱讀／寫作」及「口語／聽力」

兩課群，學生在上、下學期須修習不同課群的課程。所有等級中每一課群的 課程，期中考部分全由任課老師自行命題，期末考部分則有 50% 的統一命 題。

7 英文程度：本研究中指的英文程度是指學生在大一英文課程上學期選修的英 文班級，分成「高級」、「中級」與「初級」三種程度。

1.4 研究範圍與限制

1 本研究之對象，僅限於國立中央大學 96 學年度，配合微積分聯合教學之 理、工及資電等學院的應屆學生，包含：土木、大氣、化材、化學、生科、

光電、物理、資工、數學及機械等科系。研究樣本數為 600，約佔以上所述 學院應屆學生之 7 成。

2 本研究之數據資料皆來自於「96 學年度應屆學生入學前的學測成績」、「96 學年度應屆學生的微積分聯合教學成績」以及「96 學年度應屆學生的大一 英文分班資料」。

3 本研究所有資料的分析與統計，皆在 Matlab 及 Microsoft Excel 中進行。

第二章 文獻探討

此章針對研究需要，進行資料背景的調查與討論，並蒐集與研究相關的文 獻，做分析與比較。以下分成「學科能力測驗相關資料」及「學測成績與大學學 業表現相關文獻」兩節做論述。

2.1 學科能力測驗相關資料

此節先簡單的描述學科能力測驗，接著依據本研究的相關內容，整理 96 學 年度學測相關的統計資料。然後整理大學甄選入學實施成果之文獻。

2.1.1 學科能力測驗概述

學科能力測驗（文中簡稱「學測」）目的在評量考生是否具有接受大學教育 的基本學科能力，是各大學校系初步篩選學生的門檻。學測的測驗目標可分為以 下四方面（大考中心，2009）：

1 評量考生是否具備高中生應有的基本學科知能 2 評量考生是否具備接受大學教育應有的基本知能 3 通識導向：結合生活或整合不同領域

4 重視理解與應用的能力

學測對於現行的大學多元入學方案而言，主要是作為大學「甄選入學制」的 依據。即各大學校系可以依本身的性質與需求，訂定一個學測成績的標準作為門

檻，達到訂定的標準並且在一定人數倍率之內的考生，才有機會參加該校系辦理 的指定項目甄試，該校系再擇優錄取。

現行的學測考試科目包括國文、英文、數學、社會與自然五個考科，各考科 的測驗範圍包括高一、高二的必修課程。自民國 98 年起，學測各考科的測驗範 圍如表 2-1 所示。各考科的試題題型以電腦可讀為主，試題答錯均不倒扣。國 文與英文兩考科，有需要人工閱卷的非選擇題。社會考科（歷史、地理、公民與 社會）中三科的試題所佔比例相當。自然考科的試題則分成兩部分：第一部分主 要範圍是高一的必修課程，考生必須全部作答；第二部分則以高二的課程為原 則，考生只要答對其中一定的題數，此部分即為滿分（大考中心，2009）。

表 2-1 學科能力測驗各考科的測驗範圍

考科 測驗範圍

國文 高一 國文、高二 國文

英文 高一 英文、高二 英文

數學 高一 數學、高二 數學

社會 高一 歷史、地理、公民與社會 高二 歷史、地理、公民與社會

自然 高一 基礎物理、基礎化學、基礎生物、基礎地球科學 高二 物理、化學、生物、地球與環境

資料來源：大考中心 (2009)

學測在各考科的成績計算是採取級分制，滿分為 15 級分。國文與英文考科 除了整體的成績之外，非選擇題的分數也會單獨呈現。級分的換算是以該科原始 得分前百分之一考生的平均除以 15（取至小數第二位，第三位四捨五入）當做 該科的級距；原始得分 0 分或缺考者為 0 級分，往上每增加一級距依序為 1、

2、3、…最高為 15 級分。

2.1.2 96 學年度學測統計資料

下面就本研究討論範圍，列出 96 學年度學測成績的各項統計資料：各科成 績標準如表 2-2，原始分數與級分對照如表 2-3。

表 2-2 九十六學年度學科能力測驗各科成績標準一覽表

科目 國文 英文 數學 社會 自然 總級分

級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 頂標 13 26.84 13 16.03 10 18.39 13 18.85 13 12.57 59 13.65 前標 13 26.84 11 31.20 8 34.68 12 30.29 11 29.77 53 27.65 均標 11 63.00 8 55.84 6 57.70 10 64.83 9 53.33 45 52.25 後標 10 75.78 5 82.05 4 81.33 9 75.48 7 77.22 36 76.60 底標 8 89.08 4 91.74 3 88.98 7 94.00 5 94.65 29 88.09

資料來源：大考中心 (2009) 註：依據違規處理前資料統計

百分比＝大於或等於該標級分人數／該科到考人數 頂標：成績位於第 88 百分位數之考生級分

前標：成績位於第 75 百分位數之考生級分 均標：成績位於第 50 百分位數之考生級分 後標：成績位於第 25 百分位數之考生級分 底標：成績位於第 12 百分位數之考生級分

表 2-3九十六學年度學科能力測驗原始分數與級分對照表

科目 國文 英文 數學 社會 自然

級距 5.86 6.25 6.27 7.31 7.97

級分 分數區間

15 82.05 - 108.00 87.51 - 100.00 87.79 - 100.00 102.35 - 132.00 111.59 - 128.00 14 76.19 - 82.04 81.26 - 87.50 81.52 - 87.78 95.04 - 102.34 103.62 - 111.58 13 70.33 - 76.18 75.01 - 81.25 75.25 - 81.51 87.73 - 95.03 95.65 - 103.61 12 64.47 - 70.32 68.76 - 75.00 68.98 - 75.24 80.42 - 87.72 87.68 - 95.64 11 58.61 - 64.46 62.51 - 68.75 62.71 - 68.97 73.11 - 80.41 79.71 - 87.67 10 52.75 - 58.60 56.26 - 62.50 56.44 - 62.70 65.80 - 73.10 71.74 - 79.70 9 46.89 - 52.74 50.01 - 56.25 50.17 - 56.43 58.49 - 65.79 63.77 - 71.73 8 41.03 - 46.88 43.76 - 50.00 43.90 - 50.16 51.18 - 58.48 55.80 - 63.76 7 35.17 - 41.02 37.51 - 43.75 37.63 - 43.89 43.87 - 51.17 47.83 - 55.79 6 29.31 - 35.16 31.26 - 37.50 31.36 - 37.62 36.56 - 43.86 39.86 - 47.82 5 23.45 - 29.30 25.01 - 31.25 25.09 - 31.35 29.25 - 36.55 31.89 - 39.85 4 17.59 - 23.44 18.76 - 25.00 18.82 - 25.08 21.94 - 29.24 23.92 - 31.88 3 11.73 - 17.58 12.51 - 18.75 12.55 - 18.81 14.63 - 21.93 15.95 - 23.91 2 5.87 - 11.72 6.26 - 12.50 6.28 - 12.54 7.32 - 14.62 7.98 - 15.94 1 0.01 - 5.86 0.01 - 6.25 0.01 - 6.27 0.01 - 7.31 0.01 - 7.97 0 0.00 - 0.00 0.00 - 0.00 0.00 - 0.00 0.00 - 0.00 0.00 - 0.00

資料來源：大考中心 (2009)

註：1 級距：以各科到考考生，計算其原始得分前百分之一考生（取整數，小數 無條件進位）的平均原始得分，再除以 15，並取至小數第二位，第三位 四捨五入。

2 本測驗之成績採級分制，原始得分 0 分為 0 級分，最高為 15 級分，缺 考以 0 級分計。

此後，我們都以學測的級分作為討論對象，至於該級分在當屆考生中的相對 成就，請對照表 2-2 及表 2-3。

取得 96 學年度學測成績的相關統計資料後，接著將本研究的對象分類成十 個科系。我們從大學甄選入學委員會網站上，取得國立中央大學 96 學年度此十 個科系在甄選入學時，針對「學測成績」訂定的篩選與採計標準，整理如表 2-4。

表中的「倍率」解釋如下。

甄選入學分為兩階段，第一階段須先符合檢定標準才能參加倍率篩選。倍率 篩選由倍率高者篩選至倍率低者，倍率相同的學科以其級分之和進行篩選，以篩 選出某倍於預定招生名額之學生人數（即招生名額×最低倍率）參加第二階段指 定項目甄試。第二階段可分成學科能力測驗成績、術科測驗成績及大學指定項目 成績三部分，依各校系規定佔總成績之比例計算後之和為甄選總成績。

例如，96 學年度中央大學土木系在學校推薦的招生名額為 10 名。參閱表 2-4，從通過階段一檢定標準之學生中，先依倍率為 5 的數學，選取數學級分前 50 名的學生。再從 50 名學生中，依倍率為 3 的自然，選取自然級分前 30 名 的學生。此 30 名學生方能參與第二階段的甄試。

表 2-4 學測成績篩選與採計

學測成績篩選與採計 國文 英文 數學 社會 自然 總分

土木

階段一 檢定 - 均標 均標 - 均標 - 倍率 - - 5 - 3 - 階段二 採計 *1.00 *1.00 *1.25 *1.00 *1.25 *1.00

比例 50%

大氣

階段一 檢定 均標 均標 前標 - 前標 - 倍率 - - 6 - 6 3 階段二 採計 *1.00 *1.00 *1.50 - *1.50 -

比例 40%

化材

階段一 檢定 均標 前標 頂標 - 頂標 - 倍率 10 - - - 3 - 階段二 採計 *1.00 *2.00 *2.00 *1.00 *2.00 -

比例 50%

化學

階段一 檢定 - 均標 均標 - 均標 - 倍率 - 3 5 - 4 - 階段二 採計 - *1.00 *1.25 - *1.25 -

比例 50%

生科

階段一 檢定 均標 前標 前標 - 前標 - 倍率 - - 5 - 3 - 階段二 採計 - *1.00 *1.00 - *1.00 -

比例 50%

光電

階段一 檢定 均標 均標 均標 - 均標 - 倍率 - - 3 - 3 - 階段二 採計 *1.00 *1.25 *1.50 - *1.5 -

比例 30%

物理

階段一 檢定 - - - - 倍率 - - 6 - 3 - 階段二 採計 *1.00 *1.00 *1.50 - *1.50 -

比例 30%

資工

階段一 檢定 均標 前標 前標 - 前標 - 倍率 - 4 5 - 3 - 階段二 採計 *1.00 *1.50 *2.00 - *1.50 -

比例 60%

數學

階段一 檢定 - - - - 倍率 - - 3 - - - 階段二 採計 - *1.00 *2.00 - *1.00 -

比例 20%

機械

階段一

檢定 均標 均標 均標 均標 均標 - 倍率(推) - 4 4 - 4 - 倍率(申) - 3 3 - 3 - 階段二 採計 *1.00 *1.00 *1.50 - *1.50 -

比例 50%

註：符號＂-＂表示不採計。

「比例」是指學測成績佔第二階段總成績的百分比。

2.1.3 大學甄選入學實施成果

蘇玉龍、葉連祺、吳京玲和陳恭 (2006) 採用調查法與訪談法，比較 93 和 94 學年度甄選入學學生的學科能力測驗分數，有了以下結論：

1 大學甄選入學方案已發揮若干拔擢專才與適性就學的功能

研究認為，如果甄選制度是選到專才，則假設入學者的學測成績應該低 於考試分發入學者。經由比較學生的平均總級分百分位資料顯示，學校推薦 入學生學科能力低於考試分發者，申請入學生學科能力則較高於考試分發 者。

2 大學甄選入學方案已發揮若干平衡城鄉差距的功能

位於底段與後段的大學，使得有些在學測成績表現較差的學生得以就讀 大學，這些學生有些正好來自於發展不利地區。有些受訪者也談到在中後段 的部分大學，已經有社區化的趨勢。

3 加強大學和高中對參加甄選管道學生的合作協助已漸成共識

訪談資料中有不少高中和大學人員談到合作協助的建議，例如：高中和 大學形成策略聯盟、多對話等。但仍有一些問題需要解決，例如學生成績表 現可能不如其他管道入學者、甄選品質仍待健全等。

4 大學甄選入學方案已見成效但仍待改善之處

甄選方法、報名實施流程和限制措施等，都觸及選才公平性、選才品質 等問題。另外，也需要從國際發展潮流、目前實施現況、相關利害關係人意 見和感受等多角度去思考與改善。

蘇玉龍、林志忠、陳恭 (2007) 延續「大學甄選入學實施成果之研究（Ⅰ）」

的結論，採文獻分析與調查法，比較 94 和 95 年度甄選入學學生的學科能力測 驗分數之表現，另外也進行不同身分入學學生在學業成績表現的分析。除了同樣

認為大學甄選入學方案已發揮若干拔擢專才與適性就學的功能外，另外還有以下 幾個重要現象：

1 前段的學校在拔擢專才和適性就學之效果最明顯

經由比較各段學校甄選入學者的學測成績平均總級分及其百分位資 料，顯示前段學校不論是學校推薦或個人申請，其與考試分發之排名百分位 之差呈現最大正值，表示學生藉由甄選入學制可高攀至相對前段學校就讀。

至於底段和後段大學，反而常見高分低就的現象。

2 相對後段的學生可高攀到相對前段學校就讀的現象趨緩

比較 93、94 和 95 學年度學生的平均總級分百分位資料發現，學校推 薦與考試分發之排名百分位之差出現下降趨勢；而個人申請與考試分發之排 名百分位之差，則呈現更小正值或更大負值。意即，能高攀到相對前段學校 就讀的機會越來越小。

3 入學前學科能力表現和入學後學業表現呈現分歧的現象

部分科系以個人申請的學生原優於考試分發或推薦學生，之後的學業表 現卻可能不如預期；而低於考試分發入學的學校推薦學生，也未必在之後的 學業表現有需要關注的表現。

4 從學業成績的變異量數上來看，透過個人申請入學的學生明顯高於其它管道 入學的學生，值得特別注意。

蘇玉龍、陳恭、林志忠 (2007) 經由對文獻與文件的分析並且訪談系所主管 及資深教授的研究報告中，有以下結論：

1 大學甄選入學的參與者越來越多，其中個人申請制較受學校科系青睞與支 持，參與系組數的百分比從 2005 學年度的 71%、2006 學年度的 75% 到 2007 學年度的 78% 持續成長。

2 觀察 2006、2007 兩學年度，在甄選入學第一階段學測成績的檢定標準與倍 率標準，各校均以無設標準的比例最高。在設標準之下則以英文最受到重 視，最常作為決定性的科目。在第二階段學測成績的採計各校系以採計五科 之分數為最多；學測成績加權後各系組選擇以佔甄選成績 50% 為最多。在 第二階段的指定項目中，以面試或口試所佔比例最高，次者為審查，再者為 筆試或測驗。

3 整體而言，繁星計畫檢定的標準較大學甄選來的高，以前標所占百分比最 多；檢定的科目以英文和數學的比例最高。

4 各系組主要是以系務會議決定錄取的標準，大多數肯定二階段甄選入學，特 別是二階段中的面談或測驗，認為較不會錯失良材。部分認為學校推薦較易 失真，繁星計畫則為配合政策沒有過多降低檢定標準的考量。

蘇玉龍、陳恭、林志忠 (2008) 藉由歷史研究法、文件分析法以及問卷調查 法，以高中二年級學生為研究對象，理解當前大學多元入學各途徑的「利基」。 利基原廣指物種在生物群落中的地位和作用，而後為組織理論所使用，定義為提 供族群生存和再生產之所有資源層次結合的空間。依入學的理念目標、實施方 式、影響層面與相關作為等四個面向探討，分析結果如下：

1 對於多元入學管道中理念目標（包含：政策方向正確、實踐社會公平正義、

增加多元選才、學校適性招生、…）的意見，整體而言以繁星計畫的評價最 低，往上為考試分發，最高是學校推薦和個人申請。整體樣本也顯示對繁 星計畫各項問題的看法有較多的歧異。

2 對於多元入學管道中實施方式（包含：方案宣導確實、方案相關資訊豐富、

方案收費合理、方案成績公平合理、…）的意見，整體而言繁星計畫的評價 還是最低，往上為學校推薦，再往上是個人申請，考試分發則獲得多數的認 同。

3 對於多元入學管道中影響層面（包含：減輕課業壓力、減輕升學競爭、減輕 家庭經濟負擔、促進高中生對大學校系認識、…）的意見，整體而言以考試 分發不符合的情形最高，其次為繁星計畫，再其次是學校推薦，最後是個人 申請。另外，在四項途徑對學校教育影響的問題中，多數認為是不符合。

4 對於多元入學管道中相關作為（包含：方案學校向學生積極宣導、學校充分 收集資訊、學校進行模擬演練、家長鼓勵學生參加、…）的意見，整體而言 個人申請在各項問題中有較多認為符合的表現，其次為學校推薦，再其次是 考試分發，繁星計畫則多達不符合的程度。

5 多元入學各入學途徑利基寬度的分析中顯示，從整體樣本來看，以個人申請 最具發展利基，其次為考試分發，再其次是學校推薦，繁星計畫評價最低。

擁有較大的利基寬度，意味該組織賴以維生的資源較多樣化，對於環境的變 化也有較大的容忍力。

6 單一族群所處的利基，出現不同族群而產生利基交錯現象，稱為利基重疊。

多元入學各入學途徑利基重疊的分析中顯示，整體而言，均以繁星計畫與考 試分發利基重疊數最大，表示兩者競爭最少且最不易產生替代作用。而在除 了相關作為的部份之外，利基重疊數字較小的分別是學校推薦與考試分發以 及學校推薦與繁星計畫，也就是說學校推薦與考試分發、繁星計畫之間最容 易產生競爭現象。而在相關作為的部份，利基重疊數字較小的則分別是學校 推薦與考試分發以及個人申請與考試分發。也就是說，考試分發與學校推薦、

個人申請之間最容易產生替代作用。

7 利基支持組織生存的能力是固定的，利基重疊時，形成競爭排除原則，從中 顯示出族群間的利基優勢。多元入學各入學途徑利基優勢的分析中顯示，整 體而言最具利基優勢的為個人申請，其次是學校推薦，再其次是考試分發，

繁星計畫普遍被認為較不具優勢。

經由以上針對甄選入學研究的報告中，可以看到甄選入學制已發揮其成效，

是大學入學重要的管道，且參與的比例持續成長，唯對於繁星計畫的看法目前較 為歧異。而學科能力測驗的成績為甄選入學制重要的依據，在報告中也利用學測 成績進行了相關的分析與研究。其中我們特別注意到，英文級分是常常被用來作 為檢定或最後考量的因素。

2.2 學測成績與大學學業表現相關文獻

宗亮東、程法泌 (1979) 以十四所大學院校在 64 學年度入學的大一新生做 為研究對象，研究結果顯示大學入學考試成績對於高中學業成就的評鑑效果較 優，對於大學學業成就的預測效果為其次。

許佩玲、林邦傑 (1982) 以師大與政大的 1046 名學生作為研究對象，觀察 大學入學考試成績與大學八個學期的各學期平均成績，研究發現大學入學考試成 績對各學期平均成績預測功能低落，且大學各學期學業成就的穩定性低。

張秀英 (2003) 的研究中也有這樣的結論：入學聯考成績高的學生，其微積 分在學成績不一定就相對高，入學聯考成績低的學生其在校微積分表現也不一定 不好。

Huang, Yen, Yang, Lee, and Chang (2009) 發表文章中的第二節提到，分別觀察 94、95、96 學年度學生的入學指考成績（國文、英文、數學、物理、化學）分 別與大學的微積分成績做線性回歸，發現都有很大的標準偏差。

本研究初期，研究者在觀察了前置樣本各變項間的相關係數後，發現皆未 達 .05 顯著水準，但由於當時樣本過小，因此在後來的實驗中再次觀察了研究 樣本的相關係數。而在研究樣本中，顯示某些變項間的相關達 .05 顯著水準，

研究者也因此試圖利用學生入學前學測成績與入學後微積分成績作回歸分析。然 而，如上述文獻所提到的，研究結果始終無法達到良好的預測功能。另外，研究 者認為人是會改變與成長的，未來的表現不該是憑著幾個既定的成績表象就可預 測出來的，因此決定不將回歸分析的部分作為本文研究的內容。

Huang, Yen, Yang, Lee, and Chang (2009) 的研究內容主要是在討論一個「利用 分布的共同區域作因素分析」的新方法。此方法的靈感是鑒於多維的資料在傳統 的迴歸上常常有標準偏差過大的問題，而 PCA 雖然能幫我們降低維度卻有原始 資料轉換後如何解釋的問題。研究結果發現在入學指考成績（國文、英文、數學、

物理、化學）中，對微積分成績前三個最具影響力的因素為國文、英文、化學，

而此結果與 PCA 的結果一致。

在上述研究中我們看到與本研究共通的精神，都企圖將非傳統上教育領域的 研究工具運用在教育研究當中。我們為教育研究者展示應用的成果，期盼對教育 研究者未來的研究有所幫助。

余秋芬 (2004) 以參加 91 學年度大學多元入學方案，進入中國文化大學就 讀並已修習入學後第一學年國文、電腦領域、外文領域及必修課程的大一學生為 研究對象。分別針對推薦甄選、申請入學與考試分發三種不同入學方式的學生進 行研究，檢測學科能力測驗各項成績與入學後第一學年學科學習績效的相關程 度，並檢測其入學後第一學年學科學習績效的差異情形。我們擷取其中與理工學 院相關的結論有：

1 各學院在各入學方式上均顯示，學測的英文科成績與整體的學測成績及入學 後的學科學習績效等兩方面都是有顯著的正相關。英文之外的學測成績與整 體的學測成績及入學後的學科學習績效等兩方面皆無顯著的相關性。

2 推薦與申請方式下錄取的學生，大部份的學院其整體學測成績與入學後的學 科學習績效之間是較無顯著相關性。表示不以學測成績為取才標準的做法是 適當的，與大學入學多元方案精神相符。

3 各學院在各入學方式上均顯示，入學後的外文領域學習績效與整體的學科學 習績效有高度顯著正向的相關性。

4 理學院與工學院經由考試分發入學的學生，在電腦領域與必修科目的成績表 現上，優於以推薦甄試或申請入學管道進來的學生。

在本研究的 4.3 延伸實驗與附錄三中，也同樣看出學測英文與微積分之間 達顯著的正相關，呼應了上述結論中的第 1、3 點。且從本研究的 4.2.5 入學管 道的討論中，我們發現分發入學生的微積分成績優於甄選入學生，此結果亦與上 述結論 4 不謀而合。對於學測成績在其它學院的相關，則不屬於本研究討論的 範圍。

張秀英 (2003) 採用大學入學聯招成績、學科能力測驗成績與大學一年級學 生之在校成績做為研究主題，從實際數據中探討逢甲大學大一學生 87–89 年入 學成績的變化、在校成績（國文、英文、微積分、物理、化學）與聯招入學考試 成績（國文、英文、數學、物理、化學）之相關情形、在校成績（國文、英文、

微積分）與學力測驗成績（含：國文、英文、數學）之相關情形。藉由對大學入 學成績與其在校成績間關係的了解，以便提供逢甲大學各系能夠在甄選入學制訂 定更適當的選才條件。省略對逢甲大學成績變化的討論以及在本節一開始就提過 成績預測的部分，整理與本研究相關的結論有：

1 聯考入學的國文、英文科成績達標等級越高，其在校成績 80 分以上的百分 比也越高。而達標等級越低，越不適應大一的國文、英文教育要求。

2 數學科方面，無論聯考成績等級為何，在校微積分成績不及格的百分比並無 明顯差異。

上述文獻主要使用的樣本資料為聯招成績，而本研究中使用的則是學測成 績，然而卻看到以下共同的結論：首先，英文成績較低確實在其學習表現上也較

達不到標準；而數學成績在本研究當中也沒有觀察出與微積分明顯的關係。雖然 不能說高中數學學了沒用，但至少表現出高中數學沒有為微積分做好準備。

台大陳宏教授 (2008) 觀察 1000 多位台大理工科系學生的學測成績與微 積分成績，研究顯示數學、英文、自然及總分成績越高，大一微積分成績也越高 且微積分不及格率較低。

從本文的附錄三中，我們也可以看到除了之前提過的英文與微積分的相關之 外，學測總級分與微積分平均的相關也達 .05 的顯著水準，此結果與陳宏教授 的研究結果是相似的，只是本研究對總級分成績並無進一步深入的探討。另外，

我們針對學測成績的變異數也作了討論，將發現學測成績變異數與微積分學習表 現之間是有關聯性的。

第三章 研究設計與方法

本章旨在說明研究設計過程及使用方法，以下就「研究流程」、「研究對象與 工具」及「實施步驟」分成三小節討論。

3.1 研究流程

本研究的研究流程如圖 3-1 所示：

1 研讀相關書籍討論研究主題與使用方法。

2 利用問卷調查法收集前置實驗的樣本資料。

1 以「學測成績分群結果」與「微積分學習表現」

做為研究觀察主題。

2 研讀相關論文。

3 根據研究目的收集相關資料，以本國為主。

1 進行研究所需樣本的收集。

2 在 Excel 中建立樣本資料檔案。

1 根據研究目的，在 Matlab 與 Excel 中進行 數據分析。

2 利用 k-means 演算法及統計上的 t-test、相 關係數與回歸等方法回答相關的研究問題。

1 將研究結果寫成論文。

2 對本研究提出問題討論作為未來發展方向。

一、準備階段

二、文獻探討階段

三、資料彙整階段

四、資料分析階段

五、論文寫作階段

圖 3-1 研究流程圖

3.2 研究對象與工具

本研究實驗的對象為國立中央大學 96 學年度入學的理、工學院新生，此屆 學生中參與微積分聯合教學的科系有：土木、大氣、化材、化學、生科、光電、

物理、資工、數學及機械，共 10 個科系，為選取樣本時的主要對象。

研究過程中為符合實驗設計，依據需求分別選取了以下三組樣本：

1 前置樣本：在前置實驗中採用的樣本，指的是研究對象為國立中央大學 96 學 年度「數學系」的新生，以學生「入學前的學測成績」及「入學後的微積分成 績」為樣本資料。此處學測成績在取得方法上為「問卷調查」（見附錄四），

除了資料的準確度必須建立在信任學生的立場上外，對於資料不全的樣本也歸 為無效樣本。扣除無效樣本後，研究對象人數為 40 人。雖然研究者有研究對 象姓名、學號等資料，但是為了避免涉及個人隱私一律以編號 1—40 代表。

2 研究樣本：為主要研究的樣本，指的是研究對象為國立中央大學 96 學年度參 加「微積分聯合教學」的新生，以學生「入學前的學測成績」、「入學後的微 積分成績」及「入學方式」為樣本資料。此處學測成績與微積分成績是分別請 註冊組與數學系幫忙取得，提高了資料的準確度。扣除部分資料不全的無效樣 本之後，研究對象人數為 600 人。雖然研究者有研究對象姓名、學號等資料，

但是為了避免涉及個人隱私一律以編號 1—600 代表。

3 延伸樣本：指的是研究對象為國立中央大學 96 學年度同時參加微積分聯合教 學與「大一英文」課程的新生，以學生「入學前的學測成績」、「入學後的微 積分成績」與「英文程度」為樣本資料。此處成績除了取自研究樣本外，也商 請語言中心協助，資料準確度是可信的。扣除部分資料不全的無效樣本之後，

研究對象人數為 590 人。雖然研究者有研究對象姓名、學號等資料，但是為 了避免涉及個人隱私一律以編號 1—590 代表。

此三組樣本將分別使用於前置實驗、研究主題及延伸討論中。

國立中央大學的微積分聯合教學有一套專屬的題庫，可依照比例與需求選擇 不同難易程度的試題，達到每次會考試題內容的一致與公平。而在 96 學年度，

又特別請單維彰教授進行整學年的統一命題。因此，本研究所使用的微積分成績 樣本，來自於同一位教師以一致的命題原則所製成的試卷，是非常具有研究價值 的。

在資料整理上使用的工具為 Excel 軟體，數據分析則大部分使用 Matlab 套 裝程式軟體，應用到的技術包含 k-means 及統計上的相關係數、t-test 及回歸等 方法，研究最後再利用訪談法進行研究相關議題的討論。

3.3 實施步驟

接續 1.1 的研究源起與動機，開始一個初步的實驗。在實驗進行的過程中，

我們不一定都能得到滿意的結果，但總能從中獲得研究的方向與靈感，進而產生 後續的發展。以下將按照研究的時程，將研究分成前置實驗、研究主題與延伸研 究三個小節依序說明。

3.3.1 前置實驗

在著手此研究之前，我跟著學姐一起學習生物訊號分析，也因此才有機會接 觸到 k-means 這類的方法，也利用這個方法開始第一個試探性的實驗。這個實 驗的資料是前置樣本中的學測成績，資料來源是老師在課堂利用問卷調查而取得 的。以下說明實驗實際操作的步驟。

首先，在套裝程式軟體 Matlab 中執行 k-means 分群法，將前置樣本中的 學測成績分成三群或四群。特別注意的是，在執行 k-means 分群法時，程式預 設的初始中心為隨機選取，每次可能產生不同的分群結果。為了取得最佳且一致 的分群結果，我們利用指令設定程式重複執行 10 次，採取誤差目標函數值最小 的做為判讀的依據。最後，經由專家觀察與判讀分群的結果。在附錄一中，我們 將同時解說「k-means 演算法」與呈現「在 Matlab 中的操作方法」。

在對 k-means 產生的分群結果做了分析之後，我們希望分群的結果能被有 效的利用。因此將前置樣本中各個樣本的微積分六次會考成績在 Excel 中取得平 均，並以此成績作為微積分學習表現的依據。接著在 Matlab 中，利用程式搜尋

分群後的各樣本所對應的微積分平均。獲得各分群樣本的微積分平均後，我們在 Excel 中統計各群的微積分不及格率，觀察 k-means 分群的結果與微積分學習表 現之間的關聯。

討論了 k-means 分群法後，我們要繼續關心學測成績與微積分學習表現的 關係。這次嘗試利用另一種常用的分群方法，就是做分布圖觀察。此時需要利用 到兩個變項作為縱軸及橫軸，於是再將前置樣本利用 Excel 中的內建指令 (varp) 求得學測成績的變異數，以此數值做為學測成績的代表，而之前求得的微積分平 均就是微積分學習表現的代表。利用各樣本剛剛求得的變異數與之前求得的微積 分平均，設定變異數為縱軸、平均數為橫軸，在 Matlab 中畫圖呈現前置樣本的 分布，如圖 3-2。最後再以專家判讀的方式決定離群值 (outlier) 並做分群。

觀察了圖 3-2 之後，我們同樣對判讀的分群結果進行微積分不及格率的統 計，並且討論學測成績與微積分成績的關係。

圖 3-2 前置樣本分布圖

註：以變異數為縱軸、平均數為橫軸，畫圖呈現。

(74，7.0) outlier

3.3.2 研究主題

基於前置實驗的經驗下，我們企圖擴大樣本持續觀察，在與學校行政處室接 觸與溝通後獲得了研究樣本。接著以研究樣本重覆前置實驗的研究過程，實驗的 結果除了要與前置實驗互相比較之外，也將針對研究結果做進一步的實驗設計與 討論。

首先，同樣在套裝程式軟體 Matlab 中執行 k-means 分群法，將研究樣本 中的學測成績分成三群與四群。由於此時已經有前置實驗的經驗，因此在執行 k-means 分群法時，不採取程式預設的隨機選取初始中心，而是將前置實驗中分

群後各群的學測成績取平均，再設定此平均為 k-means 分群法執行的初始中 心。由於固定了初始中心，因此同一組數據每次執行後都能獲得一致的分群結 果。程式執行後的分群結果，同樣由專家進行觀察與判讀。

取得 k-means 的分群結果並加以觀察之後，我們再次算出各樣本的微積分 平均並與分群結果作連結，再統計各群的微積分不及格率，最後將結果與前置實 驗比較。

接下來，我們也試圖先將研究樣本利用 Excel 中的內建指令求得學測成績的 變異數，再與微積分平均一起在 Matlab 中作圖觀察，卻因為樣本數過大，導致 在作圖之後呈現不易判讀的情形。因此，在觀察了前置實驗的結果後，對於變異 數改採以百分位數做分群。我們將研究樣本依學測成績的變異數，由小至大依序 排列，分別找出前後第五、十二、二十五與三十百分位樣本的變異數值，將此數 值作為分群的依據，如表 3-1 所示。

表 3-1 學測成績變異數分群標準 研究樣本之學測成績變異數 變異數分群標準 從前面取 從後面取

第三十百分位 1.36 2.96 第二十五百分位 1.04 3.20 第十二百分位 0.64 4.64 第五百分位 0.40 6.80

依據表 3-1 的變異數分群標準，研究樣本前後可各分成四群，變異數介於 1.36～2.96 之間的樣本，則不做討論。分群後，統計各群微積分的不及格率，觀 察學測成績的變異數與微積分學習表現之間的關係，並與前置實驗結果相互比 較。

緊接著先前的前置實驗與研究主題的前半個階段，我們進一步觀察學測英文 成績與學測成績變異數之間的關係。我們做了以下的猜測：學測成績英文低與學 測成績變異大為同一群樣本。也就是說，學測成績英文低則變異大，反過來說也 是。在此定義學測的英文級分≦10 為「英文低」、學測成績變異數≧2.96 為「變 異大」。

首先，利用 Matlab 中的指令 corrcoef 對學測的英文級分與學測的變異數 進行相關係數分析。接著，為了進一步探討彼此的關聯，設計一個小實驗，分成 兩個方向討論英文低者與變異大者之間的關係。第一步要觀察的是：在降低英文 級分標準之下，符合標準的樣本集合中，變異大的樣本比例變化；第二步則反過 來觀察：在提高變異數標準之下，符合標準的樣本集合中，英文低的樣本比例變 化。

觀察了英文低與變異大的兩群樣本後，我們考慮到入學管道的影響，也就是 入學的管道是否會影響研究的結果。因此在我們的研究樣本中加入了入學方式的 因素：甄選入學與分發入學；其中甄選入學指的是藉由學校推薦或個人申請方式 入學，分發入學則是指經由指考分發入學。將研究樣本依入學管道分成兩群後，

先在 Excel 中列表觀察兩群學測各科的平均級分與微積分六次會考的平均，接著 在 Matlab 中利用指令 ttest 進行 t 檢定，協助說明兩種入學管道在學測成績與 微積分學習表現上是否有差異。

了解兩種入學方式的基本資料之後，首先針對 k-means 的分群結果進行討 論。我們利用之前 k-means 分出來的每個群再細分成甄選與分發兩群，接著在 Excel 中分別統計每個小分群的微積分不及格率，並列表觀察研究結果的異同。

對於變異數的問題，我們則先將研究樣本直接分成甄選與分發兩群，然後對 兩群都依照之前的變異數分群方法，以百分位數訂標準做分群。最後同樣計算各 群的微積分不及格率，並列表觀察，討論以入學管道區分後的實驗結果與未區分 入學管道之間的關係。

3.3.3 延伸研究

在一連串的實驗後，我們對於以 k-means 分群後的分群二，也就是英文偏 低的一群很感興趣。尤其當我們在 Matlab 中，將關於研究樣本的學測各個相關 成績與微積分成績求得相關係數之後，察覺到英文與微積分的相關性比其它變項 都來得明顯（參閱附錄三）。因此在研究的最後，提出了一個與英文相關的延伸 問題，進行研究。

此實驗使用的是延伸樣本，主要是觀察英文與微積分學習表現之間的關係。

首先，在 Matlab 中以延伸樣本進行學測英文級分與微積分六次會考的相關係數 分析。

接著為了方便觀察，我們將延伸樣本的六次會考成績在 Excel 中利用函數 standardize 轉換成標準分數，同時依照英文程度，把延伸樣本分成高級、中級 與初級三群。統計三群樣本分別在六次會考中標準分數的平均與標準差之後，列 表觀察。根據統計結果，我們想討論學生在同時接受英文課程與微積分課程之 下，英文教育是否能使初級班的同學漸漸的不再處於微積分學習上的劣勢。於是 將高級班的微積分會考平均減去初級班的微積分會考平均，共可得到六個差值，

再將此六個差值在 Matlab 中做簡單的線性迴歸。藉由觀察回歸直線，討論學生 微積分的學習狀況。

在研究結束之前，我們針對實驗結果選取離群值的樣本對象進行訪談。選取 的標準除了參考圖 3-2 要求學測成績變異大及微積分平均不低之外，也要符合 學測成績英文低的標準。

訪談中研究者詢問關於受訪者的高中背景與剛開始接觸原文書的心情，另外 也針對微積分與英文兩方面，關心受訪者在修習微積分的情形（例如：如何準備 考試？）與唸英文的方式（例如：是否閱讀原文書？）。除此之外，也藉由了解 受訪者在其它科目的學習表現，取得與本研究相關的訊息。

訪談的目的在探究受訪者變異大與英文低的原因為何，以及英文程度是否造 成學習上的困難，也希望從中了解大一英文課程是否符合受訪者的需要。

第四章 研究結果與討論

本章比照 3.3 的實驗步驟，分成三小節，依序闡述前置實驗、研究主題與 延伸研究的結果。

4.1 前置實驗結果

前置實驗是個初步的實驗，是後續研究的基礎，藉由觀察此實驗的結果，指 出研究的方向。

4.1.1 利用 k-means 分群後表現出的性質

前置實驗中使用的 k-means 程式，是沒有設定初始中心的，而是利用指令 讓程式重複執行十次，自動取得最佳的分群結果。在我們將前置樣本中的學測成 績經由 k-means 分群法分成三群或四群後，首先觀察分成三群的情形，整理結 果如表 4-1。觀察發現：第一群的樣本顯示出較低的數學平均且每個樣本的數學 級分皆低於 12；第二群的樣本顯示出較低的英文平均且每個樣本的英文級分皆 低於 9；第三群的樣本相較於其它群則沒有明顯的特徵，在此將第三群歸為其 它。

表 4-1 前置樣本分三群 第一群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

1 11 10 11 10 10

3 11 11 10 11 13

6 12 10 9 13 14

27 12 10 8 12 13

30 11 7 10 12 13

平均 11 10 10 12 13 第二群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

7 12 4 13 12 13

8 10 3 14 11 13

11 13 8 15 10 13

16 12 7 15 13 12

18 13 7 14 14 12

20 9 4 15 13 15

25 11 5 15 14 13

28 12 8 15 10 13

35 13 8 15 13 14

37 12 8 15 10 12

38 10 7 15 7 13

39 10 6 15 11 12

40 11 6 15 8 13

平均 11 6 15 11 13 第三群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

2 12 12 12 11 12

4 12 10 15 11 11

5 11 12 15 11 13

9 12 12 14 9 12 10 11 12 15 11 15

12 11 9 15 8 13

13 12 11 15 11 11 14 10 11 14 12 13 15 12 11 14 11 12 17 13 11 14 10 12

19 10 12 15 9 12

21 11 12 12 12 13 22 13 12 13 11 11 23 13 10 14 10 13

24 13 9 12 9 12

26 14 12 15 11 13 29 10 10 14 10 14

31 10 12 14 8 11

32 13 10 14 9 14

33 12 12 14 12 12 34 10 11 14 13 12

36 12 9 15 8 9

平均 12 11 14 10 12 註：在 Matlab 中執行 k-means 分群法，將學測成績分成三群。

接著觀察在 Matlab 中經由 k-means 分群法將樣本分成四群的情形，整理 結果如表 4-2。整體來看：分成四群後第一、二群的性質與分成三群時相同，分 別還是顯示數學、英文較低；第三群各科看起來都沒有明顯差異，我們同樣視為 其它；第四群則顯示出英文與社會級分似乎都不高，而數學級分平均卻將近滿 分。在此由於樣本過少且分群特質不夠明顯，對於第四群暫時不做特別的性質說 明，將此問題留在擴大樣本後繼續討論。

表 4-2 前置樣本分四群 第一群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

1 11 10 11 10 10

3 11 11 10 11 13

6 12 10 9 13 14

27 12 10 8 12 13

30 11 7 10 12 13

平均 11 10 10 12 13 第二群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

7 12 4 13 12 13

8 10 3 14 11 13

16 12 7 15 13 12

18 13 7 14 14 12

20 9 4 15 13 15

25 11 5 15 14 13

35 13 8 15 13 14

39 10 6 15 11 12

平均 11 6 15 13 13 第三群

編號 國文 英文 數學 社會 自然

2 12 12 12 11 12

4 12 10 15 11 11

5 11 12 15 11 13

9 12 12 14 9 12

10 11 12 15 11 15 13 12 11 15 11 11 14 10 11 14 12 13 15 12 11 14 11 12

17 13 11 14 10 12

19 10 12 15 9 12

21 11 12 12 12 13 22 13 12 13 11 11 23 13 10 14 10 13 26 14 12 15 11 13 29 10 10 14 10 14

31 10 12 14 8 11

33 12 12 14 12 12 34 10 11 14 13 12 平均 12 11 14 11 12

第四群

編號 國文 英文 數學 社會 自然 11** 13 8 15 10 13 12*** 11 9 15 8 13 24*** 13 9 12 9 12 28** 12 8 15 10 13 32*** 13 10 14 9 14 36*** 12 9 15 8 9 37** 12 8 15 10 12 38** 10 7 15 7 13 40** 11 6 15 8 13 平均 12 8 15 9 12 註：在 Matlab 中執行 k-means 分群法，將學測成績分成四群。

**表示樣本來自表 4-1 的第二群。

***表示樣本來自表 4-1 的第三群。

分別觀察了分成三群與分成四群的結果之後，將兩種分群結果仔細比較，發 現：分成四群後的第一群與分成三群後的第一群完全相同；第二群中則少了原本 社會級分低於 11 的五個樣本；第三群也少了其中英文級分加上社會級分低於 20 的四個樣本；這些從第二群與第三群中少了的樣本，最後皆被分配至第四群。

經由 k-means 分群之後，第一、二群應該是分別表現出數學低與英文低的 特質。如預期 k-means 演算法有助於教育研究者分析資料—先利用電腦工具嘗 試分群，再以專家眼光判斷分群結果。我們將在研究主題中，藉由擴大樣本來驗 證這個結果。

4.1.2 k-Means 分群結果與微積分的關係

在以 k-means 做分群後，我們關心的是各分群與微積分的關係。首先，檢 視各樣本的微積分平均，若平均小於 60 則視為微積分不及格，其它為及格。經 由統計之後，觀察各群的微積分不及格率 (fail rate)，在分成三群與四群時的統 計結果分別顯示如表 4-3 與表 4-4。

表 4-3 前置樣本分三群的微積分不及格率 總人數 不及格人數 不及格率 第一群 5 2 40%

第二群 13 9 69%

第三群 22 9 41%

全樣本的不及格率 50%

表 4-4 前置樣本分四群的微積分不及格率 總人數 不及格人數 不及格率 第一群 5 2 40%

第二群 8 4 50%

第三群 18 6 33%

第四群 9 8 89%

全樣本的不及格率 50%

從表 4-3 中，可以看到第二群的微積分不及格率，不但明顯高於其它兩群 也高於全樣本，而第二群表現的特質是英文級分偏低，這是讓我們發現值得討論 的部分。但在表 4-4 中，第二群的不及格率雖然高過第一、三兩群，然而第四 群的不及格率卻遠高於前三群與全樣本。之前在討論分群特質時，已經觀察到表 4-1 的第二、三兩群分至表 4-2 中的樣本，為部分科目級分較低的樣本，很可 能是因此而造成第四群不及格率偏高。

本實驗中，由於前置樣本過小且各個分群結果的人數也都不超過 20 人，因 此對實驗結果只做基本的描述，而不多做推論，對於有興趣的問題將在研究主題 結果中加以討論。

4.1.3 以學測成績變異數做分群與微積分的關係

根據圖 3-2 觀察樣本的分布後，我們猜測以變異數大小做為分群的標準，

可能獲得有意義的關連性。其中變異大是指變異數≧8，變異小是指變異數≦7。

同樣利用統計不及格率，觀察與微積分的關係，設定成績標準為 60 分，小於 60 分為不及格，其餘為及格；而不及格率指的是扣除離群樣本後，同群中不及格樣 本數占總樣本數的百分比。統計結果如表 4-5，觀察發現：學測成績變異大的一 群，在微積分學習表現上的不及格率約為 83%；而學測成績變異小的一群，在 微積分學習表現上的不及格率約為 45%。我們發現在入學前學測成績變異大的 同學，在入學後的微積分學習表現為高危險群，需要特別關注。關於研究分群後 的詳細資料：含各樣本的分群結果、五科學測成績、學測成績的變異數及微積分 平均，請參閱附錄二。

表 4-5 前置樣本依變異數分群的微積分不及格率

樣本數 不及格樣本數（樣本編號） 不及格率

變異大 (≧8) 6 5 (7,8,38,39,40) 83%

變異小 (≦7) 33 15 (5,6,9,11,12,22,26,27,28,32,33,34,35,36,37) 45%

4.2 研究主題結果

本節又分成五小節，前三小節是延續前置實驗的結果，做擴大樣本的研究。

接著的兩小節，討論前三節的研究結果衍生出來的議題。

4.2.1 利用 k-means 分群後表現出的性質

我們利用前置實驗中分成三群與四群的結果，取得各群的平均向量，作為研 究主題中 k-means 程式的初始中心。仿照前置實驗將研究樣本的學測成績在 Matlab 中以 k-means 分成三群與四群，由於樣本數過大，我們僅列出各群的平 均與標準差方便觀察。首先，在分成三群後，如表 4-6，觀察發現：第一群與第 二群分別在數學級分與英文級分偏低；第三群看起來各科的平均級分都不錯，標 準差除了自然之外也都略小於其它群，但暫時沒有觀察出值得我們特別注意的性 質而視為其他。研究主題中分成三群的結果可以說是與前置實驗結果一致。

表 4-6 研究樣本分三群

國文 英文 數學 社會 自然 第一群 平均 13 12 10 12 13

（236 人） 標準差 1.2 1.4 1.3 1.5 1.1 第二群 平均 12 9 12 11 13

（132 人） 標準差 1.3 1.5 1.8 1.5 1.1 第三群 平均 13 12 13 12 13

（232 人） 標準差 1.1 1.2 1.0 1.4 1.1 註：在 Matlab 中執行 k-means 分群法，將學測成績分成三群。

接著討論學測成績在 Matlab 中以 k-means 分成四群後，如表 4-7，觀察 發現：第一群與第二群還是分別為數學級分與英文級分偏低；第三群與表 4-6 的 第三群同樣是在各科表現都不錯且標準差也不大；第四群則在數學級分看出有相 對偏高的現象。

表 4-7 研究樣本分四群

國文 英文 數學 社會 自然 第一群 平均 13 12 9 12 13

（203 人） 標準差 1.2 1.3 1.2 1.5 1.1 第二群 平均 12 8 11 12 13

（ 82 人） 標準差 1.3 1.6 2.0 1.5 1.2 第三群 平均 13 13 12 12 13

（175 人） 標準差 1.0 1.0 0.9 1.3 1.0 第四群 平均 12 11 14 11 13

（140 人） 標準差 1.2 1.2 1.1 1.3 1.1 註：在 Matlab 中執行 k-means 分群法，將學測成績分成四群。

如果再仔細觀察研究樣本中從分成三群到分成四群的變化，可以發現：第一 群中只有 33 個樣本變動，其中 4 個改變到第二群而有 29 個到第三群；第二 群與第三群中則分別有 54 及 86 個樣本變動，且皆被分到第四群。也就是說，

研究樣本從分成三群到分成四群只有四種變動方式，我們計算這四種變動方式樣 本的各科平均以便觀察，如表 4-8。從表中顯示出，第一群又分出一些英文較低 的樣本到第二群，而第二、三群釋放出來的樣本則在數學級分有偏高的現象。因 此，我們可以更確定第二群的特徵確實是英文級分偏低，而第四群則應該是數學 級分較高的一群。

表 4-8 研究樣本從三群到四群的變化

樣本平均 國文 英文 數學 社會 自然

第一群分至第二群 13 8 8 12 12 第一群分至第三群 13 13 11 13 14 第二群分至第四群 12 9 14 11 13 第三群分至第四群 12 11 14 11 13

最後，將研究主題結果與前置實驗結果比較：在第一群與第二群我們可以得 到一致的結果，分別代表數學偏低與英文偏低；第三群應該是集合各科表現都還 不錯的樣本；而第四群則都是由分成三群時的第二群與第三群分化出來的。由於 研究主題中 k-means 程式設定的初始中心，是來自於前置實驗的分群結果。因 此，這些相同的現象，可以說是受了初始中心的影響，另外也表示 k-means 分 群法在使用上有穩定的結果。

從 k-means 的分群結果來看，第三群在各科表現都不錯標準差也都偏小，

但是卻沒有突出的性質；第四群則在數學級分有偏高的特質，也可能在社會科有 偏低的現象。不過，對於三、四兩群，我們目前沒有特別想觀察的現象，因此不 再做更深入的討論，將此兩群視為分群後的其它。