4-1 一維數據分析
代表數據的數
在一般情形下﹐統計經常以一簡單的數量來代表整筆數據的某一特性﹐以作為衡量標準。
集中量數:眾數、中位數、算術平均數、幾何平均數 1.眾數:是指一群數據中出現次數最高的數
2.中位數:把一組數據從小到大排列之後﹐排在正中間位置的數就是中位數 (1)當數據為奇數個時﹐中位數是排序在正中間的數﹒
(2)當數據為偶數個時﹐中位數是排序在正中間兩數的平均﹒
將 n 個數據由小到大排列﹐得x1 x2 xn
a.當 n 為奇數時﹐令 1 2
k n ﹐中位數為xk﹒
b.當 n 為偶數時﹐令 2
k ﹐中位數為n 1 2
k k
x x
﹒
3. 算術平均數:所有數據的總和除以此群數據的個數所得的商﹐常以 (讀作 mu)表示 當 n 個數據為x x1, 2, , xn時﹐其算術平均數(簡稱平均數)為
1 2
1
1 1 n
n k
k
x x x x
n n
﹒
例題1--- A﹐B 兩群學生參加英文能力檢定的成績(級分)如下﹐求各群成績的眾數﹒
(1)A 群的級分為:5﹐7﹐8﹐4﹐5﹐6﹐2﹐5﹐9﹒
(2)B 群的級分分布如下:
3 4 5 6 7 8 9 3 6 5 4 8 3 1 級分
人數
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例題2--- 找出下面這兩組數據的中位數﹒(1)8﹐4﹐9﹐1﹐6﹒ (2)8﹐4﹐9﹐1﹐6﹐8﹒
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隨堂練習--- (1)求數據 1﹐2﹐3 …﹐ ﹐98﹐99 的中位數﹒ (2)求數據 1﹐2﹐3 …﹐ ﹐99﹐100 的中位數﹒
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例題3---
下列是NBA 籃賽中火箭隊上場隊員的身高(公分)﹐187﹐188﹐190﹐192﹐228﹒
求其中位數與算術平均數﹒
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例題4--- 依體操比賽規定﹕七位裁判所給的分數中﹐將最高與最低的兩分數刪除﹐剩下五個分數的 平均就是該體操選手的成績﹒已知一名體操選手在完成動作後﹐螢幕上出現七個分數﹐因 畫面停留時間不夠長﹐只看到前六位裁判的分數分別為
8.8 8.6 8.7 8.8 8.9 8.6﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒
下一個畫面即顯示了該選手在這項體操的最後成績為 8.74﹒求第七位裁判打的分數。 8.8 ---
例題5--- 下表為甲生30 天的每日消費金額次數分配表﹐求消費金額的算術平均數﹒ 60
消 消 消 消 消 消 消 0消 20 2 20消 40 4 40消 60 7 60消 80 11 80消 100 6
---
隨堂練習---
下面是某公司 17 名員工一週的加班時數統計表﹐求加班時數的算術平均數﹒
消 消 消 消 消 消 消 消 消 消 0消 3 7 3消 6 4 6消 9 5 9消 12 1
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加權平均數
當各項數據的重要性不盡相同時﹐通常我們會衡量各項數據彼此之間的輕重關係﹐給予相 對的權數﹒將各項數據乘以其相對應的權數﹐然後把各項乘積的總和除以總權數所得的 商﹐就稱為加權平均數。
當 n 個數據x x1, 2, , xn所對應的權數分別為w1﹐w2﹐ ﹐… wn時﹐其加權平均數為
1 1 2 2 1
1 2
1 n
k k
n n k
n
n k
k
x w x w x w x w
w w w w w
﹒
例題6--- 下表為甲生的段考五科成績及各科的學分數﹕
試以學分數為權數﹐計算甲生的加權平均數﹒
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隨堂練習---
學科的學期成績計算的方式如下﹕平時成績占30%﹐兩次期中考試成績各占 20%﹐期末考試 成績占30%﹒某生數學科平時成績為 83 分﹐兩次期中考試成績分別為 68﹑87 分﹐而期末考 成績為74 分﹒試計算該生數學科的學期成績﹒
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幾何平均數
當 n 個數據為x x1, 2, , xn時﹐其幾何平均數為 n 1 2
G x x xn ﹒ 平均成長率
當 n 年的成長率分別為r r1, 2, , rn時﹐其平均成長率為 xn 1r1 1r2 1rn 1﹒ 例題7--- 已知自2004 年至 2007 年我國的經濟成長率如下:6.15%﹐4.16%﹐4.89%﹐5.70%﹐求這四年 經濟的平均成長率﹒
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隨堂練習--- 某股票一週內五天的漲跌幅分別為4.5% 3﹐ .9%﹐2.6%﹐1.7%﹐ .6%﹐求此股票這一週3 的平均漲跌幅﹒
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表示數據離散趨勢的數
用來量測數據分散程度的數﹐稱為離差﹒離差愈小﹐表示數據集中;離差愈大﹐表示數據 間彼此的差異愈高﹐也就是數據愈分散﹒常用的離差有全距﹑四分位距及標準差。
全距:一群數據中最大數與最小數的差﹒其值可以顯示出整組資料的範圍。
例題8--- 參加趣味競賽兩個隊伍的隊員年齡如下:
〈男生隊〉14 1﹐ 4 1﹐ 6 1﹐ 6﹐16﹐17﹐17﹐18﹒
〈女生隊〉3﹐3﹐4﹐5﹐5﹐6﹐6﹐6﹐60﹐62﹒
求兩隊隊員年齡的全距﹒
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隨堂練習--- 高三甲班參加學科能力測驗成績如下﹐求成績的全距﹒
4 6 7 8 9 11 13 2 5 3 6 3 2 1 消 消
消 消
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變異數與標準差
設 n 個數據為x x1, 2, , xn﹐其算術平均數為 ﹐則
變異數 為所有離均差平方的平均﹐即 2 2 2
1
1 n
i i
n x
﹒ 標準差 為變異數的正平方根﹐即 21
1 n
i i
n x
﹒例題9--- 求下列四個數據的算術平均數﹑變異數和標準差﹒3﹐1﹐3﹐9
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隨堂練習--- 下列各組數據﹐何者的標準差最大?
(1)5﹐5﹐5﹐5﹐5 (2)1﹐3﹐5﹐7﹐9 (3)3﹐4﹐5﹐6﹐7﹒
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計算分組數據的標準差時﹐可仿照算術平均數﹐以各組中點的數據取代原數據來計算
例題10--- 下表為某公司16 名員工的薪資(萬元)次數分配表﹐求薪資的算術平均數和標準差﹒
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標準差公式
標準差 2 2 2
1 1
1 n 1 n
i i
i i
x x
n n
﹒
例題11--- 求下列四個數據的算術平均數和標準差﹒5 1 7 9﹐ ﹐ ﹐ ﹒
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隨堂練習--- 求下列四個數據的算術平均數和標準差﹒9﹐12﹐8﹐5﹒
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重要性質
設n 個數據x1, x2, , xn的算術平均數為 ﹐標準差為x ﹒將每個數據乘上 a 再加 b﹐x
形成一組新數據y1, y2, , yn﹐即yi axi b﹐i=1﹐2 …﹐ ﹐n﹐令這些新數據的算術 平均數為 ﹐標準差為y ﹐則有 (1) y y axb﹒ (2) y | |a x﹒
例題12--- 某大公司抽樣調查其名下各分公司員工的年薪﹐得算術平均數為30000元﹐標準差 為4000元﹒為激勵員工士氣﹐董事會提出兩個調薪方案:甲方案:每人加薪5000 元﹔乙方案:每人加薪5%﹒求兩方案下員工薪水的算術平均數與標準差﹒
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隨堂練習--- 此次段考全班的平均為50 分﹐標準差 8 分﹐老師將每個同學的成績除以 2 再加 50 分﹐求調 整後的算術平均數和標準差﹒
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標準分數(z 分數)
設 n 個數據x1, x2, , xn的算術平均數為 ﹐標準差為 ﹐則數據xi的標準分數
i i
z x
﹒
例題13--- 小明期中考的數學成績為73 分﹐班上的平均是 68 分﹐標準差 5 分;而小明期末考的數學成 績為65 分﹐班平均 60 分﹐標準差 4 分﹒
(1)將小明兩次考試的數學成績標準化﹒
(2)就全班而言﹐小明到底是進步還是退步呢?
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隨堂練習--- 高二某班級全班的語文測驗成績﹐平均為 10 級分﹐標準差 3 級分;而數學競試全班平均為 65分﹐標準差 15 分﹒A 生的語文測驗和數學競試成績分別為 6 級分和 55 分﹒
(1)計算 A 生兩項測驗成績的 z 分數﹒
(2)相對於全班﹐A 生的哪一項表現較好?
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4-1 習題 一、基礎題
1. 十位同學的身高(公分)如下:
155﹐156﹐158﹐158﹐160﹐160﹐161﹐163﹐163﹐166﹒
選出正確的選項:
(1)全距是 11 (2)中位數是 160 (3)平均數是 160 (4)標準差大於 4﹒
2. 下列各組數據﹐何者的標準差最大?
(1)1﹐2﹐3﹐4﹐5 (2)3﹐3﹐3﹐3﹐3 (3)6﹐7﹐8﹐9﹐10 (4)2﹐4﹐6﹐8﹐10 (5)1
7﹐2 7﹐3
7﹐4 7﹐5
7﹒
3. 高二甲班 50 名學生的期中考數學成績﹐中位數 74 分﹐算術平均數 75.2 分﹐眾數 76 分﹒
今發現某生成績應為76 分誤登記為 86 分﹐試問下列哪些統計量不變?
(1)算術平均數 (2)中位數 (3)全距 (4)標準差 (5)眾數﹒
4. 下列有關 z 分數的敘述﹐何者正確?
(1)z 分數表示某數與中位數的距離是標準差的幾倍 (2)z 分數一定是正數
(3)z 分數常被用來比較不同單位之量數間的大小
(4)將整組數據取 z 分數後所得的新數據﹐其標準差為 1 (5)將整組數據取 z 分數後所得的新數據﹐其平均數是 0﹒
5. 下表是 10 名學生的身高及體重:
學生 A B C D E F G H I J
身高
(公分) 171 164 164 165 171 167 169 162 166 171 體重
(公斤) 66 65 62 66 66 63 55 68 63 76 (1)求身高及體重的算術平均數和標準差﹒
(2)計算 A 生身高和體重的 z 分數﹒
(3)就全體而言﹐A 生的身高和體重何者較突出?
6. 下表是 20 名成年男性每分鐘脈搏跳動的次數分配表:
組別 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90
人數 1 8 8 2 1
求(1)算術平均數﹒ (2)標準差﹒
二、進階題
7. 某次段考後﹐老師將全班的成績依下列公式調整:
調整分數= + 40 2
原分數 ﹒
已知每個人調整後的分數都不低於原分數﹐且調整後全班的平均為66 分﹐標準差 5 分﹐
有五位同學仍低於60 分﹒選出正確的選項:
(1)學生原分數的平均低於 60 分 (2)學生原分數的標準差為 10 分 (3)有五位同學的原分數低於 20 分 (4)沒有人的原分數超過 80 分﹒
8. 某數學老師對所任教的兩組學生實施測驗﹐得結果如下:
第一組共30 人﹐其平均 70 分﹐標準差 5 分﹐
第二組共20 人﹐其平均 60 分﹐標準差 10 分﹒
若將兩組學生共50 人的成績合併計算﹐下列哪些選項是正確的?
(1)合併後的平均低於 70 分 (2)合併後的平均高於 60 分 (3)合併後的標準差高於 6 分 (4)合併後的標準差低於 8 分﹒