 一維數據分析 4-1

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(1)

4-1 一維數據分析

代表數據的數

在一般情形下﹐統計經常以一簡單的數量來代表整筆數據的某一特性﹐以作為衡量標準。

集中量數:眾數、中位數、算術平均數、幾何平均數 1.眾數:是指一群數據中出現次數最高的數

2.中位數:把一組數據從小到大排列之後﹐排在正中間位置的數就是中位數 (1)當數據為奇數個時﹐中位數是排序在正中間的數﹒

(2)當數據為偶數個時﹐中位數是排序在正中間兩數的平均﹒

將 n 個數據由小到大排列﹐得x1 x2 xn

a.當 n 為奇數時﹐令 1 2

k n ﹐中位數為xk

b.當 n 為偶數時﹐令 2

k  ﹐中位數為n 1 2

k k

x x

3. 算術平均數:所有數據的總和除以此群數據的個數所得的商﹐常以  (讀作 mu)表示 當 n 個數據為x x1, 2, , xn時﹐其算術平均數(簡稱平均數)為

1 2

1

1 1 n

n k

k

x x x x

n n

  

例題1--- A﹐B 兩群學生參加英文能力檢定的成績(級分)如下﹐求各群成績的眾數﹒

(1)A 群的級分為:5﹐7﹐8﹐4﹐5﹐6﹐2﹐5﹐9﹒

(2)B 群的級分分布如下:

3 4 5 6 7 8 9 3 6 5 4 8 3 1 級分

人數

---

例題2--- 找出下面這兩組數據的中位數﹒(1)8﹐4﹐9﹐1﹐6﹒ (2)8﹐4﹐9﹐1﹐6﹐8﹒

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隨堂練習--- (1)求數據 1﹐2﹐3 …﹐ ﹐98﹐99 的中位數﹒ (2)求數據 1﹐2﹐3 …﹐ ﹐99﹐100 的中位數﹒

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例題3---

(2)

下列是NBA 籃賽中火箭隊上場隊員的身高(公分)﹐187﹐188﹐190﹐192﹐228﹒

求其中位數與算術平均數﹒

---

例題4--- 依體操比賽規定﹕七位裁判所給的分數中﹐將最高與最低的兩分數刪除﹐剩下五個分數的 平均就是該體操選手的成績﹒已知一名體操選手在完成動作後﹐螢幕上出現七個分數﹐因 畫面停留時間不夠長﹐只看到前六位裁判的分數分別為

8.8 8.6 8.7 8.8 8.9 8.6

下一個畫面即顯示了該選手在這項體操的最後成績為 8.74﹒求第七位裁判打的分數。 8.8 ---

例題5--- 下表為甲生30 天的每日消費金額次數分配表﹐求消費金額的算術平均數﹒ 60

消 消 消 消 消 消 消 0消 20 2 20消 40 4 40消 60 7 60消 80 11 80消 100 6

---

隨堂練習---

(3)

下面是某公司 17 名員工一週的加班時數統計表﹐求加班時數的算術平均數﹒

消 消 消 消 消 消 消 消 消 消 0消 3 7 3消 6 4 6消 9 5 9消 12 1

---

加權平均數

當各項數據的重要性不盡相同時﹐通常我們會衡量各項數據彼此之間的輕重關係﹐給予相 對的權數﹒將各項數據乘以其相對應的權數﹐然後把各項乘積的總和除以總權數所得的 商﹐就稱為加權平均數。

當 n 個數據x x1, 2, , xn所對應的權數分別為w1w2﹐ ﹐ wn時﹐其加權平均數為

1 1 2 2 1

1 2

1 n

k k

n n k

n

n k

k

x w x w x w x w

w w w w w

 

 

例題6--- 下表為甲生的段考五科成績及各科的學分數﹕

試以學分數為權數﹐計算甲生的加權平均數﹒

---

隨堂練習---

(4)

學科的學期成績計算的方式如下﹕平時成績占30%﹐兩次期中考試成績各占 20%﹐期末考試 成績占30%﹒某生數學科平時成績為 83 分﹐兩次期中考試成績分別為 68﹑87 分﹐而期末考 成績為74 分﹒試計算該生數學科的學期成績﹒

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幾何平均數

當 n 個數據為x x1, 2, , xn時﹐其幾何平均數為 n 1 2

G x x   xn 平均成長率

當 n 年的成長率分別為r r1, 2, , rn時﹐其平均成長率為 xn1r1 1r2  1rn1 例題7--- 已知自2004 年至 2007 年我國的經濟成長率如下:6.15%﹐4.16%﹐4.89%﹐5.70%﹐求這四年 經濟的平均成長率﹒

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隨堂練習--- 某股票一週內五天的漲跌幅分別為4.5% 3﹐ .9%﹐2.6%1.7%﹐ .6%﹐求此股票這一週3 的平均漲跌幅﹒

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表示數據離散趨勢的數

用來量測數據分散程度的數﹐稱為離差﹒離差愈小﹐表示數據集中;離差愈大﹐表示數據 間彼此的差異愈高﹐也就是數據愈分散﹒常用的離差有全距﹑四分位距及標準差。

(5)

全距:一群數據中最大數與最小數的差﹒其值可以顯示出整組資料的範圍。

例題8--- 參加趣味競賽兩個隊伍的隊員年齡如下:

〈男生隊〉14 1﹐ 4 1﹐ 6 1﹐ 6﹐16﹐17﹐17﹐18﹒

〈女生隊〉3﹐3﹐4﹐5﹐5﹐6﹐6﹐6﹐60﹐62﹒

求兩隊隊員年齡的全距﹒

---

隨堂練習--- 高三甲班參加學科能力測驗成績如下﹐求成績的全距﹒

4 6 7 8 9 11 13 2 5 3 6 3 2 1 消 消

消 消

---

變異數與標準差

設 n 個數據為x x1, 2, , xn﹐其算術平均數為  ﹐則

變異數 為所有離均差平方的平均﹐即 2 2  2

1

1 n

i i

n x

標準差 為變異數的正平方根﹐即  2

1

1 n

i i

n x

例題9--- 求下列四個數據的算術平均數﹑變異數和標準差﹒3﹐1﹐3﹐9

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隨堂練習--- 下列各組數據﹐何者的標準差最大?

(1)5﹐5﹐5﹐5﹐5 (2)1﹐3﹐5﹐7﹐9 (3)3﹐4﹐5﹐6﹐7﹒

---

(6)

計算分組數據的標準差時﹐可仿照算術平均數﹐以各組中點的數據取代原數據來計算

例題10--- 下表為某公司16 名員工的薪資(萬元)次數分配表﹐求薪資的算術平均數和標準差﹒

        

---

標準差公式

標準差  2 2 2

1 1

1 n 1 n

i i

i i

x x

n n

(7)

例題11--- 求下列四個數據的算術平均數和標準差﹒5 1 7 9﹐ ﹐ ﹐ ﹒

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隨堂練習--- 求下列四個數據的算術平均數和標準差﹒9﹐12﹐8﹐5﹒

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重要性質

n 個數據x1, x2, , xn的算術平均數為 ﹐標準差為x  ﹒將每個數據乘上 a 再加 b﹐x

形成一組新數據y1, y2, , yn﹐即yi axi b﹐i=1﹐2 …﹐ ﹐n﹐令這些新數據的算術 平均數為 ﹐標準差為y  ﹐則有 (1) y y axb﹒ (2) y | |a x

例題12--- 某大公司抽樣調查其名下各分公司員工的年薪﹐得算術平均數為30000元﹐標準差 4000元﹒為激勵員工士氣﹐董事會提出兩個調薪方案:甲方案:每人加薪5000 元﹔乙方案:每人加薪5%﹒求兩方案下員工薪水的算術平均數與標準差﹒

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隨堂練習--- 此次段考全班的平均為50 分﹐標準差 8 分﹐老師將每個同學的成績除以 2 再加 50 分﹐求調 整後的算術平均數和標準差﹒

(8)

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標準分數(z 分數)

設 n 個數據x1, x2, , xn的算術平均數為  ﹐標準差為 ﹐則數據xi的標準分數

i i

z x

例題13--- 小明期中考的數學成績為73 分﹐班上的平均是 68 分﹐標準差 5 分;而小明期末考的數學成 績為65 分﹐班平均 60 分﹐標準差 4 分﹒

(1)將小明兩次考試的數學成績標準化﹒

(2)就全班而言﹐小明到底是進步還是退步呢?

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隨堂練習--- 高二某班級全班的語文測驗成績﹐平均為 10 級分﹐標準差 3 級分;而數學競試全班平均為 65分﹐標準差 15 分﹒A 生的語文測驗和數學競試成績分別為 6 級分和 55 分﹒

(1)計算 A 生兩項測驗成績的 z 分數﹒

(2)相對於全班﹐A 生的哪一項表現較好?

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4-1 習題 一、基礎題

1. 十位同學的身高(公分)如下:

(9)

155﹐156﹐158﹐158﹐160﹐160﹐161﹐163﹐163﹐166﹒

選出正確的選項:

(1)全距是 11 (2)中位數是 160 (3)平均數是 160 (4)標準差大於 4

2. 下列各組數據﹐何者的標準差最大?

(1)1﹐2﹐3﹐4﹐5 (2)3﹐3﹐3﹐3﹐3 (3)6﹐7﹐8﹐9﹐10 (4)2﹐4﹐6﹐8﹐10 (5)1

72 73

74 75

7

3. 高二甲班 50 名學生的期中考數學成績﹐中位數 74 分﹐算術平均數 75.2 分﹐眾數 76 分﹒

今發現某生成績應為76 分誤登記為 86 分﹐試問下列哪些統計量不變?

(1)算術平均數 (2)中位數 (3)全距 (4)標準差 (5)眾數﹒

4. 下列有關 z 分數的敘述﹐何者正確?

(1)z 分數表示某數與中位數的距離是標準差的幾倍 (2)z 分數一定是正數

(3)z 分數常被用來比較不同單位之量數間的大小

(4)將整組數據取 z 分數後所得的新數據﹐其標準差為 1 (5)將整組數據取 z 分數後所得的新數據﹐其平均數是 0

5. 下表是 10 名學生的身高及體重:

學生 A B C D E F G H I J

(10)

身高

(公分) 171 164 164 165 171 167 169 162 166 171 體重

(公斤) 66 65 62 66 66 63 55 68 63 76 (1)求身高及體重的算術平均數和標準差﹒

(2)計算 A 生身高和體重的 z 分數﹒

(3)就全體而言﹐A 生的身高和體重何者較突出?

6. 下表是 20 名成年男性每分鐘脈搏跳動的次數分配表:

組別 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90

人數 1 8 8 2 1

求(1)算術平均數﹒  (2)標準差﹒

二、進階題

7. 某次段考後﹐老師將全班的成績依下列公式調整:

調整分數= + 40 2

原分數

已知每個人調整後的分數都不低於原分數﹐且調整後全班的平均為66 分﹐標準差 5 分﹐

有五位同學仍低於60 分﹒選出正確的選項:

(1)學生原分數的平均低於 60 分 (2)學生原分數的標準差為 10 分 (3)有五位同學的原分數低於 20 分 (4)沒有人的原分數超過 80 分﹒

8. 某數學老師對所任教的兩組學生實施測驗﹐得結果如下:

第一組共30 人﹐其平均 70 分﹐標準差 5 分﹐

第二組共20 人﹐其平均 60 分﹐標準差 10 分﹒

若將兩組學生共50 人的成績合併計算﹐下列哪些選項是正確的?

(1)合併後的平均低於 70 分 (2)合併後的平均高於 60 分 (3)合併後的標準差高於 6 分 (4)合併後的標準差低於 8 分﹒

數據

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參考文獻

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