1-3 正弦定理與餘弦定理

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 三角

1-3 正弦定理與餘弦定理

甲、三角形面積公式

課本頁次： 35

△ ABC中， 以符號 a, , b c 分別表 , B,

A C

   的對邊長。

A B

C

b

c

a

甲、三角形面積公式

課本頁次： 35

三角形面積 = 1 2

（底 × 高）

(1)  為銳角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A

A B

C

b

c

sin b A

底 高

H

甲、三角形面積公式

課本頁次： 35

三角形面積 = 1 2

（底 × 高）

(2)  為直角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A sin A 1

 

A B

C

b

底 高

c sin

b A ＝

甲、三角形面積公式

課本頁次： 35

三角形面積 = 1 2

（底 × 高）

(3)  為鈍角 A

= 1 ( sin )

2 c b A 1

= sin 2 bc A

A B

C

b

底 高

c

¹⁸ 

sin 0

b   A

sin b A

180  A

＝

甲、三角形面積公式

課本頁次： 36

△ ABC

若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長，則

△ ABC 的面積 1

= sin

2 bc A 1

2 ca sin B

 1

2 absinC



已知三角形「兩邊的邊長」 及其「夾角的度數」 , 求三角形的面積 .

^{兩邊夾角_SAS}

使用時機：

例 1

課本頁次： 36

在△ ABC中， 已知 a  8, b  10, 且

6 , C 

  求 △ ABC的面積 .

解： △ ABC 的面積 1 sin

2 ab C



10 si 1 8

n 6 2

    

 20

8 10

6



1 8 2

1 10 2

   

隨 1

B 3

 

解： △ ABC 的面積 1 sin 2 ac B



5 2

2 4 in 3

1 s 

   

 5 3

3 1

2 4 5 2

   

課本頁次： 36

隨 1

B 2

  解： △ ABC 的面積

1 sin 2 ac B



4 si

2 3 n

2

1 

   

 6 1 3

2 4 1

   

B A C

5

4 3

課本頁次： 36

例 2

A 於



(1) 求面積比 ABD 解：

ABD

的內角平分線交 BC D

： ACD

A

B C

  ⁴

5 x

D 設 AD x

ACD ＝

2 5 s n

1   x i 

2 4 s n

1   x i 

＝ 5 4

＝ 5 : 4

課本頁次： 37

2 5 i 6

1   x s n 0 i 6 2 4

1   x s n 0 1

si 1 0

4 2

2   5 n 

例 2

解： ABD

求 AD

ACD

 20

x  9

20 120 9

 A ， 長

＋ ＝ ABC

＋ ＝

 5x  4x  5 4

 9x  20 ^{6012060}

A

B C

5 4

D xx

課本頁次： 37

隨 2

A 於

 解：

的內角平分線交 BC D 設 AD x

90

 A 

求 長

， AD

2 1 i 4

1   x s n 5 i 4 2 2

1   x s n 5 1 2

sin 90 2   1 

 2 2 x  3

＋ ＝

 1 2 1

2 1 2

x   x 2  

 3 2 2

x  ^{45 45}

A

B C

1 2

D x

2 2 3

90

課本頁次： 37

乙、正弦定理

1 sin 2 ab C 1 

2 bcsin A

 1

2 casin B

ABC的面積  1

2 abc 時除以

同

 ^{sin A} = ^{sin B} = ^{sin C}

a b c

 = =

sin A sin B sin C

a b c

課本頁次： 37

△

乙、正弦定理

△ ABC

若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長，而外接圓半徑為 R , 則

= =

sin A sin B sin C

a b c

= _2R

試證： 2

sin

a R

A 

課本頁次： 38

乙、正弦定理

試證： 2

sin

a R

A 

設 A 為銳角 證明：

A

A

2R

a

 銳角三角形 sin A  sin A

2R

 a

sin 2 a

A  R



課本頁次： 38

乙、正弦定理

試證： 2

sin

a R

A 

設 A 為銳角 證明：

A

A

2R

 鈍角三角形 a sin A  sin A

2R

 a

sin 2 a

A  R



課本頁次： 38

乙、正弦定理

試證： 2

sin

a R

A 

設 A 為銳角 證明：

A

A

2R

 直角三角形 a sin A  sin A

2R

 a

sin 2 a

A  R



課本頁次： 38

乙、正弦定理

應用：

 a : :b c  sin A: sin B : s ni C

 a  2 sinR A， b  2 sinR B， c  2 sinR C

 sin A

2R

 a sin B

2R

 b _sinC

2R

 c

， ，

 R 2sina

 A

2sin b

 B

2sin c

 C

課本頁次： 38

例 3

求 a : :b c 解：

＝ 1: 3 :1 180 1 30 A    6

  4

180 6 120 B    

 

180 1 30 C    6

 

: :

a b c  sin : sin : sinA B C 1

sin30 : sin 20 : sin30

   

3 1

2 :

2 2 : 1

  1: 3 :1

課本頁次： 38

隨 3

求 sin : sin : sinA B C 解：

＝ 4 : 3 : 2 5 , 0

b c  k k  6

c a  k 7 a b  k

a b c  5 6 7 2 9

k k k

  k

 

9 5 4 9 6 3 9 7 2

a k k k

b k k k

c k k k

  



    

   



sin : sin : sinA B C

4 : 3: 2



＋ )

: : a b c



課本頁次： 39

例 4

(1) 解：

長與 6 2

(sin 75 ) 4

   AC AB 長

2 sin 45

2 2

2 2

3

  AC  AC  3 sin60

 AC



課本頁次： 39

例 4

(1) 解：

長與 6 2

(sin 75 ) 4

   AC AB 長

2 sin 45

6 2

2 2

2 4

AB

  

6 2

AB 2

  

sin75

 AB



75

課本頁次： 39

例 4

(2) 解：

外接圓半徑

△ ABC

2sin R a

 A

2 2 2

2





 1

2si 2

5 n 4

 

課本頁次： 39

A C B

隨 4

(1) 解：

AC 長 2 sin 30

6 2

1 2

2 4

AC

  

3 1

 AC  

sin105

 AC

 30 45

105 2

課本頁次： 40

A C B

隨 4

解：

30 45

2 (2) △ ABC 外接圓半徑

2sin R a

 A

2 2 1

2



  2

2si 2

0 n3

 

課本頁次： 40

丙、餘弦定理

△ ABC

若 a b, 和 分別表 c 三內角 , ,

A B C

   的對邊長，則

2 b2 2 2 cos a   c  bc A

2 c2 2 2 cos b   a  ca B

2 a2 2 2 cos c   b  ab C

課本頁次： 40

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   c  bc A 證：

c

a

 ^{bcos , sinA} 

C b A

b

x y

A ^B ^c,0

a2  ( cosb A c)²  ( sinb A 0)²

2 2 2 2 2

(b cos A 2 cosbc A c ) b sin A

   

2(cos2 sin2 ) 2 2 cos

b A A c bc A

   

2 2 2 cos

b c bc A

  

課本頁次： 40

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   c  bc A

2 c2 2 2 cos b   a  ca B

2 a2 2 2 cos

c   b  ab C

2 2 2

cos 2

b

b c

c A   a

 

2 2 2

cos 2

c

c a

a B   b

 

2 2 2

cos 2

a

a b

b

C   c

 

課本頁次： 41

丙、餘弦定理

2 b2 2 2 cos a   c  bc A (1) A 是銳角

90

A    cos A  0  a²  b²  c² (2) A 是鈍角

90

A    cos A  0  a²  b²  c² (3) A 是直角

90

A    cos A  0  a²  b²  c²

課本頁次： 41

例 5

課本頁次： 41

在△ ABC中，已知 AB  8, AC   3, A 60 求

解：

BC 長度

A B

C 3

8 60

BC2  3²  8²    2 3 8 cos60

2 2 2

3 3 1

8 8

      2

64 9

9 24 4

    ∴ BC  49  7

隨 5

課本頁次： 41

在△ ABC中，已知 AB  3, AC   5, A 120 求

解：

BC 長度

A B

C 3

5 120

BC2  3²  5²    2 3 5 cos120

2 2

3 5 2 3 5 ( 1 2)

      

25 9

9 15 4

    ∴ BC  49  7

, , 3

15 7 1

AB  AC  BC 

例 6

課本頁次： 42

在△ ABC中，已知 求

解：

A 的度數

 c b a

2 2 2

cos 2

A b c

b

a c

 



2 2 1 2

7

2 15

1

3 7 5

 

  

169 2

4 1

2 5

9 225 1 7

 

 

  ∴ ^{ A 60}

3, 5 7,

AB  AC  BC 

隨 6

課本頁次： 42

在△ ABC中，已知 求

解：

C 的度數

 c b a

2 2 2

cos 2

C a b

a

c b

 



2 2 72

2 3

3 5

5

 

  

2

49 1 9

2 5

3 2

5

   

 

 ∴ ^{ C 120}

3, 7, 3, 5 AB  AC  BD  CD 

例 7

課本頁次： 42

在△ ABC中，

求 解：

的長度 ____

AD

x

cos B ^{32 32 2} 2 3 3

   x

 

2 2 2

3 8 7

2 3 8

  

 

2 9

18 3

64 49 8

x  

   ₂

9

 x  ^{ AD x  3}

3

5, 7, 6 AB  AC  BC 

隨 7

課本頁次： 43

在△ ABC中，

求中線 解：

的長度 ____

AM

x cos B

2 2 2

5 3

2 5 3

   x

 

2 2 2

5 6 7

2 5 6

  

 

2 25 36 49 6

34 3

x  

  

2 28

 x  ^{ AM  x 2 7}

2 7 A

B M C

5

3

7

3

4, 5, 4, AB  BC  CD 

例 8

課本頁次： 43

ABCD 為圓內接四邊形﹐ 求對角線

解：

的長度 ____

4, AC DA 

x cosB  cos D  0

2 2 2 2 2 2

5 4 4 4

2 5 4 2 4 4 0

x x

     

   

2 2

41 32 5 4 0

x x

 

    x²  36

6 AC x

   6

4, 6, 6, AB  BC  CD 

隨 8

課本頁次： 43

ABCD 為圓內接四邊形﹐ 求

解：

的長度 ____

120 , AD

 B  10

A

B C

x D

6 6

2 4

AC  4²  6²   2 4 6cos120

2 62 2 6cos60

x x

     

120

24 2 36 6 6

16 3 x x

     

2 6 40 0

x x

    ^  ^{x 10}  ^{x  4} ^{ 0}

10

 x ^{ 4}  _{AD  10}

60

或 ∴

海龍公式

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos² 2

bc  A

^{1 cos}  ¹ 

= 2c cos

A A

b  

2 2

2 2 2 2

( )(1

2

2 )

2 1

b c a

bc

a

b b

c

c c

b

 



   

2 2 2 2 2 2

(2 )(2

2 2 2 )

bc b c a bc

bc b c a bc

bc   

   

課本頁次： 44

海龍公式

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos² 2

bc  A

2 2 2 2 2 2

(2 )(2

2 2 2 )

bc b c a bc

bc b c a bc

bc   

   

2 2 2 2 2 2 2

( )( 2 )

2 2

2

b bc c a bc

a b bc c b

bc

c

    

 

課本頁次： 44

海龍公式

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos² 2

bc  A

2 2 2 2 2 2 2

( )( 2 )

2 2

2

b bc c a bc

a b bc c b

bc

c

    

 

  ^{2 2 2}   ²

2 2

( )( )

2

b c a bc

a b c bc

bc

 

  

       

2 2 2 2

a b c  b c a  a c b  a b c 

   

課本頁次： 44

海龍公式

△ABC 的面積 1

2 bcsin A

 = 1 cos² 2

bc  A

       

2 2 2 2

a b c  b c a  a c b  a b c 

   

( )( )( ) s s a s b s c

   

s s a s b s c

其中 2

a b c s  



課本頁次： 44

海龍公式

在△ ABC 中 , 　若三邊長為 a, b 和 c,

且 ,

2

a b c

s    則

△ABC 的面積  s s a s b s c(  )(  )(  )

課本頁次： 44

, 7

10, 9 1

a  b  c 

例 9

課本頁次： 44

在△ ABC中，已知 求△ ABC 的面積 解：

     

s s a s b s c

    

     

18 18 10 18 9 18 17

   

9 1

8 8 36

 1    

( 0 9 18) 2

1 17

s  

 

36

13 1

, , 5

4

a  b  c 

隨 9

課本頁次： 45

在△ ABC中，已知 求△ ABC 的面積 解：

     

s s a s b s c

    

     

16 16 4 16 13 16 15

   

12

6 1

1 3 24

    

( 13 16)

2

4 15

s  

 

24

例 10

課本頁次： 45

解：

某校欲在校園內 A B C﹑ ﹑ 三地都等距離的地 方設置無線網路基地台﹐已知三地間的距離

求基地台與三地的距離﹒

70 , 80 , 90 ,

AB  公尺公尺公尺AC  BC 

7 0

8 0

9 0

例 10

課本頁次： 45

解：

求基地台與三地的距離﹒

70 80

P 90 A

B C

設基地台的位置為點 P,

則 P 為△ ABC 外接圓的圓心 , 所求距離為外接圓半徑 R.

     

90 80 7

4

, ,

2

0 abc

a b c

a b

a b c

s s s s

s R

c



  

   

  





其中

R

例 10

課本頁次： 45

70 80

P 90 A

B C

     

, 90, 80, 7 4

2 abc 0

a b c

a b c

a

s s s b c

R

s s

   

   

  





其中

90 80 70

1200 5 )

4 21 5(

R  

  

基地台與三地的距離  公尺

     

120 120 90 120 80 120 70 1200 5

     

70 80 2 120

s    90 

R

隨 10

課本頁次： 45

解：

探險隊從沉船上撈起一只手錶﹐僅有鏽蝕的 時針痕跡及 12 點方向的刻度存在﹐如圖所示 ﹒

利用直尺量得﹐手錶中心點與 12 點的距離為 5 ； 鏽蝕的時針長度為 3﹐

問該只手錶停於幾點幾分？ 5

3

 7

cos ^{2 2 72} 2

3

3 5

5

 

  

1

  2

 120

   手錶停於四點整

而 12 點與時針尖端的距離為 7﹒

離開確認

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