線對稱線對稱

(1)

自我評量

線對稱線對稱

尺規作圖的意義尺規作圖的意義

垂直平分線垂直平分線

角平分線角平分線

垂線垂線

(2)

在日常生活中，常見到許多線對稱圖形。下

列圖形都是線對稱圖形，你看得出來嗎？

(3)

我們可以用對摺疊合的方法檢驗圖形是否為線對稱圖形。一個線對稱圖形對摺後，重疊的兩點稱為對稱點，重疊的線段稱為對稱線段

，重疊的角稱為對稱角，摺線為對稱軸。圖 2-38 中， B 點的對稱點為 B' 點，∠ C 的對稱角為∠ C'

，

的對稱線段為

，直線 L 為對稱軸。因為 A 點在對稱軸上，所以 A 點的對稱點即為 A 點本身。

AB

'

AB

圖 2-38

(4)

圖 2-38 中，連接，與直線 L 交於

M 點，

＝，也就是 M 為

的中點，我們說直線 L 平分。又∠ 1 ＝∠

2 ，且∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 180° ，所以∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 90

° ，也就是直線 L 垂直

，可以記成 L ⊥ ，讀作「 L 垂直

」。直線 L 與的交點 M 稱為垂足

。

BM

'

BB M

B' BB

'

BB

'

BB

'

BB

'

BB BB'

(5)

因為直線 L 垂直

且又平分

，我們就說直線 L 垂直平分

_{，直線 L} 是

的垂直平分線，又稱為中垂線。

同樣地，直線 L 也會垂直平分

，所以我們說對稱軸垂直平分兩對稱點之連線段

。

'

BB BB

'

BB BB

'

CC

(6)

畫出下列圖形的所有對稱軸：

長方形梯形菱形

(7)

畫出下列圖形的所有對稱軸：

正五邊形等腰三角形正八邊形

(8)

如圖 2-39 ，△ ABC 是等腰三角形，

＝。

我們可以對摺將 B 點疊合在 C 點上，和疊

合，摺痕得到　中點 D ，∠ ADB ＝∠ ADC

＝

90° 。也就是△ ABC 是一個線對稱圖形，

是對稱軸。

AB AC AB AC BC

AD

圖 2-39

(9)

由此可知，是邊的高

，也是的垂直平分線。即等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊。

AD BC BC

(10)

同樣地，正三角形的高也會垂直平分底邊。

如圖 2-40 ，正三角形 ABC 的邊長為 a ，因為垂直平分，所以＝

＝ a 。

圖 2-40

AD BD CD

1 2

BC

(11)

由勾股定理得＝

　　　　　　　＝

＝＝

△ABC 面積＝ × × ＝ × a × ＝ a

²

AD AB²



BD²

2

)

2 ( a 1

a



4

2

3a 2 3

a

1 BC AD 2 2 1

a

2 3

4

3

(12)

若正三角形的邊長為 a ，則高為 a ，面積為 a

²

。

4 3

2

3

(13)

1

完成線對稱圖形

右圖是線對稱圖形的一部分

，直線 L 是對稱軸，請完

成此線對稱圖形。

(14)

因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L 的右側，找到 B 點的對稱點 B' 。同理，找到 C'

、 D' 、 E' 、 F' 、 G' 、 H' 。

連接、、、、、、、

，即為所求。

解解

'

AB B

'C '

C

'D '

D

'E '

E

'F '

F

'G '

G

'H '

I

H '

(15)

1. 如下圖，四邊形 ABCD 是菱形，請問它是線對稱圖形嗎？若 ABCD 是線對稱圖形，則 B 點的對稱點為何？

菱形 ABCD 是線對稱圖形

， B 點的對稱點是 D 點。

(16)

2. 如下圖，四邊形 PQRS 是箏形，請問它是線對稱圖形嗎？

箏形 PQRS 是線對稱圖形。（為對稱軸）

PR

(17)

在隨堂練習中，我們可以利用對摺的方法，

檢驗得知鳶形和菱形都是線對稱圖形。

菱形 ABCD 中，若以對角線為對稱軸

，則

A 、 C 為對稱點，所以垂直平分。同樣地，若以對角線為對稱軸，則 B 、 D 為對稱點，所以垂直平分。也就是對角線、互相垂直平分。即

BD

BD AC

AC

AC BD AC BD

菱形的兩對角線互相垂直平分。

(18)

箏形 PQRS 中，對角線是對稱軸， Q 、 S 為對稱點，所以對角線會垂直平分對角線

。即

箏形的兩對角線互相垂直，且一對角線平分另一對角線。

PR PR

QS

(19)

直尺和圓規是幾何作圖的主要工具，

尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺

只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

(20)

比較線段大小時，除了用直尺測量之外，也可以使用圓規。如圖 2-41 ，將圓規張開如之大小，不改變圓規張角的大小，將圓規的一端移至 C 點上，觀察圓規的另一端。如

果另一端落在上，如圖 2-42 ，表示＞；如果另一端落在

外，如圖 2-43 ，表示＜

。

AB

CD CD AB

圖 2-41 圖 2-42 圖 2-43

(21)

2

等線段作圖

如右圖，已知一線段 AB ，如何畫出一線段，

使它的長度等於呢？

AB

(22)

作法作法

(1) 畫一直線 L ，在 L 上取一點 C 。

(2) 以 C 為圓心，長為半徑畫弧，

交

直線 L 於一點 D 。

(3) 即為所求的線段。

AB

CD

(23)

例題 2 的畫法是不是和我們比較兩線段長

度疊合的方法，有一點類似呢？一般來說，在

進行幾何作圖時，應保留作圖的痕跡，並輔以

文字說明。

(24)

3

線段長作圖

已知一線段 AB ，求作一線段 CD ，使它的

長度等於的 2 倍。

AB

(25)

作法作法

(1) 作一直線 L ，在 L 上取一點 C 。

(2) 以 C 為圓心，為半徑畫弧，交直線 L 於 P 點。

AB

(26)

作法作法

(3) 以 P 為圓心，為半徑畫弧，

交直線 L 於 D 點。

(4) 即為所求。

AB

CD

(27)

1. 如右圖，試在上找出 D 點，使得

＝。

BC BD AB

(28)

2. 已知兩線段長 a 、 b ，求作線段 PQ ，使得

＝

a ＋ b 。

PQ

(29)

之前我們已經用對摺的方法，摺出的垂直平分線，接下來，我們將利用尺規作圖

，作已知線段的垂直平分線。

AB

(30)

(1)在紙上畫出一線段，以摺紙的方式找出該線段的垂直平分線，並標出該線段的中點

。

(2) 說說看，為什麼你的摺法摺出來的是垂直平

分線？參考課本 P.74 第三段

(31)

4

中垂線作圖

已知，求作的垂直平分線。

AB AB

(32)

作法作法

(1) 以 A 為圓心，並以大於長為半徑畫弧。 2 1

AB

(33)

作法作法

(2) 以 B 為圓心，同長為半徑畫弧，兩弧相交

於 C 、 D 兩點。

(34)

作法作法

(3) 畫，則即為所求。

CD CD

(35)

在例題 4 的作圖過程中，為何要以大於的線段長為半徑畫弧呢？小於

可以嗎？等於可以嗎？

2

AB

1 2

AB

1 2

AB

1 以大於長為半徑畫弧，兩弧才會有交點。小於

畫弧，兩弧就無法相交。

以為半徑畫弧，兩弧會在中點相交，無法形成三角形。

2

AB

1 2

AB

1 1 2

AB

(36)

例題 4 中，如何確定會垂直平分呢？我們可以連接、、、，因為

＝＝＝，若以為摺線對摺，則△ ACD 與△ BCD 會重合，即為四邊形 ACBD 的對稱軸，

所以垂直平分。

AB AC BC AD BD

AC BC AD BD

CD AB

CD

(37)

如右圖，若 L 是

的垂直平分線，在

L 上任取一點 P ，連接

、

。想想看，是否會等於？

AB

AP BP AP

BP

會

(38)

由動動腦的結果可知，

垂直平分線上任一點到線段兩端點的距離相等。

(39)

如下圖，已知，請用尺規作圖將

四等分。

AB AB

(40)

我們可以用尺規作圖複製一線段，那麼是否也可以利用尺規作圖複製一個角呢？

5

等角作圖

已知∠ A ，求作一角等於∠ A 。

(41)

作法作法

(1) 畫一直線 L ，在 L 上取一點 O 。

(2) 以 A 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠

A 的兩邊於 B 、 C 兩點。

(42)

(3) 以 O 為圓心，為半徑畫弧，交直線 L 於

Q 點。

AB

作法作法

(43)

(4) 以 Q 為圓心，

BC

為半徑畫弧，交前弧於 P 點。

作法作法

(44)

(5) 畫，則∠ POQ 即為所求。

OP

在例題 5 中，我們可以用量角器測量∠ A

及∠ POQ 的度數，檢驗出∠ POQ 確實等於∠ A

。

作法作法

(45)

利用尺規作圖，畫出一角等於∠ B 。

(46)

將一個角平分為兩相等角的線，我們稱為角平分線，又稱為分角線。如圖 2-45 ，若∠ BAC 與∠ DAC 的度數相等，也就是∠ BAC ＝∠ DA

C ，我們就說是∠ BAD 的角平分線。AC

圖 2-45

(47)

下圖是一已知角，我們用對摺的方法，讓角的兩邊疊在一起，則摺痕就是角平分線。

圖 2-4

6

(48)

古希臘幾何三大作圖難題：

1. 三等分角：把一任意角三等分。

2. 立方倍積：作一立方體，使其體積是一已知立

方體體積的兩倍。

3. 化圓為方：作一正方形，使其面積等於一已知

圓的面積。

(49)

這三個題目，乍看之下似乎不是很難，為

何被稱為三大難題呢？這是因為只能使用沒有

刻度的直尺和圓規作圖。現代數學家已經證明

了這三個題目都無法用尺規作圖完成。

(50)

6

畫角平分線作圖

已知∠ A ，求作∠ A 的角平分線。

接下來，我們將利用尺規作圖的方法，畫出

一已知角的角平分線。

(51)

(1) 以 A 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠

A 的兩邊於 B 、 C 兩點。

作法作法

(52)

(2) 分別以 B 、 C 為圓心，大於為半徑畫弧，兩弧交於 D 點。 2 1

BC

作法作法

(53)

(3) 畫，則即為所求。

AD AD

作法作法

(54)

由例題 6 ，連接、，因為＝，

＝，所以四邊形 ABDC 為箏形。

當我們以為摺線時，就可以發現∠ CA

D 與∠ BAD 相等。

CD BD AB AC CD BD

AD

圖 2-47

(55)

1. 求作∠ B 之角平分線，並用量角器測量被平分的兩角角度是否相等。

2. 試作一平角的角平分線。

(56)

7

過線上一點作垂線

已知直線 L 及 L 上一點 P ，求作過 P

點與 L 垂直的直線。

(57)

(1) 以 P 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線 L 於 A 、 B 兩點。

(2) 分別以 A 、 B 為圓心，

大於為半徑畫弧，兩弧交於 C 點。

(3) 連接，則即為所求。

2 1

AB

CP CP

作法作法

(58)

在例題 7 中，若連接、，由作法的步驟 (1) 可知 P 點為的中點，而由作法的步驟 2 可知

＝，也就是△ CAB 為等腰三角形。在前面已說明「等腰三角形為線對稱圖形」，所以為△ CAB 之對稱軸，∠ CPA ＝∠ CPB ＝ 90

° 。因此確實為過 P 點與 L 垂直之直線。

CA CB AB

CA CB

CP

圖 2-48

(59)

例題 7 的作法和例題 6 隨堂練習中平角的角平分線作法是相同的。

8

過線外一點作垂線

已知直線 L 及 L 外一點

P ，求作過 P 點與 L 垂直

的直線。

(60)

(1) 以 P 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線

L 於 A 、 B 兩點。

(2) 分別以 A 、 B 為圓心，

大於為半徑畫弧，兩弧交於 C 點。

(3) 連接，則即為所求。

2

AB

1

CP CP

作法作法

(61)

在例題 8 中，我們可連接、、

、，因為＝，＝，所以四邊形 PACB 為箏形。在前面我們學過「箏形的兩對角線互相垂直」，所以 ⊥ L ，即

確實為過 P 點與 L 垂直之直線。

PA PB CA CB PA PB CA CB

CP CP

(62)

利用「過線外一點作垂線」的作圖方法，我們可以作出三角形的高。如圖 2-49 ，△ ABC 中

，

邊上的高即為過 A 點垂直的線段。

BC BC

圖 2-49

(63)

已知△ ABC ，求作

BC

邊上的高。

△ABC 中，邊上的高的作法，與過 A 點作

之垂線作法相同。

BC BC

(64)

除了用尺規作圖的方法作出三角形的高，我們也可以用對摺的方法，摺出三角形的高。

圖 2-50

(65)

作等線段、作等角、作已知線段的垂線、

作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分

線，這幾種作圖方法，我們稱為基本作圖。將

來在作圖時，如果需要使用這些基本作圖，我

們不再詳列它們的作法，只簡述即可。在下面

的例題中，我們將以這些基本作圖為基礎，完

成其他作圖。

(66)

9

扇形作圖

已知一扇形 ABC ，求作扇形 DEF ＝扇形 ABC 。

(67)

(1) 畫一直線 L ，在 L 上取一點 D 。

(2) 作∠ PDQ ＝∠ CAB

。

(3) 以 D 為圓心，

為半徑畫弧，分別交、

於 F 、 E 兩點

。

(4) 扇形 DEF 即為所求

。

AC

DP DQ

作法作法

(68)

10

完成線對稱圖

右圖是線對稱圖形的一部分，形直線 L 是對稱軸，試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。

(1) 以 A 為圓心，為半徑畫弧，再以 D 為圓心，

為半徑畫弧，兩弧交點即為 B 點的對稱點 B' 。

AB DB

作法作法

(69)

(2) 以 A 為圓心，

為半徑畫弧，再以 D 為圓心，

為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C' 。

(3) 連接

、

，所得圖形即為所求

。

AC

'

AB B

'C '

C'D

DC

作法作法

(70)

例題 10 中，若在 L 上任取二點 P 、 Q ，分別以 P 、 Q 為圓心，、為半徑畫弧，此兩弧的交點是否為 B 點的對稱點

？為什麼？

是。因為 PBQB' 為箏形 ( 設兩弧的交點為 B' )

。

PB QB

(71)

如下圖，請仿照例題 10 的作法，畫出 B 點的對

稱點。

(72)

1. 對稱軸：線對稱圖形上，對稱軸會垂直平分兩對稱點的連線段。

2. 尺規作圖：尺規作圖是指用直尺和圓規來

畫圖，而且直尺只用來畫直線或線段，不利

用上面的刻度。

(73)

3. 垂直平分線：一已知線段的垂直平分線上任意一點到線段的兩端點等距離。

4. 基本作圖：複製線段、複製角、作已知線

段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已

知角的角平分線。

(74)

2-3 自我評量

1. 如右圖， P 點在直線 AE 上，

平分∠ APC ，平分 ∠CPE ，∠ DPE ＝ 43° 。

(1) 求∠ BPA 。

(2) 請問是否垂直？

BP DP

(1)∠BPA ＝ ∠ APC ＝ × (180° － 2×4 3°)

＝ × 94° ＝ 47°

(2)∠BPD ＝∠ BPC ＋∠ CPD ＝ 47° ＋ 43° ＝ 90°

所以 ⊥ 。

1 2 1 2

BP DP

1 2

(75)

2. 如下圖，請利用尺規作圖在上作一點

P ，

：＝ 1 ： 3 。

AB AP PB

(76)

3. 下圖是一線對稱圖形，請利用尺規作圖畫出

它的對稱軸。

(77)

4. 如右圖，△ ABC 中，∠ A

BC ＝ 62° ，

∠ACB ＝ 58° ， (1) 求∠ BAC 。

(2)△ABC 是何種三角形？

（鈍角、銳角或直角）

(3) 若∠ ABC 與∠ ACB 的

角平分線相交於 D

點，求 ∠ BDC 。

(78)

(1)∠BAC ＝ 180° － 62° － 58° ＝ 60°

(2) 因為∠ ABC 、∠ ACB 、∠ BAC 均為銳角，所以△ ABC 為銳角三角形。

(3)∠BDC ＝ 180° －∠ DBC －∠ DCB

＝ 180° － × 62° －

× 58°

＝ 180° － 31° － 29°

＝ 120°

1 2

4.

(79)

5. 如圖， △ ABC 為鈍角三角形，

利用尺規作圖作上的高。

AC

(80)

π 的故事

圓周率 π 是圓的周長與直徑的比，即 π ＝。為什麼用 π 這個符號來代表圓

周率

呢？由來如下：

西元 1600 年，英國數學家奧托雷德（ William Oughtred ， 1574-1660 ）首先用來表示圓周率。理由是希臘文中「圓周」的第一個字母是 π ，而「直徑」的第一個字母則是 δ( 讀作 delta)

圓周長直徑



(81)

，因此很自然地就寫成。但是為了簡化圓周率的計算過程，通常我們會令圓的直徑為 1 ，此時＝＝ π 。

1706 年，英國數學家瓊斯（ William Jone s ， 1675-1749 ）改用 π 來表示圓周率，後來瑞士大數學家尤拉（ Leonhard Euler ， 1707-1783

）也採用此表示法，於是沿用至今。

圓周長直徑





1

(82)

線對稱 線對稱