平行與四邊形

L 

1  M  78 ^O 

62 ^O  31 ^O 

2 

平行與四邊形

平行線與角度的定理：

直線 L 為 L ₁ 與 L ₂ 的截線，形成 8 個截角，如圖。

(1)同位角相等：∠1＝∠5；∠4＝∠8；∠2＝∠6；∠3＝∠7。

(2)內錯角相等：∠3＝∠5； ∠4＝∠6。

(3)同側內角互補：∠4＋∠5 ＝ 180 ⁰ ；∠3＋∠6 ＝ 180 ⁰ 。

【範例】：如圖，已知 L // M，若∠1＝40 ⁰ 、∠2＝70 ⁰ 、∠A＝25 ⁰ ， 則∠P＝______度。

【解】：∠P ＝ ∠1 ＋∠2 －∠A

＝ 110 ⁰  － 25 ⁰ 

＝ 85 ⁰ 

【範例】：如圖，若 L//M，求∠1。

【解】： ∠2＝78 ⁰ －31 ⁰ ＝47 ⁰ ；∠2＋∠1＋62＝180 ⁰ 

∴ ∠1＝180 ⁰ －∠2－62 ⁰ ＝71 ⁰ 

平行四邊形的性質：

（1）對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形。

△ABC  ≣ △ADC 

（2）平行四邊形之兩雙對邊分別相等。 

AB  ＝  DC  AD  ＝  BC 

（3）平行四邊形之兩雙對角分別相等。

∠A  ＝ ∠C 

∠B  ＝ ∠D 

（4）平行四邊形之兩對角線互相平分。 

A 

B  C 

D  1 

2  3 

4 

A 

B  C 

D 

A 

B  C 

D 

L1 

L2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

L 

1  M  78 ^O 

62 ^O  31 ^O 

L 

M  A 

2 

1  P

（5）平行四邊形之對邊平行且相等。 

AB  //  DC  且  AB  ＝  DC  AD  //  BC  且  AD  ＝  BC 

平行四邊形的判別：

我們可以從以下的判別性質更容易地判斷一個四邊形是不是平行四邊形？

（1）兩雙對邊平行的四邊形會是平行四邊形（定義）。

（2）一雙對邊平行且相等的四邊形也會是平行四邊形。

（3）兩雙對邊分別相等的四邊形也會是平行四邊形。

（4）兩雙對角分別相等的四邊形也會是平行四邊形。

（5）兩對角線互相平分的四邊形也會是平行四邊形。

三角形兩邊中點連線性質：

1. △ABC 中，若 AD ＝ BD 且 AE ＝ CE ， 則  DE // BC 且 DE ＝ ¹ 

2 BC 。

2. △ABC 中，若 AD ＝ BD 且 DE // BC ， 則  AE ＝ CE 且 DE ＝ ¹ 

2 BC 。

梯形的性質：

（1）梯形的中線必平行於上下底，且其長等於上下底和的一半。 

EF ＝  2 

1 (AD＋ BC ) 

EF //AD，EF // BC 

（2）連接梯形兩對角線中點的線段，必平行於上下底，且其長等於兩差的一半。 

EF //AD// BC  EF ＝ 

2 

1 ( BC －AD)

等腰梯形的性質：

（1）等腰梯形的兩底角相等。

A 

B  C 

D 

A 

B  C 

D 

E  F 

G 

A 

B  C 

D 

E  F 

G 

A  D 

A 

B  C 

D  E

（2）等腰梯形的兩對角線相等。 

AC ＝

BD 

菱形的性質：

（1）菱形任一對角線會平分其頂角。 

AC 平分 

Ð A 與  C Р BD平分 Ð B 與 Ð D

（2）菱形的兩對角線互相垂直平分。 

AC

^ BD 

AO ＝ CO ， BO ＝ DO 

鳶(箏)形的定義與性質:

（1）兩雙鄰邊分別等長的四邊形，稱為鳶(箏)形。 

AB＝AD 

CB ＝ CD 

（2）鳶形的對角線互相垂直，且其一對角線被另一對角線平分。 

AC

^ BD  且  BO ＝ DO 

多邊形的內角和與外角和：

(1) 四邊形的內角和為 360  ，外角和為 ^o  360  。 ^o 

(2) 任意 n 邊形的外角和為 360 ^o  Þ 正 n 邊形的每一外角為  360 o 

n 

(3) 任意 n 邊形的內角和為 180 (^o 

n -

2)  Þ 正 n 邊形的每一外角為 

180 (o 

n 

2) 

n

-

A 

B  C 

D 

A 

B 

C 

D 

A 

B 

C  D  O 

A 

B 

C  D 

A 

B 

C  D 

A 

B 

C  O D 

1. 如右圖，直線 L ₁ 平行直線 L ₂ ，若 Ð 1 = 80 ^o ， Ð 2 = 60 ^o ， 且BO平分 Ð DBC ，則 Ð3 = ？  (A) 10 ^o  (B) 15 ^o  (C) 20 ^o  (D) 25  【90 年第一次基測】 ^o 

2. 從一個凸七邊形其中的一個頂點，最多可作出 a 條對角線；這些對角線將此七邊形分割 成b個三角形；再利用每一個三角形的內角和為 180  ，可以求得這個七邊形的內角和為 c ° 

度。請問下列哪一個選項是正確的？ 【90 年第二次】

(A)  a = 5 (B)  b = 5 (C)  c = 1080 (D)  a ´ 180 = c 

3. 圖(十)是一個玩具車軌道圖，將白色車頭的玩具車自P點沿 著箭頭方向前進，途中經由A點轉向B點，再經由B點轉

向 Q 點。若 ÐBAP = 130 ^o 、 ÐQBA = 95 ^o 。請問此玩具車至少 共要轉多少度才能抵達 Q 點？【91 年第一次】 

(A) 35  (B) 55  (C) 135  (D) 225 

4. 如右圖， AE  // BD ，C在 BD 上。若 AE = 5 ， BD = 8 ，△ABD的 面積為 24，則△ACE的面積為多少？【91 年第二次基測】 

(A) 10  (B) 12  (C) 15  (D) 18 

L  L 

L  A 

B 

C 

D 

O  1 

2 

3 

1 

2 

E 

D 

C  B  A 

圖(十) 

B  Q 

A  P

5. 如附圖，梯形 ABCD 中， 

AD

// 

BC ， AB

¹

DC

。請問下列哪一種作圖法，可將此 梯形分割為兩個面積相等的圖形？ 【91 年第二次基測】 

(A)  連接 AC 

(B)  作 BC 的中垂線 L 

(C)  分別取 AB 和 CD 的中點 P、Q，連接PQ  (D)  分別取 AD 和 BC 的中點 H、K，連接 HK 

6. 如右圖，L是 

L  與 

₁ 

L  的截線。找出 

₂  Ð 1 的同位角，標上 Ð 2 ，找出 Ð 1 的 同側內角，標上 Ð 3 。下列何者為 Ð 1 、 Ð 2 、 Ð 3 正確的位置圖？ 

(A)  (B)      (C)  (D) 

【92 年第一次基測】

7. 如右圖，三條直線 

L  、 

₁ 

L  、 

₂ 

L  中， 

₃ 

L  與 

₁ 

L  平行， 

₂ 

L  與 

₁ 

L  不垂直，

₃  下列哪一個關係是錯誤的？【92 年第二次基測】 

(A)  Р1 Ð = 6  (B)  Р2 Ð = 8  (C)  Р3 Ð = 7  (D)  Ð 4 Ð = 6 

8. 如附圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形， ED // FG ， ÐD = 75 ^o ，  25 o 

=

ÐABE  。求 РGFB + Ð GCB = ？【93 年第一次】 

(A)  155 ^o  (B)  210 ^o  (C)  235 ^o  (D)  270 ^o 

C  B 

A  D

A  E  D

G 

B  C 

F 

25 

75 

o 

o 

L 1 

L 2 

L  1  2 

3 

L 1 

L 2 

L  1 

2  3  L 1 

L 2 

L  1  2  L 1  3 

L 2 

L  1  2 

3 

1 

L 1 

L 2 

L 

7  8  5  6 

1  2 

4 

3  ^L 1 

L 3 

L 2 

圖(三)

9. 如右圖，多邊形 ABCDE 為五邊形。若∠AED=130°，∠EDC=120°，

∠DCB=110°，則∠1 +  ∠2 +  ∠3 +  ∠4 = ﹖【93 年第二次】 

(A) 360°      (B) 310°      (C) 240°      (D) 180° 

10. 如圖（十七），四線段構成一漏斗的剖面圖，

其中管子的內部寬度為 4 公分。已知水滿時，

水面到漏斗頸的高為 6 公分，水面寬度為  12 公分。若水位下降 3 公分，如圖（十八），

則水面的寬度為多少公分？ 【94 年第一次】 圖（十七） 圖（十八） 

(A) 6  (B) 7      (C) 8      (D) 9 

11. 如右圖，將一個平行四邊形分成 16 個一模一樣的小平行四邊形。

若以顏料塗滿△ABC，至少須用完 1 瓶顏料，則將△DEF 塗滿，

至少須用完幾瓶顏料？【94 年第二次】 

(A) 0.5      (B) 1      (C) 1.5      (D) 2 

12. 小明有一些大小相同的正五邊形，他用下列方式將正五邊形 擺放在一圓周上，如圖（八）所示： 

(1)  每個正五邊形與相鄰的正五邊形皆有一邊緊密地放在一起 

(2)  每一個正五邊形皆有一邊與圓相切若 圖（八）

這些正五邊形正好將此圓全部圍住，則這些正五邊形最少有幾個？【94 年第二次】 

(A) 9  (B) 10  (C) 11  (D) 12 

A 

B  C 

D 

E  F 

2 

1 

3 

4  130  110  120 ^{o  o} 

o 

B 

E 

C  D 

A 

6  6 

4  漏斗頸

12 

3 

4 

?

13. 如（圖十六），將四邊形鐵板ABCD（四個內角均不是直角）平 放，沿 CD 畫一直線L，沿 AD 畫一直線M 。甲、乙兩人想用此 鐵板，在M 的另一側畫一直線 

L  與

₁  L平行，其作法分別如下：

甲：如圖（十七），將鐵板翻至M 的另一側，下移一些並將 AD  緊密在直線M 上，在沿 CD 畫一直線 

L  ，如圖（十八）

₁  。 乙：如圖（十九），將鐵板轉動到M 的另一側，下移一些並將 

AD 緊靠在直線M 上，在沿 CD 畫一直線 

L  ，如圖（廿）

₁  。

對於兩人的作法，下列判斷何者正確？ 【95 年第一次】

（A）兩人都正確 （B）兩人都錯誤 （C）甲正確，乙錯誤 （D）甲錯誤，乙正確 

B  A  C 

D 

M 

L 

圖(十七) 

B  A 

C  D 

M 

L  L₁ 

圖(十八) 

A  B 

C 

D 

M 

L 

圖(十九) 

B  A 

C  D 

M 

L  L1 

圖(廿) 

A  B 

C  D 

M 

L 

圖(十六)

14. 圖(十五)中的兩直線 

L  、 

₁ 

L  相交於

₂  O點，其中A、B  兩點在 

L  上，

₁  C、D兩點在 

L  上。已知 

₂  CD 上有一點 

P，且M 、N 分別是 PA 與 PB 的中點。今將P點沿  CD 自C移向D點，則關於 MN 、 D PAB 的變化，下

列敘述何者正確？ 【95 年第二次】 

(A) MN 的長度越來越長  (B) MN 的長度越來越短  (C) D PAB 的面積越來越大  (D) D PAB 的面積越來越小

15. 如圖(一)為一梯形ABCD，其中 Ð 

C 

= Ð

D 

= 90 ^o ， 且 AD = 6 ， BC = 18 ， CD = 12 。若將 AD  疊合在 BC 上，出現摺線 MN ，如圖(二)所示，

則 MN 的長度為何？ 【96 年第一次】 

(A)  9  (B) 12  (C) 15  (D)  21 

16. 圖(五)是四邊形紙片ABCD，其中 ÐB = 120 ^o ，  50 o 

D =

Ð 。若將其右下角向內摺出一△PCR 

，恰使 CP  // AB ， CR  // AD ，如圖(六)所示

，則 ÐC = ？ 【96 年第一次】 

(A)  80 ^o  (B)  85 ^o  (C)  95 ^o  (D) 110 ^o 

C  D 

A  B 

圖(十五) 

L 2 

L 1 

O 

A  D 

B  C  B  (A)  C(D) 

N  M 

圖(一) 圖(二)

圖(六) 圖(五) 

B  C 

A 

D 

A 

D

R  C 

P  B

17. 如圖(八)，平行四邊形ABCD中， BC = 12 ，M 為 BC 中點， 

M 到 AD 的距離為 8。若分別以B、C為圓心， BM 長為半 徑畫弧，交 AB 、 CD 於E、F 兩點，則圖中灰色區域面積

為何？ 【96 年第一次】 

(A) 96 - 12 p  (B) 96 - 18 p  (C) 96 - 24 p  (D) 96 - 27 p 

18. 已知小娟家的地板全由同一形狀且大小相同的地磚緊密地鋪成。若此地磚的形狀邊形是 一正多邊形，則下列何者不可能是此地磚的形狀？ 【96 年第一次】 

(A)  正三角形  (B)  正方形  (C)  正五邊形  (D)  正六邊形

19. 如右圖， AD  // BE ， BD  // CE 且 OD : OE = 3 : 5 。 OA = 2 公分，

則 OC = ？  (A)  3 

10 公分(B)  3 

5 公分(C)  9 

100 公分(D)  9 

50 公分

20. 如右圖， AB // EF // CD 。若 AB = 6 ， CD = 9 ，則 EF =？  (A) 1.8  (B) 2.4  (C) 3.2  (D) 3.6 

B  M  C 

F  D  A 

E 

圖(八) 

O 

A  B 

C 

D 

E 

A  B 

E  F 

D 

C

1  36 ⁰ 

A 

B 

C 

D  C' 

D' 

21. 右圖四邊形 ABCD 中，∠B 和∠C 的角平分線交於 E 點，∠A 和∠D 的角平分線交於 F 點。若∠E＝110 ⁰ ，求∠F 的度數為多少？

(A)  60 ^o  (B)  70 ^o  (C)  80 ^o  (D)  90 ^o 

22. 如附圖，四邊形 MBNH 是平行四邊形 ABCD 和平行四邊形 EFGH 重疊的部分。

已知∠1 = 55°、∠2 = 120°、∠3 = 65˚，試求∠MHN 的度數。

(A)  50 ^o  (B)  55 ^o  (C)  60 ^o  (D)  65 ^o 

23. 承上題，四邊形 MBNH 是否為平行四邊形？(A)否 (B) 是

24. 如附圖，平行四邊形ABCD、平行四邊形BCEF在同一平面上，

若∠1＝43˚、∠2＝104˚、∠3＝35˚，求∠CDE  ＝？

(A)  65 ^o  (B)  72 ^o  (C)  80 ^o  (D)  84 ^o 

25. 將一張長方形ABDC的紙條摺疊之後，如圖所示，求 Ð 1等於幾度？

(A)  69 ^o  (B)  72 ^o  (C)  86 ^o  (D)  90 ^o 

A

B

C D E

F

26. 如附圖，DE ￣//AC ￣，若△ABC 面積是 15 平方公分，△ADC 面積是  12 平方公分，則△ABE 面積為何？

(A) 27 平方公分 (B) 28 平方公分 (C) 29 平方公分 (D) 30 平方公分

27. 如附圖，梯形 ABCD 中，AD ￣// BC ￣，E 為CD ￣的中點，延長 AE ￣交BC ￣的 延長線於 F，若AD ￣＝8，BC ￣＝12，△ABF 中， BF ￣上的高為 16，

若EG ￣⊥ AB ￣，且 AB ￣＝18，求EG ￣＝？

(A)  ⁷¹ 

9  (B) 8 (C)  ⁸⁰ 

9  (D)  ⁸⁵  9 

28. 如附圖，四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 為兩個全等鳶形， EF ￣與CD ￣ 相交於 H。若∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAG=101 度，則∠DHF＝？

(A)  35 ^o  (B)  40 ^o  (C)  45 ^o  (D)  50 ^o 

29. 如附圖，在矩形 ABCD 中，兩對角線 AC ￣、BD ￣相交於 M。設 AB ￣＝6、 

￣＝8，P 為 BC 

AD 

￣上一點，且PQ ￣垂直BD ￣於 Q， PR ￣垂直AC ￣於 R，

求PQ ￣+ PR ￣＝？ 

(A)  4.5  (B)  4.8  (C)  5.2  (D)  5.5

30. 如圖，ABCD 為一矩形，過 D 作直線 L 與 AC 平行後，再分別 自 A、C 作直線與 L 垂直，垂足為 E、F。若圖中DADE 與DCDF 的面積和為 a ，DABC 的面積為b，則 a ：b＝？

(A) 2：1 (B) 1：  2  (C) 1：2 (D) 1：1

31. 如圖，已知 AB // CD ， AE // DF ，且∠B＝ 45  ，∠BFD＝ ^o  120  ， ^o 

∠C＝ 86  ，求∠AEC＝？ ^o 

(A) 60 ^o  (B) 131 ^o  (C) 165 ^o  (D) 161 ^o 

32. 如圖所示， AB 平行DE ，∠A＝120 ^o ，∠D＝32 ^o ，且∠BCD 的 補角是 113 ^o ，求∠B 的角度為多少？

(A) 35 ^o  (B) 34 ^o  (C) 25 ^o  (D) 24 ^o 

A 

B  C 

D  F  E 

L 

A  B 

C  D 

E  F 

A 

E 

B  C 

D