29
單元二 平行四邊形
課文A: 平行四邊形的基本性質
如上圖,如果我們將這個平行四邊形沿著對角線 AC 剪下來,會發生 什麼事呢?請各位同學拿剪刀將附件一的平行四邊形 ABCD 剪下來!
剪下後,平行四邊形 ABCD 會形成兩個三角形△ABC 跟△CDA,這兩 個三角形有什麼關係呢?
試著疊疊看,看看會發生什麼事呢?
得到∠2=∠3 且∠1=∠4。
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
1
𝐃
2 3
4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 𝑨
𝐂
12 3
4
𝑨
𝐁 𝐂 𝐃 𝑨
𝐂 𝑨 𝐃
𝐂
旋轉180°1
2
3
4 4
3
30
我們也可以利用平行線的截角性質來證明「∠2=∠3 且∠1=∠4」。
如下圖,因為 AD // BC ,所以∠2=∠3。
同理,因為 AB // CD ,所以∠1 =∠4。
前面已經證明了 ∠1=∠4、∠2=∠3 ;又 AC = AC ,根據 ASA 全等 性質,得到△ABC ≅△CDA。
如果沿著另外一條對角線 BD 切割也會有同樣的結果。
由前面的操作與證明可以說明平行四邊形的一個性質:任何一條對角 線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形。
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
12 3
4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
23
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
41
𝑨
𝐁 𝐂
𝑨 𝐃
𝐂
X○ X
○
𝑨
𝐁 𝐂
𝑨 𝐃
𝐂 A S A
A A
S
31
從上面的操作及證明可以知道△ABC≅△CDA,所以 AB =CD 、 BC = DA 。而在平行四邊形 ABCD 中, AB 與 CD 、 BC 與 DA 分別是對邊 關係,這也說明平行四邊形的另一個性質:兩組對邊分別等長。
從上面的操作及證明可以知道△ABC ≅△CDA,其中∠B 和∠D 是對 應角、∠1 和∠4 是對應角、∠2 和∠3 是對應角,兩全等的三角形對應角 會相等,所以∠B=∠D、∠1=∠4、∠2=∠3。
而在平行四邊形 ABCD 中,∠B 與∠D、∠A 與∠C 分別是對角關係:
∠B=∠D 已經確定了,那∠A 與∠C 呢?因為∠1=∠4、∠2=∠3,所 以∠A=∠1+∠3=∠2+∠4=∠C。這也說明平行四邊形的第三個性質:兩組 對角分別相等。
接下來我們來練習使用這三個平行四邊形的性質!
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
12 3
4
𝑨
𝐁 𝐂
△ 𝐃
○ △
○
32
例題一:如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若△ABE 面積為 12,求梯形 ABCD 面積為何?
◎解題思維:
先看四邊形 ABED, AD // BC , DE // AB ,所以四邊形 ABED 是平行 四邊形,而 AE 是對角線。
根據「對角線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形」性質,所 以△ABE 面積=△ADE 面積。
同樣地,四邊形 AECD 也是如此。
根據「對角線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形」性質,所 以△ADE 面積=△DEC 面積。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 C
𝑫
𝑬
𝑨
B 𝑪
𝑫
𝑬
33
解:
因此△ABE 面積=△ADE 面積=△DEC 面積=12,
梯形 ABCD 面積=△ABE 面積+△ADE 面積+△DEC 面積=12+12+12=36
例題二:如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若 AD =5,求 BC =?
◎解題思維:給的資訊是 AD =5,要求 BC 。
BC = BE + EC ,也就是求出 BE 和 EC ,就可以算出 BC 。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬 𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝟓
34
解:如同例題一所討論的, AD // BC 而且 DE // AB ,所以可以知道四邊 形 ABED 就是一個平行四邊形,先只看平行四邊形 ABED:
根據「平行四邊形的兩組對邊分別等長」性質,所以 BE = AD =5。
此外,如同例題一所討論的, AD // BC 而且 AE // CD ,所以也可以知道 四邊形 AECD 也是一個平行四邊形,只看平行四邊形 AECD:
根據「平行四邊形的兩組對邊分別等長」性質,所以 EC = AD =5。
因此 BC = BE + EC =5+5=10。
𝑨
𝐵 C
𝑫
𝑬 𝟓
𝑨
𝑩 C
𝑫
𝑬
𝟓
35
例題三:如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若∠B=73°,∠C=51°,求∠AED 的度數為何?
解:題目給的條件是∠B=73°,∠C=51°,要求∠AED 的度數。
同樣的,四邊形 ABED 就是一個平行四邊形,先只看平行四邊形 ABED:
根據「平行四邊形的兩組對角分別相等」性質,所以∠ADE=∠B=73°。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩
𝑫
𝑬 73°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
73° 51°
36
四邊形 AECD 也是一個平行四邊形,只看平行四邊形 AECD:
根據「平行四邊形的兩組對角分別相等」性質,所以∠EAD=∠C=51°。
要求∠AED 的角度,可以再看一下△AED。
當中知道了∠ADE=73°、∠EAD=51°,所以∠AED=180°−73°−51°=56°。
例題四:如圖,平行四邊形 ABCD 中,∠A=x°、∠B=(4x+2y)°、
∠C=2y°,求 x、y 的值。
𝑨 𝑫
𝑬 51° 73°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
73° 51°
51° 73°
𝑨
𝑪 𝑫
𝑬
51°
𝑨
𝑪 𝑫
𝑩
37
◎解題思維:
在平行四邊形中,∠A 與∠C 是一組對角,而「平行四邊形的兩組對 角分別相等」。另外,∠A 與∠B 是一組同側內角,它們有何關係呢?
解:
平行四邊形 ABCD 中,∠A 是∠C 的對角,根據「平行四邊形的對 角相等」,所以∠A=∠C。
平行四邊形 ABCD 中,∠A 與∠B 是一組同側內角,因為對邊平行,
所以∠A+∠B=180°。
{∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°:
∠𝐴 = ∠𝐶:
𝑥° + (4𝑥 + 2𝑦)° = 180°
𝑥° = 2𝑦°
⇒
{𝑥 + (4𝑥 + 2𝑦) = 180𝑥 = 2𝑦
⇒
{5𝑥 + 2𝑦 = 180‥
(1) 𝑥 = 2𝑦‥‥‥
(2) 將(2)式代入(1)式:5×2y+2y=180⇒12y=180⇒y=15 代回(2)式:x=2×15=30下一個要介紹的平行四邊形特性會跟兩條對角線有關。
右下圖為平行四邊形 ABCD,兩條對角線為 AC 、 BD ,這兩條對角線 有什麼關係呢?各位同學拿剪刀將附件二的平行四邊形 ABCD 剪下來,再 沿著對角線剪開。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 1 𝑶
2 3
4
38
剪開後會有四個三角形
平行四邊形 ABCD 中,兩條對角線為 AC 、 BD 。
在之前證明過,對角線 AC 會將平行四邊形 ABCD 形成兩個全等的三 角形△ABC 跟△CDA:
所以 AB = CD 、∠1=∠4。
再畫另一對角線 BD 會與 AC 交 O 點,主要看△AOB 和△COD 兩個三 角形:
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑶
1 2 3
4 𝑩
𝑶 𝑶
𝑨 𝑫
𝑶
𝑪
𝑨
𝑩 𝑪
𝑶 𝑫 1
2 3 4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
14
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 1 𝑶
2 3
4
39
∠2 和∠3 為對頂角,所以 ∠2=∠3。
AB = CD 、∠1=∠4、∠2=∠3,在△AOB 中, AB 是∠1 的鄰邊;在
△COD 中,CD 是∠4 的鄰邊。所以根據 AAS 全等性質,△AOB≅△COD。
兩個全等的三角形其對應邊會相等, AO 和 OC 、 BO 和 OD 為兩組對 應邊,所以 AO = OC 、 BO = OD 。
這就是平行四邊形第四個性質:兩條對角線會互相平分。
由前面的實驗及證明可以知道△AOB≅△COD、△AOD≅△COB,也 就是△AOB 面積=△COD 面積、△AOD 面積=△COB 面積。
我們再來看△AOB 與△AOD ,過 A 點作與 BD 垂直的線 AH :
𝑨
𝑩
𝑫
X
○ 𝑶
𝑪
○
X
𝑨
𝑩
𝑶
𝑪
𝑫
S A S
A A
A
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑶 □
□
○ ○ 𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
40
△AOB 面積= BO × AH ×1
2;△AOD 面積= DO × AH ×1 2
因為平行四邊形的兩條對角線會互相平分,所以 BO = DO , 得到△AOB 面積=△AOD 面積。
因此△AOB 面積=△COD 面積=△AOD 面積=△COB 面積,
也就是平行四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD 所分成的四個三角 形△AOB、△COD、△AOD、△COB 面積會一樣。
平行四邊形的第五個性質為:兩條對角線會將平行四邊形分成四個面 積一樣的三角形。
例題五:如下圖,平行四邊形 ABCD 兩對角線交於 O 點,
若 AB =9、 BC =20、 AC =18、 BD =24,求△BOC 的周長。
𝑨
𝑩
𝑫 𝐇 𝑶
𝐂
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
41
◎解題思維:
我們將題目當中給的資訊 AB =9、 BC =20、 AC =18、 BD =24,標到圖 上:
想求的是△BOC 的周長。
△BOC 的周長= OB + OC + BC ,這當中的 BC 已經知道了。
解:
因為平行四邊形的兩條對角線會互相平分,所以 OB 是對角線 BD 的 一半、 OC 是對角線 AC 的一半。
因此 OB =1
2 BD =1
2×24=12、OC =1
2 AC =1
2×18=9,
△BOC 的周長= OB + OC + BC =12+9+20=41。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 9 𝑶
20 24 18
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
42
例題六:如下圖,平行四邊形 ABCD 兩對角線 AC 與 BD 交於 O 點,
若△BOC 面積=39,求平行四邊形 ABCD 的面積。
解:因為△AOB 面積=△BOC 面積=△COD 面積=△DOA 面積=39,所以 平行四邊形 ABCD=4×39=156。
重點提問
1.根據上面的課文,請問平行四邊形有哪些性質?
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
43
․隨堂練習:
1.如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若平行四邊形 ABED 面積為 48,求梯形 ABCD 面積為何?
2. 如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若 BC =18,求 AD =?
3. 如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,在 BC 上有一點 E,而且 AE // CD 、 DE // AB 。若∠B=60°,∠C=30°,求∠AED 角度為何?
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
44
4.如圖,平行四邊形 ABCD 中,∠A=x°、∠B=(4x+30)°,求 x 的值。
5.如下圖,平行四邊形 ABCD 兩對角線交於 O 點,
若 AB =3、 BC =6、 AC =6、 BD =8,分別求△BOC 和△AOB 的周長。
6.如下圖,平行四邊形 ABCD 兩對角線AC 與 BD 交於 O 點,
若平行四邊形 ABCD 面積=48,求△AOB 的面積。
𝑨
𝑪 𝑫
𝑩
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑶
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
45
還是不太懂,請看下面影片
課文(一)
https://youtu.be/vOmtjhYY75M
例題四+更多例題
https://youtu.be/L9zbuPZI7N4
例題五、六
https://youtu.be/fofz0uvE6mg
更多例題
https://youtu.be/xtoLHJSfmS0
附件一
附件二
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
12 3
4
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 1 𝑶
2 3
4
46
課文B: 平行四邊形的判別性質
什麼是平行四邊形的判別性質呢?就是當一個四邊形我們不知道它 是不是平行四邊形的時候,我們可以利用這些性質來判別它是不是平行四 邊形。
當我們拿出兩雙筷子,這兩雙筷子不一定要一樣長,也可以一雙較長 的、一雙較短的。再用這兩雙筷子來圍出一個四邊形,而且同一雙筷子要 互為對邊。圍出四邊形後,可以觀察看看這種四邊形有什麼特別的地方。
因為這個四邊形的對邊是同一雙筷子,所以這兩雙筷子所圍出來的四 邊形就是兩組對邊等長的四邊形,而這種四邊形會是平行四邊形嗎?我們證 明看看!下圖中, AB = CD 、 BC = DA :
我們想證明這個四邊形 ABCD 是否為平行四邊形,就要證明是否 AB // CD 且 BC // DA 。
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
47
先連接 AC , AC 將 ∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4:
因為 AB = CD、BC = DA,而且共用邊 AC = AC,根據 SSS 全等性質,
所以△ABC≅△CDA,可得∠1=∠4 且∠2=∠3。
如下圖,因為∠1=∠4,所以 AB // CD;因為∠2=∠3,所以 BC // DA 。
因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這就是平行四邊形的判別性質之一:如果四邊形有兩組對邊等長,那 麼這四邊形必為平行四邊形。
例題一:判斷下列四邊形是否為平行四邊形。
(1) (2) (3) (4)
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃 𝟏
𝟐 𝟑
𝟒
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃 𝟏
𝟒
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
𝟐 𝟑
48
◎解題思維:
這題給的四個選項都是給四邊形的四個邊,所以可以依據「四邊形有 兩組對邊等長,則此四邊形必為平行四邊形」的性質來判別。
解:(1)這個四邊形的四邊都是 6,當然兩組對邊是等長的,所以這個四 邊形是平行四邊形。
(2)這個四邊形的兩組對邊 6 與 7 都不等長,所以這個四邊形不是平行四 邊形。
(3)這個四邊形的兩組對邊等長,一對都是 6,一對都是 7,所以這個四邊 形是平行四邊形。
(4)這個四邊形的只有一組對邊 6 與 7 都不等長,所以這個四邊形不是平 行四邊形。
同樣我們先來想一個情境,下圖中有 2 根紅色的扣條,這 2 根紅色的 扣條長度一樣而且平行:
以直線連接扣條的兩端而形成一個四邊形:
這一個四邊形會是一個平行四邊形嗎?
49
當扣條左右平移時仍然會是同樣的四邊形嗎?
四邊形命名為四邊形 ABCD:
DA // BC 而且 DA = BC ,因此這個四邊形 ABCD 就是一個有一組對邊
等長且平行的四邊形。既然已經知道一組對邊平行了,如果另外一組對邊 也平行,那麼這個四邊形就是一個平行四邊形。
先連接 AC , AC 將∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4:
因為 BC = DA ,且 AC = AC ,又 DA // BC , AC 為其截線,所以
∠2=∠3,根據 SAS 全等性質,可得△ABC≅△CDA,故∠1=∠4。
A
B C
D
A
B C
D 1
2 3
4
50
前面已經說明過,此時 AB // CD 且 BC // DA ,因此四邊形 ABCD 為一 個平行四邊形。
這也是平行四邊形的判別性質之一:如果四邊形有一組對邊等長且平 行,那麼這四邊形必為平行四邊形。
例題二:如圖,四邊形 ABCD 中, AB // CD , BE = CD ,∠D=130°,
∠BEA=50°。請證明四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
◎解題思維:
已知 AB 與 CD 平行,再觀察 AB 與 CD 有沒有等長,如果 AB // CD 而且 AB = CD ,就可以根據「四邊形有一組對邊等長且平行,則這四邊形為平
行四邊形」的性質來判別。
解:因為 AB // CD ,所以∠A+∠D=180°。∠D=130°,因此∠A=50°。
可以知道△ABE 為一個等腰三角形,兩腰 AB = BE 。 50° 130°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑬 𝑫
50° 130°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑬 𝑫 50°
51
已知 BE = CD ,得 AB = CD ,且 AB // CD ,所以四邊形 ABCD 為平行 四邊形。
下圖有兩個不同大小的圓,圓心都在同一點。
先在小圓上找出一條直徑 AC 後,接著在大圓上找出另外一條與小圓 直徑不重合的直徑 BD 。最後以這兩條直徑 AC 、 BD 作為對角線,形成四 邊形 ABCD。這個四邊形 ABCD 會是平行四邊形嗎?
對角線 AC 將∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4:
𝑨 50°
𝑩 𝑪
𝑬 𝑫 50°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑶
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃 𝟏
𝟐 𝟑
𝟒
52
先看△AOB 與△COD 這兩個三角形:
因為 OA= OC 、 OB = OD ,∠AOB 與∠COD 是對頂角,對頂角相等
∠AOB=COD。根據 SAS 全等性質,△AOB≅△COD。∠1 的對應角是∠4,
所以∠1=∠4。
觀察 AB 與 CD 的關係, AC 為其截線:
截角∠1 和∠4 為內錯角,內錯角相等,所以 AB // CD 。 同理,∠3=∠2,內錯角相等,所以 DA // BC 。
因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這也就是平行四邊形的判別性質之一:如果四邊形的兩條對角線會互 相平分,那麼這四邊形必為平行四邊形。
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃 𝟏
𝟒
╳ ╳
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃 𝟏
𝟒
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝟐
𝟑
53
例題三:如下圖,四邊形 ABCD 中,兩對角線 AC 與 BD 相交於 O 點,
AH ⊥ BD 、 DG ⊥ AC ,而且AH =3、 DG =4,
△AOB 面積=△BOC 面積=△COD 面積=△DOA 面積=24。
請證明四邊形 ABCD 為平行四邊形。
解:我們要先看△AOB 與△AOD 這兩個三角形:
△AOB 面積=1
2×OB × AH ⇒ 24=1
2×OB ×3 ⇒OB =16
△AOD 面積=1
2×OD × AH ⇒ 24=1
2×OD ×3 ⇒OD =16 所以 OB = OD =16。
再看△DOA 與△DOC 這兩個三角形:
△DOA 面積=1
2× OA × DG ⇒ 24= 1
2× OA ×4 ⇒OA=12
△DOC 面積=1
2× OC × DG ⇒ 24= 1
2× OC ×4 ⇒OC =12
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝑯 𝑮
𝑨
𝑶 𝐂
𝐃 𝑮
𝑨
𝐁 𝑶
𝐃
𝑯
54
所以 OA= OC =12。
因為 OB = OD 、 OA= OC ,四邊形的兩條對角線會互相平分,
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
下圖四邊形 ABCD 中,兩組對角相等,∠A=∠C、∠B=∠D:
想證明這個四邊 ABCD 是平行四邊形,就要證明 AB // CD 而且 BC // DA 。 我們知道四邊形內角和為 360°,∠A+∠B+∠C+∠D=360°。又因為
∠A=∠C、∠B=∠D,所以∠A+∠B=180°,而且∠A+∠D=180°。
觀察 DA與 BC 的關係, AB 為其截線:
截角∠A 和∠B 為同側內角,∠A+∠B=180°同側內角互補,所以 DA // BC 。 再觀察 AB 與 CD 的關係, DA 為其截線:
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
╳
○
○
╳
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
55
截角∠A 和∠D 為同側內角,∠A+∠D=180° 同側內角互補,所以 AB // CD 。因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這也就是平行四邊形的判別性質:如果四邊形的兩組對角會相等,那 麼這四邊形必為平行四邊形。
例題四:如下圖,四邊形 ABCD 中,∠A=∠C,∠D=60°,∠1=50°,
∠2=70°,則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形?原因為何?
◎解題思維:
已經知道一組對角∠A、∠C 相等了,再看看另外一組對角∠B、∠D 有沒有相等。
解:
△BEF 中,∠1=50°、∠2=70°,
所以∠B=180°−50°−70°=60°,得∠B=∠D。
根據平行四邊形的判別性質:「四邊形的兩組對角相等,則此四邊形為平 行四邊形」,四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
𝟐 𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝟏 𝐄
𝐅
56
重點提問
1.根據上面的課文,請問判別平行四邊形的性質有哪些?
2.連連看,找出判別下列各四邊形 ABCD 為平行四邊形的方法:
AB = CD , BC = DA
․ ․兩組對邊分別等長
∠A=∠C,∠B=∠D
․ ․一組對邊平行且等長
AO = OC , BO = OD
․ ․兩組對角線互相平分
AD//BC , AD = BC
․ ․兩組對角分別相等
57
․隨堂練習:
1.如圖,四邊形 ABCD 中, AH ⊥ BC , AB = CD =5, AD = AH =4,
HC
=1。則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形?原因為何?2.如圖,四邊形 ABCD 中,∠A=∠ABE=65°,∠EBC=50°,
BE
+ ED = BC 。 則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形?原因為何?3.如圖,四邊形 ABCD 中,兩對角線AC 與 BD 相交於 O 點,
△ABC 面積=△BCD 面積=△CDA 面積=24。則:
(1) 請問
AO
與OC
是否等長?(2) 請問
BO
與OD
是否等長?(3) 則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形?原因為何?
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑯
65°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑬 𝑫
50°
65°
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
58
4.如下圖,四邊形 ABCD 中,∠B=∠AEB=∠EAD=∠D=45°,∠C=135°,
則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形?原因為何?
還是不太懂,請看下面影片 平行四邊形判別性質
https://youtu.be/Sf-G8NjTCd8
更多例題
https://youtu.be/pyKifWPc_1U
更多例題
https://youtu.be/AIkl0YDEeQI
更多例題
https://youtu.be/-pDRPddoq7o