考 試 別: 國家安全情報人員 等 別: 三等考試

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100 年公務人員特種考試民航人員、外交領事 人員及國際新聞人員、國際經濟商務人員、

法務部調查局調查人員、國家安全局國家安 全 情 報 人 員 及 社 會 福 利 工 作 人 員 考 試 試題

代號:60930

考 試 別: 國家安全情報人員 等 別: 三等考試

類 科 組: 數理組 科 目: 數論

考試時間: 2 小時 座號:

※注意: 禁止使用電子計算器。

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

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一、求出四組滿足方程式

35x+55y+77z =1

的整數解 (

x

,

y

,

z

) 。(20 分)

二、求 同 時 滿 足 下 列 條 件 的 最 小 正 整 數

n

2

n

為 完 全 平 方 數 ( 即

m2

的 形 式 ) ,

3

n

為完全立方數,且

5

n

為完全五次方數。(20 分)

三、證明:

1 1 1

) 1 ( 3 2

1 2 1

1

0 ⎟⎟ = +

⎜⎜ ⎞

⎛ + + −

⎟⎟ −

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

− ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

n n n n

n n

n n

L 。此處

)!

(

!

! i n i

n i

n

=

⎟⎟

⎜⎜

1

0⎟⎟ =

⎜⎜

⎛n

為二

項係數。(20 分)

四、求所有小於 36 的正整數 ,使得 36 整除

n n9 +n6 +n3 +1

。(20 分)

五、任給兩個大於 1,且為互質的正整數

a,b

。試證:(20 分)

ab

a

b

不可能寫成

a

x

+

b

y

的形式,其中

x,y

為非負整數。

任意比

ab

a

b

大的整數都可以寫成

a

x

+

b

y

的形式,其中

x,y

為非負整數。

【例如:

a = 3

b

= 5 ,則 7 無法寫成

3x +5 y

的形式,其中

x,y

為非負整數﹔但

, ,

5 3

8= + 9 =33 10= 25

11= 23+5

…。事實上,任意比 7 大的整數都可以

寫成

3x+5 y

的形式。】

數據

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參考文獻

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