香港中學文憑 – 數學科 必修部份 非基礎課題 v1.2
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3.4. 理解指數函數與對數函數的性質及認識其圖像的特徵
（Understand the Properties of Exponential Functions and Logarithmic Functions and Recognise the Features of their Graph）
3.4.1. 指數函數的性質及圖像
l 指數函數係 a
xn 當中 a 為實數；x 為變量（即變數）
n 例子： 2
xn 定義域係 −∞ < < ∞ （∞＝無限大）
u 即“所有實數”
l 指數函數嘅圖像係 y = a
xn 右面圖中就有三個例子：
u y = (1/2)
x；y = (1.5)
x； y = 2
x；
l 要明白同理解“指數函數嘅圖像”個樣其實唔太 難，只要明白幾點就 ok：
n 無論 a 等於咩都好，a
0永遠等於 1（即 a
0=1）。
u 所以當 x=0 時，y = a
0= 1。即所有指數函數嘅圖像都會通過 (0, 1)依點。
n 先假設 x 係正整數，咁 a
x就等於“a 自己乘自己幾多次”（例如 a
3= a x a x a）。
u 當 a > 1 嘅時候，a 自乘次數越多，個數就會越大。
l 所以對 y = (1.5)
x同 y = 2
x兩幅圖嚟講，當 x 增加時，y 亦會增加。
u 當 0 < a < 1 嘅時候，a 自乘次數越多，個數就會越細。
l 所以對 y = (1/2)
x幅圖嚟講，當 x 增加時，y 會減少。
Ø 所以當 x 好大嘅時候，y 會好接近 0。
² a < 0 依種情況係唔會考嘅！
n 當 x 係負數嘅時候，y = a
負數值=
正數值。所以根據上面嗰點：
u 當 a > 1 嘅時候，負數值越負，a
正數值會越大，即
正數值會越接近 0。
u 當 0 < a < 1 嘅時候，負數值越負，a
正數值會越接近 0，即
正數值會好大。
n 另外比較圖像 y = (1.5)
x同 y = 2
x，大家會發覺 y = 2
x嘅圖樣係升得快過 y = (1.5)
x嘅。
u 依個其實好易理解。a
x等於“a 自乘幾多次”，所以當 x 增加 1 嘅時候：
l 對 y = (1.5)
x嚟講只係“乘多一個 1.5”
l 但對 y = (2)
x嚟講就“乘多一個 2”。更係大得快 d 啦！
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3.4.2. 對數函數的性質及圖像
l 對數函數係 log
ax
n 當中 a 為實數；x 為變量（即變數）
n 例子： log
2x
n 定義域係 0 < < ∞ （∞＝無限大）
u 即“所有正數”
l 對數函數嘅圖像係 y = log
ax n 右面圖中就有三個例子：
u y = log
2x （藍色線）；
y = log
5x （紅色線）；
y = log
10x （綠色線）
l 要明白同理解“對數函數嘅圖像”個樣其實 唔太難，只要明白幾點就 ok：
n 無論 a 等於咩都好，a
0永遠等於 1（即 a
0=1）。
u 所以當 x=1 時，y = log
a1 = 0。即所有對數函數嘅圖像都會通過 (1, 0)依點。
n 因為 log
aa = 1，而 log
aa
n= n (log
aa) = n。所以例如對 y = log
2x 嚟講：
u 當 x=2 時，y = log
22 = 1； 當 x=4 時，y = log
24 =log
22
2= 2 當 x=8 時，y = log
28 = log
22
3= 3。
所以 y = log
2x 嘅圖會經過 (2, 1)、(4, 2)、(8,3)、(16,4)等點。
n 而對 y = log
10x 嚟講：
u y = log
10x 嘅圖會經過 (10, 1)、(100, 2)、(1000,3)、(10000,4)等點 u 大家可以見到 y = log
2x 嘅圖樣係升得快過 y = log
10x 嘅
n 用計數機計“一個負數嘅 log”係會“maths error”嘅！
u 咁係因為 log
ax 嘅定義域係 0 < < ∞ u 所以對數函數嘅曲線係唔會喺 y-軸左邊嘅
3.4.3. 指數函數的圖像及對數函數的圖像對稱於 y=x
l 喺右邊有三個圖像：
n y = x （綠色線）
n y = 2
x（藍色線）
n y = log
2x （紅色線）
l 依個就係喺“課程指引”入面所講嘅“y=a
x與 y = log
ax 對稱於 y = x”
n 即係好似當條綠色線係塊鏡咁將幅圖反射。
²
