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指數函數作業解答:
1. 在同一座標平面上,繪出下列各函數
y
= ,3x 1 3x
y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ,
y
=4x, 1 4x
y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 之圖形。
解:
y = 3^x y = 4^x y = 4^(-x) y = 3^(-x)
2. 計算下列各值:
(1)
( 128) −
37= − ( ) 2
7 37= − = − 2
38
(2)
2 3
2 3
3 3 6 2 2 9 2 5
3 2
6 2 4 3 3
27 64 3 2 3 2 3 2 288
64 25 2 5 2 5 5 125
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(3) (23−3 )2 117 = −
(
8 9)
117 = −( 1)117 = − 1(4)
( ) ( )
3
2 4 2 3 3
2 3
3 3 2 2
3
1 1
27 8 9 16 5 5
5 125
− − − −
⎛ ⎞
+ = + = = = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5)
2
3
5 1 5 = 5 (6)
4 4
2 3 3 3
2 2
π π π
π
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7)
1.2 2.7
1.2 2.7 4.1 0.2
4.1 0.2
(3 )(3 ) 1
3 3
3 3
+ − −
= = =
(8)
1 2
1 2
4 4 3 3 2
4 3
4 3 2
16 125 2 5 2 5 2 4 8
81 8 3 2 3 2 3 25 75
− − −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = × =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. 化簡下列各式:
2
(1)
3
1 2 1
3 2
x x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟⎝ ⎠
(2)
3
2 4 1
3 2
1 2
x x
1x
− −
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3)
0
1 1 1
2 3 6 3 2
( ) 1
( )
x y
x y x y
+ = ,其中
x
+ ≠y
0(4) (
x y
1.1 2)(x
2+y
3 0) =x y
1.1 2,其中x
2+y
3 ≠ 0 (5)(
3)
23 3 23 73 73
2
x
3x
6x
6x
6x
− + −
− ⎛ ⎞ −
− ⎜ ⎟= − = − =
⎝ ⎠
(6)
2 3 2 3 1
3 4 3 4 12
x
−x x
− +x
⎛ ⎞⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
4. 求解下列各方程式:
(1) 3 2x 2x =144
解:3 2x 2x =144⇒3 4x x=144⇒12x =122 ⇒ =
x
2 (2)1 3
4 8
2
x x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 解:
3
2 3 3
4 1 8 2 2 8 2 2 3 3
2
x
x x x x
x x
− −
⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = −
⎜ ⎟⎝ ⎠
(3) (3.2)2x−3 =(3.2)2−x
解: 2 3 2 5
(3.2) (3.2) 2 3 2 3 5
3
x x
x x x x
− = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
5. 如果投資 5000 元,年利率為 10%,按照下列方式複利,試求 10 年後的複利終值。
a. 每年複利
解:
S
=5000(1 0.1)+ 10 ≈12968.71 b. 每半季複利解:
0.1 20
5000 1 13266.49
S
= ⎛⎜⎝ + 2 ⎞⎟⎠ ≈c. 每日複利(以 365 天計算) 解:
0.1 3650
5000 1 13589.55
S
= ⎛⎜⎝ +365⎞⎟⎠ ≈d. 連續複利
3
解:
S
=5000e
(0.1)(10) ≈13591.416. 若投資某一產業 20 年後的期望本利和為 20000 元,假設年利率為 7%,則在一開始將投資 多少元?
解:假設在一開始將投資 P 元,則
(0.07)(20)
20000=
Pe
⇒ ≈P
4931.94 7. 某一國家在 t 年後的人口數為P t
( )=50e
0.02t百萬人。a. 請問現在的人口數為何?
解:
P
(0)=50e
0 =50百萬人。b. 請問在 30 年後的人口數為何
解: