3.1 梅文鼎之《勾股舉隅》

(1)

第 3 章《勾股淺述》所參書籍之勾股術

根據羅士琳《疇人傳續編》對梅沖的描述：「其所著之勾股淺述蓋本徵君勾股舉隅而詳明之，并雜取算法統宗難題數則，附列於後，期便初學。」¹可知梅沖《勾股淺述》主要的參考來源為其高祖父梅文鼎之《勾股舉隅》、以及《算法統宗》；而由梅沖〈《勾股淺述》自序〉所云：「《御製數理精蘊》言勾股者反復探索，依題集解，間參取他書，竝約其精要輯為一編。」²可見梅沖對《御製數理精蘊》中之勾股術亦有研究。本章將針對梅沖可能參考之上述書籍作一概要的說明。當然，梅沖所參考之《算法統宗》是否即為其祖父梅瑴成增刪後的版本；又

《御製數理精蘊》對《勾股淺述》一書的影響之跡，亦是本節所應討論的，故另置一小節。

3.1 梅文鼎之《勾股舉隅》

《勾股舉隅》為《梅氏叢書輯要》之卷十七，係梅瑴成根據梅文鼎舊稿整理而成。³其實，梅文鼎生前所訂的《勿庵曆算書目》中，並無《勾股舉隅》一書。

而魏荔彤所刻的《梅勿庵先生曆算全書》內，與此書有關者有《勾股闡微》四卷：

卷一「勾股正義」為梅文鼎弟子楊作枚所著；而卷二「勾股積求勾、股、弦」、

卷三「用勾股解《幾何原本》之根」、卷四「勾股測量」和「幾何增解」則為梅文鼎不同時期所完成。誠如 2.1.1 所言，梅瑴成認為該《梅氏曆算全書》「仇校編次不善」，⁴故於乾隆二十四年（1795 年）開始編校《梅氏叢書輯要》。⁵

梅瑴成於《梅氏叢書輯要》〈凡例〉云：

《句股闡微》四卷，《闡微》之名係楊學山所撰，其第一卷楊書也，亦去之；

其第二卷至第四卷今編為《句股舉隅》及《幾何通解》各一卷。⁶

1 引自羅士琳，《疇人傳續編》卷五十，頁 676－677。

2 引自梅沖，〈《勾股淺述》自序〉，頁 1a-1b。

3 參見劉鈍，〈勾股舉隅、幾何通解提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》第四分冊，

頁 431。

4 引自梅瑴成，《梅氏叢書輯要，凡例》。

頁 431。

6 引自梅瑴成，《梅氏叢書輯要，凡例》，頁 10b。

(2)

亦即將楊作枚所編《勾股闡微》的卷二、卷四的「勾股測量」合為《勾股舉隅》

一卷；將卷三與卷四之「方斜較求原方」和「切綫角與圓內角交互相應」二者合為《幾何通解》。這就是《勾股舉隅》和《幾何通解》的來歷。⁷梅文鼎認為中國古代的勾股術就是西學中的幾何，《勾股舉隅》和《幾何通解》兩書反應了他的這一個觀點。梅沖《勾股淺述》便是以前者為本而詳明之，故以下只詳述《勾股舉隅》一書。

《勾股舉隅》卷前有梅瑴成的小序，⁸說明勾股名義「肇見於周髀算經」，勾股之大用則在「偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠者」，且不論是中國古時的「劉徽、祖沖之之割圓以求密率」，或「西人六宗以求八線」，都是精義入神，

但兩者均不能「外勾股以立算」。此外，他也提及了勾股之相求，有「勾、股、

弦、積」四端，以勾股弦三者則可相併相減以生和較，雖然參伍錯綜、五花八門，

但只要「知其二，即可以得其餘」。最後，梅瑴成認為其祖梅文鼎創作《勾股舉隅》的用意在「略舉數端，以示途徑」，學習者若欲由此而深造亦可也。

梅瑴成的小序之後為《勾股舉隅》的主要內容，以「和較名義」開場，除了勾、股、弦三者之外，列出 14 個名目及說明，隨後列出和較互求的變化與關係式 40 條，共 78 種，詳見附錄二。其次，以兩幅「弦實兼勾實股實圖」來證明勾股定理，⁹此為《勾股舉隅》的主要成就之一，梅文鼎於此的論說的根據是「出入相補」原理，或稱「圖驗法」。¹⁰現有的文獻來看，梅文鼎的證明是繼劉徽和趙爽之後，中國數學家留下對勾股定理的最早證明（詳見第 4 章）。¹¹梅文鼎生前未曾讀到完整的《九章算術》及劉徽注，但是，他的論證過程與劉徽的思路頗相契合。後來李銳、李潢，以及華衡芳等人刻意恢復劉徽的原證而設計出各式各樣的「青出朱入圖」，應該說是受到了梅文鼎的啟發。¹²

《勾股舉隅》於勾股定理證明之後的內容，可分為兩部分，一是勾股算術，

即算法；一是勾股測量，即量法，前者共列 13 問；後者則為 6 問。於問題的陳

頁 431。

8 本段引文主要引自梅瑴成，《勾股舉隅》小序，收入《梅氏叢書輯要》卷十七，頁 1a-1b。

9 雖言證明，然而若以西方嚴謹的標準視之，梅文鼎利用出入相補原理之論述，恐怕只能說是「說明」，筆者於此保留劉鈍、郭書春兩位作者原文中之論調，以示尊重。

10 參見劉鈍，〈梅文鼎〉，收入杜石然主編《中國古代科學數學家傳記》，頁 1034。

11 同上註。

12 參見劉鈍，〈勾股舉隅、幾何通解提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》第四分冊，頁 431-432。

(3)

述上，慣以「假如」為問題之首、「法」為解題之算法、「論曰」則為證明。若有他法，則列「又法」及「論曰」，部分題目則有「又簡法」，亦即速算法。此外，

全書的每個問題幾乎皆附上相關圖形以利出入相補原理之說明。

勾股算術是傳統數學的重要篇章，歷代學者數有創見，梅文鼎也頗多心得。

13他注意到只要知道「勾、股、弦、勾股積」四個獨立條件中之二，即可知其它。

並列出 13 個互求相關問題：「勾股求弦、勾弦求股、勾股積與弦求勾股、勾股積與勾股和求勾股、勾股積與弦較較求諸數、勾股積與弦較和求諸數、勾股積與弦和較求諸數、勾股積與弦和和求諸數、勾股和股弦和求諸數、勾股較股弦較求諸數、勾股較弦和和求諸數、勾股較弦和較求諸數、弦與勾股和求勾股用量法」。其中，已知勾股較與弦和和（弦弦較）、勾股積與弦和和（弦和較）、勾股積與弦較和（弦較較）求其他元素的這六種類型問題的算法，為梅文鼎首創用。

在這十三個題目的證明中，他使用了下列恆等式：¹⁴

S c a

b

) 4

( + ²− ² = (1)

2

2 8 ( )

)

(

b

+

a

−

S

=

b

−

a

(2)

S

a b c a b c c

c a b c a b a b

c a b c c a b

a b c a b a

b c

4 )]

( [ )]

( [ 2

] ) [(

] ) )[(

( 2

] ) [(

2 ] ) [(

)]

( )[

( 2 )]

( [

2 2 2

2 2

=

− +

−

− +

=

+ +

− + + +

=

+ +

− + +

=

− +

−

− +

(3)

S

a b c a b c c

c a b c a b a b

c a b c c a b

a b c a b a

b c

4 )]

( [ )]

( [ 2

] ) [(

] ) )[(

( 2

] ) [(

2 ] ) [(

)]

( )[

( 2 )]

( [

2 2 2

2 2

=

−

=

− +

−

− + +

=

− + +

− +

=

−

− +

−

(4)

S

c a b c a b

a b c a b c

4 ] ) ][(

) [(

)]

( )][

( [

=

+ +

− +

=

+ + +

−

(5)

其中(1)、(5)為關鍵，其它式均可推至(1)、(5)，誠如 3.2.2 節所述，梅文鼎稱(5)

13 參見李迪，郭世榮，《清代著名天文數學家》，頁 134。

14 此恆等式為參引李迪，郭世榮，《清代著名天文數學家》，頁 135 之內容。

(4)

式「乃立法之根也。而其理皆具古圖中，學者所宜深玩」，且「欲明加減用四勾股之理，當觀古圖」，¹⁵即趙爽注《周髀算經》之「勾股圓方圖」（見圖 4.2.2）。

上述的 13 個問題中，除第 13 個用圖解外，其餘都是利用(1)～(5)式得出解答。¹⁶ 第 13 個問題「弦與勾股和求勾股」，其圖如下：¹⁷

A D C B

E S’

N

R

M

T

U H S

H’

A D C B

E S’

N

R

M

T

U H S

H’

圖 3.1.1 「弦與勾股和求勾股」附圖

若設 AB 為勾股和，

AC

為弦，則其圖解法可概述如下：¹⁸

(1) 作圖求解

以 A 為圓心，作弧

BN

象限弦。¹⁹

平分

AC

於 D ，再以 D 為圓心作半圓

AEC

，並作

DE ⊥ AC

。 以 E 為圓心， AE 為半徑作圓，交弧

BN

於

S

點

連接

AS

交半圓

AEC

於 H 點，則 AH 和

HC

即為勾、股。

15 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 13a。

17 本圖為筆者參考梅文鼎《勾股舉隅》中之圖形，自行繪製而成。

18 以下之圖解法內容主要參見李迪，郭世榮，《清代著名天文數學家梅文鼎》，頁 149。

19 象限弦即四分之一圓。

(5)

(2) 證明

∵∠

AHC

為直徑

AC

上的圓周角

∴△

AHC

為直角△，其 AH 為股、

HC

為勾、

AC

為弦。

通過各種變換利用圓弧與圓周角可得：

MCS ASC ≅ Δ

Δ

（AAS 全等）

因此，

Δ SHC

是等腰△

HS = HC

∴

AS = AH + HC = AB

故可利用 S 點來確定 H 點是正確的，即(1)之作圖求解無誤。

(3) 討論

∵ 半圓

AEC

中，所容勾股形以等腰

Δ AEC

為最大，且勾股和 AT 也最大。

而其它勾股形之勾股和都小於 AT 。

∴ 當弦為

AC

時，勾股和只能在

AC

和 AT （即

AU

）之間，

故在

TC

弧上總可得到

S

，且

S

必在

TC

弧上。

另，象限弧

BN

與圓

ACTR

有兩個交點

S

、

S '

，故

AH 、

'

H ' C

也是一組解。

梅文鼎除了給出求解的作圖法，並對其作圖方法作了論述，同時還討論了可行性問題以及解的個數問題。²⁰

梅文鼎處理上述十三個問題時，除了「法」，時而列出「又法」供學習者參考；並於各法之後，再以「出入相補法」證明之。這些公式有些曾被人證明過，

但證明所用的圖早已失傳了，例如劉徽和趙爽的：

( )

[a+b −c]²=2(c−a)(c−b)；

有些雖然曾被人提出來過，但是卻從未有過證明，例如顧應祥（1863～1565）在

《勾股算術》中提的：

(6)

( ) ( )

) ( 2

2 8

2

ab

a b b

a

+ = − +

梅文鼎先於《勾股舉隅》開頭列出「和較名義」78 種加減互換的情況，再利用對稱的方法將勾股互求問題歸結為少數幾種情況，²¹且每題都給出三或四種解法，其所做的整理工作可以說是清代數學家對於勾股和較術的第一個理論性的總結。²²

《勾股舉隅》後半卷，包括了勾股容圓問題，以及勾股測量的 6 個問題。其中，勾股容圓二問，一為「勾股容圓」，一為「測圓簡法」，後者是前者的應用，

梅文鼎於此直接計算弦和較求得容圓徑。²³勾股容方與勾股容圓均為傳統幾何的一個重要課題，勾股容方問題雖不在梅文鼎《勾股舉隅》的討論中，但於《平三角舉要》中，梅文鼎將之推至一般三角形的容方，由於此部份不在本論文的範疇中，故暫省去。

《勾股舉隅》最後討論的是有關於勾股測量的問題。其中勾股測望乃起於實際所需，有其有悠久的歷史和重大成果，《周髀算經》與《九章算術》，都有勾股測量的問題，劉徽注《九章算術》時，又編造九個題目，還原重差術。²⁴梅文鼎因無緣得見劉徽的《海島算經》，故只是通過《算法統宗》對重差術略有了解。²⁵ 而由其簡短的開場云：

因卑以知高，即近以見遠，而勾股之用於是乎神，言測量至西術詳矣，究不能外勾股以立算。故三角即勾股之變通，八線乃勾股之立成也。然三角非八綫不能御，而勾股則無藉於八綫。古書雖不盡傳，而海島量山之算，猶存什一於千百。故論測量而并錄其要，以存古意焉。²⁶

可知勾股之大用在於測量，而測量若本於勾股則無藉於八線亦可通，此即梅文鼎於《勾股舉隅》卷末并錄測量之術，以存古意之用意。勾股測量的 6 問依序

21 參見沈康身，《中算導論》，1986，上海教育出版社，頁 133，轉引自李迪，郭世榮，《清代著名天文數學家》，頁 137。

22 參見劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論文集》，頁 192。

23 參見黃清揚，《1368-1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 68。

25 《算法統宗》中有關勾股測望的問題來自楊輝的著作，僅《孫子算經》的「度影量竿」和「隔山量高」問題，後者為重差。

26 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，收入《梅氏叢書輯要》卷十七，頁 20b。

(7)

為測遠、重測、度竿量影及隔水量高四問。梅文鼎認為「隔山量高」有欠詳明，

因而針對此問做了深入的研究，先詳四表本法，再明用三表之理，除了防止古人立法之深意遭致泯滅之餘，也期學習者能明其所以然，以利深造。其此用心，實於發掘、闡揚傳統數學內容有不小貢獻。

《勾股舉隅》一書，是梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，全書中最主要成就，是對勾股定理的證明和對勾股算術算法的推廣。²⁷此外，梅文鼎也建立了一個獨特的推理模式：他從勾股定理這一基本事實出發，利用「圖驗法」證明了勾股和較術中的絕大多數公式，然後又借助這些公式推出平面幾何中有關的命題，這是他對傳統勾股術所做出的一個發展與創新。²⁸

3.2 《算法統宗》與《增刪算法統宗》

程大位，字汝思，號賓渠，安徽休寧率口人（今屬黃山市），生於明嘉靖十二年（1533），明萬曆三十四年（1606）卒，終年七十三歲。²⁹少時讀書廣泛，

對數學、詩文、書法、古文字均感興趣。20歲後在長江一帶經商，期間亦廣泛收集古今數學著作與民間演算法，遇有疑義則請教問難，從而積累了豐富的數學知識； 40歲左右回到家鄉，致力於數學研究；60歲時，根據多年的收集、研究與實踐所得，完成了《新編直指算法統宗》17卷及首篇1卷（1592）的編寫；6年後，

又將該書刪繁就簡編成《算法纂要》4卷（1598）。³⁰後者為程大位為其《算法統宗》「刪其繁蕪，揭其要領」，取其切要部份所編而成，於1598年完成並自費付梓刊行。³¹

《算法統宗》全名為《新編直指算法統宗》，是一部重要的中國傳統數學著作，其主要以《九章算術》的體例為宗，加上詳備的珠算知識，以及難題雜法，

內容十分廣泛，可說是為珠算集大成之作。其卷一至卷二為數學知識與珠算常識之介紹；卷三至卷十二依次分列方田、粟布、衰分、少廣、分田截積、商功、均輸、盈朒、方程、勾股等10類傳統演算法，構成全書主體；卷十三至卷十七則為

27 參見黃清揚，〈1368-1806 年間的勾股術發展之研究〉，頁 63。

28 參見劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論文集》，頁 193。

29 參見敦傑，梅榮照，〈程大位及其數學著作〉，收入梅榮照主編《明清數學史論文集》，頁 26。

30 參見李兆華，《中國數學史》，頁 212。

31 參見王渝生，《算學志》，收入陳美東主編《中華文化通志．科學技術典》，頁 91 頁。

(8)

公歌訣表述的各類算題、以及寫算、縱橫圖等雜法。³²書首有程大位像及贊、龍馬負圖、河圖洛書等圖；書末有「算經源流」，列舉了從北宋到明萬曆年間的數學著作書目，共五十一種，今有完整傳本者僅十九種。對於考證所佚諸書的成書年代及作者，該書目之價值在於提供了研究中國數學史的一項重要參考資料。³³ 其中，程大位對於書中卷十二〈勾股第九章〉的處理，先以一段文字、一圖、

一例給出勾、股、弦三者之意，以及本卷內容：

橫闊謂之勾，直長謂之股，兩隅斜去謂之弦。此章以勾股求弦之斜，勾弦求股長，以股弦求勾之闊，求勾容方、容圓，求山之高、水之深、城之廣、路之遠，皆可知也。³⁴

再則為勾股名義，列出生變名目13個；其後的〈勾股論說釋義〉是本顧應祥《勾股算術》篇首所書之〈勾股論說〉而來，程大位對原文作了斷句，用「○」分隔，

再加上算例，個別文字也有變動，略有增刪。³⁵主要內文為求股求弦容方等13圖、

29問，海島題解，求高求遠共5圖、7問，其內容大要如下表：³⁶ 表3.1 顧應祥《勾股算術》全書內容概要

十二卷之標題主要內容說明

勾股第九章解釋勾股的意義

勾股形圖

勾股名義勾股生變十三名

勾股論說釋義引自顧應祥《勾股算術》

勾股求弦、勾弦求股、股弦求勾共歌 2訣3問3圖求股容方容圓歌 2訣12問6圖

股別勾弦歌 1訣4問1圖

勾弦較、股弦較歌 1訣7問3圖

海島算解 2訣7問5圖

范時春《算法纂要跋》（1598年）中言：「海陽程賓渠氏，博涉群書，而尤長於數學，萬曆壬辰業已編輯《算法統宗》，用布海內，一時紙價騰貴，坊間市

32 參見李兆華，〈程大位〉，收入杜石然編《中國古代科學數學家傳記》。

33 參見李兆華，〈《算法統宗》提要〉，收入郭書書主編《中國科技典籍通彙》，頁 28。

34 引自程大位，〈算法統宗〉卷二十，頁 1a。

35 本段主要參見黃清揚，〈中國 1368-1806 年間勾股術發展之研究〉，頁 51。

36 本表引自黃清揚，〈中國 1368-1806 年間勾股術發展之研究〉，頁 51。

(9)

刊競相翻刻。」祇在短短五、六年內就競相翻刻，可見《算法統宗》於當時社會之流傳盛況。³⁷事實上，《算法統宗》為中國數學典中版本最多、印數最多、流傳最廣、影響極大的一部。³⁸正因流傳之長久、內容之廣泛與深入，為其他數學著作所不能比，故雖書中「為術類多舛錯」，³⁹仍對明末至清代中國傳統數學的繼承和普及有著深刻的影響；在中國古代數學的整個發展過程中，扮演著十分重要的重要角色。⁴⁰

《算法統宗》雖於算法上未超越前代，於勾股問題的分類上也是比較遜色的文本，⁴¹它不只代表明代數學的最高水平，也對之後的數學研究產生重要的影響，⁴²甚至到了清朝初年，《算法統宗》仍然頗為流行，梅瑴成曾於編纂《數理精蘊》時，與陳厚耀等人討論過書中的題目，並將之引入《數理精蘊》中。⁴³當時流傳的古算書很少，梅瑴成於其《增刪統宗》序云：「算學書籍散佚略盡，今所有者唯程大位汝思所集《統宗》一書，學者猶可知《九章》名目。」⁴⁴這也是梅瑴成對《算法統宗》十分關注的原因。

誠如第 2.2.2 節所言，梅瑴成曾對程大位《算法統宗》進行增刪。其實，梅瑴成從官場生活退休後，除了整理其高祖父梅文鼎之遺稿，亦對《算法統宗》的內容進行了增刪和修訂，並動員幾個兒子參加繕寫和校對工作。⁴⁵其云：「丁丑夏五林泉多暇，因取其書，重加校勘，刪其繁蕪匹，補其遺缺，正其訛謬，增其注解。蓋汰去京砂砑，精金乃見，名之曰增刪統宗。」⁴⁶乾隆二十五年（1760）

完成《增刪算法統宗》（11 卷）時，梅瑴成已 80 高齡。

梅瑴成對於《算法統宗》的刪簡、增篇、修改是多方面的，其增刪的宗旨，

於其《增刪算法統宗》的卷首給出的 13 條「凡例」，有詳細說明。⁴⁷在刪簡方面，梅瑴成以「圖書之大用，在畫卦敘疇」，然「發明九章，勿庸效尤」，因此

37 參見儼敦傑，〈《新編直指算法統宗》一書的流傳〉，收入梅榮照、李兆華主編《算法統宗校釋》，頁 3。

39 引自阮元，《疇人傳》卷三十一，頁 385。

40 參見李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，頁 220。

41 參見黃清揚，〈中國 1368-1806 年間勾股術發展之研究〉，頁 51。

42 參見《安徽文化史》編纂工作委員會，《安徽文化史》，頁 1527。

45 參見劉鈍，〈對傳統數學與西方數學的研究〉，收入吳俊主編《中國數學史大系》卷七，頁 366。

46 參見劉鈍，《梅文鼎評傳》，頁 76。

47 同上註，頁 76。

(10)

將卷首的河圖洛書、九宮八卦等象數神秘主義的內容刪除；再以「不過小術，無關大用」之由，將篇末雜法，如金蛇（彈）退瑴、一掌金、河洛縱橫數一併刪去；

48另外，亦將無重要數學內容的歌訣，如「先賢格言」刪掉；⁴⁹當然，原書中關於妄測孕婦生男生女等反科學的糟粕「尤為遊戲」，必汰之。⁵⁰此均為其堅守高祖父梅文鼎「數學者，徵之於實」的信念的作為。⁵¹

至於增加的內容，則有珠算的減法口訣以及西術三率法的論述，並將《赤水遺珍》和《數理精蘊》中已有的「已知勾股積、勾弦和、求勾、股、弦」增入書中；「算經源流」則改置書首，並作增補，主要是清初的書目。⁵²此外，亦精簡了珠算的運算口訣，還有正確地指出並修正原書中錯誤的算法。

當然，對古算的內容並未全盤了解的梅瑴成，難免會犯改正為非的錯誤。例如：⁵³其對《算法統宗》最大的增刪－對方程章的變動，他認為「方程一章，分款未清，法無畫一，沿訛襲誤」，於是，他根據梅文鼎《方程論》中的主要論述，

將《算法統宗》的方程章中的訛謬者，削去或改寫。然而，他並未發現其祖父梅文鼎對方程的論述其實未解古代「方程」的本來面目，因此不完善和錯誤之處不少。梅瑴成以其不知方程古術的認知，奉乃祖之作為圭臬，不慎將之編入《數理精蘊》，更對於《算法統宗》的方程章進行「訂正」，實為憾事。然，梅瑴成在朝為官，打著皇上的旗號，他的改編流傳很廣，⁵⁴其為增刪《算法統宗》所作的努力，亦為《算法統宗》的流傳付出了重要的貢獻。⁵⁵

綜觀全書，可發現梅瑴成所進行的增刪工作有兩點特別值得提出：其一、從

《算法統宗》於 1592 年問世以來，到梅瑴成增刪時的 150 多年中，各改編本、

刪節本雖有許多種，但觀其版本內容的變化都不大，⁵⁶而梅瑴成的增刪則徹底地改變了原樣，他所保留的內容大部份都是有用的。其二、梅瑴成的工作是非常嚴

48 參見劉鈍，《梅文鼎評傳》，頁 76-77。

53 本段主要參見劉鈍，〈對傳統數學與西方數學的研究〉，收入吳俊主編《中國數學史大系》卷七，頁 367-368。

54 梅瑴成改編的流傳很廣，計有光緒三年（1877）江南製造局刊本、光緒九年（1883）掃葉山房刊本、光緒十年（1884）京都文興堂刊本、光緒二十四年（1898）江蘇書局刊本，直到近代出現的一些坊刻本比比皆是，均出自《算法統宗》或其改編本。

(11)

肅的，從書中刪去錯誤或不恰當的說法，不留任何迷信或遊戲的內容，使其《增刪算法統宗》較程大位《直指算法統宗》更為簡潔。⁵⁷

至於梅沖所參考者，究竟為程大位之《直指算法統宗》或其祖父梅瑴成所刪增者。筆者認為，應是程大位之《直指算法統宗》。因梅沖《勾股淺述》卷前的

「例言」曾道：「《算法統宗》詳勾股之用為他書所少，而於立法之意鮮所發明又排次雜亂，殊難尋繹，茲於一法先明其理，乃以用依次附後較為明白。」⁵⁸若其參考者為其祖父梅瑴之《增刪算法統宗》，想必他不至於會其已增刪過的內容如此的批評。

3.3 《御製數理精蘊》

《數理精蘊》（1723 年刊行）是康熙皇帝欽定的律曆與數學叢書《律曆淵源》（100 卷）中的數學部份，共 53 卷。⁵⁹內容主要包括當時從西方傳入的數學知識，當然也收入有不少中國古代的問題，⁶⁰可謂一部數學百科全書。因冠上了御製的名義，故對清代的數學產生了深遠的影響，乾嘉時期數學研究高潮的興起，以及十九世紀清代數學成就的取得都與《數理精蘊》密切相關，此部書在中國數學史上佔有十分重要的地位。⁶¹

誠如 2.1.2 節言，《御製數理精蘊》編纂之時，梅瑴成擔任彙編官（相當於主編）。⁶²然而，此一巨著係以康熙名義御製，並由中外學者集體編定，故很難確定梅瑴成對於此書的貢獻佔多大的比例。⁶³幸而其於《增刪算法統宗》卷一之

「國朝算學書目」中《數理精蘊》條下所題之文字留下線索，其云：「康熙已亥

（1719 年）翰林梅瑴成等編。」可見梅瑴成在編纂過程中的確負主要責任，並實際參加編寫工作，否則他是不會這樣寫著的，⁶⁴畢竟此句將康熙敕編《數理精蘊》的功勞擅歸於己的文字，可是會招來殺頭大罪的啊！

58 引自梅沖，〈《勾股淺述》例言〉，《勾股淺述》，頁 11b。

60 同上註。

61 參見韓琦，〈《數理精蘊》提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第三分冊，頁 1。

62 參見吳文俊主編，《中國數學史大系》卷七，頁 330。

63 參見劉鈍，〈梅瑴成〉，收入杜石然主編《中國古代科學數學家傳記》，頁 1072。

64 同上註，頁 1072。。

(12)

姑且不論其參與此編寫工作的比重多寡，自幼受到家學薰陶的梅瑴成，思想觀念自然深受祖父梅文鼎的影響，因此於編寫工作時，自然而然會將其祖父之觀念融入其中。⁶⁵因此，在《數理精蘊》的許多地方，可明顯看出其受到梅文鼎著作及學術思想的影響。⁶⁶本論文之內容主要與中國傳統勾股術有關，故以下僅就

《數理精蘊》中勾股互求術與《勾股舉隅》有關的部份稍做討論。

《數理精蘊》下編卷十二、卷十三專論「勾股」，⁶⁷勾股互求部份出自梅瑴成之手，他將梅文鼎《勾股舉隅》和較相求的第 7、10、34、40 各法都置入《數理精蘊》中，詳參附錄二；又《數理精蘊》中，「勾股積與勾股弦和較相求法」

九術中有六術梅文鼎已論及，且所用公式相同，證明方法也大多一樣。另《數理精蘊》亦是採用幾何圖形變換來作為證明的依據，可見梅文鼎遺風尚在。

因其著作《赤水遺珍》中，曾提及其解「有句股積，有股弦和，求諸數」一題的心路歷程：「昔在蒙養齋彙編《數理精蘊》，苦思力索，知其須用帶縱立方，

因立法四條，載入體部中。」⁶⁸梅瑴成所云者，即下編卷二十四最後的「附勾股法四條」，⁶⁹這是一個「積求勾股」的問題。若記勾股積為

A ab

2

= 1 、勾為

a

、

股為

b

、弦為

c

，則有四個相關的問題：⁷⁰ (1) 已知 A ，

c + b

，求

a

、

b

、

c

(2) 已知 A ，

c − b

，求

a

、

b

、

c

(3) 已知

A ， c

+ ，求

a a

、

b

、

c

(4) 已知 A ，

c

− ，求

a a

、

b

、

c

以(1)為例，梅瑴成之解法如下：⁷¹

66 同上註。

67 參見李迪，梅榮照，《清代天文數學家梅文鼎》，頁 213。

68 引自梅瑴成，《赤水遺珍》，收入《梅氏叢書輯要》卷六十一，頁 21b。

71 同上註，頁 362-363。

(13)

A ab = 2

∵

∴

a

²

b

² =

(

2

A )

² 又

a

²=

c

²−

b

² =

( c

+

b )( c

−

b )

而

c − b = 2

(

c b b

+ −

2 ) 故

b (

²

c b b

+ −

2 )

( ) ( c b )

A + 2

= 2

2

……(*)

梅瑴成上述之解法在於：將已知 A，

c + b

，求

b

的問題，轉化為開帶縱立方問題。

(*)中之

( ) ( c b )

A + 2

2

²

可視為長方體之體積；

2 + b

c

視為扁立方體的高與長的和，再用帶

兩縱相同和數開立方法解

x (

²

c

+

b

−

x

2 )

( ) ( c b )

A + 2

= 2

2

，可得長方體之高

x

，亦即勾股形之股

b

。⁷²

梅瑴成覺得(*)的不易求解，故於《赤水遺珍》附上了其學生丁維烈的解法：

( )

[ ] ( ) ( )

²

2

c

+

b

2

y 　 c

+

b

= 2

A

y

。此式將梅瑴成之大長方體，改為由

( c + b )

個底為

b 、

² 高為

( c − b )

的扁立方體組合而成的大立方體，總體積為

(

2 A ，梅瑴成認為此法

)

² 較其原解更易求解。⁷³梅瑴成苦思力索而得的解法(*)一式，其實早為唐代王孝通所知，不能算是梅瑴成的創見，其真正的貢獻在於編寫《數理精蘊》時，對上述四個公式，均以「出入相補法」進行證明。⁷⁴

除了「附勾股法四條」受梅氏一族的影響之外，《數理精蘊》卷二十、卷十三的「勾股弦和較相求法上、下」中第七、十、三十四、四十三所列的各種方法在梅文鼎的《勾股舉隅》中也都有記載；「勾股積與勾股弦和較相求法」所列的九種方法中，有六種於梅文鼎的《勾股舉隅》均可見到，而且兩書所用的公式完全相同，證明方法也都是採用幾何圖形的變換法來論述。⁷⁵

72 參見劉鈍，〈對傳統數學與西方數學的研究〉，收入吳俊主編《中國數學史大系》卷七，頁 362-363。

73 同上註，頁 363。

74 參見劉鈍，〈梅瑴成〉，收入杜石然主編《中國古代科學數學家傳記》，頁 1071。

75 參見劉鈍，〈《數理精蘊》資料的來源〉，收入吳俊主編《中國數學史大系》卷七，頁 334。

(14)

此外，兩書對於「西學中源」的說法亦是一貫的。⁷⁶畢竟《數理精蘊》為康熙御製，而「西學中源」的觀點則實為康熙首提，梅文鼎只是加以闡發，指出西術所詳之測量術，究不能外勾股以立算；當然身為承繼梅文鼎之學術思想的最佳接班人－梅瑴成，亦只是完整地收納「西學中源」的說法，然後將之忠實地表露於其相關的著述中而已。然而，自康熙帝所倡至梅文鼎、梅瑴成的加以發揚光大，

讓「西學中源」一說延續上百年之久，對於整個清朝的學術成長影響甚大。

3.4 小結

梅沖《勾股淺述》所參考《勾股舉隅》、《算法統宗》、《數理精蘊》的三本著述均與梅家有關，《勾股舉隅》為其高祖父梅文鼎所著，且其《勾股淺述》一書主在詳明之；而《算法統宗》一書受到其高祖父梅文鼎的注意，更有其祖父梅瑴成為之增刪，故梅沖採列其難題於其《勾股淺述》之中。至於《數理精蘊》中的勾股古法，主要編者為梅學的忠實繼承人梅瑴成，自然會將梅家最具影響力的梅文鼎的思想體現於該書之中，欲觀兩位先人之學術觀，除《梅氏叢書輯要》之外，

《數理精蘊》亦是最佳選擇，梅沖會參酌此書亦是合理的。

總之，梅沖之所以將《勾股舉隅》、《算法統宗》、《數理精蘊》三者作為其《勾股淺述》主要參考來源，僅僅是因為此三本書籍均與梅家人有深刻的關係，就已有十分充足的理由。

76 參見劉鈍，〈《數理精蘊》資料的來源〉，收入吳俊主編《中國數學史大系》卷七，頁 334。