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:將漂白水與清水按照 1 : 99 的比例,可調配

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Academic year: 2021

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(1)

自我評量 正比 反比

(2)

在國小時我們已學過了正比,接下來 我們將透過正比的例子,複習正比的概念。例如

:將漂白水與清水按照 1 : 99 的比例,可調配

出消毒水。如下表所示:

(3)

漂白水 ( 毫公

升 ) 1 2 3 4 ……

清水 ( 毫公升 ) 99 198 297 396 ……

2 倍 3 倍 4 倍

2 倍 3 倍 4 倍

(4)

上表中我們可以發現,當漂白水的量

變為原來的 a 倍時,清水的量也跟著變為原來

的 a 倍。像這種情況,我們稱漂白水的量和清

水的量成正比。若漂白水有 x 毫公升,清水有

y 毫公升,則 x : y = 1 : 99 ,亦可將 x 與

y 的關係式寫為 y = 99x 。

(5)

1 固定速率,距離與時間的關係

小馬騎自行車,以每分鐘 0.25 公里的速率行進

,如果以 x ( 分鐘 ) 表示他騎乘的時間,以 y

( 公里 ) 表示所騎乘的距離。試分別完成下列各

題。

(6)

1 固定速率,距離與時間的關係

(1) 將正確的數填入下表:

x( 分鐘 ) 1 2 3 4 a

y( 公里 ) 0.25 0.5 0.75 1 2.5 5

10 20

0.25a

(2) 求 y 與 x 的關 係

式。

(7)

解解

(1) 因為距離=速率 × 時間,

所以 2 分鐘共行進 0.25×2 = 0.5

(公里)

3 分鐘共行進 0.25×3 = 0.75 (公 里)

4 分鐘共行進 0.25×4 = 1 (公里)

a 分鐘共行進 0.25×a = 0.25 a (公 里)

而時間=距離 ÷ 速率,

所以行進 2.5 公里需要 2.5÷0.25 = 10 ( 分鐘 )

行進 5 公里需要 5 ÷0.25 = 20 ( 分鐘 )

(2) 由上表,我們可以看出 y : x = 0.25 : 1

也可以改寫成 y = 0.25 x 。

(8)

一般來說,

當 x 值改變時, y 值也隨著改變,而且保持 y 值是 x 值的某一不為 0 的固定倍數,那麼 我們說 y 與 x 成正比 ,也可以寫成關係式 y

= kx , k≠0 。

(9)

2

正比關係

已知 y 與 x 成正比,且 x = 2 時, y =-

6 。

(1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 y = 2 時, x 是多少?

(10)

解解

(1)因為 y 與 x 成正比,所以可設 x 與 y 的關

係式為 y = kx 。

將 x = 2 , y =- 6 代入 y = kx 的 關係式可

得:

- 6 = 2k k =- 3

故 x 與 y 的關係式為 y =- 3x 。

(11)

(2) 將 y = 2 代入 y =- 3x 的關係式可得

2 =- 3x

x =- 3 2

(12)

已知 y 與 x 成正比,且 x = 5 時, y = 8 。

(1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 3 時, y 是多少?

(1) y =

x

(2)

5 8

24 5

(13)

1. 一個人的身高與其年齡是否成正比呢?說 說看你的想法。

2. 若 x 與 y 滿足關係式 x + y = 0 ,則 x 與 y 是否成正比?

(14)

由理化實驗發現:彈簧秤在彈性限度 內,如果秤 y 公斤重的物體,彈簧會被拉長 x 公分,則根據實驗可知 y 與 x 成正比,即 y

= kx ,其中 k 為彈性係數。

(15)

3

物重與伸長量的關

設一彈簧秤在彈性限度內至多可秤重 20 公斤 係

,已知秤 15 公斤重的物體時,彈簧被拉長 24

公分,則秤 9 公斤重的物體時,彈簧被拉長多

少公分?

(16)

解一解一

以兩未知數的正比關係式解題

在彈性限度內,物重為 y 公斤時,彈簧被 拉長 x 公分,

由 y 與 x 成正比可知,即 y = kx 。 已知 y = 15 時, x = 24 ,

即 15 = k×24 k = =

故可得 y 與 x 的關係式為 y = x 。 因此當 y = 9 時, 9 = x , x =

(或

14.4 )。

15 24

8 5

8 5 8 5

72 5

(17)

解二解二

以比例式解題

設秤 9 公斤重的物體時,彈簧被拉長 x 公 分,因為在彈簧秤的彈性限度內,所秤的 物重與彈簧的伸長量成正比,

所以 15 : 24 = 9 : x

15x = 24×9 x = = ( 或 14.4 )

也就是說,秤 9 公斤重的物體時,彈簧被 拉長 公分。

15 9 24 

72 5

72 5

(18)

設一彈簧秤在彈性限度內最多可秤重 35 公斤

,已知秤 20 公斤重的物體時,彈簧被拉長 2 5 公分,則秤 25 公斤重的物體時,彈簧被拉 長多少公分?

31.25 公分

(19)

美鳳帶了 120 元購買文具,可購買的 文具數量與單價之間的關係,如下表:

單價 ( 元 ) 10 20 30 40 60 ….

數量 ( 個 ) 12 6 4 3 2 ….

2 倍 3 倍

2倍 1

3倍 1

(20)

當文具的單價變為原來的 a 倍時,可 購買的數量也跟著變為原來的 倍,不管單價與 數量如何改變,單價與數量的乘積都是 120 。 像這種總金額固定時,所購買物件的單價與數量 的關係,稱為成反比。一般來說,

當 x 值改變時, y 值也跟著 x 改變,且 x 與 y 的乘積保持是一不為 0 的定值,那麼我們說 y 與 x 成反比 。也可以寫成關係式 xy = k , k

≠0 。

a

1

(21)

4 固定距離,速率與時間的關係

甲、乙兩村相距 24 公里,棟樑以每小時 x

公里的速率從甲村到乙村,所需的時間為 y 小

時。試分別完成下列各題。

(22)

4 固定距離,速率與時間的關係

(1) 將正確答案填入右表:

x ( 公里 / 小

時 ) 1 2 3 4

y ( 小時 ) 24 12 3 1.5

8 16 8 16

(2) 寫出 x 與 y 的關係 式。

(3) x 與 y 成正比或反比?

(23)

解解

(1) 因為時間=距離 ÷ 速率,

以每小時 3 公里的速率行進時,所 需的時

間為 24÷3 = 8 (小時)﹔

以每小時 4 公里的速率行進時,所 需的時

間為 24÷4 = 6 (小時)。

而速率=距離 ÷ 時間,故

花 3 小時走完全程的速率為 24÷3

= 8 (公

里/小時)﹔

花 1.5 小時走完全程的速率為 24÷1 .5 = 16

(公里/小時)。

(24)

(2) x 與 y 的關係式為 xy = 24 。

(3) y 與 x 成反比。

(25)

5

反比關係

已知 y 與 x 成反比,且 x = 2 時, y = 6 。

(1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 5 時, y 是多少?

(26)

解解

(1) 因為 y 與 x 成反比,

所以可設 x 與 y 的關係式為 xy = k 。

將 x = 2 , y = 6 代入 xy = k 得:

2×6 = k k = 12

故 x 與 y 的關係式為 xy = 12 。 (2) 將 x = 5 代入 xy = 12 得:

5×y = 12

y = 12 5

(27)

已知 y 與 x 成反比,且 x = 3 時, y =- 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 2 時, y 是多少?

xy =- 18

y

=- 9

(28)

6

反比關係

若 A 、 B 是體積相同的圓柱體,其高與底 面積

成反比。若圓柱體 A 的底面積是 9 平方公 分,

高是 16 公分,

(1) 假設與 A 、 B 體積相同的圓柱體,高 是 x 公

分,底面積是 y 平方公分,寫出 x 與 y 的關

係式。

(2) 若圓柱體 B 的底面積是 36 平方公分,

試問

它的高是多少公分?

(29)

解解

(1) 因為體積相同的圓柱體,它們的高 x 與

面積 y 成反比,所以可設 x 與 y 的關係式

為 xy = k 。

將 x = 16 , y = 9 代入 xy = k 得

: 16×9 = k , k = 144

故 x 與 y 的關係式為 xy = 144 。 (2) 將 y = 36 代入 xy = 144 得: x×36 =

144 , x = 4

所以圓柱體 B 的高是 4 公分

(30)

若 A 、 B 是面積相同的菱形,其兩條對角線 的長度成反比。若菱形 A 的一條對角線長 12 公分,另一條對角線長是 14 公分,

(1) 假設與 A 、 B 面積相同的菱形,一條 對角線

長是 x 公分,另一條對角線長是 y 公 分 ,寫

出 x 與 y 的關係式。

(2) 若菱形 B 的一條對角線長 21 公分,試 問另

一條對角線長是多少公分?

(1) xy = 168

(2) 8 公分

(31)

一天有 24 小時,分成白晝與黑夜,夏天晝 夜短,冬天晝短夜長;試問白晝與黑夜的長 長 短是否成反比?為什麼?

設白晝的時間為 x 小時,黑夜的時間為 y 小時,不論夏天或冬天,均滿足 x + y = 的關係,故白晝與黑夜的長短不是成反比。 24

(32)

1. 正比:當 x 值改變時, y 值也隨著改變,

而且

保持 y 值是 x 值的某一不為 0 的固定 倍數,則

y 與 x 成正比,寫成關係式為 y = kx , k≠

0 。

2. 反比:當 x 值改變時, y 值也隨著改變,

而且保持 x 和 y 的乘積是一不為 0 的固定 值,則 y 與 x 成反比,寫成關係式為 xy

= k , k≠0 。

(33)

3-3 自我評量

1. 已知 y 與 x 成正比,且 x = 5 時, y = 7 。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 4 時, y 是多少?

(1) y =

x

(2) y =

57 285

(34)

2. 已知物體的重量與其體積成正比,若有一個體 積是 100 立方公分的鐵塊,它的重量是

790 公 克,

(1) 若有一個體積是 x 立方公分的鐵塊 , 它的

重量是 y 公克,寫出 x 與 y 的關 係式。

(2) 試問若有一個鐵塊體積是 500 立方公分

則它的重量是多少公克?

(3) 試問若有一個鐵塊重量是 1580 公克 , 則它

的體積是多少立方公分?

(35)

(1) y = 7.9x (2) 3950 公克

(3) 200 立方公分

(36)

3. 已知 y 與 x 成反比,且 x = 3 時, y = 5 。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。

(2) 當 x = 4 時, y 是多少?

(1) xy = 15

(2) y = 15 4

(37)

4. 某種商品賣出的個數與賣出的單價的平方成 反比,如果賣出的單價定為 200 元,則可賣 出 160 個,試問若賣出的單價定為 400 元,則可以賣出多少個商品?

40 個

(38)

黑火藥配方

  黑火藥是由硫磺、木炭和硝酸鉀混合而成,

其爆炸過程的化學反應式如下:

S + C + 2KNO3 CO2 + K2S + 2NO2

硫磺 木炭 硝酸鉀 二氧化碳 硫 化鉀 二氧化氮

( 1 個硫原子、 1 個碳原子、 2 個硝酸鉀分子)

(39)

如果將最易取得的木炭分量增大,可別 認為爆炸的威力就會因此而變大,事實上,這麼 做不但無法增強爆炸的威力,甚至導致連燃燒都 有問

題!為什麼會這樣呢?原因是:比例不正確。

(40)

由於硫 (S) 、碳 (C) 、鉀 (K) 、氮 (N)

、氧 (O) 原子的重量比例為 32 : 12 : 39 : 1 4 : 16 ,由此可以算得硫磺、木炭和硝酸鉀的 最佳重量比是:

32 : 12 :〔( 39 + 14 + 16×3 ) ×2 〕 = 32 : 12 : 202

大約等於 3 : 1 : 17

(41)

換句話說,硝酸鉀占很大的比例!而 木炭的比例很小,增加木炭的分量反而會抑制其 反應。比例是化學上最重要的數學概念,事實上

,比例

在許多領域中也都占有舉足輕重的地位,例如農

業上常見的水耕法和蝴蝶蘭組織培養的配方,都

非常注重各種養分的重量比例,它們可說是成敗

的關鍵。

(42)

參考文獻

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