自我評量 正比 反比
在國小時我們已學過了正比,接下來 我們將透過正比的例子,複習正比的概念。例如
:將漂白水與清水按照 1 : 99 的比例,可調配
出消毒水。如下表所示:
漂白水 ( 毫公
升 ) 1 2 3 4 ……
清水 ( 毫公升 ) 99 198 297 396 ……
2 倍 3 倍 4 倍
2 倍 3 倍 4 倍
上表中我們可以發現,當漂白水的量
變為原來的 a 倍時,清水的量也跟著變為原來
的 a 倍。像這種情況,我們稱漂白水的量和清
水的量成正比。若漂白水有 x 毫公升,清水有
y 毫公升,則 x : y = 1 : 99 ,亦可將 x 與
y 的關係式寫為 y = 99x 。
1 固定速率,距離與時間的關係
小馬騎自行車,以每分鐘 0.25 公里的速率行進
,如果以 x ( 分鐘 ) 表示他騎乘的時間,以 y
( 公里 ) 表示所騎乘的距離。試分別完成下列各
題。
1 固定速率,距離與時間的關係
(1) 將正確的數填入下表:
x( 分鐘 ) 1 2 3 4 a
y( 公里 ) 0.25 0.5 0.75 1 2.5 5
10 20
0.25a
(2) 求 y 與 x 的關 係
式。
解解
(1) 因為距離=速率 × 時間,
所以 2 分鐘共行進 0.25×2 = 0.5
(公里)
3 分鐘共行進 0.25×3 = 0.75 (公 里)
4 分鐘共行進 0.25×4 = 1 (公里)
a 分鐘共行進 0.25×a = 0.25 a (公 里)
而時間=距離 ÷ 速率,
所以行進 2.5 公里需要 2.5÷0.25 = 10 ( 分鐘 )
行進 5 公里需要 5 ÷0.25 = 20 ( 分鐘 )
(2) 由上表,我們可以看出 y : x = 0.25 : 1
也可以改寫成 y = 0.25 x 。
一般來說,
當 x 值改變時, y 值也隨著改變,而且保持 y 值是 x 值的某一不為 0 的固定倍數,那麼 我們說 y 與 x 成正比 ,也可以寫成關係式 y
= kx , k≠0 。
2
正比關係
已知 y 與 x 成正比,且 x = 2 時, y =-
6 。
(1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 y = 2 時, x 是多少?
解解
(1)因為 y 與 x 成正比,所以可設 x 與 y 的關
係式為 y = kx 。
將 x = 2 , y =- 6 代入 y = kx 的 關係式可
得:
- 6 = 2k k =- 3
故 x 與 y 的關係式為 y =- 3x 。
(2) 將 y = 2 代入 y =- 3x 的關係式可得
:
2 =- 3x
x =- 3 2
已知 y 與 x 成正比,且 x = 5 時, y = 8 。
(1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x = 3 時, y 是多少?
(1) y =
x(2)
5 8
24 5
1. 一個人的身高與其年齡是否成正比呢?說 說看你的想法。
2. 若 x 與 y 滿足關係式 x + y = 0 ,則 x 與 y 是否成正比?
否
是
由理化實驗發現:彈簧秤在彈性限度 內,如果秤 y 公斤重的物體,彈簧會被拉長 x 公分,則根據實驗可知 y 與 x 成正比,即 y
= kx ,其中 k 為彈性係數。
3
物重與伸長量的關
設一彈簧秤在彈性限度內至多可秤重 20 公斤 係
,已知秤 15 公斤重的物體時,彈簧被拉長 24
公分,則秤 9 公斤重的物體時,彈簧被拉長多
少公分?
解一解一
以兩未知數的正比關係式解題
在彈性限度內,物重為 y 公斤時,彈簧被 拉長 x 公分,
由 y 與 x 成正比可知,即 y = kx 。 已知 y = 15 時, x = 24 ,
即 15 = k×24 k = =
故可得 y 與 x 的關係式為 y = x 。 因此當 y = 9 時, 9 = x , x =
(或
14.4 )。
15 24
8 5
8 5 8 5
72 5
解二解二
以比例式解題
設秤 9 公斤重的物體時,彈簧被拉長 x 公 分,因為在彈簧秤的彈性限度內,所秤的 物重與彈簧的伸長量成正比,
所以 15 : 24 = 9 : x
15x = 24×9 x = = ( 或 14.4 )
也就是說,秤 9 公斤重的物體時,彈簧被 拉長 公分。
15 9 24
72 5
72 5
設一彈簧秤在彈性限度內最多可秤重 35 公斤
,已知秤 20 公斤重的物體時,彈簧被拉長 2 5 公分,則秤 25 公斤重的物體時,彈簧被拉 長多少公分?
31.25 公分
美鳳帶了 120 元購買文具,可購買的 文具數量與單價之間的關係,如下表:
單價 ( 元 ) 10 20 30 40 60 ….
數量 ( 個 ) 12 6 4 3 2 ….
2 倍 3 倍
2倍 1
3倍 1
當文具的單價變為原來的 a 倍時,可 購買的數量也跟著變為原來的 倍,不管單價與 數量如何改變,單價與數量的乘積都是 120 。 像這種總金額固定時,所購買物件的單價與數量 的關係,稱為成反比。一般來說,
當 x 值改變時, y 值也跟著 x 改變,且 x 與 y 的乘積保持是一不為 0 的定值,那麼我們說 y 與 x 成反比 。也可以寫成關係式 xy = k , k
≠0 。
a
1
4 固定距離,速率與時間的關係
甲、乙兩村相距 24 公里,棟樑以每小時 x
公里的速率從甲村到乙村,所需的時間為 y 小
時。試分別完成下列各題。
4 固定距離,速率與時間的關係
(1) 將正確答案填入右表:
x ( 公里 / 小
時 ) 1 2 3 4
y ( 小時 ) 24 12 3 1.5
8 16 8 16
(2) 寫出 x 與 y 的關係 式。
(3) x 與 y 成正比或反比?
解解
(1) 因為時間=距離 ÷ 速率,
以每小時 3 公里的速率行進時,所 需的時
間為 24÷3 = 8 (小時)﹔
以每小時 4 公里的速率行進時,所 需的時
間為 24÷4 = 6 (小時)。
而速率=距離 ÷ 時間,故
花 3 小時走完全程的速率為 24÷3
= 8 (公
里/小時)﹔
花 1.5 小時走完全程的速率為 24÷1 .5 = 16
(公里/小時)。
(2) x 與 y 的關係式為 xy = 24 。
(3) y 與 x 成反比。
5
反比關係
已知 y 與 x 成反比,且 x = 2 時, y = 6 。
(1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x = 5 時, y 是多少?
解解
(1) 因為 y 與 x 成反比,
所以可設 x 與 y 的關係式為 xy = k 。
將 x = 2 , y = 6 代入 xy = k 得:
2×6 = k k = 12
故 x 與 y 的關係式為 xy = 12 。 (2) 將 x = 5 代入 xy = 12 得:
5×y = 12
y = 12 5
已知 y 與 x 成反比,且 x = 3 時, y =- 6 。 (1) 求 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x = 2 時, y 是多少?
xy =- 18
y
=- 9
6
反比關係
若 A 、 B 是體積相同的圓柱體,其高與底 面積
成反比。若圓柱體 A 的底面積是 9 平方公 分,
高是 16 公分,
(1) 假設與 A 、 B 體積相同的圓柱體,高 是 x 公
分,底面積是 y 平方公分,寫出 x 與 y 的關
係式。
(2) 若圓柱體 B 的底面積是 36 平方公分,
試問
它的高是多少公分?
解解
(1) 因為體積相同的圓柱體,它們的高 x 與 底
面積 y 成反比,所以可設 x 與 y 的關係式
為 xy = k 。
將 x = 16 , y = 9 代入 xy = k 得
: 16×9 = k , k = 144
故 x 與 y 的關係式為 xy = 144 。 (2) 將 y = 36 代入 xy = 144 得: x×36 =
144 , x = 4
所以圓柱體 B 的高是 4 公分
若 A 、 B 是面積相同的菱形,其兩條對角線 的長度成反比。若菱形 A 的一條對角線長 12 公分,另一條對角線長是 14 公分,
(1) 假設與 A 、 B 面積相同的菱形,一條 對角線
長是 x 公分,另一條對角線長是 y 公 分 ,寫
出 x 與 y 的關係式。
(2) 若菱形 B 的一條對角線長 21 公分,試 問另
一條對角線長是多少公分?
(1) xy = 168
(2) 8 公分
一天有 24 小時,分成白晝與黑夜,夏天晝 夜短,冬天晝短夜長;試問白晝與黑夜的長 長 短是否成反比?為什麼?
設白晝的時間為 x 小時,黑夜的時間為 y 小時,不論夏天或冬天,均滿足 x + y = 的關係,故白晝與黑夜的長短不是成反比。 24
否
1. 正比:當 x 值改變時, y 值也隨著改變,
而且
保持 y 值是 x 值的某一不為 0 的固定 倍數,則
y 與 x 成正比,寫成關係式為 y = kx , k≠
0 。
2. 反比:當 x 值改變時, y 值也隨著改變,
而且保持 x 和 y 的乘積是一不為 0 的固定 值,則 y 與 x 成反比,寫成關係式為 xy
= k , k≠0 。
3-3 自我評量
1. 已知 y 與 x 成正比,且 x = 5 時, y = 7 。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x = 4 時, y 是多少?
(1) y =
x(2) y =
57 285
2. 已知物體的重量與其體積成正比,若有一個體 積是 100 立方公分的鐵塊,它的重量是
790 公 克,
(1) 若有一個體積是 x 立方公分的鐵塊 , 它的
重量是 y 公克,寫出 x 與 y 的關 係式。
(2) 試問若有一個鐵塊體積是 500 立方公分
,
則它的重量是多少公克?
(3) 試問若有一個鐵塊重量是 1580 公克 , 則它
的體積是多少立方公分?
(1) y = 7.9x (2) 3950 公克
(3) 200 立方公分
3. 已知 y 與 x 成反比,且 x = 3 時, y = 5 。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。
(2) 當 x = 4 時, y 是多少?
(1) xy = 15
(2) y = 15 4
4. 某種商品賣出的個數與賣出的單價的平方成 反比,如果賣出的單價定為 200 元,則可賣 出 160 個,試問若賣出的單價定為 400 元,則可以賣出多少個商品?
40 個
黑火藥配方
黑火藥是由硫磺、木炭和硝酸鉀混合而成,
其爆炸過程的化學反應式如下:
S + C + 2KNO3 CO2 + K2S + 2NO2
硫磺 木炭 硝酸鉀 二氧化碳 硫 化鉀 二氧化氮
( 1 個硫原子、 1 個碳原子、 2 個硝酸鉀分子)