2-1 空間中的直線
直線方程式
直線的參數式：通過點Ax y z0, ,0 0﹐且以非零向量
v =a b c, , 為方向向量之直線L的參數式為
0 0 0
:
x x at L y y bt z z ct
（t 為實數）
例題1--- (1)求通過A2,1, 3 ﹐且以
v 1, 1, 2 為方向向量之直線的參數式﹒(2)求通過A2,1, 3 ﹐B4, 1,1 兩點之直線的參數式
---
隨堂練習--- 設通過A2, 1,1 ﹐B4,3,3兩點的直線為L﹒(1)求L的參數式﹒
(2)已知點C0, ,h k在L上﹐求h﹐k的值
---
直線的對稱比例式
通過點Ax y z0, ,0 0﹐且方向向量為
v =a b c, , （其中abc0）之直線L的對稱比例式為: x x0 y y0 z z0
L a b c
例題2--- (1)求通過A2,1,3﹐B3, 2,1 兩點之直線的對稱比例式﹒
(2)求直線 1 4 1
2 3 4
x y z 的參數式
---
隨堂練習--- (1)已知通過 A1,3, 2與B3, 1,0 兩點之直線的對稱比例式為 0 0
2 x x y y z
a b
﹐
求a﹐b﹐x0﹐y0的值﹒
(2)求直線
1 2 2 3 3
x t
y t
z t
（t 為實數）的對稱比例式
---
例題3--- 求兩平面3x2y z 4和x2y3z 4之交線L 的參數式
---
隨堂練習--- 求兩平面x3y z 7和2x y 3z4之交線L 的參數式
---
二面式
例題 3 的交線L也可以用聯立方程式 3 2 4 : 2 3 4
x y z L x y z
來表示﹐我們稱它為直線L的二面 式，因為二面式表示兩平面的交線﹐又交線的方向向量與兩個平面的法向量均垂直﹐所以 當我們知道直線的二面式時﹐可以用外積求得它的方向向量
例題4---
求直線 2 3
: 2 4
x y z L x y z
的一個方向向量
---
隨堂練習---
已知直線 3 3
: 2 0
x y z L x y z
的參數式為
0
1 2 2
x t
y bt z z ct
（t 為實數）﹐求b﹐c﹐z0的值
---
直線與平面的關係
(a)L 與 E 平行 (b)L 與 E 恰交於一點P (c)L 落在 E 上
例題5--- 討論直線 1
: 1 1 2
x y z
L 與三個平面
1: 2 3
E x y z ﹐E2: 3x y 2z3﹐E3: 3x y 2z1的相交情形
---
隨堂練習---
求直線 2 1 : 2 1 2
x y z
L
與平面E x: 2y z 6的交點坐標
---
例題6--- 求通過點A1,1, 1 且包含直線 : 1 2
1 1 5
x y z
L
之平面E 的方程式
---
隨堂練習--- 已知兩直線 1 1 2
: 1 2 1
x y z
L
與 2 2 1 1 : 1 3 1
x y z
L
相交於一點﹐求包含L1與L2之平面 E的方程式
---
直線與直線的關係
方向向量平行 方向向量不平行
L1與L2平行 L1與L2重合
L1與L2交於一點
L1與L2歪斜
例題7---
求直線 1 2 3
: 1 3 2
x y z
L
與二直線 1:
2 6 4 x y z
L
﹐ 2 2 1 5
: 1 3 2
x y z
L
的相交情形
---
隨堂練習--- 已知直線 1 1 1
: 2 1 3
x y z
L
與 2 1 0 0
: 6
y y z z L x
a b
重合﹐求a﹐b﹐y0﹐z0的值
---
例題8---
求直線 3 3
: 1 2 3
x y z
L
與二直線 1 6 1
: 4 1 2
x y z
L
﹐ 2 2 4 5
: 1 3 2
x y z
L
的相交情形
---
隨堂練習--- 求二直線 1
1 1 : 2 1 3
x y z
L
與 2
3 2 3
: 1 2 1
x y z
L 的交點坐標﹒
---
例題9--- 演唱會需要投射兩道雷射燈光在舞臺處交會﹒現設定空間坐標﹐一道雷射燈光由點0,0, 2
朝向點3, 2,6 發射﹐另一道燈光則由點0, 4, k 沿著平行於x 軸的方向發射﹐試問﹕當k為 何值時﹐兩道燈光會相交﹖又其相交的坐標為何﹖
---
隨堂練習--- 大廳中有一個雷射燈﹒現設定空間坐標﹐已知雷射燈的位置恰在z軸上的P點﹐且其發射的 燈光經由點Q1, ,3b ﹐到達地面（xy平面）的點R2,4,0﹒求雷射燈距離地面的高度
---
點到直線的距離
從直線L 外一點 P 作垂線 PA 與 L 交於 A 點﹐如圖所示﹐我們可以利用向量PA
與L 的方向向量
v 垂直的性質﹐求得A 點的坐標﹐進而算出 P 點到直線 L 的距離PA﹒例題10--- 已知點P3, 2,6﹐直線 : 1 2 1
2 2 3
x y z
L
﹐且自P點作直線L的垂線與直線L交於A 點﹐求(1)A點的坐標﹒(2)點P到直線L的距離
---
隨堂練習--- 已知點P1,1, 2 ﹐直線 : 5 6 3
2 3 2
x y z
L
﹐且Q點是點P對直線L的對稱點﹐求Q點的 坐標
---
例題11--- 求兩平行線 1 1 1 2
: 2 3 2
x y z
L
和 2 5 6 3
: 2 3 2
x y z
L
的距離
---
隨堂練習--- 求兩平行線 1 1 2 1
: 1 2 2
x y z
L
和 2 2 1 3 : 1 2 2
x y z
L
的距離
---
兩歪斜線的距離
首先作一平面 E 包含L1﹐且與L2平行﹐如圖 6(a)所示﹔接著將L2沿著與平面 E 垂直的 方向投影到 E 上﹐得到直線L3﹐如圖 6(b)所示﹒設L3與L1交於 Q 點﹐過 Q 作一直線垂直 E 與L2交於 P 點﹐則直線 PQ 與L1﹐L2均垂直﹐我們稱它為L1與L2的公垂線﹒因為L1與L2
上各任取一點的連接線段P R 的長必大於或等於PQ（如圖 6(b)中﹐P R P Q PQ）﹐所
以我們稱公垂線段PQ的長為兩歪斜線L1與L2的距離
例題12--- 已知直線 1 1 2
: 2 2 1
x y z
L
和 2 3 1 1 : 1 4 1
x y z
L
為兩歪斜線﹐求
(1)L1與L2之公垂線段的二端點坐標﹒ (2)L1與L2的距離
---
隨堂練習--- 右圖是一個平行六面體﹐A0,0,0﹐B1,1,2﹐C2,1,0﹐D1,2,0是四個頂點﹐設h是底 面上的高﹒(1)求兩歪斜線AB與CD的距離﹒(2)求h的值﹒
---
2-2 習題 一、基礎題
1. 設A1,5, 3 與B2,3,0為空間中兩點﹐下列哪些是直線AB的方程式﹖
(1) 1
5 2 3 3
x t
y t
z t
（t 為實數） (2) 2 3 2 0 3
x s
y s
z s
（s為實數）
(3) 2 3 1 2 3 x y z
(4) 1 5 3
2 4 6
x y z
2. 已知二平面x2y3z 2和3x2y z 2之交線L的參數式為
0
2 x t y bt z z ct
﹐求b﹐c﹐
z0的值﹒
3. 已知向量a,8,c 是直線 : 2 2 2
3 4 x y z L x y z
的一個方向向量﹐求a﹐c的值﹒
4. 已知A2,3,1﹐B3, 2,1是空間中二點﹐求直線AB與平面3x2y z 11的交點坐標﹒
5. 求通過點A1, 1,1 且包含直線 : 1 2
1 3 1
x y z
L
之平面E的方程式﹒
6. 關於直線 L﹕ 1 2 3
1 2 3
x y z
﹐選出正確的選項﹕
(1)直線L與 1 1 2 3 : 2 4 6
x y z
L
重合 (2)直線L與 2 1 :1 2 3
x y z L
平行 (3)直線L與 3 1 2 3
: 3 2 1
x y z
L
交於一點 (4)直線L與 4:
1 1 1 x y z
L
歪斜 7. 已知兩直線 1 3 3 2
: 2 1 1
x y z
L
與 2 1 2 : 1 1 2
x y z k
L
交於一點P﹐求P點的坐標與 k的值﹒
二、進階題
8. 關於點P3,1, 2﹐點Q1, 2,3 及直線 : 1 2 3
1 1 1
x y z
L ﹐選出正確的選項﹕
(1)P點在直線L上 (2)Q點在直線L上 (3)直線PQ與直線L垂直 (4)P點到直線L的距離為 6
(5)包含L且與直線PQ垂直之平面的方程式為2x y z 3 9. 已知平面E ax by: 2z3包含直線 1 2 3
: 1 1 3
x y z
L
﹐求a﹐b的值﹒
10. 求包含兩平行線 1 4 2 1 : 2 2 3
x y z
L
和 2 4 1 : 2 2 3
x y z
L
之平面E的方程式﹒
◎11. 求原點O到直線 4 : 1 L x y
z
的距離﹒
◎12. 求兩歪斜線 1
2 4 1
: 1 2 2
x y z
L
和 2 1 2 2 : 2 2 1
x y z
L
的距離﹒
