6.3
6.3 曲面与空间曲线 曲面与空间曲线
一 一 . . 曲面 曲面
二 二 . . 旋转曲面 旋转曲面
三 三 . . 空间曲线 空间曲线
一 . 曲 面
定义 空间点集
S = {(x, y, z)| F(x, y, z) = 0}
称为由方程 F(x, y, z) = 0 所确 定的曲面 .
(1) S
上的点都满足 F(x, y, z) = 0 ;(2)
满足 F(x, y, z) = 0 的点都在 S 上 .例
1
建立球心在点M
0( x
0, y
0, z
0)
、半径为R
的球面方程.
解 设
M ( x , y , z )
是球面上任一点,R MM ||
||
0根据题意有
x
x
0
2 y
y
0
2 z
z
0
2 R
x x
0
2 y y
0
2 z z
0
2 R
2所求方程为
特殊地:球心在原点时方程为
2 2
2
2
y z R
x
z
x
o
y例 2
方程 的图形是怎 样的?
1 )
2 (
) 1
(
2
2
x y z
根据题意有
z 1
用平面
z c
去截图形得圆:) 1 (
1 )
2 (
) 1
( x
2 y
2 c c
当平面
z c
上下移动时,得到一系列圆
圆心在
( c 1 , 2 , )
,半径为1 c
半径随
c
的增大而增大.
图形上不封顶,下封底.解
c
由以上二例可见,研究曲面有两个基本问题:
(1)
已知曲面作为满足某些条件的点集,求曲面 方程;(2)
已知曲面方程,研究曲面形状 .1. 柱 面
定义 与定曲线 C 相交,与某一定直线平行 的动直线 L 所形成的曲面称为柱面
.
曲线 C 称为准线
L
称为母线playplay
例 3 2
1 ( 0 , 0 )
2 2
2
a
b
b y a
x
准线 C 是 xy 平面上的椭 圆 .
母线 l 与 z 轴平行 .
} 1
| ) , ,
{(
22 2
2
b y a
z x y x S
S :
椭圆柱面a = b :
圆柱面z
x
o
yl c
例 4
y
2= 2x
S = { (x, y, z) | y
2= 2x }
准线 : xy 平面上的抛物线
y
2= 2x.
母线 : 与 z 轴平行 .
S
:抛物柱面x
o z
y
x
y
2 2
例 5 2
1 ( 0 , 0 )
2 2
2
a
b
b y a
x
母线 : 与 z 轴平行 .
S
:双曲柱面} 1
| ) , ,
{(
22 2
2
b y a
z x y x S
准线 : xy 平面上的双曲线
2
1
2 2
2
b y a
x
O y
x
z
柱面方程的特征:
(1) F(x, y) = 0
:准线是 xy 平面上的曲线 F(x, y) = 0,
母线与 z 轴平行;
(2) G(x, z) = 0
:准线是 xz 平面上的曲线 G(x, z) = 0,
母线与 y 轴平行;
(3) H(y, z) = 0
:准线是 yz 平面上的曲线 H(y, z) = 0, 母线与 x 轴平行;例 6
y = x
在 xy 平面上 , y = x 是一条 直线 .
在空间直角坐标系 O - xy
z
中, y = x 是一张平面 . 它 也可以看成是以 xy 平面上的 直线 y = x 为准线,母线平 行于 z 轴的柱面 .x
o z
y
x
y
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕该平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 .
这条定直线叫旋转
曲面的轴. playplay
例 7
求 y z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕 z 轴旋 转一周所得空间曲面的方程 .
解 设 M1
(0, y
1, z
1)
是曲 线 f (y, z) = 0 上的一 个点, M(x, y, z) 是M
1 在旋转过程中所 产生的任一点,则有(1) z = z
1(2)
点 M 到 z 轴的距离|
| 1
2
2
y y
x
d
x
o z
y
0 )
,
( y z f
) ,
, 0
(
1 11
y z
M
dM
将 代入
2 2
1
1
, y x y
z
z f ( y
1, z
1) 0
x
2 y
2, z 0 ,
f
yoz
坐标面上的已知曲线f ( y , z ) 0
绕z
轴旋转一周的旋转曲面方程
.
得方程同理:
yoz
坐标面上的已知曲线f ( y , z ) 0
绕
y
轴旋转一周的旋转曲面方程为 y , x2 z
2 0 .
f
例 8
方程
z = x
2+ y
2 表示什么曲面?解
z x
2 y
2 ( x
2 y
2)
2 即,曲面z = x
2+ y
2 可以看作是:
xz
平面上的抛物线 z = x2 绕 z 轴旋转一周所得到的旋转抛物面.
这个也可看作是:
yz
平面上的抛物线 z = y2 绕 z 轴旋转一周所产生的 .x
o z
y
例 9
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求 生成的旋转曲面的方程.
(
1
)双曲线21
2 2
2
c
z a
x
绕z
轴;2
1
2 2
2
2
c
z a
y x
旋转双曲面.
(
2
)椭圆
0
2
1
2 2
2
x
c z a
y
绕
y
轴和z
轴;绕
y
轴旋转绕
z
轴旋转2
1
2 2
2
2
c z x
a y
2
1
2 2
2
2
c z a
y x
旋 转 椭 球 面
一般地,
0 )
, ( )
1 (
2
2
y z x
f
x
L
绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 曲线0 )
, (
) 2 (
2
2
x z y f
y
L
绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 曲线
0
0
z
y x
L f ( , )
设有平面曲线:
.
) , : (
轴旋转所成的曲面方程 轴或
绕
同样可讨论平面曲线
’ z
x
y z x L f
0
0
例
1 0
直线L
绕另一条与L
相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆 锥面的顶点,两直线的夹角
0 2叫圆锥 面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为
z
轴,半顶角为
的圆锥面方程.x
o z
y
解
yoz
面上直线方程为 cot y
z M
1( 0 , y
1, z
1)
) , ,
( x y z M
圆锥面方程
x
2y
2cot z
o x
z
y
.
. 1 cot
4 ,
2 2
2
2 2
y x
z
y x
z
或
圆锥面方程为
则 如果半顶角
注意区别:
圆锥面
,
) 1
( z
x
2 y
2. ,
) 2
( z
2 x
2 y
2 旋转抛物面三 . 空间曲线
1. 一般方程
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x F
空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线 .
上式称为空间曲线的一般方程
.
x
o z
y
S
1S
2C
例 12
方程组 表示怎样的 曲线?
6 3
3 2
2
1
2
z y
x
y x
解
x
2 y
2 1
表示圆柱面,6 3
3
2 x y z
表示平面,
6 3
3 2
2
1
2
z y
x
y x
交线为椭圆 .
例 13
方程组 表示怎样的曲
线?
) 4 ( 2
2 2 2
2 2
2
y a x a
y x
a z
解
z a
2 x
2 y
2 上半球面 ,) 4 ( 2
2 2
2
a
a y
x
圆柱面 ,交线如图 .
) (
) (
) (
t z z
t y y
t x x
当给定
t t
1 时,就得到曲线上的一个点) ,
,
( x
1y
1z
1 ,当t 取遍允许取的全部值时,就得到曲 线上的所有点.称为空间曲线的参数方程
.
2. 参数方程
动点从 A 点出发,经过 t 时间,运动到
M
点例
1 4
如果空间一点M
在圆柱面x
2 y
2 a
2上以角速度
绕z
轴旋转,同时又以线速度v
沿平行于z
轴的正方向上升(其中
、v
都是常数),那么点M
构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.A
M
M
M
在xoy
面的投影M ( y x , , 0 ) t
a
x cos t a
y sin vt
z
t
螺旋线的参数方程 取时间 t 为参数,
解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
b
z
a y
a x
sin cos
) ,
( t b v
螺旋线的重要性质:
, :
0
0
z
:b
0 b
0 b
, 上升的高度与转过的角度成正比.即
上升的高度
h 2
b 螺距
2 ,
3. 空间曲线在坐标面上的投影
C:
空间曲线S:
以 C 为准线,母线与 z 轴平行的曲面,称为投影柱 面.
C ’: C
在 xy 平面上的投影. O
z
y x
C
C’
S
)
)
(*, , (
) , , (
0
0
z
y x G
z y x F
确定 C 在 xy 平面上的投影的一般过程为:
设空间曲线的一般方程:
(1)
在 (*) 式中消去z ,
得投影柱面方程0 )
,
( x y H
0 2 0
z y x
C H ( , ) :
' )
(
就是 C 在 xy 平面上的投影方程 .
投影曲线的研究过程可用下面的几何图形表示
:
空间曲线 投影柱面 投影曲线
例 15
求曲线 在坐标面上的 投影 .
2 1
2
1
2 2
z
z y
x
解 ( 1 )消去变量
z
后得4 ,
2
3
2 y
x
在 面上的投影为
xoy
, 0
4
2
3
2
z
y
x
所以在 面上的投影为线段 .
xoz
2 ;
| 3
| ,
0 2 1
x y
z
( 3 )同理在 面上的投影也为线段 .
yoz
2 .
| 3
| ,
0 2 1
y x
z
( 2 )因为曲线在平面 上,
2
1
z
例 16 求抛物面
y
2 z
2 x
与平面x
2y
z
0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为
0 2
2 2
z y
x
x z
y
解
如图 ,
(2)消去
y
得投影, 0
0 4
2 5
22
y
x xz
z x
(
3
)消去x
得投影.
0
0
2
2
2
x
z y
z y
(
1
)消去z
得投影,
0
0 4
5
22