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6.3 6.3 曲面与空间曲线曲面与空间曲线

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Academic year: 2021

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(1)

6.3

6.3 曲面与空间曲线 曲面与空间曲线

一 一 . . 曲面 曲面

二 二 . . 旋转曲面 旋转曲面

三 三 . . 空间曲线 空间曲线

(2)

一 . 曲 面

定义 空间点集

S = {(x, y, z)| F(x, y, z) = 0}

称为由方程 F(x, y, z) = 0 所确 定的曲面 .

(1) S

上的点都满足 F(x, y, z) = 0 ;

(2)

满足 F(x, y, z) = 0 的点都在 S 上 .

(3)

1

M

0

( x

0

, y

0

, z

0

)

R

.

M ( x , y , z )

R MM ||

||

0

根据题意有

x

x

0

 

2

y

y

0

 

2

z

z

0

2

R

x x

0

 

2

y y

0

 

2

z z

0

2

R

2

所求方程为

特殊地:球心在原点时方程为

2 2

2

2

y z R

x   

(4)

z

x

o

y

例 2

方程 的图形是怎 样的?

1 )

2 (

) 1

(

2

 

2

x y z

根据题意有

z   1

用平面

zc

) 1 (

1 )

2 (

) 1

( x

2

y

2

  c c  

平面

zc

得到一系列圆

圆心在

( c 1 , 2 , )

1c

半径随

c

.

图形上不封顶,下封底.

c

(5)

由以上二例可见,研究曲面有两个基本问题:

(1)

已知曲面作为满足某些条件的点集,求曲面 方程;

(2)

已知曲面方程,研究曲面形状 .

(6)

1. 柱 面

定义 与定曲线 C 相交,与某一定直线平行 的动直线 L 所形成的曲面称为柱面

.

曲线 C 称为准线

L

称为母线

playplay

(7)

例 3 2

1 ( 0 , 0 )

2 2

2  

a

b

b y a

x

准线 C 是 xy 平面上的椭 圆 .

母线 l 与 z 轴平行 .

} 1

| ) , ,

{(

2

2 2

2  

b y a

z x y x S

S :

椭圆柱面

a = b :

圆柱面

z

x

o

y

l c

(8)

例 4

y

2

= 2x

S = { (x, y, z) | y

2

= 2x }

准线 : xy 平面上的抛物线

y

2

= 2x.

母线 : 与 z 轴平行 .

S

:抛物柱面

x

o z

y

x

y

2

2

(9)

例 5 2

1 ( 0 , 0 )

2 2

2  

a

b

b y a

x

母线 : 与 z 轴平行 .

S

:双曲柱面

} 1

| ) , ,

{(

2

2 2

2  

b y a

z x y x S

准线 : xy 平面上的双曲线

2

1

2 2

2  

b y a

x

O y

x

z

(10)

柱面方程的特征:

(1) F(x, y) = 0

:准线是 xy 平面上的曲线 F(x, y) = 0

,

母线与 z 轴平行;

(2) G(x, z) = 0

:准线是 xz 平面上的曲线 G(x, z) = 0

,

母线与 y 轴平行;

(3) H(y, z) = 0

:准线是 yz 平面上的曲线 H(y, z) = 0, 母线与 x 轴平行;

(11)

例 6

y = x

在 xy 平面上 , y = x 是一条 直线 .

在空间直角坐标系 O - xy

z

中, y = x 是一张平面 . 它 也可以看成是以 xy 平面上的 直线 y = x 为准线,母线平 行于 z 轴的柱面 .

x

o z

y

x

y

(12)

二、旋转曲面

定义 以一条平面 曲线绕该平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 .

这条定直线叫旋转

曲面的轴. playplay

(13)

例 7

求 y z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕 z 轴旋 转一周所得空间曲面的方程 .

设 M1

(0, y

1

, z

1

)

是曲 线 f (y, z) = 0 上的一 个点, M(x, y, z) 是

M

1 在旋转过程中所 产生的任一点,则有

(1) z = z

1

(2)

点 M 到 z 轴的距离

|

| 1

2

2

y y

x

d

  

x

o z

y

0 )

,

( y zf

) ,

, 0

(

1 1

1

y z

M

d

M

(14)

将 代入

2 2

1

1

, y x y

z

z     f ( y

1

, z

1

)0

x

2

y

2

, z 0 ,

f

yoz

线

f ( y , z )0

z

转一周的旋转曲面方程

.

得方程

同理:

yoz

线

f ( y , z )0

y

y , x

2

z

2

0 .

f

(15)

例 8

方程

z = x

2

+ y

2 表示什么曲面?

zx

2

y

2

(x

2

y

2

)

2 即,曲面

z = x

2

+ y

2 可以看作

是:

xz

平面上的抛物线 z = x2 绕 z 轴旋转一周所得到的旋转抛物面

.

这个也可看作是:

yz

平面上的抛物线 z = y2 绕 z 轴旋转一周所产生的 .

x

o z

y

(16)

例 9

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求 生成的旋转曲面的方程.

1

线2

1

2 2

2

  c

z a

x

z

2

1

2 2

2

2

   c

z a

y x

旋转双曲面.

(17)

2

 

 

0

2

1

2 2

2

x

c z a

y

y

z

y

z

2

1

2 2

2

2

  

c z x

a y

2

1

2 2

2

2

  

c z a

y x

旋 转 椭 球 面

(18)

一般地,

0 )

, ( )

1 (

2

2  

y z x

f

x

L

绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 曲线

0 )

, (

) 2 (

2

2  

x z y f

y

L

绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 曲线



 0

0

z

y x

L f ( , )

设有平面曲线

:

.

) , : (

轴旋转所成的曲面方程 轴或

同样可讨论平面曲线

z

x

y z x L f



 0

0

(19)

1 0

线

L

L

线

周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆 锥面的顶点,两直线的夹角 

 

 

0 2叫圆锥 面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为

z

x

o z

y

yoz

线

cot y

z   M

1

( 0 , y

1

, z

1

)

) , ,

( x y z M

圆锥面方程

x

2

y

2

cot z

o x

z

y

(20)

.

. 1 cot

4 ,

2 2

2

2 2

y x

z

y x

z

 

圆锥面方程为

则 如果半顶角

注意区别:

圆锥面

,

) 1

( z

x

2

y

2

. ,

) 2

( z

2

x

2

y

2 旋转抛物面

(21)

三 . 空间曲线

1. 一般方程

 

0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F

空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线 .

上式称为空间曲线的一般方程

.

x

o z

y

S

1

S

2

C

(22)

例 12

方程组 表示怎样的 曲线?

  

6 3

3 2

2

1

2

z y

x

y x

x

2

 y

2

1

表示圆柱面,

6 3

3

2 xyz

表示平面,

 

6 3

3 2

2

1

2

z y

x

y x

交线为椭圆 .

(23)

例 13

方程组 表示怎样的曲

线?



 

) 4 ( 2

2 2 2

2 2

2

y a x a

y x

a z

za

2

x

2

y

2 上半球面 ,

) 4 ( 2

2 2

2

a

a y

x   

圆柱面 ,

交线如图 .

(24)



 

) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

当给定

tt

1 时,就得到曲线上的一个点

) ,

,

( x

1

y

1

z

1 ,当t 取遍允许取的全部值时,就得到曲 线上的所有点.

称为空间曲线的参数方程

.

2. 参数方程

(25)

动点从 A 点出发,经过 t 时间,运动到

M

1 4

如果空间一点

M

x

2

y

2

a

2

速度

z

线

v

沿

z

轴的正方向上升(其中

v

M

线

A

M

M

M

xoy

M( y x , , 0 ) t

a

xcost a

ysinvt

z

t

螺旋线的参数方程 取时间 t 为参数,

x y

z

o

(26)

螺旋线的参数方程还可以写为



 

b

z

a y

a x

sin cos

) ,

(    t b   v

螺旋线的重要性质:

, :

0

0

 

z

:

b

0

b

0

b

, 上升的高度与转过的角度成正比.

上升的高度

h 2

 b 螺距

2 ,

(27)

3. 空间曲线在坐标面上的投影

C:

空间曲线

S:

以 C 为准线,母线与 z 轴平行的曲面,称为投影柱 面

.

C ’: C

在 xy 平面上的投影

. O

z

y x

C

C’

S

(28)

)

(*

, , (

) , , (



 0

0

z

y x G

z y x F

确定 C 在 xy 平面上的投影的一般过程为:

设空间曲线的一般方程:

(1)

在 (*) 式中消去

z

得投影柱面方程

0 )

,

( x yH



 0 2 0

z y x

C H ( , ) :

' )

(

就是 C 在 xy 平面上的投影方

程 .

(29)

投影曲线的研究过程可用下面的几何图形表示

空间曲线 投影柱面 投影曲线

(30)

例 15

求曲线 在坐标面上的 投影 .



 

2 1

2

1

2 2

z

z y

x

( 1 )消去变量

z

后得

4 ,

2

3

2  y

x

在 面上的投影为

xoy

, 0

4

2

3

2





z

y

x

(31)

所以在 面上的投影为线段 .

xoz

2 ;

| 3

| ,

0 2 1

 



x y

z

( 3 )同理在 面上的投影也为线段 .

yoz

2 .

| 3

| ,

0 2 1

 



y x

z

( 2 )因为曲线在平面 上,

2

1

z

(32)

例 16 求抛物面

y

2

z

2

x

与平面

x

2

y

z

0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.

截线方程为

 

0 2

2 2

z y

x

x z

y

如图 ,

(33)

2)消去

y

, 0

0 4

2 5

2

2



y

x xz

z x

3

x

.

0

0

2

2

2



x

z y

z y

1

z

,

0

0 4

5

2

2



z

x xy

y

x

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