習題2-2詳解一、基本題1.

習題 2-2 詳解

一、基本題

1. 試在下方的坐標平面上，畫出二元一次不等式 3x－y ≤ 6 的圖形。

解 如下圖藍色區域。

2. 試在下方的坐標平面上，畫出二元一次聯立不等式 2 4, 3 6, x y x y

 + ≥

 + <

 的圖形。

解 如下圖藍色區域。

3.如下圖，試問藍色陰影區域是哪一組二元一次不等式的圖形？

解 (1) 由下圖知直線 L1：x＋y＝3，因為圖形為包含原點的半平面與 L1， 所以不等式應為 x＋y ≤ 3。

(2) 由下圖知直線 L2：x－2y＝－4，因為圖形為包含原點的半平面與 L2， 所以不等式應為 x－2y ≥ －4。

(3) 由下圖知直線 L3：x－y＝1，因為圖形為包含原點的半平面與 L3， 所以不等式應為 x－y ≤ 1。

由(1)、(2)、(3)可得聯立不等式

3, 2 4,

1.

x y x y x y

 + ≤

 − ≥ −

 − ≤



4. 假設 A（2，t），B（t，－3）兩點在直線 L：3x－4y＋6＝0 的同側，則實數 t 的最大可能範 圍為何？

解 因為兩點在直線同側，

所以（3‧2－4‧t＋6）（3‧t－4‧（－3）＋6）＞0

（12－4t）（18＋3t）＞0

（t－3）（t＋6）＜0

－6＜t＜3。

5. 畫出二元一次聯立不等式

0, 0, 3 9,

x y

x y

 ≥

 ≥

 + ≤



的圖形，並求此圖形內有多少個 x，y 坐標皆為整數的點

（又稱為格子點）。 解 如右圖所示，

x 0 1 2 3

y 0～9 0～6 0～3 0

共 10＋7＋4＋1＝22 個格子點。

二、進階題

6. 令△ABC 為直線 L₁：y－5＝¹

4（x－3），L₂：y－6＝－³

2（x－7），L₃：y－9＝2（x－5）所圍 成的三角形，試問：

(1) △ABC 內部有多少個 x，y 坐標都是整數的點？

(2) △ABC 的邊界上有多少個 x，y 坐標都是整數的點？

解 (1) 如下圖，△ABC 內部有 6 個 x，y 坐標都是整數的點。

(2) 如下圖，△ABC 的邊界有 4 個 x，y 坐標都是整數的點。

7. 用一噸原料 A 和一噸原料 B 分別可提煉精油 25 公斤和 12 公斤。但生產過程之中會產生 廢棄物，每噸原料 A 和原料 B 分別會產生 75 公斤和 25 公斤的廢棄物。已知原料 A 和原 料 B 每噸的成本分別為 15 萬元和 12 萬元，今若希望成本不超過 240 萬元，而廢棄物不超 過 750 公斤，試問最多可提煉多少公斤的精油？

解 假設有 A 原料 x 噸和 B 原料 y 噸，

由題意列式得

0, 0, 15 12 240,

75 25 750,

x y

x y

x y

≥ ≥

 + ≤

 + ≤



即

0, 0, 5 4 80, 3 30,

x y

x y x y

≥ ≥

 + ≤

 + ≤



依此繪出可行解區域如右圖所示，目標函數 P 表精油產量，依題意 P＝25x＋12y，

本題即求可行解區域內的點（x，y），使 P 的值為最大。

(1) 當 P 為任一常數 k 時，

k＝25x＋12y 均為斜率－²⁵

12 的直線。

(2) 如下圖所示，將斜率為－²⁵

12 的直線逐漸向右上方移動，

最後通過可行解區域中的點為 ^{40 90}, 7 7

 

 

 ，

此時的直線為 25x＋12y＝²⁰⁸⁰

7 ，

由(1)、(2)得知最多可提煉 ²⁰⁸⁰

7 公斤的精油。

8. 在本節一開始的介紹中，數學老師計算學期成績的方法是平時成績（x）占 30 ％，段考成績

（y）占 70 ％，已知小亦平時成績加上段考成績不超過 150 分，試問小亦的學期成績最多可 能是幾分？

解 假設小亦之平時成績為 x 分，段考成績為 y 分，

由題意列式得

0 100, 0 100, 150, x y x y

 ≤ ≤

 ≤ ≤

 + ≤



依此繪出可行解區域如下圖所示，

目標函數 P 表學期成績，依題意 P＝0.3x＋0.7y，

本題即求可行解區域內的點（x，y），使 P 的值為最大。

(1)當 P 為任一常數 k 時，k＝0.3x＋0.7y 均為斜率－³

7 的直線。

(2) 如下圖所示，將斜率為－³

7 的直線逐漸向右上方移動，

最後通過可行解區域中的點為（50，100），

此時的直線為 0.3x＋0.7y＝85，得 P 的最大值為 85。

由(1)、(2)得知當小亦之平時成績為 50 分，段考成績為 100 分，此時可使學期成績達最 高分 85 分。

9. 某家建商要在面積 7200 平方公尺的建築用地上蓋房子，經費上限為 9600 萬元，預計興建雙 車庫別墅及庭院別墅兩種，雙車庫別墅每戶占地 240 平方公尺，造價 400 萬元，庭院別墅每 戶占地 320 平方公尺，造價 240 萬元，試問應該各興建幾戶，可使總戶數最多？

解 設興建雙車庫別墅 x 戶、庭院別墅 y 戶

依題意列式得

0, 0,

240 320 7200, 400 240 9600, x

y

x y

x y

 ≥

 ≥

 + ≤

 + ≤



x，y 為整數

即

0, 0,

3 4 90, 5 3 120,

x y

x y x y

 ≥

 ≥

 + ≤

 + ≤



依此繪出可行解區域，如圖 目標函數 P＝x＋y

當（雙車庫，庭院）＝（18，9）或（19，8）時，可使總戶數最多共 27 戶。

三、挑戰題

10.如下圖，設直線 L1、L2、L3 的方程式分別為 L1：x＋b1y＋c1＝0、L2：x＋b2y＋c2＝0、L3：x

＋b3y＋c3＝0。請寫出區域 A 所代表的二元一次聯立不等式。

解 不等式 x＋by＋c ≥ 0 的圖形就是直線 x＋by＋c＝0 的右半平面含直線；

不等式 x＋by＋c ≤ 0 的圖形就是直線 x＋by＋c＝0 的左半平面含直線。

本題 A 區在 L1 右側、L2 左側、L3 右側，此結果簡記為（＋，－，＋）

故所求為

1 1

2 2

3 3

0 0 0 x b y c x b y c x b y c

+ + ≥

 + + ≤

 + + ≥

