習題 2-2 詳解
一、基本題
1. 試在下方的坐標平面上,畫出二元一次不等式 3x-y ≤ 6 的圖形。
解 如下圖藍色區域。
2. 試在下方的坐標平面上,畫出二元一次聯立不等式 2 4, 3 6, x y x y
+ ≥
+ <
的圖形。
解 如下圖藍色區域。
3.如下圖,試問藍色陰影區域是哪一組二元一次不等式的圖形?
解 (1) 由下圖知直線 L1:x+y=3,因為圖形為包含原點的半平面與 L1, 所以不等式應為 x+y ≤ 3。
(2) 由下圖知直線 L2:x-2y=-4,因為圖形為包含原點的半平面與 L2, 所以不等式應為 x-2y ≥ -4。
(3) 由下圖知直線 L3:x-y=1,因為圖形為包含原點的半平面與 L3, 所以不等式應為 x-y ≤ 1。
由(1)、(2)、(3)可得聯立不等式
3, 2 4,
1.
x y x y x y
+ ≤
− ≥ −
− ≤
4. 假設 A(2,t),B(t,-3)兩點在直線 L:3x-4y+6=0 的同側,則實數 t 的最大可能範 圍為何?
解 因為兩點在直線同側,
所以(3‧2-4‧t+6)(3‧t-4‧(-3)+6)>0
(12-4t)(18+3t)>0
(t-3)(t+6)<0
-6<t<3。
5. 畫出二元一次聯立不等式
0, 0, 3 9,
x y
x y
≥
≥
+ ≤
的圖形,並求此圖形內有多少個 x,y 坐標皆為整數的點
(又稱為格子點)。 解 如右圖所示,
x 0 1 2 3
y 0~9 0~6 0~3 0
共 10+7+4+1=22 個格子點。
二、進階題
6. 令△ABC 為直線 L1:y-5=1
4(x-3),L2:y-6=-3
2(x-7),L3:y-9=2(x-5)所圍 成的三角形,試問:
(1) △ABC 內部有多少個 x,y 坐標都是整數的點?
(2) △ABC 的邊界上有多少個 x,y 坐標都是整數的點?
解 (1) 如下圖,△ABC 內部有 6 個 x,y 坐標都是整數的點。
(2) 如下圖,△ABC 的邊界有 4 個 x,y 坐標都是整數的點。
7. 用一噸原料 A 和一噸原料 B 分別可提煉精油 25 公斤和 12 公斤。但生產過程之中會產生 廢棄物,每噸原料 A 和原料 B 分別會產生 75 公斤和 25 公斤的廢棄物。已知原料 A 和原 料 B 每噸的成本分別為 15 萬元和 12 萬元,今若希望成本不超過 240 萬元,而廢棄物不超 過 750 公斤,試問最多可提煉多少公斤的精油?
解 假設有 A 原料 x 噸和 B 原料 y 噸,
由題意列式得
0, 0, 15 12 240,
75 25 750,
x y
x y
x y
≥ ≥
+ ≤
+ ≤
即
0, 0, 5 4 80, 3 30,
x y
x y x y
≥ ≥
+ ≤
+ ≤
依此繪出可行解區域如右圖所示,目標函數 P 表精油產量,依題意 P=25x+12y,
本題即求可行解區域內的點(x,y),使 P 的值為最大。
(1) 當 P 為任一常數 k 時,
k=25x+12y 均為斜率-25
12 的直線。
(2) 如下圖所示,將斜率為-25
12 的直線逐漸向右上方移動,
最後通過可行解區域中的點為 40 90, 7 7
,
此時的直線為 25x+12y=2080
7 ,
由(1)、(2)得知最多可提煉 2080
7 公斤的精油。
8. 在本節一開始的介紹中,數學老師計算學期成績的方法是平時成績(x)占 30 %,段考成績
(y)占 70 %,已知小亦平時成績加上段考成績不超過 150 分,試問小亦的學期成績最多可 能是幾分?
解 假設小亦之平時成績為 x 分,段考成績為 y 分,
由題意列式得
0 100, 0 100, 150, x y x y
≤ ≤
≤ ≤
+ ≤
依此繪出可行解區域如下圖所示,
目標函數 P 表學期成績,依題意 P=0.3x+0.7y,
本題即求可行解區域內的點(x,y),使 P 的值為最大。
(1)當 P 為任一常數 k 時,k=0.3x+0.7y 均為斜率-3
7 的直線。
(2) 如下圖所示,將斜率為-3
7 的直線逐漸向右上方移動,
最後通過可行解區域中的點為(50,100),
此時的直線為 0.3x+0.7y=85,得 P 的最大值為 85。
由(1)、(2)得知當小亦之平時成績為 50 分,段考成績為 100 分,此時可使學期成績達最 高分 85 分。
9. 某家建商要在面積 7200 平方公尺的建築用地上蓋房子,經費上限為 9600 萬元,預計興建雙 車庫別墅及庭院別墅兩種,雙車庫別墅每戶占地 240 平方公尺,造價 400 萬元,庭院別墅每 戶占地 320 平方公尺,造價 240 萬元,試問應該各興建幾戶,可使總戶數最多?
解 設興建雙車庫別墅 x 戶、庭院別墅 y 戶
依題意列式得
0, 0,
240 320 7200, 400 240 9600, x
y
x y
x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
x,y 為整數
即
0, 0,
3 4 90, 5 3 120,
x y
x y x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
依此繪出可行解區域,如圖 目標函數 P=x+y
當(雙車庫,庭院)=(18,9)或(19,8)時,可使總戶數最多共 27 戶。
三、挑戰題
10.如下圖,設直線 L1、L2、L3 的方程式分別為 L1:x+b1y+c1=0、L2:x+b2y+c2=0、L3:x
+b3y+c3=0。請寫出區域 A 所代表的二元一次聯立不等式。
解 不等式 x+by+c ≥ 0 的圖形就是直線 x+by+c=0 的右半平面含直線;
不等式 x+by+c ≤ 0 的圖形就是直線 x+by+c=0 的左半平面含直線。
本題 A 區在 L1 右側、L2 左側、L3 右側,此結果簡記為(+,-,+)
故所求為
1 1
2 2
3 3
0 0 0 x b y c x b y c x b y c
+ + ≥
+ + ≤
+ + ≥