臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽決賽試題

F C

A B

E D

臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽決賽試題

應答注意事項：

一、 本試題共兩頁分兩大題，第一大題為 10 題填充題，每題 6 分；第二大題為計算及證明題，共 4 題，

每題 10 分。

二、 填充題答案請書寫於答案本中所標示的位置，計算及證明題請依題號順序詳列算式或證明過程。

三、本試題所提供之圖形僅供示意參考。

第一大題：填充題 1.

2016

 5123

x ，試求2x15x2 4x3 3x4 的值為____________。

2. 有a, 兩數，且兩個一元二次方程式b x² 16xa0與x² 20xb0，有一個共同的解。若上述兩個 一元二次方程式的三個相異解，恰形成一個公差為 2 的等差數列，則ab的值為 。

3. 已知在一圓周上自某一點開始，依順時針方向分別依序填入 268 個整數，使得依順時針方向數起，每 20 個連續的數之和都是 75。如果在第 17 個位置上填入整數 3，在第 83 個位置上填入整數 4，且在第 144 個位置上填入整數 9，那麼第 210 個位置上的整數是____________。

4. 有 5 個數a,b,c,d,e，其數值分別為-1, 0, 1 中的任一個，則a3b3²c3³d 3⁴e 的值是正整數共 有_________個。

5. 已知a b, 為二數，且滿足|a|  a b 10及a| |b  b 12，則 a b 之值為____________。

6. 小華將一個大長方形切割成 6 塊小長方形 A、B、C、D、E、F (如下圖)，若長方形 A 面積為a，長方形 B 面積為b，長方形 C 面積為 c，長方形 D 面積為 d，則長方形 E 與長方形 F 之面積和為__________。

（請以a,b,c,d表示）

7. 已知六邊形 ABCDEF 之各內角度數相等，且ABBC11，FACD3，則BCDE的值為 。

8. 假設r ,,s t是三個相異的正整數，而且可以使得

rst tr st

rs  1

也是正整數，則

t s r

r t t s s r







 ^{2 2 2 2}

2 2

所有可 能的值為 。

第 1 頁

B P C A

Q

9. 已知n為一個五位數，將n除以 100，其商為 q ，及餘數為r，如果 q r 為 11 的倍數，則滿足這樣條 件的所有n值共有_____________個。

10. 我們規定：當一個多邊形的所有對角線都在該多邊形的內部時，我們將此多邊形稱為凸多邊形。已知 有一個凸四邊形ABCD，其中AB6，BC8，CD6，其中一條對角線AC 8，則滿足上述條件 的四邊形中， 長的值為整數的所有可能值共有 個。

第二大題：計算題

1. 試求滿足方程式



 





2. 設n為正整數且2⁴ 2⁷ 2ⁿ為完全平方數，試求滿足上述條件的所有可能的n值為何？(請詳述理由)

3. 如下圖，在 ABC 中AB AC，今在 ABC 內部取一點D使得ABBD AC且DCB30^o，若CD2 且AC 2 37，試求 ABC 面積。(請詳述理由)

4. 如下圖在 ABC 中，P和Q是 BC 上兩點，使得AQ是 BAC 的角平分線且BPQC，AP AQ。試證 明：^{AP2 }





本試題到此全部結束

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