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南科實中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科
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本卷滿分為 110 分,超過 100 分者以 100 分計一、是非題:請以「○」「×」表示。(每題 1 分,共 10 分)
( )1. 若矩陣
1 5 4 13 0 1 2 5 0 0 1 1 A
− −
=
經列運算後得
1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 B
−
=
,則 A B=
( )2. 已知 0 0 0 0
O
=
,若矩陣AB=O,則A=O或B=O ( )3. 若A2 =B2,則 A B= 或 A= − B
( )4. 若A3− =A 0,則A=0、 A I= 或 A= − I ( )5. (AB)−1 =B A−1 −1
( )6. (A+B A B)( − )=A2−B2
( )7. 直線2x− = − =3 y 5 3z+7的方向向量為(2,1, 3) ( )8. a c
A b d
=
,若ad−bc≠c,則A−1存在
( )9. A 為2 3× 矩陣, B 為2 5× 矩陣,則 AB 為3 5× 矩陣 ( )10.r是常數,A B, 是方陣,則(rA B) = A rB( )=r AB( )
二、多選題(每題 7 分,共 28 分,錯一個選項得 4 分;錯二個選項得 1 分;其他不給分) ( )1. 空間中一直線 2 0
: 5
x y z L x y z
+ − =
+ + =
,則下列哪些選項正確?
(1)L 的方向向量為(2, 3,1) (2)點(1,1, 3)在直線 L 上 (3)直線L 與直線 1 2 2
4 6 2
x− = y− = z− 平行 (4)直線 L 與 x= = 垂直 y z (5)L 在平面x−2z= −5上
( )2. 若
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
: : :
E a x b y c z d E a x b y c z d E a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
計算得
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2 d b c d b c d b c
= ,則三平面E E E 的相交情形可能為下 1, 2, 3
列哪些選項?
(1)三平面互相平行 (2)三平面重合 (3)三平面交於一點 (4)三平面交於一線 (5)三平面兩兩相交於一直線且三交線互相平行
( )3. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可化成
1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1
?
(1)
1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5
(2)
1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0
− −
−
−
(3)
1 1 2 5 1 1 1 2 1 1 2 5
−
(4)
2 1 3 6 1 1 1 0 2 2 2 1
−
−
(5)
1 3 2 7 0 1 1 2 0 1 0 1
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( )4. 已知 f x( )=ax2+bx2+cx+ 為實係數多項式。若d f x( )滿足 f( 1)− = −1, f(0)=1, (2) 1
f = − , f(3)=1,則下列哪些選項是正確的?
(1) f x( )除以(x−3)的餘式為 1
(2) ( ) ( 0)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 0)( 3) ( 1)( 0)( 2) ( 1 0)( 1 2)( 1 3) (1 0)(0 2)(0 3) (2 1)(2 0)(2 3) (3 1)(3 0)(3 2)
x x x x x x x x x x x x
f x = − − − − + + − − − + − − + + − −
− − − − − − + − − + − − + − −
(3)a b c+ + + =d 0 (4) f x( )=0在 2 與 3 之間恰有一實根 (5) f x( )=0的解均為實根 三、填充題(依配分法計分,共 50 分)
1. 設a 為正整數且方程式7x3+ +(a 6)x2+ax+ = 的根都是有理根,則 a1 0 = __________
2. 已知多項式f x( )=x4−x3−14x2−26x−20, f x( )=0,有一個複數根− +1 i,若實數 a 滿足 ( ) 0
f a < ,求 a 的範圍__________
3. 若
1 0 0 0 1 0 0 0 1 I
=
,
2 3 4 2 3 4 2 3 4 A
−
= −
−
,且(I+A)7 =aI+bA,試求數對( , )a b =__________
4. 設A B C D, , , 均為二階方陣, 3 1 A 1 1
=
、 1 1 B 2 1
=
、 4 2 4 6
C
=
、 5 3 D 6 8
=
。若 2 2 a c M × b d
=
, 滿足AMB+3C=2D,則d之值為__________
5. 二平行直線 1 5 3
:1 2
x y z
L a
− −
= =
− 、 2 2 3
: 1 2
x y z
L b
− = − =
− 的距離為__________
6. 已知
14
2 3 5
3 2 0
px y z x qy z x y rz + + =
+ + =
− + =
與
21 1 17 ax by cz
ax by cz bx cy az
+ + =
− + + =
− + = −
有相同解,若
1 1 14
2 3 5
3 2 0
p q
r
−
經列運算後得
1 0 0 5 0 1 0 8 0 0 1 1
, 則數對( , , )a b c 之值為__________
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7. 智智操作一架空拍機,使其平行平面x−2y+2z=5且直線飛行,已知空拍機通過二點A(3,1,1)、 (5, , 2)
B b ,則其飛行路徑上距離原點(0, 0, 0)的最近的距離為__________
8. 已知
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 a b c a b c a b c
≠ ,且
1 2 3 1 1 1
1 2 3 2 2 2
1 2 3 3 3 3
4
d d d a b c
a a a a b c
c c c a b c
= × ,則
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
( 3 ) ( 2 ) 5
( 3 ) ( 2 ) 5
( 3 ) ( 2 ) 5
a c x b c y c z d a c x b c y c z d a c x b c y c z d
+ + − + =
+ + − + =
+ + − + =
之解 的 y 值為__________
四、計算證明題(共 17 分)
1. 設 2
1 1 3 1 3 3
1 2 3 4 a a
−
−
− −
為三元一次方程組的增廣矩陣,試討論以下各情形時, a 值為何?(8%)
(1)無限多組解 (2)無解 (3)恰有一組解
2. 已知兩歪斜線 1 3 6 5
: 1 2 2
x y z
L − = − = − 、 2 1 6
:3 1 4
x y z
L = + = −
− ,試求:
(1)包含直線L 且1 L 平行的平面方程式(6%) 2 (2)兩歪斜線L 與1 L 之公垂線段長(3%) 2
五、加分題(共 5 分)
若將三直線 1 1 2 7
: 2 5 1
x y z
L − − −
= = 、 2 3 6 1
: 2 5 3
x y z
L − − +
= = 、 3 1 3 2
: 3 5 3
x y z
L − − +
= =
− 投影在 xy 平面 上,則所成投影圖形可能為何,請推論之?
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南科實中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科簡答
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本卷滿分為 110 分,超過 100 分者以 100 分計一、是非題:請以「○」「×」表示。(每題 1 分,共 10 分)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
× × × × ○ × × ○ × ○
二、多選題(每題 7 分,共 28 分,錯一個選項得 4 分;錯二個選項得 1 分;其他不給分)
1. 2. 3. 4.
(2)(4)(5) (3)(4)(5) (1)(5) (1)(2)(3)(4)(5)
三、填充題(依配分法計分,共 50 分)
1. 2. 3. 4. 5.
9 − < <2 a 5 I +127A 4 1
6. 7. 8.
(2,1, 3) 19
2 −20
四、計算證明題(共 17 分)
1.
(1) a=3 (2) a = −3 (3) a≠ ±3
2.
(1) 2x−2y+ = −z 1 (2) 3
五、加分題(共 5 分)
兩平行直線與第三直線各交於一點