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南科實中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Academic year: 2021

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(1)

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南科實中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科

---

本卷滿分為 110 分,超過 100 分者以 100 分計

一、是非題:請以「○」「×」表示。(每題 1 分,共 10 分)

( )1. 若矩陣

1 5 4 13 0 1 2 5 0 0 1 1 A

 − − 

 

=  

 

 

經列運算後得

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 B

 − 

 

=  

 

 

,則 A B=

( )2. 已知 0 0 0 0

O  

=  

 ,若矩陣AB=O,則A=OB=O ( )3. 若A2 =B2,則 A B= 或 A= − B

( )4. 若A3− =A 0,則A=0、 A I= 或 A= − I ( )5. (AB)1 =B A1 1

( )6. (A+B A B)( − )=A2B2

( )7. 直線2x− = − =3 y 5 3z+7的方向向量為(2,1, 3) ( )8. a c

A b d

 

=  

 ,若adbcc,則A1存在

( )9. A 為2 3× 矩陣, B 為2 5× 矩陣,則 AB 為3 5× 矩陣 ( )10.r是常數,A B, 是方陣,則(rA B) = A rB( )=r AB( )

二、多選題(每題 7 分,共 28 分,錯一個選項得 4 分;錯二個選項得 1 分;其他不給分) ( )1. 空間中一直線 2 0

: 5

x y z L x y z

+ − =

 + + =

 ,則下列哪些選項正確?

(1)L 的方向向量為(2, 3,1) (2)點(1,1, 3)在直線 L 上 (3)直線L 與直線 1 2 2

4 6 2

x− = y− = z平行 (4)直線 L 與 x= = 垂直 y z (5)L 在平面x−2z= −5上

( )2. 若

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

: : :

E a x b y c z d E a x b y c z d E a x b y c z d

+ + =

 + + =

 + + =

計算得

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2 d b c d b c d b c

= ,則三平面E E E 的相交情形可能為下 1, 2, 3

列哪些選項?

(1)三平面互相平行 (2)三平面重合 (3)三平面交於一點 (4)三平面交於一線 (5)三平面兩兩相交於一直線且三交線互相平行

( )3. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可化成

1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

 

 

(1)

1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5

 

 

 

 

 

(2)

1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0

− −

 

− 

 

 − 

 

(3)

1 1 2 5 1 1 1 2 1 1 2 5

 

 − 

 

 

 

(4)

2 1 3 6 1 1 1 0 2 2 2 1

 

− 

 

− 

 

(5)

1 3 2 7 0 1 1 2 0 1 0 1

 

 

 

 

 

(2)

加入群翊 如虎添翼

( )4. 已知 f x( )=ax2+bx2+cx+ 為實係數多項式。若d f x( )滿足 f( 1)− = −1, f(0)=1, (2) 1

f = − , f(3)=1,則下列哪些選項是正確的?

(1) f x( )除以(x−3)的餘式為 1

(2) ( ) ( 0)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 0)( 3) ( 1)( 0)( 2) ( 1 0)( 1 2)( 1 3) (1 0)(0 2)(0 3) (2 1)(2 0)(2 3) (3 1)(3 0)(3 2)

x x x x x x x x x x x x

f x = − − − − + + − − − + − − + + − −

− − − − − − + − − + − − + − −

(3)a b c+ + + =d 0 (4) f x( )=0在 2 與 3 之間恰有一實根 (5) f x( )=0的解均為實根 三、填充題(依配分法計分,共 50 分)

1. 設a 為正整數且方程式7x3+ +(a 6)x2+ax+ = 的根都是有理根,則 a1 0 = __________

2. 已知多項式f x( )=x4x3−14x2−26x−20, f x( )=0,有一個複數根− +1 i,若實數 a 滿足 ( ) 0

f a < ,求 a 的範圍__________

3. 若

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

 

 

=  

 

 

2 3 4 2 3 4 2 3 4 A

 − 

 

= − 

 − 

 

,且(I+A)7 =aI+bA,試求數對( , )a b =__________

4. 設A B C D, , , 均為二階方陣, 3 1 A 1 1

=  

 、 1 1 B 2 1

=  

 、 4 2 4 6

C  

=  

 、 5 3 D 6 8

=  

 。若 2 2 a c M × b d

 

=  

 , 滿足AMB+3C=2D,則d之值為__________

5. 二平行直線 1 5 3

:1 2

x y z

L a

− −

= =

− 、 2 2 3

: 1 2

x y z

L b

− = − =

− 的距離為__________

6. 已知

14

2 3 5

3 2 0

px y z x qy z x y rz + + =

 + + =

 − + =

21 1 17 ax by cz

ax by cz bx cy az

+ + =

− + + =

 − + = −

有相同解,若

1 1 14

2 3 5

3 2 0

p q

r

 

 

 

 − 

 

經列運算後得

1 0 0 5 0 1 0 8 0 0 1 1

 

 

 

 

 

, 則數對( , , )a b c 之值為__________

(3)

加入群翊 如虎添翼

7. 智智操作一架空拍機,使其平行平面x−2y+2z=5且直線飛行,已知空拍機通過二點A(3,1,1)、 (5, , 2)

B b ,則其飛行路徑上距離原點(0, 0, 0)的最近的距離為__________

8. 已知

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 a b c a b c a b c

≠ ,且

1 2 3 1 1 1

1 2 3 2 2 2

1 2 3 3 3 3

4

d d d a b c

a a a a b c

c c c a b c

= × ,則

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

( 3 ) ( 2 ) 5

( 3 ) ( 2 ) 5

( 3 ) ( 2 ) 5

a c x b c y c z d a c x b c y c z d a c x b c y c z d

+ + − + =

 + + − + =

 + + − + =

之解 的 y 值為__________

四、計算證明題(共 17 分)

1. 設 2

1 1 3 1 3 3

1 2 3 4 a a

 

 − 

 

− − 

 

為三元一次方程組的增廣矩陣,試討論以下各情形時, a 值為何?(8%)

(1)無限多組解 (2)無解 (3)恰有一組解

2. 已知兩歪斜線 1 3 6 5

: 1 2 2

x y z

L − = − = − 、 2 1 6

:3 1 4

x y z

L = + = −

− ,試求:

(1)包含直線L 且1 L 平行的平面方程式(6%) 2 (2)兩歪斜線L 與1 L 之公垂線段長(3%) 2

五、加分題(共 5 分)

若將三直線 1 1 2 7

: 2 5 1

x y z

L − − −

= = 、 2 3 6 1

: 2 5 3

x y z

L − − +

= = 、 3 1 3 2

: 3 5 3

x y z

L − − +

= =

投影在 xy 平面 上,則所成投影圖形可能為何,請推論之?

(4)

加入群翊 如虎添翼

南科實中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科簡答

---

本卷滿分為 110 分,超過 100 分者以 100 分計

一、是非題:請以「○」「×」表示。(每題 1 分,共 10 分)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

× × × × ○ × × ○ × ○

二、多選題(每題 7 分,共 28 分,錯一個選項得 4 分;錯二個選項得 1 分;其他不給分)

1. 2. 3. 4.

(2)(4)(5) (3)(4)(5) (1)(5) (1)(2)(3)(4)(5)

三、填充題(依配分法計分,共 50 分)

1. 2. 3. 4. 5.

9 − < <2 a 5 I +127A 4 1

6. 7. 8.

(2,1, 3) 19

2 −20

四、計算證明題(共 17 分)

1.

(1) a=3 (2) a = −3 (3) a≠ ±3

2.

(1) 2x−2y+ = −z 1 (2) 3

五、加分題(共 5 分)

兩平行直線與第三直線各交於一點

參考文獻

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1.1.3 檢視分三個階段 。 在過去第一、第二階段 (即由1999年 1月至2000年

開課前 課程第㇐年 首學年末 課程第二年 次學年末.

範圍:下學期第一次段考

範圍:下學期第二次段考

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三、計算題:共

範圍:下學期第一次段考

範圍:上學期第二次段考