104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題
代號：21260 全一張
（正面）
考 試 別：調查人員 等 別：三等考試 類 科 組：電子科學組 科 目：工程數學
考試時間：2 小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
一、考慮圖一之 RLC（電阻－電感－電容）電路，其各電子元件值為：
Ω
=1
R
，
L= 0 . 1 H ，
C= 0 . 2 F
假設此電路在時間
t= 0 時承受一脈衝電壓（impulse voltage）輸入，即
vi(
t) = 3
δ(
t) （Volt）
其中
δ(t)為脈衝函數（impulse function），即
⎩ ⎨
⎧
≠
=
= ∞
0 , 0
0 ) ,
(
tt t
δ
且
∫−∞∞δ( dtt) =1試以電容電壓為
vc(t ) 為變數，寫出此電路之微分方程式。（10 分）
假設初始電容電壓為
vc( 0 ) = 0 （Volt），初始電流為
i( 0 )
=0 （Amp），試以拉式 轉換（Laplace transform）求
vc(t ) 與
i(t ) 。（15 分）
二、考慮圖二之電路，其中電壓與電流之關係可以矩陣表示為：
Ai
v
= ，其中
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
2 1
v
v v
，
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
2 1
i
i i
，
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+
= +
3 2 3
3 3
1
R R R
R R
A R
假設各電子元件值為
R1 =1
Ω，
R2 =4
Ω，
R3=2
Ω若
v1 =3 ( V ) ，
v2 =2 ( V ) ，試求
i 與1 i 。（5 分） 2試求矩陣 A之特徵值與特徵向量。（10 分）
假設輸入電壓大小限制為
v12 +v22 =1 。試求
v 與1 v ，使得三個電阻所消耗之總功率2為最小。提示：先將功率表示為
i 與1 i 的二次型（quadratic form），再表示為2 v 與1v 的二次型。（10 分） 2
圖二
v2
R1 R2
v1
R3
i1 i2 +
+ −
−
圖一
vc
i
R L
C +
−
−
-+
+
vi
∫
104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題
代號：21260 全一張
（背面）
考 試 別：調查人員 等 別：三等考試 類 科 組：電子科學組 科 目：工程數學
三、考慮下列偏微分方程式
( ) ( ) ( )
x t x u x
t x u t
t x u
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
∂
,
, 2 ,
2 2
， 0 < x < 2 ，
t≥ 0 其邊界條件與初始條件為
u( ) 0 ,
t =0 ，
u( ) 2 ,
t =0 ，
u( )
x, 0
= xe−x。
證明其特徵函數（eigenfunctions）為 ( ) , 1 , 2 , L sin 2 =
=
− n x n ex
Xn x π
。（15 分）
代入初始條件後可得 ∑
∞=
=1
sin 2
n
n n x
c
x π
，求係數
c 。（10 分） n
四、考慮一磁力場
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡
+ +
+
= +
2 2
2 2
12 2
4 2 3 ) , (
y xy
x
y xy y x
x F
如圖三所示，有一長軸為 4、短軸為 2 之橢圓路徑。若有一質點沿此橢圓路徑移 動，從 ( 2 , 0 ) 移動至 ( − 2 , 0 ) ，求此磁力場對質點運動所作之功，即求
∫ ⋅
=
CF dr W其中 C 為半橢圓路徑，
r= ( )
x,
y為質點位置。（15 分）
如圖四所示，今此質點再由
(−2,0)沿直線移動至
(0,−1)，再沿直線移動至
(2,0)， 形成一類似扇形的封閉路徑。求此磁力場對質點沿此封閉路徑運動所作之功。
（10 分）
X Y
-2 2
1
-1 圖四 X
Y
-2 2
1
-1 圖三
