100 年公務人員特種考試民航人員、外交領事 人員及國際新聞人員、國際經濟商務人員、
法務部調查局調查人員、國家安全局國家安 全 情 報 人 員 及 社 會 福 利 工 作 人 員 考 試 試題
代號：60950
考 試 別： 國家安全情報人員 等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組 科 目： 機率統計
考試時間： 2 小時 座號：
※注意： 可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（正面）
一、A 及 B 兩支球隊爭取某冠軍頭銜，要連續比賽直到其中有一隊累計勝利 4 場、得到 冠軍為止。假設各場比賽之間互相獨立，且每一場 A 贏 B 的機率是 p，0<p<1，則 賽完 6 場時產生冠軍的機率是多少？（10 分）
二、若事件 A 和 B 互相獨立且 P(A)＞0, P(B)＞0，則 A,B 是否互斥？理由必須說明清楚。
（8 分）
三、設 U
1, U
2, L , U
8為抽自均勻分布 U ( 0 , 1 ) 的隨機樣本， U
(1)≤ U
(2)≤ L ≤ U
(8)為其順序 統計量（order statistics），求以下機率：（寫出算式即可，不必計算答案）
P ( U
(8)< 0 . 6 ) （8 分）
P ( U
(1)< 0 . 3 < U
(8)) （8 分）
四、設 Y 為二項分配隨機變數，參數為 n 及 p，則 Y 之變異數為 Var(Y) = np(1-p) 考慮 V = n(Y/n)(1-Y/n)
求 V 之期望值。（8 分）
參考的答案，找一個 Var(Y)之不偏估計量。（8 分）
五、某環保團體從一條河隨機選取了 10 個定點，在每個定點收集了 1 公升河水，並度 量了其中的含氧量（假設這些含氧量大致符合常態分布，標準差為 0.8 毫克），所 得到的平均數是 4.6 毫克。這是否為足夠證據，顯示整條河的平均含氧量低於每公 升 5 毫克？
寫出此檢定之原始假設 H
0及對立假設 H
1，符號定義要寫清楚。（8 分）
算出 p-value。（8 分）
若α= 0.05，應怎樣做結論？（要說明理由，並且要根據問題的問法回答。）（8 分）
六、假設從某縣全體選民當中取出 200 人的簡單隨機樣本，其中有 120 人贊成某議題。
求該縣全體選民中支持該議題比例之 95% 信賴區間（答案四捨五入到小數點後 三位數）。（8 分）
試用一般人能了解的語言具體說明，「95% 信賴區間」中的「95%」之意義。
（8 分）
100 年公務人員特種考試民航人員、外交領事 人員及國際新聞人員、國際經濟商務人員、
法務部調查局調查人員、國家安全局國家安 全 情 報 人 員 及 社 會 福 利 工 作 人 員 考 試 試題
代號：60950
考 試 別： 國家安全情報人員 等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組 科 目： 機率統計
全一張
（背面）
X X , X , , X
七、假設一個特製銅板的正面機率 未知，現在投擲 8 次，記錄其正面數為 ，再擲 8 次，記錄其正面數為 ，依此類推、共執行 12 次，得隨機樣本
p X
12 1 2
⋅ ⋅⋅
12。求
的最大概似估計（Maximum Likelihood Estimate, 簡稱 MLE）。（10 分）
p
附表 Normal Distribution
0.4N(0, 1) 0.3
0.2
0.1
α
α
= α
> ) ( Z z P
) ( Φ ) ( Φ 1 )
( Z z z z
P > = − = − z
αz
α3 2
1 0
-1 -2
-3
