考 試 別: 國家安全情報人員 等 別: 三等考試

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100 年公務人員特種考試民航人員、外交領事 人員及國際新聞人員、國際經濟商務人員、

法務部調查局調查人員、國家安全局國家安 全 情 報 人 員 及 社 會 福 利 工 作 人 員 考 試 試題

代號:60950

考 試 別: 國家安全情報人員 等 別: 三等考試

類 科 組: 數理組 科 目: 機率統計

考試時間: 2 小時 座號:

※注意: 可以使用電子計算器。

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

(請接背面)

全一張

(正面)

一、A 及 B 兩支球隊爭取某冠軍頭銜,要連續比賽直到其中有一隊累計勝利 4 場、得到 冠軍為止。假設各場比賽之間互相獨立,且每一場 A 贏 B 的機率是 p,0<p<1,則 賽完 6 場時產生冠軍的機率是多少?(10 分)

二、若事件 A 和 B 互相獨立且 P(A)>0, P(B)>0,則 A,B 是否互斥?理由必須說明清楚。

(8 分)

三、設 U

1

, U

2

, L , U

8

為抽自均勻分布 U ( 0 , 1 ) 的隨機樣本, U

(1)

U

(2)

≤ L ≤ U

(8)

為其順序 統計量(order statistics),求以下機率:(寫出算式即可,不必計算答案)

P ( U

(8)

< 0 . 6 ) (8 分)

P ( U

(1)

< 0 . 3 < U

(8)

) (8 分)

四、設 Y 為二項分配隨機變數,參數為 n 及 p,則 Y 之變異數為 Var(Y) = np(1-p) 考慮 V = n(Y/n)(1-Y/n)

求 V 之期望值。(8 分)

參考的答案,找一個 Var(Y)之不偏估計量。(8 分)

五、某環保團體從一條河隨機選取了 10 個定點,在每個定點收集了 1 公升河水,並度 量了其中的含氧量(假設這些含氧量大致符合常態分布,標準差為 0.8 毫克),所 得到的平均數是 4.6 毫克。這是否為足夠證據,顯示整條河的平均含氧量低於每公 升 5 毫克?

寫出此檢定之原始假設 H

0

及對立假設 H

1

,符號定義要寫清楚。(8 分)

算出 p-value。(8 分)

若α= 0.05,應怎樣做結論?(要說明理由,並且要根據問題的問法回答。)(8 分)

六、假設從某縣全體選民當中取出 200 人的簡單隨機樣本,其中有 120 人贊成某議題。

求該縣全體選民中支持該議題比例之 95% 信賴區間(答案四捨五入到小數點後 三位數)。(8 分)

試用一般人能了解的語言具體說明,「95% 信賴區間」中的「95%」之意義。

(8 分)

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100 年公務人員特種考試民航人員、外交領事 人員及國際新聞人員、國際經濟商務人員、

法務部調查局調查人員、國家安全局國家安 全 情 報 人 員 及 社 會 福 利 工 作 人 員 考 試 試題

代號:60950

考 試 別: 國家安全情報人員 等 別: 三等考試

類 科 組: 數理組 科 目: 機率統計

全一張

(背面)

X X , X , , X

七、假設一個特製銅板的正面機率 未知,現在投擲 8 次,記錄其正面數為 ,再擲 8 次,記錄其正面數為 ,依此類推、共執行 12 次,得隨機樣本

p X

1

2 1 2

⋅ ⋅⋅

12

。求

的最大概似估計(Maximum Likelihood Estimate, 簡稱 MLE)。(10 分)

p

附表 Normal Distribution

0.4

N(0, 1) 0.3

0.2

0.1

α

α

= α

> ) ( Z z P

) ( Φ ) ( Φ 1 )

( Z z z z

P > = − = − z

α

z

α

3 2

1 0

-1 -2

-3

數據

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參考文獻

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