4-1 多項式的四則運算

第四章 式的運算

4-1 多項式的四則運算

多項式的基本概念

1.多項式的定義

設

f x

( )

a x

_n ⁿ

a x

_n1 ^n1 

a x

₂ ² 

a x a

₁  ₀，其中

a

_n  且0 n為非負整數，

則稱

f x 為

( ) x的_n次多項式，記為deg ( )f x n。

其中

a 、

_n

a

_n1、…、

a 、

₁

a 稱為

₀

f x 的係數，其中

( )

a 為領導係數，

_n

a 為常數項。

₀ (1)當n0，即

f x

( ) ，又稱為常數多項式，可再分成

a

₀



f x

( )

a

₀  為0 零次多項式。



f x

( )

a

₀  為0 零多項式（不定義次數）。

(2)若 ( )

f x 為多項式，

x必不在泝分母 沴絕對值 沊根號內 出現。

2.多項式的係數

n次多項式

f x

( )

a x

_n ⁿ

a x

_n1 ^n1 

a x

₂ ² 

a x a

₁  ₀中：

(1)常數項

a

₀  f(0)。

(2)所有係數和

a

_n

a

_n1  _

a

₁

a

₀  f(1)。

(3)（偶次項係數和）（奇次項係數和） f( 1) 。 (4)偶次項係數和 (1) ( 1)

2 f  f 

 。

(5)奇次項係數和 (1) ( 1) 2 f  f 

 。

★★ 多項式的係數 ★★

求(5

x

⁴3

x

³7

x

²10

x

1)(3

x

³15

x

²10

x

5) 的展開式中(1)常數項 (2)偶次項係數和。

(1)常數項

f

(0) ( 1) 5     5 (2)偶次項係數和

(1) ( 1) ( 68) 30

2 2 19

f



f

  

   

設

f x

( ) (3

x

³5

x

²4

x

3)⁴，求

f x 展開式

( ) 中(1)所有係數和 (2)奇次項係數和。

(1)所有係數和

f

(1) (3 5 4 3)    ⁴  1 (2)奇次項係數和

(1) ( 1) 1 81 2 2 40

f



f

 

   

★★ 多項式的係數 ★★

若

f x 滿足

( ) 5 ( ) 2 ( ) 3 ( )

f x

³ 

f x

² 

f x

2

x

2 3

x

12

   ，求 ( )

f x 之常數項。

令x0代入原式

 5 (0) 2 (0) 3 (0) 12

f



f



f



 4 (0) 12

f



 (0) 3

f

 故常數項為3

若

f x 滿足

( ) (

x

1) ( ) 5

f x

² 

x

² 3 5 ( ) 3

f x x

14

   ，求 ( )

f x 所有係數和。

令x1代入原式

 2 (1) 5 3 5 (1) 3 14

f

  

f

 

 3 (1) 9

f



 (1)

f

  3 故所有係數和為3

多項式相等及恆等定理

1.多項式的相等

兩多項式相等 同次項係數相等。

2.多項式恆等定理

設兩多項式

f x 、 ( )

( )

g x 皆不超過

n次，若有n1個相異實數



₁、



₂、…、



_n、



_n1， 使得

f

( )



₁ 

g

( )



₁ ，

f

( )



₂ 

g

( )



₂ ，…，

f

( )



_n 

g

( )



_n ，

f

(



_n1)

g

(



_n1)，則 f x( )g x( )。

★★ 多項式恆等定理 ★★★

設

f x

( ) (

a

2)

x

³ (

b

1)

x

²4

x

 ， 2 ( ) 3 2 (2 )

g x



x

 

c x d

 ，若 (1)

f



g

(1)，

1 1

( ) ( )

2 2

f



g

，

f

( 2)

g

( 2)， (2015) (2015)

f



g

，則_{a b c d   }？ 由多項式恆等定理知 ( )

f x



g x

( )，

∴

2 0 1 3 4 (2 ) 2

a b

c d

  

  

   

 





2 4 6 2

a b c d

  

 

 

  故_{a b c d   10}

設

f x

( ) (

a

4)

x

³ (

b

2)

x

² (

c

3)

x d

  1 若

f

(1)

f

(2)

f

(3)

f

(4) 5 ，

則_{a b c d   }？

由多項式恆等定理知 ( ) 5

f x

 ，

∴

4 0 2 0 3 0 1 5

a b c d

  

  

  

  





4 2 3

4

a b c d

  

  

 

 

 故_{a b c d   1}

多項式的加減法與乘法

1.多項式的加法與減法

多項式的加法與減法運算，為將同次項的係數相加或相減，可分為橫式運算與直式運算。

2.多項式的乘法

兩多項式相乘，為利用(1)乘法分配律

a b c

(  )

ab ac

 與(2)指數律

x

^m

x

ⁿ 

x

^{m n} ，將式子 展開，再作同次項相加，亦可分為橫式與直式運算。

★★ 多項式加減法與乘法的次數 ★★

設多項式

f x 、 ( )

( )

g x 與 ( ) h x ，且deg ( ) 5 f x

 ， deg ( ) 3

g x

 ，deg ( ) 3

h x

 ，求下列各運算結 果之次數：(1) ( )

f x



g x

( ) (2) ( )

g x



h x

( ) (3) ( )

f x g x

 ( )。

(1)∵ deg ( ) deg ( )

f x



g x

∴ deg( ( )

f x



g x

( )) deg ( ) 5

f x

 (2)∵ deg ( ) deg ( ) 3

g x



h x



∴ deg( ( )

g x



h x

( )) 3 ，2，1，0 或無次數（零多項式）

(3)deg( ( )

f x g x

 ( ))deg ( ) deg ( )

f x



g x

5 3 8

  

設多項式

f x 、 ( )

( )

g x 與 ( ) h x 的次數分別為

2 次，4 次與 2 次，求：(1) ( )

f x



g x

( ) (2) ( )

f x



h x

( ) (3) ( ) ( )

f x h x

 之次數。

(1)∵ deg ( ) deg ( )

f x



g x

∴ deg( ( )

f x



g x

( )) deg ( ) 4

g x

 (2)∵ deg ( ) deg ( ) 2

f x



h x



∴ deg( ( )

f x



h x

( )) 2 ，1，0 或無次數（零多項式）

(3) deg( ( ) ( ))

f x h x

 deg ( ) deg ( )

f x h x

 

2 2 4

  

除法原理

對二多項式 ( )

f x 與 g x ，且

( )

g x

( ) 0 ，存在唯一的多項式 ( )

q x 與 r x ，

( ) 使得 f x( )g x q x( ) ( ) r x( )，且deg ( ) deg ( )

r x



g x

或

r x

( ) 0 。

此時

f x

( )

g x q x

( ) ( ) 

r x

( )又可稱為 被除式除式商式_餘式。

★ 除法原理 ★

若

f x 除以

( )

x

²3

x

 之餘式為4 3x8， 求

f

(4)之值。

設商式為 ( )

q x ，由除法原理可得

( ) ( 2 3 4) ( ) 3 8

f x



x



x

 

q x



x



∴

f

(4) 0 

q

(4) 12 8 

 (4) 4

f



若以

x

²  除 ( )

x

3

f x 得到商式為

 2x 5， 餘式為_8x11，求

f

( 1) 。

由除法原理可得

( ) ( 2 3) ( 2 5) 8 11

f x



x

     

x x x



∴

f

( 1) 3 7 8 11    

 ( 1) 24

f

 

多項式的除法－長除法

將多項式

f x 除以 ( )

( )

g x ，即為找出 ( ) f x



g x q x

( ) ( ) 

r x

( )中

q x 與 ( )

( )

r x 的方法，

常用的有「長除法」與「綜合除法」。先介紹長除法，並舉例如下。

求6

x

³

x

²7

x

1^除以2x1^{之商式及餘式}

3 2

2

2

3 2

3 2 2 3 2

2 3 2 3 2 2

2 2

2 2

6 2 3 2 2 3 4 8 2 4

2 1 6 7 1

)6 3 3 (2 1) 6 3

2 7 1 (6 7 1) (6 3 ) 2 7 1

) 2 (2 1) 2

8 1 ( 2 7 1) ( 2 ) 8 1

) 8 4 4

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

 

   

   

   

     

           

        

        

 

泝 沝 泀 沴 沊 沀 泞

洰 (2 1) 8 4 5 (8 1) (8 4) 5

x x

x x

   

 泍     

即6

x

³

x

²7

x

 1 (2

x

1)(3

x

²    

x

4) ( 5) 故商式為3

x

²  ，餘式為

x

4 5

將過程中的文字省略即為分離係數法，須記得缺項補0。

★★ 長除法 ★★★

已知

3

2 2

2 3 5

2 2

x x cx d

x ax b x

     

  ，

求_{a b c d  } 之值。

原式同乘(

x

²  2) 2

x

³3

x

 5 (

ax b x

 )( ² 2)

cx d

 由除法原理可知

ax b 為商式，_{cx d} 為餘式 2

1 0 2 2 0 3 5 2 0 4

1 5

    

 

 

∴ 商式2x，餘式_{ x 5} 故_{a b c d}       _{2 0 1 5 6}

多項式2

x

³4

x

²

ax b

 除以

x

²3

x

 的餘1 式為_10x9，求_{a b} 。

2 2 1 3 1 2 4

2 6 2 2 ( 2)

2 6 2

( 4) ( 2)

a b

a b

a b



    

   

 

  

∴ 4 10 2 9

a

b

  

   

  a6，_{b 7} 故_{a b  1}

重點五

★★★ 長除法的應用 ★★★

已知x = 3+2，求3x³−10x²−4x+3之值。

由x= 3+2⇒ − =x 2 3

⇒ x²−4x+4=3 ⇒ x²−4x+1=0 以x²−4x+1除3x³−10x²−4x+3

3 2

1 4 1 3 10 4 3 3 12 3

2 7 3 2 8 2 1 1 +

− + − − +

− +

− +

− + + 可得3x³−10x²−4x+3

=(x²−4x+1)(3x+2)+x+1 故所求即x = 3+2代入

(x2 −4x+1)(3x+2)+x+1

得 0 [3( 3 2) 2] ( 3 2) 1× + + + + + 3 3

= +

設 f x( )=x⁴+3x³−2x²−9x+7， 求 3 5

( )

f − +2

。

令 3 5

x − +2

= ⇒ 2x + =3 5

⇒ 4x²+12x+9=5

⇒ x²+3x+1=0 以x²+3x+1除 ( )f x

1 0 3 1 3 1 1 3 2 9 7

1 3 1 3 9 7 3 9 3 10 + −

+ + + − − + + +

− − +

− − −

得 f x( )=(x²+3x+1)(x²−3) 10+ 故

2

3 5 3 5

0 [3 3] 10

2 2

f− +  − + 

= × × − +

   

   

   

=10

多項式的除法－綜合除法

「綜合除法」常用在除式為一次式。

除式領導係數為 1

求x³+3x²+4除以x + 之商式及餘式。 2 1 3 0 4

2 2 0 2

2 2 4 1 1 2 8

x x

+ + +

− ← + = ⇒ = −

− − +

→ + − + ← 令

商式 餘式

故商式為x²+x−2，餘式為 8

除式領導係數非 1

3 2

6x +x +7x−1除以 2x + 之商式及餘式。 1

1 1

6 1 7 1

2 1 0

3 1 4 2 2

2 6 2 8 5 3 1 4

x x

+ + −

− ← + = ⇒ = −

− + −

− + − ←

→ − +

令 餘式 商式

故商式為3x²−x+4，餘式為−5

綜合除法須注意：(1)缺項補 0。 (2)商式是否已除以除式的領導係數。

重點六

平方

平方

★ 綜合除法 ★ 設

f x

( ) 8

x

³8

x

 ，求 7

(1) ( )

f x 除以

1

x

 的商式及餘式 2 (2)

f x 除以

( ) 2x1的商式及餘式。

由綜合除法 8 0 8 7 1

4 2 5 2 2 8 4 10 2

4 2 5

  

  

  

 

故(1)商式為8

x

²4

x

10，餘式為 2 (2)商式為4

x

²2

x

 ，餘式為 25 

設

f x

( ) 6

x

³

x

²13

x

 ，求 5 (1) ( )

f x 除以

x1的商式及餘式 (2)

f x 除以

( ) 3x3的商式及餘式。

由綜合除法 6 1 136 5 185 1 3 6 5 18 23

2 5 6 3

   

  

  

 

故(1)商式為6

x

²5

x

18，餘式為_23 (2)商式為 ² 5

2 6

x

3

x

 ，餘式為23

★★ 綜合除法的應用 ★★

設

f x

( ) 2

x

³10

x

²8

x

 ，則 7

(1)若

f x

( )

a x

( 3)³

b x

( 3)²

c x

(   ，3)

d

求a、_b、_c、_d之值

(2)求 ( 2.999)

f

 到小數第三位。

(1)將 ( )

f x 利用綜合除法連續除以

x3 2 106 12 128 7 3

2 64 4 56 2 26 2 2 | 8

d c

a b

   

  

   

 

  

  

故a2，_{b 8}，_c2，_{d 5} (2)由(1)得

3 2

( ) 2( 3) 8( 3) 2( 3) 5

f x



x

 

x

 

x

  故

f

( 2.999)  2 (0.001)³ 8 (0.001)²  2 (0.001) 5

≒5.002

設

f x

( ) 3

x

³5

x

²2

x

 7

3 2

( 1) ( 1) ( 1)

a x b x c x d

       ，求 (1)a2b3c d

(2) (0.999)

f

到小數第三位。

(1)將 ( )

f x 利用綜合除法連續除以

x1 3 5 2 7 13 2 0

3 2 0 73 1 3 1 13 3 | 4

d c

a b

  

  

   

 

  



  

故a2b3c d     3 8 3 7 1 (2)∵

f x

( ) 3(

x

1)³4(

x

1)²    (

x

1) 7

故 f(0.999) 3 ( 0.001)   ³  4 ( 0.001)²  ( 0.001) 7

≒7.001

★★★ 綜合除法的應用 ★★★

設

f x

( ) 3

x

³4

x

²2

x

 2

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)

a x x x b x x

      

( 1)

c x d

   ，求a b c d   之值。

利用綜合除法依序以x1、_x2、_x3 除

f x 得

( )

3 - 4 + 2 - 2 + 3 - 1 + 1 1 3 - 1 + 1 - 1 → d + 6 + 10 2 3 + 5 + 11 → c + 9 3

a ← 3 +14 → b

故

f x

( ) 3(

x

1)(

x

2)(

x

 3)

14(

x

1)(

x

 2) 11(

x

  1) 1 所求      3 14 11 ( 1) 1

將

f x

( ) 2

x

³

x

² 表為 (1

a x

1)(

x

 2) (

x

3)

b x

( 1)(

x

2)

c x

( 1)

d

        之形式。

利用綜合除法依序以x1、x2、x3 除

f x 得

( )

-2 + 1 + 0 + 1 + 2 - 3 + 3 -1 -2 + 3 - 3 + 4 → d

+ 4 - 14 - 2 -2 + 7 -17 → c

+ 6 -3

a ← - 2 +13 → b

故

f x

( ) 2(

x

1)(

x

2)(

x

 3)

13(

x

1)(

x

 2) 17(

x

  1) 4

4-2 餘式與因式定理

餘式定理

多項式 f x( )除以x a 之餘式為 f a( )。

由除法原理，可設f x 除以( ) x a 的商為 ( )Q x ，餘式為 r ，且f x( ) ( x a Q x ) ( )r 令x a  ( ) (f a  a a Q a ) ( )  ( )r f a  ，故餘式為 ( )r f a 。

(1)由上述證明知，當除式為一次時，令除式 = 0 所得之根代入被除式即為餘式。

同理， f x 除以 ax b( )  之餘式為 ( )b

f a ，其中a 。 0

(2)反之，求 ( )b

f a 之值即為求f x( )除以ax b 之餘式。

★ 餘式定理 ★

求

f x

( ) 2

x

²⁰¹⁸2

x

¹⁰¹3

x

⁴ 除以5 x1之 餘式。

令x 1 0  x 1代入

f x

( )

 ( 1) 2 2 3 5 2

f

      故餘式為2

若

f x

( ) 2

x

⁴5

x

³

kx

²8

x k

 10除以 2

x 之餘式為3，求k值。

由餘式定理知 (2) 3

f



 32 40 4  k16 k 10 3

 k 5

★★ 餘式定理 ★★

5 4 3 2

( ) 6 7 8 5 3 10

f x



x



x



x



x



x

 ，

求 2

( )

f

3 。

( 2)

f

3 即

f x 除以

( ) 3x2之餘式 6 7 8 5 3 10 2

4 2 4 6 2 3 6 3 6 9 3 8

    

     

    

故 2

( ) 8

f

3 

求6 11 ⁶70 11 ⁵50 11 ⁴64 11 ³ 22 112 2 11 30

     之值。

令

f x

( ) 6

x

⁶70

x

⁵50

x

⁴64

x

³22

x

²  2x 30

所求

f

(11)即為

f x 除以

( ) x11之餘式 6 70 50 64 22 2 30

66 44 66 22 0 2211 6 4 6 2 0 2 8

     

     

      故

f

(11)  8

★★ 餘式定理的應用 ★★

3 2

2

x



ax



bx

 除以8

x

²  得餘式

x

2 5x2，求_a、_b之值。

設商式為 ( )

Q x ，由除法原理知

3 2 2

2x ax bx 8 (x  x 2) ( ) 5Q x  x2 (

x

2)(

x

1) ( ) 5

Q x x

2

    

以_x2代入  16 4 a2b 8 12

 2a b  泝2

以_{x 1}代入       2 a b 8 3

 a b  沴7

解泝、沴得_a3，_{b 4}

( ) 2

f x



x



mx n

 除以x2和_x4之餘式分 別為6 及 4 ，求 ( )

f x 除以

x3之餘式。

(2) 4 2

f

 

m n

  6

 2m n  泝2 (4) 16 4 4

f

 

m n

  

 4m n   沴20 解泝、沴得_{m 11}，_n24



f x

( )

x

²11

x

24 所求

f

(3) 9 33 24 0   

★★★ 餘式定理的應用 ★★

多項式

f x 除以

( )

x

²4

x

 餘式為3  2x 8， ( )

g x 除 以 x

² 2

x

 餘 式 為3 3x2 ， 求 ( ) ( 1) ( )

xf x

 

x g x

除以_x3之餘式。

設

2

1 2

2

( ) ( 4 3) ( ) 2 8 ( ) ( 2 3) ( ) 3 2

f x x x Q x x

g x x x Q x x

     



    



 ¹

2

( ) ( 3)( 1) ( ) 2 8 ( ) ( 3)( 1) ( ) 3 2

f x x x Q x x

g x x x Q x x

    

     



 (3) 2 (3) 7

f g

 

 



而所求即3 (3) 2 (3) 6 14 20

f



g

  

以

x

 分別除多項式 ( )1

f x 和 ( ) g x 得餘式為

3和5，求(

x

²1) ( ) (

g x

 

x

2) ( )

f x

除以_x1 之餘式。

由餘式定理知 ( 1) 3 ( 1) 5

f

g

  

  



而所求即

2 ( 1) 3 ( 1) 2 5 3 ( 3) 19

g

 

f

      

★★★ 餘式定理的應用 ★★★

多項式

f x 以

( ) x1除之餘2，以x2除之餘

 ，求以 (4

x

1)(

x

2)除

f x 之餘式。

( ) 設餘式為ax b ，商式為

Q x

( )

則

f x

( ) (

x

1)(

x

2) ( )

Q x



ax b



∵ (1) 2 ( 2) 4

f

f

 

   

  2

2 4

a b a b

  

   



解得a2，b0，故餘式為2x

多項式

f x 除以

( ) x2之餘式為9，除以x4 之餘式為_15，求

f x 除以 (

( )

x

2)(

x

 之餘4) 式。

設餘式為ax b ，商式為

Q x

( ) 則

f x

( ) (

x

2)(

x

4) ( )

Q x



ax b



∵ ( 2) 9 (4) 15

f

f

  

  

  2 9

4 15

a b a b

  

   



解得_{a 4}，_b1，故餘式為_{ 4x 1}

因式定理

1.因式與倍式：若多項式

f x 除以 ( )

( )

g x 之餘式為零多項式，則稱 ( ) f x 可被 ( ) g x 整除，

且稱

f x 是 ( )

( )

g x 的倍式， ( ) g x 為 ( ) f x 的因式，記為

g x f x( ) | ( )。 若 ( ) | ( )g x f x ，且 m 、 n 為任意非零實數，則mg x n f x 。 ( ) | ( )

即實數倍不影響因式與倍式關係。

2.因式定理：

_{x a f x}

_{ | ( ) }

_{f a}

_{( ) 0} 。

同理可知

ax b f x

 | ( )  ( ) 0

b f a

 ^。

★★ 因式定理的應用 ★★

若

f x

( )

ax

³5

x

²  可被

x b x

² 

x

2 整除，求_a、_b之值。

∵

x

²  

x

2 (

x

2)(

x

 1)

∴

x

2 | ( )

f x

且

x

1| ( )

f x

 (2) 0 ( 1) 0

f

f

 

  

  8 22

4

a b

a b

  

  

 解得_a2，_b6

若

x

² 為1

g x

( ) 2

x

³

mx

²

nx

 的因式， 1 求_m、_n之值。

∵

x

² 1 (

x

1)(

x

 1)

∴

x

1| ( )

g x

且

x

1| ( )

g x

 (1) 0 ( 1) 0

g

g

 

  

  3

1

m n m n

  

  

 解得_{m 1}，_{n 2}

因式假設法

已知

f x 為三次多項式

( )

(1)若 ( )

f 



f

( ) 0



 ，可設 f x( ) ( ax b x )( 



)(x



)。

(2)若 ( )

f 



f

( )





f

( ) 0



 ，可設 f x( )a x( 



)(x



)(x



)。 (3)若 ( )

f 



f

( )





f

( )



 ，可設

k

f x( )a x( 



)(x



)(x 



) k。

★★ 因式假設法 ★★

已知

f x 為三次多項式，

( )

若

f

(1)

f

( 2) 

f

(3) 0 ，且 (0) 3

f

 ， 求

f

(4)。

設 ( )

f x



a x

( 1)(

x

2)(

x

 3)

∵

f

(0) 3 

a

  ( 1) (2) ( 3) 3  

 1

a

 2

∴ 1

( ) ( 1)( 2)( 3)

f x

 2

x



x



x



故 1

(4) 3 6 1 9

f

     2

已知

f x 為三次多項式，

( )

若

f

(0)

f

( 1) 

f

(1) 2 ，且 (2)

f

  ， 4 求

f

( 2) 。

設 ( )

f x



ax x

( 1)(

x

  1) 2

∵

f

(2)   4 a     2 3 1 2 4

 a 1

∴

f x

( ) 

x x

( 1)(

x

  1) 2

故

f

( 2)          ( 2) ( 1) ( 3) 2 8

★★★ 因式假設法 ★★★

已知

f x

( )

px

³

qx

²  ，

rx s p

 ， 0 若

f

(1)

f

(2) 0 ， (0)

f

  ， (3) 162

f

 ， 求

f

( 1) 。

設 ( ) (

f x



ax b x

 )( 1)(

x

 2)

∵ (0) 2 (3) 16

f

f

  

 

  ( 1) ( 2) 2

(3 ) 2 1 16

b

a b

     

    



 1

3 8

b a b

  

  

  a3，_{b 1}

∴

f x

( ) (3

x

1)(

x

1)(

x

 2) 故

f

( 1) ( 4) ( 2) ( 3)         24

已知

f x 為三次多項式，且

( ) 1

( ) ( 1) 0

f

2 

f

  ， (1) 6

f

 ， (2) 36

f

 ，求

f x 。

( ) 設

f x

( ) (

ax b

 )(2

x

1)(

x

 1)

∵ (1) 6 (2) 36

f

f

 

 

  ( ) 1 2 6

(2 ) 3 3 36

a b

a b

   

    



 3

2 4

a b a b

  

  

  a1，_b2 故

f x

( ) (

x

2)(2

x

1)(

x

 1) 2

x

³5

x

² 

x

2 重點三