选修1-2（文科）

选修 1-2（文科）

湖南教育出版社

经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过

定价：7.25 元

ISBN 978-7-5355-4603-6

9 787535 546036 >

普通高中课程标准实验教科书

湖南教育出版社高中课程标准实验教科书

2

选修

（ 文科

）

1^－

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Mathematics

数 学

湖 南 教 育 出 版 社

选修 1-2( 文科）

普通高中课程标准实验教科书

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书 书 书

执行主编 _! 李尚志

编 _!! 委 _! 何书元 _! 朱华伟 _! 任宏硕

!!!!! 郑志明 _! 王长平

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书 书 书

!! 这一册 里 ^! 要 学 的 是 统 计 案 例 ^" 推 理 与 证 明 ^" 框 图 ^" 数系扩充及复 数 的 引 入 _! 这 些 内 容 ^! 既 体 现 了 数 学应用 的 强 大 力 量 ^! 又 体 现 了 数 学 思 维 的 强 大 力 量 ^! 更体现了数学思维与应用的统一 _!

统计学与我 们 每 个 人 的 生 活 息 息 相 关 ^! 是 数 学 理 论解决实际 问 题 的 成 功 范 例 _! 统 计 学 是 研 究 如 何 从 数 据中提取有用信息的科学 _! 在科学研究 ^" 工农业生产 ^"

新产品开发 ^" 产品 质 量 的 提 高 乃 至 政 治 ^" 教 育 ^" 社 会 科学等各个 领 域 ^! 使 用 统 计 方 法 和 不 使 用 统 计 方 法 获 得的效果是 大 不 相 同 的 _! 在 本 学 习 阶 段 ^! 学 生 将 通 过 对统计案例的讨论 ^! 了解和使用一些常用的统计方法 ^! 进一步体 会 运 用 统 计 方 法 解 决 实 际 问 题 的 基 本 思 想 ^! 认识统计方法在决策中的作用 _!

推理与证 明 ^! 是 数 学 的 基 本 思 维 过 程 ^! 也 是 学 习 和生活中常用的思维方式 _! 通过经验和直觉 ^! 用归纳 ^"

类比的方 式 来 推 测 和 发 现 有 用 的 概 念 或 可 能 的 结 论 ^! 叫作合情 推 理 _! 根 据 已 有 的 事 实 和 正 确 的 结 论 ^# 包 括 定义 ^" 公理 ^" 定理等 ^{$ !} 按照严格的逻辑法则得到新的 结论 ^! 叫作演绎推理 _! 合情推理和演绎推理紧密联系 ^! 相辅相成 _! 数 学 欢 迎 一 切 有 用 有 趣 有 创 意 的 概 念 ^! 但 它归根结底只 接 受 经 过 一 丝 不 苟 的 演 绎 推 理 证 明 了 的 结论 _! 数学的 正 确 性 必 须 由 逻 辑 证 明 来 保 证 _! 数 学 证 明的 方 法 多 姿 多 彩 ^! 有 直 接 证 明 的 分 析 法 ^" 综 合 法 ^!

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书 书 书

色色的数学 问 题 ^! 往 往 需 要 多 年 的 专 业 磨 练 ^" 而 结 合 学过的知识体 会 数 学 证 明 的 特 色 并 对 这 些 方 法 有 所 了 解 ! 则是人人 皆 有 机 会 体 验 的 美 的 享 受 _! 这 种 感 受 将 帮助你养成 言 之 成 理 ^# 论 证 有 据 的 习 惯 ^! 使 你 在 人 生 旅途中少走弯路 ^! 少犯错误 _!

你要动手 做 一 件 事 ! 就 要 先 做 好 计 划 ! 设 计 好 做 这件 事 的 步 骤 ^! 这 就 可 以 用 框 图 _! 框 图 是 一 种 语 言 ^! 一种表达方 式 ^! 是 沟 通 思 维 和 应 用 的 一 条 渠 道 _! 框 图 已经广泛应 用 于 算 法 # 计 算 机 程 序 设 计 # 工 序 流 程 的 表达 ^# 设计方 案 的 比 较 等 方 面 ^! 它 不 但 是 表 示 数 学 计 算与证明过 程 中 主 要 逻 辑 步 骤 的 工 具 ^! 也 正 在 成 为 日 常工作和各 门 学 科 进 行 交 流 的 一 种 常 用 表 达 方 式 _! 在 本册教材中 ^! 学 生 将 通 过 实 例 理 解 这 种 表 达 方 式 ^! 提 高抽象概括 能 力 和 逻 辑 思 维 能 力 ^! 逐 步 学 会 应 用 这 种 方式清晰地表达和交流思想 _!

从自然数 到 有 理 数 ^! 从 有 理 数 到 实 数 ^! 数 系 一 次 又一次扩充 _! 复数 的 引 入 ^! 是 数 系 的 又 一 次 扩 充 _! 这 是合情推 理 与 演 绎 推 理 在 数 学 中 又 一 次 成 功 的 合 作 ^! 也是数学思 维 和 数 学 应 用 的 又 一 次 完 美 的 统 一 _! 学 习 了复数 ^! 你将 进 一 步 领 略 数 学 思 维 的 神 奇 力 量 ^! 同 时 又掌握了一个在现实应用中可以大显身手的有力工具 _!

!!

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５２

第

４

4.1 随机对照试验案例 /

习题 １ / 4.2 事件的独立性 /

习题 ２ /

4.3 列联表独立性分析案例 / 习题 ３ /

4.4 一元线性回归案例 / 习题 ４ / 小结与复习 /

复习题四 /

第

５

5.1 合情推理与演绎推理 /

５．１．１ 合情推理（一）—— —归纳 / 习题 １ /

５．１．２ 合情推理（二）—— —类比 / 习题 ２ /

５．１．３ 演绎推理 / 习题 ３ /

５．１．４ 合情推理与演绎推理的关系 / 5.2 直接证明与间接证明 /

５．２．１ 直接证明押分析法与综合法 / 习题 ４ /

5.2.2 间接证明押反证法 / 习题 ５ /

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１０９

复习题五 /

阅读与思考

用计算机证明几何定理 /

公理化思想对人类文化的影响 /

第

６

6.1 知识结构图 / 习题 １ / 6.2 工序流程图 /

习题 ２ / 习题 ３ / 6.3 程序框图 /

习题 4 / 习题 5 / 小结与复习 /

复习题六 /

第

７

7.1 解方程与数系的扩充 / 7.2 复数的概念 /

习题 １ / 7.3 复数的四则运算 /

习题 ２ / 7.4 复数的几何表示 /

阅读与思考

ｉ

＝ －１ 的几何意义 / 习题 ３ /

小结与复习 /

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１０１ １０ ２６

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数学文化

数系扩充小史 /

［多知道一点］

假设检验案例 / 正态分布 / 哥德巴赫猜想 / 伽利略妙用反证法 / 代数基本定理 /

附 录 数学词汇中英文对照表

/

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书 书 书

一方一药命关天

试验调查数据先

数据无言谁识得

精推细算系平安

统计学是 研 究 如 何 从 数 据 中 提 取 有 用 信 息 的 科 学 内 容包括如何收 集 和 分 析 数 据 基 于 统 计 学 的 数 据 处 理 方 法 称为 统 计 方 法 在 科 学 研 究 工 农 业 生 产 新 产 品 开 发 产品质 量 的 提 高 乃 至 政 治 教 育 社 会 科 学 等 各 个 领 域 使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的 只要统 计 方 法 使 用 得 当 往 往 能 够 得 到 事 半 功 倍 的 效 果 这已成为统计学 能 随 着 科 学 技 术 和 国 民 经 济 的 发 展 而 快 速 发展的重要 原 因 时 至 今 日 统 计 已 成 为 世 界 上 各 个 层 次 的政府机构的重要支柱

典型统计案例

第

4

书 书 书

数据无言谁识得 精推细算系平安

!! 统计学是 研 究 如 何 从 数 据 中 提 取 有 用 信 息 的 科 学 ^! 内 容包括如何收 集 和 分 析 数 据 _! 基 于 统 计 学 的 数 据 处 理 方 法 称为 统 计 方 法 _! 在 科 学 研 究 ^" 工 农 业 生 产 ^" 新 产 品 开 发 ^"

产品质 量 的 提 高 乃 至 政 治 ^" 教 育 ^" 社 会 科 学 等 各 个 领 域 ^! 使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的 _! 只要统 计 方 法 使 用 得 当 ^! 往 往 能 够 得 到 事 半 功 倍 的 效 果 _! 这已成为统计学 能 随 着 科 学 技 术 和 国 民 经 济 的 发 展 而 快 速 发展的重要 原 因 _! 时 至 今 日 ^! 统 计 已 成 为 世 界 上 各 个 层 次 的政府机构的重要支柱 _!

书 书 书

一方一药命关天 ^! _! 试验调查数据先 _! 数据无言谁识得 ^! _! 精推细算系平安 _!

统计学是 研 究 如 何 从 数 据 中 提 取 有 用 信 息 的 科 学 内 容包括如何收 集 和 分 析 数 据 基 于 统 计 学 的 数 据 处 理 方 法 称为 统 计 方 法 在 科 学 研 究 工 农 业 生 产 新 产 品 开 发 产品质 量 的 提 高 乃 至 政 治 教 育 社 会 科 学 等 各 个 领 域 使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的 只要统 计 方 法 使 用 得 当 往 往 能 够 得 到 事 半 功 倍 的 效 果 这已成为统计学 能 随 着 科 学 技 术 和 国 民 经 济 的 发 展 而 快 速 发展的重要 原 因 时 至 今 日 统 计 已 成 为 世 界 上 各 个 层 次 的政府机构的重要支柱

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书 书 书

!!

! "# ! 随机对照试验

!!收集数据的方法之一是从总体中进行抽样^!另外一个方法是在试 验中得到观测数据_!为了能根据试验的数据对 试 验 进 行 合 理 的 分 析!

需要对试验进行合理的安排_!

案例_{#! "}坏血病的研究^#_!"世纪初期^!长期在海上航行的水手 经常患坏血病_!坏血病的症状是牙龈肿大出血^!皮肤上出现青灰的斑 点_!英国海军部试图考察坏血病的起因_!他们怀疑这是因为水手体内 缺少柑橘类水果中的某种成分造成的_!当此想法提出时!刚好有_#艘 军舰要远航_!为了 调 查 水 手 是 否 由 于 缺 少 柑 橘 类 的 水 果 而 导 致 坏 血 病!海军部设计了一次试验$随机地安排一艘军舰上的水兵每天喝柑 橘汁^!另外_$艘军舰不供应柑橘汁_!

试验的结果是$航行还没有结束!没有提供柑橘汁的水手多数得 了坏血病^!而提供柑橘汁的军舰没有发现坏血病_!最后^!提供柑橘汁 的军舰 不 得 不 把 携 带 的 柑 橘 汁 分 给 其 他 的 军 舰^!以 帮 助 他 们 顺 利 返航_!

尽管本次试验的计划还可以从各个方面进行改进^!但是试验的结 果成功地证实了最初的怀疑_!

在案例_!中^!我 们 称 喝 柑 橘 汁 的 水 兵 为试 验 组 ^"_%&'%()*%+,-.

/(01'#!称不喝柑橘汁的水兵为对照组 ^"20+,(0./(01'#3

试验组由随机选择出的对象构成^!试验组的成员要接受某种特殊 的待遇或治疗 等_!而 对 照 组 由 那 些 没 有 接 受 这 种 特 殊 待 遇 的 对 象 构 成_!一个好的试验设计都应当有一个试验组和一个对照组_!

在案例_!中^!如果没有对照组^!为_#艘军舰都提供柑橘汁^!就没 有水兵患上坏血病!海军部就不能确认他们的最初怀疑_!因为不能确 定是否是其他的食品或治疗避免了坏血病_!

为什么试验组要随机抽取呢%

设想在案例_!中^!如果安排喜欢喝柑橘汁的水兵在试验组^!喜欢

４． １ 随机对照试验案例

书 书 书

二维正态分布曲面

书 书 书

!!无论人们意识到与 否^!统计学存在于工 农 业生产^"国民经济和 日 常生活之中_!不懂统 计 可能会造成不知不觉的 损失_!

书 书 书

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书 书 书

喝啤酒的水兵在对照组^!就不能确定研究开始前这两组水兵的身体状 况是否有差异_!水手身体状况的差异也可能影 响 是 否 容 易 得 坏 血 病_! 随机选择试验组能够有效地抵消个体差异造成的对试验结果的影响_!

随机选择试验对象是英国统计学家费歇尔 ^"_!"#$%&#的贡献^!在

'(世纪初!他用此方 法 致 力 于 农 业 试 验 的 研 究_!从 此 随 机 选 择 试 验 组成为安排试验的基本原则_!

案例_{!! "}静脉吻合分流术^#在一些肝硬化病例中^!许多病人会

肝出血直至死亡_!历史上有一种称为 $静脉吻合分流术%的外科手术 用于治疗肝硬化^!其原理是运用外科手术的方法使血流改变方向_!这 种手术花费很大!并且有很高的危险性_!值得做这样的手术吗&

为了解决上述问题^!一 共 进 行 了 三 批 共_)*次 手 术 试 验_!第 一 批 进行了_+'次无对照组的试验_!结果如下^'

设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效

+' ', - *

所占比例 _-)■ _'*./■ _+.*■

!!试验说明有_-)■的手术显著有效_!'*./■ 的手术中等有效!看 来手术是值得做的_!

第二批共进行了_*)次 手 术 试 验!这 批 试 验 有 对 照 组!但 是 对 照 组的病人不是随机选取的_!医生根据病人的临床诊断情况决定是将病 人编入试验组做手术!还是编入对照组不做手术_!结果如下'

设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效

*) *( + '

所占比例 _00.-■ _'(■ _*+.+■

!!这次试验的结果是_00.-■的手术显著有效_!'(■ 的手术中等有 效_!*+.+■ 的 手 术 无 效_!这 个 试 验 结 果 也 是 对 ^$静 脉 吻 合 分 流 术^% 的肯定_!这次的结果与无对照组的试验结果差别不是很大_!

再看有随机选取对照组的 第 三 批 试 验_!这 批 试 验 共 有_,次 手 术_! 随机选取的方式可以是掷硬币!如果硬币正面朝上就将病人选入试验 组做手术!否则放入对照组不做手术_!这次试验的结果如下'

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书 书 书

设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效

! " # $

所占比例 _"■ _%&■ _'&■

!!随机对照试验的结果显著地否定了外科手术 ^!静脉吻合分流术^"_! 结果显示#没有随机选取对照组的前两批试验研究过分夸大了外 科手术 !静脉吻合分流术"的价值_!经过认真设计的有随机选取对照 组的实验研究显示 ^!静脉吻合分流术^"几乎没有什么价值_!

为什么会出现如此大的差别呢^$

在无对照组和非随机选取对照组的试验中%实验者根据病人的临 床诊断决定是否将他编入试验组进行手术_!这样做就出现一种自然的 倾向^#试验人员更倾向于将那些身体状态较好的病人选入试验组^%以 减少手术风险_!其 结 果 有 利 于 对 手 术 的 肯 定 评 价^%这 种 结 果 是 不 真 实的_!!!

对上述试验的跟踪观测 发 现%做 手 术 的_&#个 病 人 中_$年 后 大 约 有_("■仍然活着%随 机 对 照 组 中 &没 做 手 术 的 病 人_'$年 后 大 约 也 有_("■的病人仍然活着_!这就说 明 手 术 基 本 是 无 效 的_!而 在 非 随 机 对照组中^%只有_!&■的病人 存 活 期 超 过_$年^%这 就 说 明 了 非 随 机 对 照组中的病人健康情况较差%验证了健康情况较好的病人更容易被选 入试验组_!

随机安排对照组是十分必要的!否则可能得出错误的结论_! 我们称随机选取试验组的对照试验为随机对照试验_!

在随机对照试验中%为了得到更真实的结果%有时还需要其他的 手段配合_!

案例_!!#)#(年小儿麻痹症 ^&脊髓灰质炎^'袭击了美国^%以后的

!"年间^%受害 者 成 千 上 万_!%"世 纪_&"年 代^%人 们 开 始 研 究 预 防 疫

苗_!当时萨凯 ^&_*+,-'培育的疫苗最有希望_.他的疫苗在实验室中表

现良好#安全%产生对脊髓灰质炎病毒的抗体_!但是在大规模使用前 必须进行临床试验^%通过试验最后确定疫苗是否有效_!只有这样才能 达到保护儿童的目的_!

书 书 书

!!以 上 数 据 来 源 于

!"#$%&' "( )&*+$",%- +,$"'"./!!"#0$%"&'((#!

)*(+( ('&0

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书 书 书

当时采用了随机对照的研究方案^!对每个儿童用类似投掷一枚硬 币的方法决定是否将他编入试验组^"正面朝上分在试验组^!否则分在 对照组_!除了试 验 的 设 计 人 员^!连 医 生 也 不 知 道 哪 个 儿 童 分 在 试 验 组!哪个儿童分在对照组_!

然后给分在试验组的儿童注射疫苗#给分在对照组的儿童注射生 理盐水^!让他们认为也被注射了疫苗_!得到的结果如下^"

试验人数 试验后的发病率

试验组 _!"万 !#$$"""""

对照组 _!"万 %$$$"""""

!!试验 结 果 显 示!疫 苗 将 小 儿 麻 痹 症 的 发 病 率 从 ^%$

$"""""降 低 到

!#

$"""""!由于_%$和_!#的 差 别 超 出 了 随 机 性 本 身 所 能 解 释 的 范 围!

所以宣布疫苗是成功的_!

我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂^!案例_&中的安慰剂 是注射生理盐水_!给对照组的儿童使用安慰剂是为了避免儿童的心理 作用影响试验的结果_!尽管可以认为光靠精神作用不能抵抗小儿麻痹 症^!但是为了确认试验结果的可靠性^!使用安慰剂是必要的_!

不让医生知道儿童是来自试验组还是对照组^!是为了使医生能够 作出更公正的诊断^!避免在诊断儿童是否患有小儿麻痹症时受到心理 因素的影响_!

在许多场合^!心理因素是不能忽视的_!有资料显示^!在医院中给 那些手术后产生剧痛的病人服用由淀粉制成的 ^%止痛片^&后^!大约有

$

&的病人感觉剧痛减轻_!

练 习

某个社会团体的_$#名 理 事 开 会 决 定 是 否 增 选 甲 为 新 理 事!哪 种 选 举 方 式 最 能 体现与会理事们的真 实 意 愿^' _{(! !) !}哪 种 选 举 方 式 有 利 于 甲 入 选 理 事 会^'

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书 书 书

!!!"

!!"请同意增选甲为理事的举手_{!!! !""}请不同意增选甲为理事的举手

!#"采用记名投票!!!!!!!!! !$"采用无记名投票

! 习题 _!

%!举例说明采用随机对照试验的必要性_!

&!在评价一种治疗高血压的磁疗手表 时^#调 查 了_%''名 刚 开 始 使 用 这 种 手 表 的 高 血压患者^#他们中有₍₎人回答磁疗手表对降低高血压有效_!

!%"能否作出这种磁疗手表对降低高血压的有效率是₍₎■ 的结论$

!&"设计一种能够公平评价这种磁疗手表的试验方案_!

!*"你的设计中试验组和对照组是随机选取的吗$

!+"在你的设计中^#使用 ^%安慰剂^&了吗^$ 安慰剂是什么^$

!)"在对参加试验的人进行高血压的 测 量 时^#能 让 医 生 知 道 被 测 者 使 用 的 是 磁 疗手表还是外观完全相同的普通手表吗^$

!!

! "#! 事件的独立性

!!学习概率时#我们把试验的可能结果称 为 试 验 的 元 素#把 元 素 构 成的 集 合 称 为 试 验 的 全 集_!用_! 表 示 试 验 的 全 集 时_#! 的 子 集 是 事件_!

设全集_!中有有限个元素#""!!如果_!中每个元素发生的可 能性相同#就称

#!""$"中元素数

!中元素数

为_"发生的概率^#简称为_"的概率_!

书 书 书

!!元素作为试验的可 能结果^!又被统计学 家 们 称 为 试 验 的样 本 点

"!"#$%& '()*'#&#或 基本事件₊

书 书 书

! !试 验 的 全 集_!又 被统计学家们称为样本 空间 ^!!"#$%&!$"'&"!

４． ２ 事件的独立性

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书 书 书

在计算事件_!的 概 率 时^!先 计 算 全 集_!中 元 素 个 数^!然 后 再 计 算事件_!中元素个 数_"特 别 要 注 意^!全 集_!中 每 个 元 素 发 生 的 可 能 性必须相同_"

投掷一枚骰子和一枚硬币^!骰子的点数和硬币是否正面朝上是独立

的_"这时我们称投掷一枚骰子的试验和投掷一枚硬币的试验是独立的_"

用_!!表示第 一 个 试 验 的 全 集^!用_!" 表 示 第 二 个 试 验 的 全 集_! 如果这两个试验是独立的!就称全集_!!和_!"独立 "#$%&'&$%&$(#)

理论和试验都证明了以下结论"

当事件的全集_!!和_!"独立!对于_"!!!和_#!!"!有

$"""##%$""#$"##!

这时^!我们也称事件_!!#独立_"

例_!#投掷一枚骰子和一枚硬币^!计算骰子出现_!或_"点^!硬币 正面朝上的概率_"

解_#用_!表示骰子的点数是_!或_"!用_#表示硬币正面朝上^!则

!!#独立_"!"#表示骰子出现_!或_"点^!硬币正面朝上_"

######$#!"#$%$#!$$##$%!#&$

!%$

#"

例_"#同学甲的数学作 业 得 优 的 概 率 是_%&'!同 学 乙 的 语 文 作 业 得优的概率为_%&("今天同时留了数学和语文作业!计算甲的数学作 业得优^!乙的语文作业没得优的概率_"

解_#用_!表示甲的 数 学 作 业 得 优!用_#表 示 乙 的 语 文 作 业 没 有 得优^!则

$#!$%%&'!#$##$%$)%&(*%&+"

!"#表示甲的 数 学 作 业 得 优!乙 的 语 文 作 业 没 有 得 优_"!!#独 立!

所以

$#!"#$%$#!$$##$%%&',%&+*%&!""

全班_"-个同学同时随机地翻开数学书^!用_!'表示第_'个同学翻

开的左面页数在_+%页或以下^!则事件

!^$!!^!!%!!^"-

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书 书 书

是相互独立的_!

对于!"!!"!"!#!用_!!表示第_!个试验的全集_$如果这_# 个试验是相互独立的!就称这些试验的全集_!!!!^"! " !!^# 是相互 独立的_$

理论和试验都证明了以下结论!

!!如果试验的全集_!!!!^"! " !!^#是相互独立的!则对

%^!"!^!"%^""!^""#"%^#"!^#

有

&$%!#%^"###%^#%"&$%!%&$%"%&#&&$%#%$

这时^"我们也称事件_"!^"_"""#""^#是相互独立的_!

例_#!高中每个年级三个班的羽毛球水平相当^"各年级举办班级 羽毛球比赛时"计算都是三班得冠军的概率_!

解_!用_"$表 示 第_$年 级 的 三 班 获 得 冠 军^"则_"!^"_""^"_"# 相 互 独立_!

%$"^!%&%$"^"%&%$"^#%&!#!

事件

"&"^!#"^"#"^#

表示都是三班得冠军_!由于_"!""^"""^#相互独立"所以

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#^#$$%$#&!

例_$!一服装店出售标价为_!'$元的夹克_!售货员对前来问价的 顾客以_!'$元推销成功的概率是_$%'!如果一小时内有两位顾客前来

问价^"计算服务员对这两位顾客都没有推销成功的概率_!

解_!用_"!""^"分别表示对第一'第二位顾客没有推销成功"则

"^!""^"独立_!"&"^!#"^"表示对这两位顾客都没有推销成功_!利用

%$"^!%&%$"^"%&!($%')$%"

得到

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书 书 书

!!""#!!"^!!"^""#!!"^!"!!"^""##$"%#$"&#$#'$

例_!"下围棋时^#李浩每局赢张岚的概率只有_#$'($假设他们下

棋时各局的输赢是独立的_$

!!"计算李浩连输₎局的概率^$

!""计算₎盘棋中李浩至少赢_!局的概率_$

解 ^!_!"用_"!^#_""^#_")分别表示第_!#第_"#第₎局李浩输^#则

"#"^!!"^"!"⁾表示李浩连输₎局_$ 因为事件_"!#"^"#"⁾相互独立#并且

!!"^!"#!!"^""#!!"⁾"#!*#$'(&#$((#

所以李浩连输₎局的概率是

!!""#!!"^!"!!"^""!!"⁾"##$((⁾##$!++'$

!"""的对立事件_%表示李浩至少赢_!局_$

!!%"#!*!!""##$,))+$

说明₎盘棋中李浩至少赢_!局的概率还是很大的_$

练 习

!$幸运抽奖活动中#中奖的比率是百分之一#计算%

!!"随机抽取一张#没中奖的概率_&$

!""有放回地随机抽取_'#!##张#没中奖的概率_&'$

!)"有放回地随机抽取_'#!##张#至少中奖一次的概率_$

"$在彩票的公 开 摇 奖 活 动 中#购 买 一 张 彩 票 的 中 奖 率 是 千 分 之 一 !包 括 各 类 小 奖"$计算购买_'张彩票不能中奖的概率_$

" 习题 _!

!$投掷一枚骰子和一枚硬币#计算骰子出现点数₊和硬币反面朝上的概率_$

书 书 书

!!本例中不考虑心理 因素的影响_!

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书 书 书

!!假设每个人的生日 在 一 年 的_"#$天 中 是 等 可 能 的_!在 全 校 随 机 选 取 两 名 同 学!

计算以下事件的概率_!

"%#两位同学的生日都在_$号$

"!#一位同学的生日在_$号!另一位的生日在_&号_!

"!某人的手机在一天内收到_"条短信的概率_#"如下%

" ' % ! " ( $ # & )

#^" '*'% '*'# '*%# '*!$ '*!$ '*%& '*'& '*'! '*'%

"%#计算该手机明天和后天各收到_$条短信的概率$

"!#计算该手机明天和后天共收到_$条短信的概率$

""#计算该手机明天和后天一共收到至多_$条短信的概率_!

假设检验案例

案例_!!一条新建的交通干线全长_%'+,!前半段_$+,!后半段

$+,!在刚刚通 车 的 一 个 月 中^!后 半 段 就 发 生 了₍起 交 通 事 故^!而 前半段没有发生交通事故_!能否认为后半段发生交通事故的概率比前 半段大^"

解_!同一起交通事故发生在后半段就不能发生在前半段^!就像硬 币掷出反面时就不会出现正面一样_!(起交通事故的发生是相互独立 的^!它们之间没有联系_!

如果前^#后半段发生交通事故的概率相同^!则每一起事故发生在 后半段的概率都是_'*$!于是这₍起交通事故都发生在后半段的概率是

'*$⁽$'*'#!$!

这是一个很小的概率^!一般不会发生_!所以我们认为后半段发生交通 事故的概率比前半段大_!

作出以上结论也是有可能犯错误的^!犯错误的概率正是_'*'#!$!

这是因为当前后半段发生交通事故的概率相同^!而₍起交通事故又都

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出现在后半段时^!我们才犯错误_!也就是说我们犯错误的概率等于前 后半段发生交通事故的概率相同的条件下^!_!起交通事故都出现在后 半段时的概率_!这一概率正是"#"$%&!于 是^!我 们 判 断 正 确 的 概 率 是'("#"$%&)*+#,&■_!

因此我们是以_*+#,&■的把握保证后_&-.比前_&-.更容易发生 交通事故_!

得到了上述结果后^!交通管理部门很快在进入后半段的地点安放

了警示牌^"前方是事故多发路段^!请小心驾驶_!

案例_!!一服装店出售标价为_'/"元的夹克_!售货员声称对前来 问价的顾客以_'/"元 推 销 成 功 的 概 率"#"#$!现 在 一 小 时 内 有_!位 顾客前来问价^!服务员对这_!位顾客都没有推销成功_!能否判定售货 员的"#"#$不对^#

解_!用_$'^!_$%^!_$+^!_$!分别表示对第_'!第_%!第_+!第_!位顾 客没有推 销 成 功^!则_$'^!_$%^!_$+^!_$! 相 互 独 立_{!$ #$'"$%"}

$⁺"$^!表示对这_!位顾客都没有推销成功_!利用

!!!!!!%$$^&%#'("#$)"#!!&#'!%!+!!

得到

%$$%#%$$^'%%$$^%%%$$⁺%%$$^!%#"#!^!#"#"%&$!

这是一个小概率事件^!其发生的原因很可能是"#"#$不 对_!所 以应当判定售货员的"#"#$不对_!作出这个结论也可能犯错误^!犯 错误的概率是_%#&$■_!于 是 判 断 正 确 的 概 率 是_*,#!!■_!因 此^!我 们以_*,#!!■的概率保证"#"#$!

案例_"!某地区的山羊患某种疾 病 的 概 率 是_"#!!且 每 只 山 羊 患 病与否是相互 独 立 的_!现 在 为 了 判 断 一 种 新 的 预 防 药 是 否 有 预 防 作 用^!随机选取了_$只 山 羊 做 试 验^!这_$只 山 羊 用 药 后 都 没 有 得 这 种 病_!问此新药是否有效^#

解_!初看起来^!_$只山羊用药后都没有得病^!应当判断新药有效_! 但是细想一下^!就会发现即使新药无效^!_$只山羊也可能都不得 病_!为了作出正确的判断^!让我们假设新药无效^!然后看看事实是否 支持这个假设_!

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用_!"表示第_"只山羊不得病^!则_!!!!"!"!!#相互独立_!!#

!^!!!^"!"!!^#表示_#只山羊都不得病_$

假设新药无效^!则_%#!"^$#!$%&'(%&#!于是有

%#!$#%#!^!!!^"!"!!^#$

#%#!^!$%#!^"$%"%%#!^#$

#%&#^#"%&%'#)$

这个概率很小^!几乎不会发生^!说明我们的假设有问题_$于是我们否 定原来的假设^!认为新药是有效的_$

否定新药无效也可能犯错误^!但 是 犯 错 误 的 概 率 是_%&%'#)$因 为只有在新药无效的条件下_!#只山羊都不得病^!我们才犯错误_$

案例_*解决的问题是统计中的假设检验问题_$先作一个假设^&&&

新药有效^!在这个假设下看看实际情况是否支持这个假设^!如果在这 个假设下小概率事件发生了^!说明实际情况不支持这个假设^!于是我 们就否定这个假设_$

实际问题 中 经 常 将 小 于 或 等 于_{%&%+ #}或_%&!$的 概 率 视 为 小 概 率^!这时否定 ^'假设^(!犯错误的概率不超过_{%&%+ #}或_%&!$$

##

! "# # 列联表独立性分析案例

##在许多实际问题中^!我们需要考察两种因素的关系_$例如^! 患肺癌与吸烟是否有关^"

儿童语言能力是否与他们的性别有关"

汽车司 机 不 系 安 全 带 是 否 与 发 生 车 祸 时 司 机 遭 受 致 命 性 伤 害 有关_$

为了分析这些问题^!我们需要用问卷调查或现场记录等方式获取 一批数据_$例如^!为了了解患肺癌是否与吸烟有关^!就需要调查其他 条件都基本相 同 的_&个 人_$将 调 查 结 果 列 成 表_'&!的 形 式_$其 中_' 表示 ^#是否吸烟_$!(表示 ^#是否患肺癌_$$

４． 3 列联表独立性分析案例

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!!表_!"#!!

! " 患肺癌^!_#" 不患肺癌^!#"" 总_!计

吸烟!$" % & %'&

不吸烟^!#$" ( ) (')

总_!计 _{%'( &') *}

其中_#%'&是吸烟的总人数_#(')是不吸烟的总人数^#

%'(是患肺癌的总人数_#&')是不患肺癌的总人数#

*+%'&'('),

我们称类似_!"#的表格为列联表^$称_!#"为两个因素^#称 ^%吸 烟&和 %不吸烟&为_! 的 两 个 水 平#称 %患 肺 癌&和 %不 患 肺 癌&

为_"的两个水平_,

由于所涉及的 两 个 因 素_!#" 均 有 两 个 水 平^#所 以 称 表_!"#为

$%$列联表_,

列联表_!"#的独立性分析就是根据表中的数据分析因素_!#"是

否相互独立_,

下面我们通过对具体案例的分析学习列联表的独立性分析方法_, 案例_!患肺癌与吸烟是否有关^'

为研究患肺癌是否与吸烟有关#从一批在年龄(生活和工作环境 等方面相仿的男性中分别随机抽取了_&'名肺癌患者和_!'名非肺癌患 者^#调查他们是否吸烟_,调查结果列入表_!"$,

值得指出的是⁾这里要求被调查对象在年龄⁽生活和工作环境等 因素方面尽量相同是为了避免这些因素对 %是否患肺癌&的影响#因 为不同的年龄段或者不同的生活⁽工作环境等因素可能也会导致人们 易患肺癌_,如果调查时不考虑这些因素^#即使我们分析的结果是患肺 癌与吸烟有关#也 不 清 楚 这 种 关 系 反 映 的 是 患 肺 癌 与 吸 烟 之 间 的 关 系^#还是由其他因素引起的关系_,

因此#只有尽量控制调查对象在其他方面尽可能一致#才能根据 调查数据有效 地 分 析 患 肺 癌 与 吸 烟 的 相 关 性_,将 上 述 调 查 数 据 列 成

$%$列联表^#并计算出各行各列的和^#得到表_!"$,

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!!表_{!"# !!}肺癌与吸烟的调查数据

" ! 患肺癌^!_#" 未患肺癌^!"#" 总_!计

吸烟!$" !" #$ $%

不吸烟^!#$" &# &$ %'

总_!计 _{'( %( #((}

!!从表_%)&看出#在_$%个吸烟的人中有_!"人患肺癌#患者占^!"

$%$

*&)&&■^$在不吸烟的_%'人中^#有_&#人患肺癌^#患者占^&#

%'$%$)'$■_% 吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高出

*&)&&■_&%$)'$■_'&')$*■_%

这种差异似乎已经说明吸烟与患肺癌有很大关系_%但仔细想想^#由于 这_#((人是随机 选 取 的#会 不 会 由 于 随 机 抽 样 的 误 差 使 得 所 抽 取 的

'(名肺癌患者中碰到了较多的吸烟者#而在_%(名非肺癌患者中碰到 了较多的不吸烟者_%这样也可能导致吸烟者中肺癌患者的比例比不吸 烟者中肺癌患者的比例高_%

于是#我们还需进一步用统计方法说明单凭随机抽样的误差还不 足以造成如此大的差异_%

在本例中('!"#)'#$#*'&##+'&$#(,)'$%#*,+'%'#

(,*''(#),+'%(#-'(,),*,+'#((%

为分析_"#! 是 否 独 立^#先 假 设_.(%"#! 独 立_%也 就 是 假 设

&吸烟^'与 ^&患肺癌^'独立_%这时_$与_#独立^##$与_#独立_#$与#"

独立^##$与"#独立_%

于是!/!$%#"'/!$"/!#"#!/!#$%#"'/!#$"/!#"#

/!$%"#"'/!$"/!"#"#!/!#$%"#"'/!$"#/!"#"%

根据概率与频率的关系#知道

/!$%#"的估计为0/^$#'(- '()!"#/!$%#"" 的估计为0/^"$#'*- '()&##

/!$%"#"的估计为0/$"#')- '()#$#/!$%"" #"的估计为0/$#'+- '()&$%

/!$"的估计为0/^$'(,)- '()$%#/!#$"的估计为0/^$#'*,+- '()%'#

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!!""的估计为#!"$%&'( $!"##!!!""的估计为#!"^!$)&*( $!"$+

因为假设_,#-独立#所以_{!."$"#!."/#!.}#!^""#!^!."$"#!^."! /#!^!.#!^""#

!^.!"$"#!.!"/#!.#!^!""#!^."$"#!."/#!.^##!^!""都相应比较小^#我们用

$$$$"^%$(!#!.#!^%.""&(!#!.^##!^%#.""&(!#!.#!^%.!"!"&(!#!.^##!^%."!"

$ (!%*/)'"^%

!%&)"!'&*"!%&'"!)&*" #

表示_!."$!."# $!^.!"$!^."的总体大小₊当_0!成立时_#"^%取值应该比

较小^#当_"^%取值较大时^#表示假设_0!不成立₊ 在本案例中^#经过计算得到_"^%的观测值为

$$$$$$"^%$&!!!'()%*+&*)%&"^%

*$)$#)#!)$! %,"'&+

那么_#"^%$,"'&是否太大呢%

统计学家已经有明确的结论&如果_%)%列联表中的两个因素_,#

-是独立的^#即在_0!成立的情况下^#且当随机调查的数据_%#)#'#

*都不小于_*时#随机事件 '"^%&#"#'*(发生的概率约为!"!&#即

!!"^%&#"#'*"%!"!&+

也就是说#在_0!成立的情况下_#"^%的值大于_#"#'*的概率非常 小#近似于!"!&+即 在_0!成 立 的 情 况 下#对 随 机 变 量_"^%进 行 多 次 观测#观测值超过_#"#'*的频率为!"!&+

在本案例中^#由调查数据所得到的_"^%$,"'&'#"#'*#这件 事 发 生的概率_!!"^%&,"'&"(!!"^%&#"#'*"%!"!&+这是一个小概率事件^# 因此我们有_((-的把握认为_0!不成立#即在本案例中发生的原因很 可能是由于假定_0! ^'患肺癌与吸烟独立⁽不对₊于是否定_0!^#从而 认为患肺癌与吸烟有关系₊

值得指出的是^#我们在作出上述判断时也有可能犯错误^#因为患 肺癌与吸烟无关系时_#"^%的值仍有可能超过_#"#'*#但是这件事发生 的概率不超过!"!&+也就是说我们犯错误的概率不会超过!"!&+

上面这种利用随 机 变 量_"^%来 确 定 在 多 大 程 度 上 可 以 认 为 ^'两 个 分类变量有关系⁽的方法称为两个分类变量的独立性检验₊

书 书 书

!!这 是_!"##年 皮 尔 逊 ^!$%&'()*+,"引 进 的统计量_!^-_!有时为书 写方便_#!^-也记作_"^-_!

书 书 书

!!当 观 测 数 据_!!"!

#!$中 有 小 于_!的 数 时^!需采用很复杂的 精 确的检验方法_%

书 书 书

!!这种思想类似于反 证法_!

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利用独立性检验来考察两 个 分 类 变 量_! 与_" 是 否 有 关 的 具 体 做 法是^!

"!#提出假设_#"!!与_"无关$

"##根据_#$#列联表与公式_!计算_!^#的值$

"%#查对临界值 ^"表_&'%#%作出判断_$

表_!"#

%"!^#!&^"#"'(" "'&" "'#( "'!( "'!" "'"( "'"#( "'"!" "'""( "'""!

&^" "'&(( "')"* !'%#% #'")# #')"+ %'*&! ('"#& +'+%( )'*), !"'*#*

例如! "!#如果_!^#"!"'*#*%就有_,,',-的把握认为 &!与_"

有关^'$

"##如果_!^#"+'+%(%就有_,,-的把握认为 &!与_"有关'$

"%#如果_!^#"#')"+%就有_,"-的把握认为 ^&_!与_"有关^'%

如果_!^###')"+%就认为没有充分的证据显示 ^&_!与_"有关_'$

例_$用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验%结果如下_$试比 较两种方法和阴性结果是否有关系_$

阳性 阴性 合计 荧光抗体法 _{!+" ( !+(}

常规培养法 _{#+ &* )&}

合计 _{!*+ (% #%,}

解_$提出假设_#"!两种方法与阴性没有关系_$

由题意可知%'(!+"%)((%*(#+%+(&*%',)(!+(%*,

+()&%',*(!*+%),+((%%-(',),*,+(#%,%将它们分别代

入公式得

!^#( -"'+.)*#^#

"',)#"*,+#"',*#"),+#%!!%'!*($

查表_&'%可 知_%%"!^#!!"'*#*# %"'""!%即 当 _#" 成 立 时%

!^#!!"'*#*的概率约为"'""! "或_"'!-#%而这里的_!^#_%!!%'!*(远 大于!"'*#*$

因此^%我们有_,,',-的把握认为它们之间有关系_$

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书 书 书

练 习

为了了解高中生是否喜 欢 参 加 体 育 锻 炼 与 性 别 之 间 的 关 系^!调 查 者 随 机 调 查 了!""名高中生的情况^!调查结果如下 ^"单位^#人^$#

喜欢参加体育锻炼 不喜欢参加体育锻炼 合_!计

男 _{#$% &' (&!}

女 _{#)! #(" (!!}

合计 _{))( #*'} !""

请问#高中生是否喜欢参加体育锻炼与性别之间有关系吗%

! 习题 _!

为了考察某种新药预防疾病的作用^!进行动物实验得到如下观测数据_! 患_!病 未患病 合_!计

服用药 _{#! )! !"}

没服用药 _{(& (* !"}

合_!计 _{)$ *#} #""

请问能有多大把握认为药物有效%

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书 书 书

!!

! "! ! 一元线性回归案例

!!案 例_! 海 牛 是 一 种 体 型 较 大 的 水 生 哺 乳 动 物^!体 重 可 达 到

!""#$!以水草为食_!美洲海牛生活在美国的佛罗里达州^!在船舶运

输繁忙季节!经常被船的螺旋桨击伤致死_!下面是佛罗里达州记录的

%&!!"%&&"年机动船只数量_"和被船只撞死的海牛数_#的数据_!

年_!份 %&!! %&!' %&!& %&'" %&'% %&'( %&')

机动船只数量_" **! *+" *'% *&' ,%) ,%( ,(+

被撞死的海牛数_{# %) (% (* %+ (* (" %,} 年_!份 %&'* %&', %&'+ %&'! %&'' %&'& %&&"

机动船只数量_" ,,& ,', +%* +*, +!, !%% !%&

被撞死的海牛数_{# )* )) )) )& *) ," *!}

!!现在问#

$%%随着机动船只数量的增加^!被撞死的海牛数是否会增加^&

$(%当机动船增加到_!,"只^!被撞死的海牛会是多少^&

要解决上面的问题^!先由数据画出散点图^!横坐标是_"!纵坐标 是_#!见图_{* %!}

从数据散点图上看到_#$有 随 着_"$的 增 加 而 沿 某 一 直 线 增 加 的 趋 势_!直线确定了^!问题^$_%%也就解决了_!但这条直线应当如何确定呢^&

无论是从抽样调查中得到的成对数据!还是从科学试验'工农业 生产中得到的成对数据!在统计学中都被称为观测数据或样本!数据 的个数被称为样本量_!

上面案例_%中的_%*对观测数据称为样本^!由图_{* %}的_%*个 点 表示_!

样本量是_%的成对观测数据用

$"%!#^%%!$"(!#⁽%!(!$"%!#^%%

表示_!这里!对固定的_$!"$和_#$来自相同的个体或是同一次 试 验 的

４． ４ 一元线性回归案例

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图_{! "!}船只数量和被撞死海牛数的散点图

观测数据_!对""#!"! $"!%^"#和 "$#!%^##来自不同的个体或是不同 试验的观测数据_!

对于上述观测数据!我们用 $$"%表示数据_$"!$#!&!$&!用

$%^"%表示数据_{%"!%#! &!%&!}用_$#和_%$分 别 表 示 $$^"%和 $%^"%

的均值_!用_'$表示 $$^"%的标准差!用_'% 表示 $%^"%的标准差_!

再引入

'$%($^"%^")$^#%^#)&)$^&%^&

& *#$$%!

定义_{! ""#}当_'$'%"$!我们称

+^$%(''$'^$%%

为$$^"%和$%^"%的相关系数^'

"##当_+$%%$!我们称$$"%和$%^"%正相关'

"%#当_+$%&$!我们称$$"%和$%^"%负相关^'

"!#当_+$%($!我们称$$^"%和$%^"%不相关_! 理论上可以证明相关系数_+$%的以下性质(

""#+^$%总是在区间 )*"!"*中取值'

"##当_+$%越接近于_"时_!$增加_!%也倾向于增加!这时数据

"$^"!%^"#!"$^#!%^##!&!"$&!%^&#

分散在一条上升的直线附近'

"%#当_+$%越接近于_*"时_!$增加_!%倾向于减少!这时数据

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!!!""^!#"!!"""^"#"$"!!#""^##

分散在一条减少的直线附近_$

图_{# "}至图_{# $}分别是 %!%&和 %"^%&之间正相关和负相关的 举例_$样本量都是_%&$

&!"!&

图_{# "}

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