验证伽利略的假设

普通高中课程标准实验教科书

PHYSICS

主编 束炳如 何润伟

上海科技教育出版社

共同

物 理 必修 ₂

沪科教版

从你打开物理课本起，你已经开始投身于一项壮丽、有趣的探索 活动。 让我们携手度过一段美好的时光。

你周围世界发生的事情几乎都跟物理学有关，现代社会的许多技 术进步都源于对物理规律的理解和应用。 学习物理可以使你提高科学 素养的愿望得到实现，甚至可以使你成为“专家”。 作为现代社会的公 民，物理学将有助于我们解决生活、生产中的许多问题。

《物理 1》、《物理 2》是高中学生必须学习的内容。 在这里，我们将 走过从伽利略到牛顿为建立经典力学体系而开辟的道路，了解从经典 力学到现代物理的变革，学习物理学的基本原理，体会物理学的思想 观点和研究方法，认识物理学在科学技术上的广泛应用，及其对人类 文明与社会发展的巨大影响。

为了让你在学习《物理 2》的过程中获得更大的成功，请浏览本书 栏目介绍。

每 章 的 开 头 都 有 一 些情景， 提出一些问题，

让 你 明 确 本 章 研 究 的 主 要内容。

实 验 探 究

这 里 将 要 求 你 提 出 问 题 ，设 计 实 验 方 案 ，动 手 做 一 些 有 意 义 的 实 验 ，进 行 科 学 探 究 。

分析 论 证

在 这 里 ， 你 将 经 历 分 析 、 综 合 、 应 用 数 学 工 具 进 行 推 理 ， 从 而 得 出 物 理 学 规 律 和 公 式 的 过 程 ， 体 会 到 高 中 物 理 理 论 思 维 的 魅 力 。

实验探究 研究平抛运动

实验的部分装置如图1-5 所示。 实验时，用小锤击打弹性钢 片，小球B 沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球 A 被放开，做 自由落体运动。

你观察到什么现象？

请你分析一下：这个实验的结果能验证伽利略关于平抛运动 的假设吗？ 请说出你的理由。

图１－5研究平抛运动的实验 A B

Ａ Ｂ

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欢迎你选择学习物理 3-1！

我们说过，从你打开物理课本起，你已经开始投身于一项激动人心的探索活动。 让我们继续携手，度过这段美好的时光。

你周围世界发生的事情几乎都跟物理学有关，文明社会的许多技术进步都源于对物理规律的理解和应用。 学习物理可以使你从事科学事业的愿望得到实现，甚至可以使你 成为"专家"。 作为现代社会的公民，我们要学会用物理学知识解决生活、生产的许多问题。 你将体会到物理学对人类文明与社会进步的巨大影响。

你已经学习了物理 1 和物理 2，初步领略了物理学的魅力。 现在，你又跨进了物理 3-1 的大门。 这里，你将经历探索电场、磁场与电路的过程，体验物理学思想方法的威力。 你 的才智将在科学探究和理论思维的过程中得到充分的施展；你将比较全面地学习电磁学的有关知识，了解电磁学的研究成果及其在现代科学技术中的广泛应用，认识到电 磁学与社会发展以及人类文化的互动作用。

为了让你在学习物理 3-1 的过程中获得更大的收获，请浏览以下的本书栏目介绍。

课题 研 究

这 里 提 供 了 一 些 课 题 供 你 选 择 研 究 ，这 种 研 究 将 使 你 的 才 智 得 到 充 分 的 展 示 。

多 学 一 点

这里有更多更深的奥秘，

将进一步开阔 你 的 视 野 。 你 如果有兴趣， 可 以 作 进 一 步 的探索。

家庭 作 业 与 活 动

这 里 为 你 提 供 了 丰 富 多 彩 的学习活动，让你通过回顾进行 自我评价， 加深对知识的理解，

提高解决问题的能力，体验到成 功的喜悦。

家庭作业与活动

1．如图1－7所示，小汽车从位置A匀速向位置 A′运动,乘客在位置A时把手伸出窗外，让 一个物体自由落下。 那么，车中的乘客观察 到物体在做什么运动？ 路边的人观察到物体 在做什么运动？

图1－7 A′ A

课 题 研 究

研究水柱的射程 请用图１－１2 所示 的装置研究水 桶 内 水 的 深 度ｈ 与 水 柱 射 程 ｓ 的 关 系，并用适当的方式描述这种关系。

图1-12 研究水柱的射程

图6－10 飞机上观察 时 间 延缓效应示意图

通过观察高速运动的微观粒子， 时间的相对性反复地得到 了 证 实 。 例 如 ，宇 宙 射 线 中 有 一 种 粒 子 叫μ 子，它的寿命只有 2.2 μs，就是说，如果你观察一个相对于你静止的 μ 子，你只能观 察2.2 μs， 之后它就发生了衰变。 在高能物理实验室中，μ 子可 以加速到0.9966 c，由公式计算出它的平均寿命为 26.7 μs，实验 值也为约26.4 μs。 因此，实验完全证实了时间延缓公式。

1971 年,哈夫勒（J. C. Hafele）和基廷（R. E. Keating）用喷气 式飞机携带铯原子钟进行环球飞行实验， 证实了时钟延缓效应

（图6－10）。

时间延缓效应的实验验证 信息浏览

信息 浏 览 、ＳＴＳ 栏 目

这里为你提供了各种有趣、 有用的 资料，包括物理学史上的经典事例、科学 家小故事等，它们反映了物理学与科学、

技术、社会的紧密联系。 你的视野将更开 阔，你会更加热爱科学。

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目 录 目 录

１．１ 飞机投弹与平抛运动 7

１．２ 研究平抛运动的规律 １1

１．３ 研究斜抛运动 １5

２．１ 怎样描述圆周运动 22

２．2 研究匀速圆周运动的规律 26

２．3 圆周运动的案例分析 31

２．4 研究离心现象及其应用 35

３．１ 探究动能变化跟做功的关系 41

3．2 研究功与功率 47

3．3 动能定理的应用 52

４．１ 势能的变化与机械功 57

４．2 研究机械能守恒定律 62

４．3 能量的转化与守恒 67

４．4 能源与可持续发展 71

第 １ 章 怎样研究抛体运动 ６

第 ２ 章 研究圆周运动 21

第 ３ 章 动能的变化与机械功 41

４

第 章 能量守恒与可持续发展 57

*

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第 ５ 章 万有引力与航天 78

6

５．１ 从托勒密到开普勒 79

５．2 万有引力定律是怎样发现的 83 ５．3 万有引力定律与天文学的新发现 90

５．4 飞出地球去 95

6．１ 经典力学的巨大成就和局限性 105 6．2 狭义相对论的基本原理 110 6．3 爱因斯坦心目中的宇宙 115 6．4 微观世界与量子论 122

研究课题示例 128

评价表 129

总结与评价 课题研究成果报告会 128

第 章 经典力学与现代物理 104

高中物理选修系列介绍 131

*

*

*

* 打*号 为 选 学 内 容 。

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运载火箭的运动是曲线运动

图1－1 物体做曲线运动的例子

第 １ ^章

怎样研究抛体运动

足球场里，人山人海 ，一场国际足球 比 赛 正 在 进行 。 一 声哨 响，蓝方队员被判犯规，红方获罚任意球。 只见红方10 号队员助 跑了几步，飞起一脚，那球在空中划过一道“美丽的弧线”……

在我们生活的广阔空间里 ， 物 体在 做 着各 种 各样 的 机 械 运 动，不但有直线运动，更普遍的则是曲线运动（图1－1）。

那么，怎样研究曲线运动呢？ 在本章中，我们将以飞机投弹、

炮弹发射等现象为背景 ，从运动 的合成与分 解出发 ，沿 着伽利 略 研究抛体运动时走过的道路，学习运用运动的合成与分解的方法 分析研究抛体运动，感受数学工具在研究物理问题中的作用。

图 １－２ 航空兵的投弹演习

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图 1－3 哪一幅图能表示小球 运动的轨迹

飞机投弹与平抛运动

从飞机投弹谈起

空军在军事演习中，常需进行投弹演练。 飞机沿水平方向飞 行 时，要使 投下的 “炸弹”准确地命中地面的目 标 ，飞行 员 应 在 何 处投弹？

有的同 学说：当飞机飞到目标的正 上 方 时投 弹 ，才能 命 中 目 标。

有 的同 学说：当 飞机在离目标一定 水 平 距离 处 投 弹 ，才 能命 中目标。

……

要想正确地回答这个问题，就要弄清楚“炸弹”离开飞机后的 运动情况。

让我们来做一个模拟实验。 如图1-3 所示，使一个小球在水 平桌面上以一定的速度向右运动，小球离开桌面后在空中的运动 跟炸弹在空中的运动是相似的。 你认为哪一幅图中的曲线可以表 示小球离开桌面后的运动轨迹？

请动手做一做，并仔细观察小球离开桌面后的运动轨迹。

可以发现，小球因惯性要保持向前运动；同时，小球因受重力 作用而向下运动。 图b 中的曲线能大致表示小球的运动轨迹。

将 一个 物 体沿 水 平方 向 抛 出 ， 在 空 气 阻 力可 以 忽略 的 情况 下 ，物 体 所 做 的 运 动 叫 做 平 抛 运 动 （horizontal projectile motion）。

上述飞机投弹、小球在空中的运动都是平抛运动。 平抛运动是一 种二维的曲线运动，那么，怎样来研究平抛运动呢？

伽利略的假设

在物理学史上，伽利略（G. Galilei）对抛体运动进行了详细研 究，他揭示了对二维曲线运动研究的基本方法。

1．1

b

c

d a

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伽利略认为，做平抛运动的物体同时做两种运动：在水 平方 向的运动， 物体在这个方向上不受力的作用做匀速直线运动；在 竖直方向的运动，物体受到重力作用做自由落体运动。 他假定这 两个方向的运动“既不彼此影响干扰 ，也不互相妨碍 ”，物体 的 实 际运动就是这两个运动的合运动。

由于物体在水平方向做匀速直线运动，它在水平方向通过的 位移跟时间的一次方成正比， 即在相等的时间间隔内位移相等。

物体在竖直方向做自由落体运动， 它 在竖直 方向 通 过 的位 移 跟 时间的二次方成正比， 即在同样相等的时间间隔内位 移 之 比 为 1∶3∶5∶…。 据此，伽利略用几何方法作出了平抛物体的运动轨迹，它 是一条抛物线（图1-4）。

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ

Ｈ Ｆ

Ｎ

Ｌ Ｇ

Ｏ

匀速直线运动 自

由 落 体 运 动

M I

K

图 1－4 伽利略用几何方法得 到的平抛物体的运动轨迹 笛 卡 儿 （

R. Descartes)

根

据伽利略研究平面曲线运动 的数学处理方法， 把一维的 直线坐标系拓展到二维的平 面直角坐标系， 建立了解析 几何学的基本概念， 为许多 物 理 问 题 的 解 决 带 来 了 方 便。

这样， 伽利略对平抛运动的过程和轨迹给出了完整的描述。

这是伽利略对抛体运动研究的重大收获，它不但具有重要的实用 意义，而且揭示了研究二维或三维运动的基本方法。

伽利略对抛体运动的研究与分析，对你研究较复杂的运动有 什么启示？

验证伽利略的假设

下面我们用实验来验证上述伽利略的假设。

实验探究 研究平抛运动

实验的部分装置如图 1-5 所示。 实验时，用小锤击打弹性钢 片，小球 B 沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球 A 被放开，做 自由落体运动。

图１－5 研究平抛运动的实验 A B

Ａ Ｂ

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图１－6 平抛运动的频闪照片

A B

你观察到什么现象？

请你分析一下： 这个实验的结果能验证伽利略关于平抛运动 的假设吗？ 请说出你的理由。

我们还可以用频闪照相的方法进一步验证伽利略的假设。

分析论证 研究平抛运动的频闪照片

图1-6 是以间隔 1

30s 拍摄的频闪照片，其中一个小球做自由 落体运动， 一个小球做平抛运动。 请你用刻度尺测量小球在不同 时刻水平方向与竖直方向的位移，并记录在下表中。

ｔ /

（

₃₀^{1 s}

）

^{0 １ ２ ３ ４ ５ …}

A ｘ/ｍ 球 ｙ/ｍ B ｘ/ｍ 球 ｙ/ｍ

1． 频闪照片上小球的轨迹跟伽利略用几何方法得到的轨迹是 否一致？

2． 伽利略假设平抛运动在水平方向应是匀速直线运动，即小 球在相同的时间内通过的位移应相等，你的测量结果怎样？

3． 伽利略假设平抛运动在竖直方向应是自由落体运动，即小 球通过的位移应与时间的二次方成正比，你的测量结果怎样？

由以上的实验探究和分析论证，你得出的结论是什么？

家庭作业与活动

1．

如图1－7所示，小汽车从位置A匀速向位置 A′运动, 乘客在位置A时把手伸出窗外，让 一个物体自由落下。 那么，车中的乘客观察 到物体在做什么运动？ 路边的人观察到物体 在做什么运动？

图1－7 A′ A

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2.

根据伽利略对平抛运动研究所做的假设，下 列说法中正确的是

A. 从 同 一 高 度 ，以 大 小 不 同 的 速 度 同 时 水 平抛出两个物体，它们一定同时落地，但 抛出的水平距离一定不同

B. 从 不 同 高 度 ，以 相 同 的 速 度 同 时 水 平 抛 出的两个物体，它们一定不能同时着地，

抛出的水平距离也一定不同

C. 从 不 同 高 度 ，以 不 同 的 速 度 同 时 水 平 抛 出的两个物体，它们一定不能同时着地，

抛出的水平距离也一定不同

3．

用 玩 具 手 枪 水 平 射 击 一 个 与 枪 口 位 于 同 一

高度的固定靶子，能否击中靶子？ 若子弹从 枪口水平射出的瞬间，靶子从静止开始自由 下落，子弹能否击中靶子？

4．

假设一架飞机在高空沿水平方向匀速飞行，

每隔相同的时间， 从飞机上释放一个物体，

请根据伽利略对平抛运动的假设推断：

（1） 这些物体在落地之前，在空中排列成的 几何图线是什么 样 子 ？ 它 们 在 竖 直 方 向的距离之比是多少？

（2） 这些物体在落地之 后 ，在 地 面 （假 设 地 面平坦） 排列成 的 几 何 图 线 是 什 么 样 子？ 相互之间的距离是多少？

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研究平抛运动的规律

飞机水平飞行时，投下的“炸弹”做平抛运动。要使“炸弹”命中 目标， 飞机应该在离目标有一定水平距离时投弹。 这个距离是多 少呢？ 要解决这个问题，就必须对平抛运动进行定量的研究。

运动的合成与分解

从上一节的伽利略对平抛运动的研究和验证实验我们知道，

平抛运动可以看成是水平方向运动和竖直方向运动的合运动。 人 们在研究比较复杂的运动时， 通常把这个运动看作是由两个或几 个比较简单的运动组成的，这就是运动的合成与分解。 物理学中，

把物体的实际运动叫做合运动， 而把组成合运动的两个或几个运 动叫做分运动。

由分运动求合运动叫运动的合成（composition of motions），由 合运动求分运动叫运动的分解（resolution of motion)。 运动的合成 与分解遵循怎样的规律呢？

力是矢量，力的合成与分解遵循平行四边形定则。研究运动的 合成与分解就是要研究描述运动的位移、速度、加速度等物理量的 合成与分解，这些量都是矢量，它们的合成与分解都遵循平行四边 形定则。

运用平行四边形定则可以算出做平抛运动物体的位移、 速度 等物理量。

案例分析

■

案例 研究船渡河的运动

如图 1－8 所示，有一条渡船正在渡河，河宽为 260 m，船在静 水中的速度是 36 km/h，水的流速是 18 km/h。 为了让船能垂直于河 岸渡河，船应该怎样运动？

■

分析 船在渡河过程中的运动是由两个分运动合成的：船的

1．2

ｖ

ｖ２

ｖ１

水流

东 西

南 北

图１－8 研究船渡河的运动 琢

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图 １－9 平抛运动 ｖ０

ａ ＝ ｇ

ｖｙ

ｖｘ

ｖ

匀速运动和水流推动船沿河岸方向的匀速运动。

■

解答 设河宽 s = 260 m，渡船相对于静水的速度 v

1

= 36 km/h

= 10 m/s，河水相对于河岸的速度 v

2

= 18 km/h = 5 m/s，

渡船相对河岸的运动速度大小 v =

摇

v

1 2

- v

2 2

姨 ⁼ 姨

^摇

¹⁰

²

^{- 5}

²

m/s =8.7 m/s 船渡河的时间 t = s

v = 260

8.7 s = 29.9 s

因为渡船参与的两个分运动都是匀速直线运动，所以渡船的 合运动也是匀速直线运动。

由图所示的几何关系知 cos琢 = v

2

v

1

= 5 10 = 1

2

得 琢 = 60°

因此，为了让船能垂直于河岸渡河，渡船的航行方向应指向 上游方向，且与河岸成 60°角。

研究平抛运动的规律

分析论证 怎样计算平抛运动的位移和速度

将运动的合成与分解应用于平抛运动，不仅可以用几何方法 画出做平抛运动物体的轨迹，还可以算出物体在任意时刻的位移 和速度。

如图1－9 所示，设小球离开桌面时的初速度是 v

0

。

在水平方向上，由于 不受力 的作 用 ，小 球因 惯 性以 抛 出 时 的

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2

g

速度做匀速直线运动。 物体在任一时刻的速度v

x

、位移x 分别是 v

x

= v

0

x = v

0

t （1）

在竖直方向上， 小球只受重力作用，做自由落体运动。 小球 在任一时刻的速度v

_y

、位移y 分别是

v

y

= g t y = 1

2 g t

²

（2）

你能根据分运动的速度和位移， 求出图1－6 中的小球在 1 s、

2 s、3 s、…各时刻的速度和位移的大小和方向吗？

多学一点 推导平抛运动的轨道方程

把（１）和（２）式中的 t 消去，可得到平抛运动的轨迹方程 ｙ ＝ ２ ｖ

₀

ｘ

²

想一想：这是什么曲线的方程？

再研究飞机投弹问题

现在你可以定量地分析解决飞机投弹的问题了。

案例分析

■

案例 一架飞机水平飞行的速度为250 m/s，飞机距地面的高 度为 3000 m，飞行员应该在离目标多少水平距离时投弹，才能准 确命中目标？ （g 取 10 m/s

²

）

■

分析 由于飞机的水平速度为250 m/s，因而炸弹离开飞机后 的运动是以250 m/s 的初速度做平抛运动， 所以飞行员必须在离 目标一定水平距离时投弹才能命中目标。

炸弹运动的水平距离可根据ｘ ＝ ｖ

₀

ｔ 求出。 而炸弹在空中运动 的时间t 可根据飞机的高度，用自由落体运动的规律求出。

■

解答 由题知ｖ

0

＝ 250 m/s， h = 3000 m。

由h = 1

2 g t

²

，可得 t = 2h

g

姨 摇

⁼

姨 ^摇

^{2 × 3000１0 s = 24.5 s}

做曲线运动的物体的速 度方向， 是曲线上物体所在 的这一点的切线方向。

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课 题 研 究

研究水柱的射程

请用图１－１2所示 的装置研究水 桶 内 水 的 深 度ｈ与 水 柱 射 程 ｓ的 关 系，并用适当的方式描述这种关系。

图１－１0

1.

图1-10是一小 球 做 平 抛 运 动 时 被 拍 下 的 频 闪照片的一部分，背景标尺每小格表示5 cm。 由这张照片可得小球做平抛运动的初速度为

m/s。

2．

四楼阳台离地面高度约 9.0 m，在阳台上水平 抛出一个小皮球， 落点离阳台的水平距离约 6.0 m，则球抛出时的速度约有多大?

3．

图1－11中，一名网球运动员正在将球水平击 出，他要让球准确地落在图中所示的位置。 你 能根据图中所给的数据， 计算出运动员击出

的球的速度吗？

4．

关于平抛运动，下列说法中正确的是 A. 它是速度大小不变的曲线运动 B. 它是加速度不变的匀变速曲线运动 C. 它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向

的匀速直线运动的合运动

D. 它 是 水 平 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向的匀加速直线运动的合运动

5．

某同学在离地高5 m处以5 m/s的水平速度 抛出一个物体，不计空气阻力，则物体在空中 运动的时间为 s，物体落地点到抛出 点的水平距离为 m （g取10 m/s²）。

6．

一 架 飞 机 在 距 地 面0.81 km的 高 度 以2.5 × 10² km/h的速度水平飞行。 为了使飞机上投 下的物资落在指定的目标上， 应该在与目标 的水平距离为多远的地方投放 （不计空气阻 力）？

7．

根据学过的平抛运 动 知 识 ，用 直 尺 测 量 玩 具 手枪子弹射出枪口时的速度。

（1） 你的测量方法是 。

（2） 计算子弹速度的公式是 。

图1-12 研究水柱的射程 ２．５ ｍ

１５．０ ｍ ７．５ ｍ

图１－１1

家庭作业与活动

炸弹在水平方向上运动的距离ｘ ＝ ｖ

0

ｔ ＝ 250 × 24.5 m ＝ 6125 m。

可见，飞行员应该在离目标水平距离为6125 m 处投弹，才能 命中目标。

５０ ４０ ３０ ２０ １０

O １０ ２０ ３０ ４０ ５０

ｔ ＝ 0.１ ｓ

ｔ ＝ 0.３ ｓ ｔ ＝ 0.２ ｓ

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目标

图1－14 研究炮弹的运动

1．3

研究斜抛运动

炮兵部队进行实弹演习时， 炮弹以 一 定 的初 速 度斜 向 射出 去 ，在空 气 阻力可 以忽略的情况下，我们 把物体所做 的 这 类 运 动 叫做斜抛运动 （angle projectile motion）。 生活中斜抛运动的例子 很 多，例如，足 球运 动 员踢出的足球的运 动，投出去的铅球、铁饼 和标枪的运动……

你还能列举一些物体做斜抛运动的例子吗？

本节以炮弹发射为背景，运用运动合成的原理来研究斜抛运 动的规律。

为了研究问题的方便，我们假定空气对炮弹的阻力可以忽略 不计。

怎样研究斜抛运动

如图 1-14 所示， 发射出去的炮弹具有一个向着斜上方的初 速度v

0

，不计空气阻力，炮弹在空中运动的轨迹怎样？

分 析 论 证

研究斜抛运动，大致有两种思路。

■

方案1

设想炮弹不受任何力的作用，它将沿着初速度v

0

的方向做匀 速直线运动。 事实上，炮弹在竖直方向受到重力作用，因此它在竖 直方向上做自由落体运动。 根据运动的合成，我们可以把炮弹的

图 1-13 乒乓球的运动轨迹

v0

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θ

vx

v vy= 0

vx

vy v

vx

vy v

x v0 y

图1-16 斜抛运动沿水平和竖直方向分解 y

θ v0

vy

O v0 x

a = g v

5 m

2 s 3 s 1 s

20 m 45 m

运动看成是沿初速度 v

0

方向的 匀速 直 线运 动 与沿 竖直方 向的自 由落体运动的合运动。

如图1－15 所示，每经过 1 s，炮弹沿初速度方向走过相等的距 离； 而在竖直方向上， 炮弹按自由 落体运动的 规律， 在 1 s 内、

2 s 内、3 s 内、…下落的距离之比为 1 ∶ 4 ∶ 9 ∶ …

根据以上分析，可以画出炮弹做斜抛运动 时的轨迹（图1-15）。 你不妨在图 1-14 中也试 画一下，并将你画的轨迹与图1－15 做一比较。

■

方案2

类似于研究平抛运动的方法，以炮弹射出 点为原点，建立直角坐标系（图 1－16），将初速 度v

₀

分解为沿水平方向的分量v

_0x

和沿竖直方 向的分量 v

0y

，这样，炮弹 的运动就可以看 成是 以下两个运动的合运动：

在水平方 向上 ，炮弹不 受力 的 作 用 ，炮 弹 在这个 方向上 的分 运动是 速度为 v

x

= v

0x

的匀 速直线运动；

在竖直方向上, 炮弹受重力作用，加速度 为 g，方向与初速度 v

0y

的 方向相反 ，因此 炮 弹 沿竖直方向的分运动是匀减速直线运动。

分析图1-16， 你能描述一下炮弹在做斜 抛运动的过程中速度的变化情况吗？

在分析炮弹运动轨迹时可以发现：炮弹的运动轨迹对经过最 高点的竖直线是左右对称的。 这启发我们：是不是可以将斜抛运 动作为平抛运动来分析处理呢？ 有兴趣的同学不妨一试。

设炮弹从炮筒中射出时的速度是100 m/s， 不计空气阻力，当 炮筒的仰角分别为30°、45°、60°时， 请用运动合成与分解的方法，

描绘炮弹的运动轨迹。

研究斜抛运动的射程与射高

在抛体运动中 ，人们比 较关注的是被抛 物体 的 射高 、射 程和 飞行时间。

射高是被抛物体所能达到的最大高度。

射程是被抛物体抛出点与落点之间的水平距离。

图 1－15 炮弹做斜抛运动时的轨迹

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飞行时间就是被抛物体从被抛出点到落点所用的时间。

你可以用频闪照相（图1-17）等实验方法进行研究，也可以用 理论分析的方法进行研究。

实验探究 研究斜抛运动的射程和射高

如图 1-18 所示，用喷水枪喷射出一股水流，改变水流喷出时 初速度的大小和方向（即喷射角），探究斜抛运动的射程和射高与 哪些因素有关。 说出你的探究结论。

请根据实验结果讨论：

1. 当初速度一定时，喷 射角为多大时，射程最远？

2. 要获得同样的射程，

可 以 有 几 个 不 同 的 喷 射 角 ？ 你能找出其中的规律吗？

图１－17 斜 抛 小 球 的 频 闪 照 片

图1-18 研究喷水枪喷射出的水流的射程 ７５° 60°

45°

30°

15°

多 学 一 点 理 论 推 导 斜抛 物 体的 射 程和 射 高

如 图1-16 所 示 ，设 炮 弹 以 初 速 度 ｖ

0

向 斜 上 方 射 出 ，抛 射 角

（即 初 速 度 方向 与 水平方向的夹角）为 θ。 先建立直角坐标系，将 初速 度 ｖ

_０

分 解 为

ｖ

_0x

＝ ｖ

_０

ｃｏｓθ ｖ

_0y

＝ ｖ

_０

ｓｉｎθ 飞 行 时 间 Ｔ ＝ ２ ｖ

_０y

ｇ ＝ ２ ｖ

_０

ｓｉｎθ ｇ

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信息浏览

伽利略是怎样研究抛体射程的

伽利略把以各种抛射角发射的物体的射程和射高一一计算出来，制成 表格，从中得出：当抛射角α = 45°时，射程最大；抛射角为45°± β的两个斜 抛运动射程相等。 而在他之前，意大利学者塔尔塔利亚（N. Tartaglia）于1546 年就指出了前一个结论。

伽利略评论道：“仅用数学便得出如此严格的证明，这使我心中充满了 又惊又喜的感觉。 ……通过探索原因而达到对某一简单效应的理解会使人 茅塞顿开，从而使理解和验证其他事实毋需要借助实 验 ，目 前 的 例 子 恰 好 说明了这一点； 由于作者成功地证明了最大射程必定是仰角为45°时发生 的， 因此他也证明了在实际上可能从未观察到的情况， 即在同45°角相差

（大于或小于）同一数量的仰角下，射程是相等的……”

你从伽利略对斜抛物体 射程的研究中得到了哪些启 示？

你能证明斜抛体在同样 大小的初速度下， 抛射角为

45°+ β

和

45°- β

（

β ＜ 45°

）时 的射程相等吗？

射 高Ｙ： Ｙ ＝

２ ｇ ＝ ｖ

_０

ｓｉｎ

²

θ ２ ｇ

射 程Ｘ： Ｘ ＝ ｖ

_０

ｃｏｓθ·Ｔ ＝ ２ ｖ

_０

ｓｉｎθ ｃｏｓθ

ｇ ＝ ｖ

_０

ｓｉｎ２θ ｇ 可 见 ，给 定ｖ

_０

，当θ ＝ ４５°时 ，射程 达 到最 大 值 Ｘ

max

＝ ｖ

_０

ｇ 。 请 讨 论 ：运 动 员 在 投 掷 铅 球 、标 枪 时 ，应 把 投 射 角 控 制 在 什

么 角 度 为 好 ？ 运 动 员 的 身 高 对 他 的 投 掷 成 绩有 没 有 影 响 呢？

你 能 进 一 步 推 导 出 斜 抛 运 动 的 轨 迹 方 程 吗 ？ 请 试 一 试！

理想弹道曲线与实际弹道曲线

在炮弹的实际运动过程中，由于初 速 度 很 大 ，空 气阻 力 的影 响是很大的。 按不计空气阻力计算：用20°角射出初速度为 600 m/s 的炮弹，射程应达24 km。 但实际测量的结果却只有 7 km，射高也 减小，而且轨迹也不再是抛物线，而变成了图1-19 中实线所示的 弹道曲线 （图中的虚线是理想弹道曲线）。 在进行炮弹射击训练 时，要根据具体情况，对理想弹道曲线进行修正，才能得到实际所 需的弹道曲线。

图1－19 炮弹运动的理想射程和实际射程

实际射程 理想射程

2 2

2 2

ｖ

2 0 y

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课 题 研 究

研究弹道曲线

学了抛体运动后，有些同学可能会对有关的军事知识产生兴趣，或许想进一步了解弹道曲线方面 的知识。

研究弹道曲线的规律是军事和射击运动中的基本科目。 请你分析：实际的弹道曲线是由哪些因素 决定的？ 用枪、炮瞄准目标时应考虑哪些因素？ 怎样增大枪、炮的射程？ 等等。

在进行此项研究时，你可能要向当地驻军部队战士请教，最好能参加一次实际的射击活动。 你可 能要查阅一些参考资料。

请把你的研究成果写成科学报告，向同学和老师介绍。

图1-21 月 球 、 卫 星 与 地球（近处的为月球）

假如有一天能在月球上开运动会， 你能想象出 那将是一种什么样的情景吗？ 例如，掷铅球、投标枪 的成绩会发生什么变化？ 跳远、跳高的成绩会发生什 么变化？ 等等。

你可以从互联网、资料室查询有关资料。

班级还可以此为题，召开一次科学讨论会。

课 外 活 动

1.

下列哪一选项中的物体做抛物线运动？

A. 一个从跳板上跳入游泳池的人 B. 一艘绕着地球运行的太空飞船 C. 从树上掉下的一片叶子 D. 沿着平直轨道行进的一列火车

2.

要提高运动员掷铅球的成绩，应该采取哪些 措施？

3．

我国于2003年10月15日成功发射了“神 舟”5号载人宇宙飞船，假如航天员杨利伟 在飞船中抛出一个小球， 小球的运动轨迹 将是怎样的？ 为什么？

4.

图1－20所 示 的 是 做 斜 抛 运 动 的 物 体 在 几 个位置时的速率。 分析图中给出的速率，你

找到了什么规律？ 你能用理论分析的方法 证明这一规律吗？

家庭作业与活动

3 m/s

4 m/s 2 m/s

1 m/s

4 m/s 3 m/s 2 m/s 1 m/s

图1－20

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1．x

第

1

章 家 庭 作 业 与 活 动

1.

某人站在 匀 速 运 动 的 自 动 扶 梯 上 ，经 时 间t1恰 好到达楼上。 若自动扶梯停止运动，此人沿梯上 行，需经时间t2到达楼上。 如果自动扶梯正常运 行，人仍保持原来的步伐沿梯而上，则到达楼上 的时间为______。

2．

两 个 相 同 的 物 体 位 于 同 一 高 度 处 ，其 中 一 个 水 平抛出，另一个沿光滑斜面从静止自由下滑，问 哪一个物体先到达地面？ 到达地面时，两者速率 是否相等？

3．

一 个 小 球 从 高 处 水 平 抛 出 ，落 地 的 水 平 位 移 为 s。 现将s分成三等分，则小球相继经过每 s

3 ^的 时间内，下落高度之比为

A. 1 ∶ 1∶ 1 B. 1 ∶ 2 ∶ 3 C. 1 ∶ 3 ∶ 5 D. 1 ∶ 4 ∶ 9

4

. 春游时， 在农田旁看见一台正在抽水的农用水

泵，其出水管水平放置。 只用一把刻度尺，如何 估算出水泵的出水口在单位时间内流出的水量

（设水从出水口均匀流出）？ 要求说明需测量的 物理量。

5

. 你观察过步枪吗？ 步枪的枪身上有标尺，枪口有 准星。 用步枪瞄准射击时， 口诀是 “三点成一

线”。 用你所学到的知识解释“三点成一线”的物 理意义， 讨论从枪口射出去的子弹的运动轨迹 是什么形状。

6．

水平匀速飞行的飞机上，相隔1 s落下物体A和 物体B。 在落地前， A物体将

A. 在B物体的前方 B. 在B物体的后方 C. 在B物体正下方 D. 在B物体前下方

7．

做平抛运动的物体，每秒速度增量总是 A. 大小相等，方向相同

B. 大小不等，方向不同 C. 大小相等，方向不同 D. 大小不等，方向相同

8．

一艘小船从河岸的A处出发渡河，河宽为260 m， 船 在 静 水 中 的 速 度 是 18 km/h， 水 流 速 度 是 9 km/h，如图1-23所示。 为使船在最短的时间 内到达河对岸，问：

（1） 船渡河最短时间是多少？

（2） 船到达河对岸的位置在A点下游多远处？

图1-22 56式半自动步枪及其标尺

图1-23

*

9 km/h

260 m

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A

第2^{章 研究圆周运动}

游乐场里的过山车在做圆周运动 行驶在公路弯道处的车辆在做圆周运动

链球在做圆周运动

第 2 ^章

研究圆周运动

你玩过游乐场里的过山车吗？ 你看它风驰电掣般地冲上一个 圆环 形 的轨 道 ， 到达 圆 环顶部 时 ， 整 个 车 子 倒 了过 来 ， 车上 的 人头朝下，脚朝上，真是惊心动魄。

过山车在这里做的是圆周运动。

圆周运动也是一种常见的曲线运动。 例如，人造地球卫星的 运动，行星围绕太阳的运动，汽车在公路转弯处的运动，钟表指针 上各点的运动等，都可以看作圆周运动。

我们怎样来描述和研究圆周运动呢？

做圆周运动的物体，速度在改变，因而就有加速度，那么做圆 周运动物体的加速度有什么特点？力是产生加速度的原因，那么，使 物体做圆周运动的力有什么特点？圆周运动遵循哪些运动规律呢？

在本 章 中，我 们 将以生活中 的 圆 周 运 动为 背 景，研 究 圆周 运 动的描述方法，探讨匀速圆周运动的规律，以及这些规律在生活、

生产和现代科学技术中的应用。

银 河 系 巨 大 旋 臂 上 的 各 恒 星 系 在 绕 银 核的圆周上运动

图2－1 这些物体都在做圆周运动

行星围绕太阳的运动可近似看作是圆周运动

星球

银 河 系 的 其他部分

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怎样描述圆周运动

做圆周运动的质点的运动轨迹是圆，描述圆周运动的方法跟 描述直线运动与抛体运动的方法既有相同点，又有不同点。 那么，

应该用哪些物理量来描述圆周运动呢？

用你熟悉的物理量描述

■

路程与位移

在直线运动中，常用路程、位移来描述物体的运动。 对圆周运 动，同样也可以用路程与位移来描述。 如图2－2 所示，物体从 A 点 沿圆周运动到B、C、D 各点。 请在图中表示：

1． 物体从 A 点运动到 B、C、D 各点所经过的路程。

2． 物体从 A 点到 B、C、D 各点的位移。

■

线速度

物体做直线运动的快慢可以用速度来表示，物体做圆周运动 的快慢则常常用线速度来表示。

物体经过的圆弧 AB 的长度 s（图 2-3）跟通过这段圆弧所用 时间t 的比值，叫做圆周运动的线速度(linear velocity)。 线速度的 大小可用下式计算：

v = s t

那么圆周运动的速度方向是怎样的呢？ 如图2－5 所示，雨伞 旋转起来后，水滴将沿雨伞边缘的切线方向飞出。

观察图2－6，用砂轮打磨工件时，火花是沿什么方向飞出的？

这个现象说明了什么问题？

研究表明，圆周运动的线速度方向沿着圆周的切线方向。

物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相 等，这种运动就叫做匀速圆周运动(uniform circular motion)。 物体

2．1

图2－2 圆周运动的路程与位移 O

D C A B

R

图2－4 钟 表 指 针 上 的 各 点 都 可看作在做匀速圆周运动

O s A B

图 2 －3 物 体 经 过 的 弧 长 与 所 用 时 间 的 比 值 是

圆周运动的线速度

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图2－5 水 滴 从 伞 的 边 缘 沿 切 线方向飞出

图2－7 用 角 速 度 表 示 圆 周 运 动的快慢

图2－6 火 花 沿 砂 轮 的 切 线 方 向飞出

Δθ R

s 做匀速圆周运动时，线速度 v 的大小是不变的。 钟表指针上各点

的运动、“神舟”5 号飞船定轨后环绕地球的运动、月亮绕地球的运 动都可以近似看作是匀速圆周运动。

你还知道哪些物体做匀速圆周运动？ 试举例说明。

用角度来描述

■

角速度

物体做圆周运动的快慢还可以用角速度来描述。 在相同的时 间内，连 接运 动物体与 圆心的半径所转过的角度越 大，物 体 沿 圆 周运动得就越快。

如图 2-7 所示，物体做圆周运动时，连接 它 与圆 心 的半 径 转 过的角度Δθ 跟所用时间 t 的比值叫做角速度 （angular velocity），

角速度一般用ω 表示，即

ω = Δθ t

式中，Δθ 的单位是弧度，符号是 rad，ω 的 单位 是 弧度/秒 ，符号 是 rad/s，读作“弧度每秒”。

想一想：物体做匀速圆周运动时，它的角速度大小是否变化？

■

周期与转速

圆周 运 动是 一 种周期性的运动，因而 ，描述 圆 周 运 动 的物 理 量还有周期和转速。

物 体 沿 圆 周 运 动 一 周 的 时 间 叫 做 圆 周 运 动 的 周 期 （period），

周期一般用T 表示，在国际单位制中的单位是 s。 物体在单位时间 内完成圆周运动的圈数，叫做转速（velocity of rotation），一般用 n 表示，单位是每秒（符号s

^－1

）或转每分（r/min）。 由此可知

ω = 2仔 T

想一想：匀速圆周运动的周期与转速是否变化？

■

角速度与线速度的关系

以上描述圆周运动的各物理量之间是互相联系的，例如物体 经过的弧长s 与转过的角度 Δθ 之间的关系是

s ＝ RΔθ 式中R 是圆周半径。

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你能否证明线速度和角速度的关系是 v ＝ ωR

你还能用周期T、 转速 n 来描述匀速圆周运动的线速度 v 和 角速度ω 吗？

请写出你的推导过程与结论。

案例分析

■

案例 观察自行车的主要传动部件，了解自行车是怎样用链 条传动来驱动后轮前进的，如图 2－8 所示，其中右图 是链 条 传动 的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”。 试分析并讨论：

（1） 同一齿轮上各点的线速度、角速度是否相同？

（2） 两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？ 角速度是 否相同？ 转速是否相同？

（3） 两个齿轮的转速与齿轮的直径有什么关系？ 你能推导出 两齿轮的转速n

1

、n

2

与齿轮的直径d

1

、d

2

的关系吗？

试根据以上分析，说明自行车将踏板的转动传递给后轮的过 程。 你知道多挡变速自行车是怎样变速的吗？

■

分析 自行车前进 时， 链 条 不 会 脱 离齿 轮 打滑 ， 因 而 两 个 齿轮边缘的线速度大小必定相同 。 但 两个 齿 轮的 直 径不 同 ， 根 据公式v = ωR 可知，两齿轮的角速度不同，且角速度与直径成反 比。 根据以上分析，你就可以回答上面的问题了。

请在观察的基 础上 ， 运 用所 学 的知 识 分析 讨 论所 提 出 的 问 题，并与同学交流讨论的结果。

请在 课外用刻度尺 测 量自 行 车的 两 个 齿 轮 的直 径 和 车 轮 的 直径（例如，被称为“26 英寸”的车轮，其直径应为 66.04 cm）。 计算

ω2 ω1

v

d1

d2

小齿轮

大齿轮

链条

图2－8 自行车与链条传动 用 角 度 来 描 述 圆 周 运

动， 建立角速度、 转速等概 念， 比单纯用线速度来描述 圆周运动情况更具有实用价 值。

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1.

图2-10 表示一位同学用绳子 系 着 一 个 软 木 塞，让它在竖直平面内做圆周运动。 若在软 木塞运动至最高点或最低点时突然松手，软 木塞将怎样运动？

2.

某物体做匀速圆周运动，圆周的半径为R，周 期为T，在运动 9

4 T的 时 间 内 ， 位 移 的 大 小 是 ，路程是 ，转过的角度是 。

3.

^{手表秒针长}1.3 cm，分针长1.2 cm，秒针和分

针针尖运动的线速度是多大？ 秒针和分针转 动的角速度是多大？

4.

钟 表 分 针 的 角 速 度 与 时 针 的 角 速 度 之 比 是

。

5.

图2－11是皮带传动机构的示意图（A、B轮共 轴）。

（1） 请 分 析 ：三 个 轮 子 轮 缘 上 哪 些 点 可 能 具 有相同大小的线速度？ 哪些点可能具有 相等的角速度？ 三个轮子转速的关系如 何？

（2） 设 轮 A 与 轮B 的 半 径 分 别 为0.4 m 和 0.2 m，轮C的半径为0.2 m。 已知轮B每 分钟转600转， 计算每个轮子边缘上一 点的线速度大小和角速度的大小。

图2－10 图2－11

家庭作业与活动

A

B C

O O′

图2－9 当B点 无 限 逼 近A点 时 ，AB之 间 的 平 均 速 度 就 是A 点的瞬时速度

A

B v1

v2

r

O

一下，踏脚板绕中轴每转一转，自行车前进多少米？

多学一点 圆周运动的速度

做 圆周 运动的 物 体在 圆 周上 某 一点 的 瞬时 速 度 v 可 以 用以 下方法求得。

如图 2－9 所示，假如物体在圆周上从 A 点运动到 B 点，位移 是AB， 所用的时间为 Δt。 根据速度的定义， 速度是位移 AB 跟 所用时间Δt 的比值，即 v = AB

Δt ，这是Δt 时间内的平均速度。 所取 的时间 Δt 越短，B 点越接近 A 点， 物体在 AB 间的运动就越接近 于匀速直线运动， 所求的平均速度也越接近于A 点的瞬时速度。

假如所取的时间为无限短，B 点将无限逼近 A 点， 此时求得的平 均速度，就是A 点的瞬时速度了。

速度是矢量。 做圆周运动的物体在圆周上某一点的瞬时速度 的方向，是圆周上这点的切线方向。

物体做匀速圆周运动时，物体在圆周上任一点的速度的大小

（即速率）不变，但方向时刻都在变化。 前面求得的线速度的大小 就等于匀速圆周运动的速度的大小。

请你分析：匀速圆周运动是匀速运动吗？

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2．2

研究匀速圆周运动的规律

速度 是矢量，只要运动 物体的速度 发 生了 变 化，就 表 明 物 体 有了加速度。 物体做匀速圆周运动时，虽然速度的大小不变，但方 向却时刻都在变化，这表明：做匀速圆周运动的物体具有加速度；

加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

物体做匀速圆周运动时， 加速度的大小与方向是怎样的呢？

它是怎样产生的呢？

向心加速度

我们已经知道 ，物体 做匀速圆周运 动 时 ，其 速 度 方 向 沿圆 周 的切线方向。 如图2－12 所示，物体在圆周上从 A 点经时间Δt 运动 到B 点。物体在 A 点时，其速度方向沿 A 点的切线方向，如果没有 力的作用（因而没有加速度），物体将因惯性而沿着这条切线运动 到B′点。 然而，实际上物体却是运动到圆周上的 B 点，且速度方向 是B 点的切线方向。 这说明做匀速圆周运动的物体受到力的作 用，产生了加速度，这个加速度只改变速度的方向。 分析表明，做 匀速圆周运动的物体在圆周上各点的加速度方向，总是跟该点的 速度方向垂直，即沿着半径指向圆心，如图2－13 所示。

想一想：假如物体在圆周上某一点的加速度方向跟速度方向 不垂直，物体沿圆周的运动还能保持“匀速”吗？

做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度，叫 做向心加速度(centripetal acceleration)。

理论和实验都证明，向心加速度的大小跟圆周运动的速度和 半径有关，其表达式为

a = v

²

R 或 a = ω

²

R

在上面两式中，前式表 明向心加速 度跟半径 R 成反比，后式

图2－12 匀速圆周运动具有指 向圆心的加速度

ｖ

Ｏ

Ａ Ｂ ａ

Ｂ′

ｖ

Ｒ

图2－13 做匀速圆周运动物体 的 加 速 度 与 速 度 方 向 垂 直 指 向 圆心

ａ2

ａ1

ｖ2

ｖ1

O

ｖ3

ｖ4

ａ4

ａ3

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向心力

我们知道力是产生加速度的原因。 在匀速圆周运动中，产生 向心加速度的力叫做向心力(centripetal force)。

如图2－15 所示，在细绳的一端系一个小塑料球，另一端牵在 手中。 将手举过头顶，使小球在水平面内做圆周运动，感受球运动 时绳对手的拉力。

却表明向心加速度跟半径 R 成正比。 这两个式子是否互相矛盾？

你是怎样理解的？

由前式可知，当线速度v 一定时，R 越大，a 就越小。 设有一个 物体的线速度为100 m /s，运动半径等于地球半径，那么是否可以 把这个物体的运动看成是水平地面上的匀速直线运动？ 为什么？

你能用周期T 或转速 n 来表示向心加速度吗？

多学一点 推导向心加速度公式

如图2－14a 所示， 物体从 A 点经时间 Δt 沿圆周匀速率运动 到B点，转过的角度为 Δθ。 物体在 B 点的速度 v

B

可以看成是它在 A 点速度 v

A

（v

A

＝ v

B

＝ v）和速度的变化量 Δv 的合速度，如图 2－14b。

当Δt 趋近于 0 时，Δθ 也趋近于 0， B 点接近 A 点，Δv 与 v

A

垂 直，指向圆心。 所以向心加速度方向沿半径指向圆心。

因为v

_A

、v

_B

和Δv 组成的三角形与△OAB 是相似三角形，所以 Δv

AB ＝ v

A

R

即 Δv = AB·v

R 将上式两边同时除以Δ t，得

Δ v

Δ t = AB Δ t × v

R 当Δ t 趋近于 0 时，等式左边Δ v

Δ t 即为向心加速度a 的大小，

AB

Δ t等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得

a = v

²

R 你能否进一步证明a = ω

²

R？

图2－15 小 球 做 圆 周 运 动 时, 手通过绳子对球有拉力 图2－14 从速度合成的角度看 圆周运动速度的变化

ｖB

Ｏ Ａ

Ｂ ｖA

Ｒ Δθ

Δｖ ｖA

Ｂ

ｖA

Δｖ

ｖB

Δθ

ｂ ａ

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图2－17 向心力实验仪

重 物

转 轴 横 杆

向 心 力 显 示 窗 转 速 指 示 灯

半 径 显 示 窗 重 物

这时，使小球产生向心加速度的力是什么物体提供的（图2－

16）？

改变小球转动的快慢或线的长度或球的质量，感受向心力的 变化跟哪些因素有关。

运用牛顿第二定律，可由向心加速度公式推导出向心力的公 式如下

F = mv

²

R 或 F = mω

²

R 你会推导吗？ 请试一试。

请讨论 ：由向心力的公式分析 ，物体的向心力跟哪些因 素有 关？

实验探究 用实验验证向心力公式

图2－17 所示是向心力实验仪。 它的基本部件是转轴和固定 在轴上的横杆。 转轴可由仪器内的小电动机驱动着旋转。 两个重 物通过滚轮挂在横杆的两侧。 重物可以更换，质量标注在上面。 闭 合电源开关后，电动机驱动横杆转动，重物便随横杆做圆周运动，

所需向心力由横杆两侧的弹簧提供。 重物做圆周运动的向心力大 小和圆周运动的半径可以从显示窗读取。

实验时， 转速n 可以通过时间 t 内转速指示灯闪烁的次数算 出，转速大小可以通过背面的旋钮调节。

请用这台仪器设计出验证向心力与物体质量、速度和圆周半 径关系的实验。

完成实验操作，设计表格并记录数据。 将你的主要实验过程 与得出的结论写出来。

图2－16 小球做圆周运动的向 心力从哪里来

ｖ ｖ

Ｆ

Ｆ

关于向心加速度和向心 力的有关规律虽是从匀速圆 周运动得出的， 但对非匀速 圆周运动也同样适用。

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弹 簧

实验证明：向心力的大小跟物体的质量m、圆周半径 r 和角速 度棕 的平方成正比。

案例分析

■

案例 “神舟 ”5 号 飞 船进 入 轨道 后 的运 动 可以 简 化为 围 绕 地球的匀速圆周运动。 飞船的质量是7790 kg，它围绕地球做匀速 圆周运动时的向心加速度和向心力各是多大？ 飞船做圆周运动的 向心力是什么物体提供的？

■

分析 我们在研究“神舟”5 号飞船的运动时，可以把它看成 是一个质点。 飞船做匀速圆周运动的半径是从地心到运行轨道的 距离。 根据右边的信息，先要算出“神舟”5 号飞船运动的轨道半径 和线速度（或角速度），再根据向心加速度和向心力的公式就可算 出向心加速度和向心力的大小。

■

解答 R = R地 + h = （6.37 × 10

³

+ 0.343 × 10

³

） km

= 6.713 × 10

⁶

m a 向心 = 棕

²

R = 4仔

²

壮

^２

·R

= 4 × 3.14

²

（60 × 90）

^２

× 6.713 × 10

⁶

m/s

²

= 9.06 m/s

²

F 向心 = ma向 心 = 7790 × 9.06 N

= 7.06 × 10

⁴

N

此向心力是地球提供的，即地球对“神舟”5 号飞船的引力。

1.

要 保 持 一 个 质 量 为3.0 kg的 物 体 在 半 径 为 2.0 m的 圆 周 上 以4.0 m/s的 线 速 度 做 匀 速 圆 周运动，需要多大的向心力？

2.

飞机做特技表演时常做俯冲拉起运动。 如图 2-18所示。 此运动在最低点附近可看作是半

径 为 500 m的 圆 周 运 动 。 若 飞 行 员 的 质 量 为 65 kg， 飞 机 经 过 最 低 点 时 的 速 度 为 360 km/h， 则这时飞行员对坐椅的压力为多 大？ （g取10 m/s²）

3.

如 图2-19所 示 ， 在 匀 速 转 动 的 水 平 圆 盘 边

家庭作业与活动

“神 舟 ”

5

号 飞 船 运 行 轨 道 的 高 度 是

343 km

（指 距 地 面 的 高 度 ）， 运 行 的 周 期 约

90 min

，地球的半径是

6．37 × 10

³

km

。

图2-18

图2-19

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人造卫星环绕地球运动 一物体由绳子系住，在光滑水平 桌面上围绕O点做圆周运动

将绳 子 一 端 固 定 ，另 一 端 拴 一 个 小 球 。 让 绳 子 偏 移 竖直 方 向 一 个 角 度 ，使 小 球 在 水 平 面 内做匀速圆周运动

图2-20

O 缘处放着一个质量为0.1 kg的小金属块，圆

盘的半径为20 cm， 金属块和圆盘间的最大 静摩擦力为0.2 N。 为不使金属块从圆盘上 掉下来，圆盘转动的最大角速度为

rad/s。

4.

^图2－20是一些物体做匀速圆周运动的示意 图， 试在图上画出各物体所受到的向心力，

并分析向心力的来源。

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2．3

圆周运动的案例分析

当 你在 游 乐场 玩 着过山车、坐着旋转椅时，当你 乘 坐 的 汽 车 在弯弯曲曲的盘山公路上行驶时， 你是否想过其中的物理原理？

在本节中，我们将运用圆周运动的规律来分析生活中多姿多彩的 圆周运动。

案例

1

分析游乐场中的圆周运动

■

案 例 过 山 车（图 2－21 a）能 从高 高 的圆 形 轨 道 顶 部 轰 然 而 过，车与人却不掉下来，这是为什么呢？

■

分析 为了更好地分析这个问题，让我们先做一个实验。 如 图2－22 所示，让一个小球从斜面轨道的不同高度处滚下，观察小 球通过圆形轨道时的运动情况。

从这个实验可以看出，如果小球从斜面轨道滚下的起始高度 小 了 ，它到 达 圆轨 道 底部的运动速度太小 ，就会在圆形 轨 道 的 某 处脱 离 轨道 而 掉下 来 ；只有当小球的速度足够大时 ，才能 通 过 圆 形轨道的顶部而不掉下来。

设过山车与坐在其中的人的总质量是m，轨道半径是 R，车经 过顶部时的速度是v顶。 由向心力公式F = mv

²

R 可知，在圆形轨道的

a 过山 车 驶 至 轨 道 的 顶 部 ， 车与 乘客都在轨道下方，却不会掉下来

b 坐在旋转椅上的人， 随着转 速的增大，旋转半径也越来越大

图2－22 观察沿斜面轨道滚下 的小球通过圆环的情况 图2-21 过山车与旋转椅

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请想一想：

当轨道对过山车的弹力恰为零时，过山车会掉下来吗？ 此时 过山车的速度多大呢？ 如果过山车的速度小于这个速度，会发生 什么现象呢？

当F

_N

＝ 0 时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度，称为临界 速度v临 界。

当过山车通过轨道顶部时的速度恰为v临 界 时，重力mg 恰好 等于过山车做圆周运动的向心力，即mv

²

R = mg，由此可得 v临 界 =

摇

gR

姨 。这时，重力的作用只是改变过山车的运动方向，车不会向下 脱离轨道。

如果过山车通过轨道顶部时的速度小于v临 界， 所需的向心力 小于车所受到的重力，过山车有向下脱离轨道的趋势。

如果过山车通过轨道顶部时的速度大于v临 界， 所需的向心力 大于车所受到的重力， 其不足部分将由轨道对车的弹力供给，所 以这时轨道对车的弹力不为零。 车子不会掉下来。

v顶

R FN

mg

图2－23 分析过山车的原理

顶部，过山车的速度v顶越大，人与车所需要的向心力F 也越大。

当过 山车沿圆周运 动 到轨 道 的顶 部 时， 人 与 车 作 为 一 个 整 体， 所受到的向心力是重力mg 跟轨道对车的弹力 F

N

的合力，方 向向下（图2－23）。在这里，重力 mg 总是存在的。那么，轨道对车的 弹力F

_N

多大时，过山车才不至于掉下来呢？

为 了 保 证 乘 客 的 安 全

,

实际的过山车的车轮都镶嵌 在轨道的槽内。 乘客被安全

带束缚在座椅上。

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