Top PDF 圓錐曲線

例 3：已知一直圓錐面  的軸為 L、母線為 M、頂點為 V。 若平面 E 不通過 V 點，則下列哪一個條件使得 E 與  相交的曲線一定是雙曲線？ (1) E  L (2) E L // (3) E  M (4) E M // . 例 4：一大型廣告看板的上緣裝有 1 盞圓錐狀的投射燈（如圖），若投射燈的 外緣為 AB ，內緣為 AC 且 AB 平行於廣告看板，試問開燈時看板上被照亮的 區域 S 的邊界為哪一種圓錐曲線的一部分？

3. 圓錐曲線與直線的關係： 已知圓錐曲線  : ax 2  bxy cy  2  dx ey    f 0 ，直線 L y mx k :   ，將 L 代 入  中，得一 x 的二次式 Ax 2  Bx C   0 ；令判別式為 D B  2  4 AC ，則： (1) D  0 ： L 與  交於兩點。

此後，圓錐曲線應用的範圍愈來愈廣，許多的建築都可以看到圓錐曲線的痕 跡。舉例來說，拋物線狀的拱形，因為其底部可產生最大推力且能跨越最廣的長 度，所以可以均勻地支撐垂直推力，因此它通常用於橋樑或是屋頂的設計，例如 美國 加州 比克斯比溪大橋、澳洲 普拉瑟潘 聖保羅聖公會教堂的屋頂，其形狀皆 為拋物線，如圖 17 (a)(b)所示。

第四冊 1-3 圓錐曲線-雙曲線 【定義】 1. 雙曲線(截痕)： 當 0 ≤ β < α 時，則割平面和 Ω 交於上下兩曲線，在上下塞進兩個球(此時它 們分居 Ω 的的上下兩部分)與割平面 E 相切於 和 點，而與 相切於圓

第四冊 1-1 圓錐曲線-拋物線 【起源】 1. 直圓錐面： 空間中，兩不互相垂直的直線 L, M 相交於一點V ，固定直線 L 為軸，將直 線 M 繞點V 在空間中旋轉一周，所得的圖形稱為直圓錐面，其中直線 L 稱 為主軸，點V 稱為頂點，變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線。

第五章及第六章內容為本文最主要的研究成果。在第五章中，結合牛頓多邊形分 割的方式，先猜測出熱帶圓錐曲線可能有20種型式。在定理A中，以討論二元二次熱帶 多項式係數的方式，確實證明出共有20種型式的熱帶圓錐曲線，並由證明過程得知， 每一種牛頓多邊形分割與二元二次熱帶多項式係數間的對應關係，也就是說，我們能 夠知道在何種係數關係下，可以得到想要的牛頓多邊形分割。然後，再進一步，由 定理B提出如何調整二元二次熱帶多項式的係數，使得熱帶圓錐曲線能在xy平面上平 移。

【評語】 050415 這件作品最主要是研究線段以及圓錐曲線 (拋物線、橢圓、雙 曲線 )的等視角軌跡及它的圖形特性。在這件作品中，作者對於固 定長度的線段和圓，它們的等視角軌跡只需要用直觀的幾何方法 證明。然而對於圓錐曲線，則需要推導等視角軌跡的代數方程 式。為得到此代數方程式，作者展現了繁複計算的能力與熟練 度。有趣的是，橢圓和雙曲的等視角軌跡，發生一些不連續點以 及類似凹部的擾動，這個現象值得進一步探討。議題的趣味性不 錯，數學的深度也在平均之上，算是一件不錯的作品。

x 2 = 4 y = mx − cm 2 將上表中的方程式沿向量 v v = ( h , k ) 平移時，切線方程式亦隨之沿向量平移。 註： 設切線為 y = mx + k ，代入原方程式，利用判別式為零解 。 k 過曲線上一點 P ( x 1 , y 1 ) 求切線：

試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？ 【定義】 等軸雙曲線： 雙曲線中若貫軸長等於共軛軸長時，稱等軸雙曲線，此時二漸近線互相垂直。 共軛雙曲線： 有共同的漸近線的兩雙曲線，稱為共軛雙曲線。有相同的漸近線且 Γ1 的貫軸、共.[r]

準線 對稱軸 正焦弦長 長軸長 短軸長 中心 離心率 焦半徑 焦距 參數式... 中心不在原點： 方程式 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸.[r]

化成一個一元二次方程式 Ax 2 + By + C = 0 ，根據判別式 D = B 2 − 4 AC ，則得到 1. 當 D > 0 時， L 與 交於相異兩點。 Γ 2. 當 D = 0 時， L 與 相切於一點(此時 Γ L 為切線)。 3. 當 D < 0 時， L 與 Γ 沒有交點。

方程式 類型 開口方向 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸 正焦弦長 焦距 離心率 中心不在原點： 方程式 類型 開口方向 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸 正焦弦長 焦距 離心率.[r]

1. 透過共同備課，將課堂知識融入活動中，提高學生學習興趣。 2. 邀請專家學者分享指導，達到專業精進。 2. 透過講堂，讓各地一線老師可以互相觀摩、討論，提升教學效能。 指導單位：教育部師資培育與藝術教育司 主辦單位：國立彰化師範大學進修學院

物線者，也可經由適當的切割與平移之後組成雙曲線。因此，研究者將本研究的 目的設定為探究學生對於拋物線、橢圓與雙曲線的心智模式類型，並探討在這些 心智模式之下，學生心目中所包含的概念有哪些。而學生受到圖像外觀的限制有 多深或學生答題的過程中利用所學的性質、定義、方程式回答問題的情形；另外 也希望在本階段訓練研究者的訪談技巧。因探索期為上學期，圓錐曲線單元的學 習為高二下學期第一章，因此此階段的晤談樣本為已經完整學過圓錐曲線單元的 高三學生，以一對一的訪談為主，並由每次的訪談結果作為下一次訪談時修改試 題與訪談內容的依據。此外，因研究者在本階段中，期望藉由本研究得知學生對 於圓錐曲線的心智模式，因此研究者除了希望藉由訪談中，得知其對於幾何定 義、圖形和各元素之間的關係，亦希望得知學生是否在其心智模式中，能夠藉由 辨別方程式，辨認出圓錐曲線的類型為拋物線、橢圓、雙曲線或是其他退化型的 雙曲線，因此發展出「辨別圓錐曲線方程式」試題。並在資料分析中，比較在辨 別圓錐曲線方程式試題中表現較好的學生，答題的過程與區辨方程式能力較差的 學生是否有差異。

摘要 現今許多密碼系統的安全性 , 是以橢圓曲線離散對數問題 (ECDLP) 的困難度為基礎。 這 些密碼系統的安全性 , 通常取決於曲線的選擇。 在這篇論文中 , 我們對現在針對橢圓曲線 離散對數問題的攻擊法做一個整理 , 找出弱曲線的條件 , 也提出一些安全曲線應該有的條 件。 另外 , 我們也會討論一些其他的攻擊法 , 這些攻擊法對 ECDLP 是失敗的。

二、緣由與目的 漸開線圓錐齒輪可適用於平行軸、相交 軸與交錯軸間之運動傳遞，由於漸開線圓 錐齒輪具有推拔齒厚，因此可藉由軸向位 置之調整，來改變齒輪嚙合時之背隙。此 外，對於非平行軸之應用場合，漸開線圓 錐齒輪組對組裝誤差並不敏感，因此漸開 線圓錐齒輪十分適合於使用在精密傳動 上。除此之外，漸開線圓錐齒輪可經由一 般之 CNC 滾齒機滾製而成，不需要特殊之 加工機具以及複雜之機器設定，在製造之 彈性及成本上有其優勢。然而，非平行軸 之傳統漸開線圓錐齒輪組，由於受限於接 觸橢圓較小之緣故，並不適用於重負載下 之傳動。 針對此一缺失，日本之 三留 謙 一 教 授 提 出 如 圖 一 所 示 之 直 進 輪 磨 法 (Infeed Grinding Method)來創成凹面漸開 線 圓 錐 齒 輪 (Concave Conical Involute Gear)，並藉由實驗驗證凹面漸開線圓錐齒 輪組的確具有較大之接觸橢圓。然而，三 留 謙一教授之研究多著重於漸開線圓錐 齒輪之理論、製造與量測，並未提出完整 之漸開線圓錐齒輪之齒面數學模式和進行 齒面接觸分析及接觸橢圓模擬，以供設計 改進之依據。基於上述背景及目的，本研 究計畫首先利用機構學原理、齒輪嚙合原 理及微分幾何的觀念，分別依據推拔滾削 (Taper Hobbing)以及直進輪磨之機構推導 傳統漸開線圓錐齒輪以及凹面漸開線圓錐 齒輪之齒面數學模式。接著，利用所推導 之齒面數學模式進行漸開線圓錐齒輪組之 齒面接觸分析、曲率分析及接觸橢圓模 擬，探討漸開線圓錐齒輪在平行軸、相交 軸以及交錯軸狀況下之嚙合特性，並模擬 磨輪半徑改變對凹面漸開線圓錐齒輪組接 觸橢圓大小之影響，以期獲得最佳之接觸 位置及接觸齒印，並依據模擬結果設計出 適用於各種不同應用場合之漸開線圓錐齒 輪組。

然而，相似於交錯軸螺旋齒輪組，非平行軸之傳統漸開線圓錐齒輪組，由 於受限於接觸橢圓較小之緣故，並不適用於重負載下之傳動。 針對此一缺失， 日本山形大學之三留謙一 (Mitome) 教授提出以直進輪磨法 (Infeed Grinding Method) 來創成凹面漸開線圓錐齒輪(Concave Conical Involute Gear) ，並藉由 實驗驗證凹面漸開線圓錐齒輪組的確具有較大之接觸橢圓。過去國內外關於漸 開線圓錐齒輪之研究十分有限，僅有 Mitome 教授對此型齒輪有一系列有系統 之研究。然而，Mitome 教授之研究多著重於漸開線圓錐齒輪之理論、製造與 量測，並未提出完整之漸開線圓錐齒輪之齒面數學模式和進行齒面接觸分析及 接觸橢圓模擬，以供設計改進之依據。基於上述背景及目的，本研究計畫首先 利用機構學原理、齒輪嚙合原理及微分幾何的觀念，先建構推拔滾削之創成機 構並推導其所創成之傳統漸開線圓錐齒輪之齒面數學模式，同時也建構直進輪 磨法之創成機構並推導其所創成之凹面漸開線圓錐齒輪之齒面數學模式。接 著，利用所推導之齒面數學模式進行漸開線圓錐齒輪組之齒面接觸分析、曲率 分析及接觸橢圓模擬，探討漸開線圓錐齒輪在平行軸、相交軸以及交錯軸狀況 下之嚙合特性，並模擬磨輪半徑改變對凹面漸開線圓錐齒輪組接觸橢圓大小之 影響，以期獲得最佳之接觸位置及接觸齒印，並依據模擬結果設計出適用於各 種不同應用場合之漸開線圓錐齒輪組。

在公開金鑰密碼系統中，增加金鑰長度可以達到更高的安全等級，但 相對地，也要付出更久的運算時間。因此，選擇安全且高效率的橢圓曲線， 是建置實用資訊安全系統的重要議題。根據橢圓曲線密碼學的研究，一般 破解離散對數的方法中，最有效的是 Pohlig-Hellman 攻擊法，而專門針對 橢圓曲線離散對數問題的同構攻擊法(Isomorphism Attack)，包含 MOV 攻 擊、FR 攻擊法，及針對 prime-field-anomalous 曲線的攻擊法，以及 Weil Descent 攻擊。綜合上述所有的攻擊法，我們要選擇一條定義在有限體上 適用的橢圓曲線，必須滿足以下條件：

In addition to the congruent curve, previous works also provide examples of elliptic curves for which the p-twists always have positive rank over Q for all prime number p contained in ce[r]

金字塔：是由一個正方形底面，和四個三角形側面所圍成的五面體。 直四角錐：其中四角錐的側面全都是等腰三角形，我們稱為直四角錐，如圖 1。 斜三角錐與斜五角錐：角錐的側面不全都是等腰三角形，如圖 2 與圖 3。 正 n 角錐：底面是正 n 邊形，且側面均為全等等腰三角形的角。如果沒有特別說明，在本書 中的角錐都是指正角錐。