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圓錐曲線

圓錐曲線

例 3:已知一直面  的軸為 L、母為 M、頂點為 V。 若平面 E 不通過 V 點,則下列哪一個條件使得 E 與  相交的一定是雙? (1) E  L (2) E L // (3) E  M (4) E M // . 例 4:一大型廣告看板的上緣裝有 1 盞狀的投射燈(如圖),若投射燈的 外緣為 AB ,內緣為 AC 且 AB 平行於廣告看板,試問開燈時看板上被照亮的 區域 S 的邊界為哪一種的一部分?

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Ch 1 圓錐曲線

Ch 1 圓錐曲線

3. 與直的關係: 已知  : ax 2  bxy cy  2  dx ey    f 0 ,直 L y mx k :   ,將 L 代 入  中,得一 x 的二次式 Ax 2  Bx C   0 ;令判別式為 D B  2  4 AC ,則: (1) D  0 : L 與  交於兩點。

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4B08 圓錐曲線

4B08 圓錐曲線

此後,應用的範圍愈來愈廣,許多的建築都可以看到的痕 跡。舉例來說,拋物狀的拱形,因為其底部可產生最大推力且能跨越最廣的長 度,所以可以均勻地支撐垂直推力,因此它通常用於橋樑或是屋頂的設計,例如 美國 加州 比克斯比溪大橋、澳洲 普拉瑟潘 聖保羅聖公會教堂的屋頂,其形狀皆 為拋物,如圖 17 (a)(b)所示。

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4-1-3圓錐曲線-雙曲線

4-1-3圓錐曲線-雙曲線

第四冊 1-3 -雙 【定義】 1. 雙(截痕): 當 0 ≤ β < α 時,則割平面和 Ω 交於上下兩,在上下塞進兩個球(此時它 們分居 Ω 的的上下兩部分)與割平面 E 相切於 和 點,而與 相切於

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4-1-1圓錐曲線-拋物線

4-1-1圓錐曲線-拋物線

第四冊 1-1 -拋物 【起源】 1. 直面: 空間中,兩不互相垂直的直 L, M 相交於一點V ,固定直 L 為軸,將直 M 繞點V 在空間中旋轉一周,所得的圖形稱為直面,其中直 L 稱 為主軸,點V 稱為頂點,變動的直 M 在空間中的每一個位置都稱為母

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熱帶圓錐曲線之研究 - 政大學術集成

熱帶圓錐曲線之研究 - 政大學術集成

第五章及第六章內容為本文最主要的研究成果。在第五章中,結合牛頓多邊形分 割的方式,先猜測出熱帶可能有20種型式。在定理A中,以討論二元二次熱帶 多項式係數的方式,確實證明出共有20種型式的熱帶,並由證明過程得知, 每一種牛頓多邊形分割與二元二次熱帶多項式係數間的對應關係,也就是說,我們能 夠知道在何種係數關係下,可以得到想要的牛頓多邊形分割。然後,再進一步,由 定理B提出如何調整二元二次熱帶多項式的係數,使得熱帶能在xy平面上平 移。
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遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

【評語】 050415 這件作品最主要是研究段以及 (拋物、橢、雙 )的等視角軌跡及它的圖形特性。在這件作品中,作者對於固 定長度的段和,它們的等視角軌跡只需要用直觀的幾何方法 證明。然而對於,則需要推導等視角軌跡的代數方程 式。為得到此代數方程式,作者展現了繁複計算的能力與熟練 度。有趣的是,橢和雙的等視角軌跡,發生一些不連續點以 及類似凹部的擾動,這個現象值得進一步探討。議題的趣味性不 錯,數學的深度也在平均之上,算是一件不錯的作品。
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4-1-4圓錐曲線-圓錐曲線的光學性質

4-1-4圓錐曲線-圓錐曲線的光學性質

x 2 = 4 y = mx − cm 2 將上表中的方程式沿向量 v v = ( h , k ) 平移時,切方程式亦隨之沿向量平移。 註: 設切為 y = mx + k ,代入原方程式,利用判別式為零解 。 k 過上一點 P ( x 1 , y 1 ) 求切

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4-1-3圓錐曲線-雙曲線

4-1-3圓錐曲線-雙曲線

試問參數式當中的角度 θ ,在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角? 【定義】 等軸雙曲線: 雙曲線中若貫軸長等於共軛軸長時,稱等軸雙曲線,此時二漸近線互相垂直。 共軛雙曲線: 有共同的漸近線的兩雙曲線,稱為共軛雙曲線。有相同的漸近線且 Γ1 的貫軸、共.[r]

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4-1-1圓錐曲線-橢圓

4-1-1圓錐曲線-橢圓

準線 對稱軸 正焦弦長 長軸長 短軸長 中心 離心率 焦半徑 焦距 參數式... 中心不在原點: 方程式 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸.[r]

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4-1-4圓錐曲線-錐線與直線的關係

4-1-4圓錐曲線-錐線與直線的關係

化成一個一元二次方程式 Ax 2 + By + C = 0 ,根據判別式 D = B 2 − 4 AC ,則得到 1. 當 D > 0 時, L 與 交於相異兩點。 Γ 2. 當 D = 0 時, L 與 相切於一點(此時 Γ L 為切)。 3. 當 D < 0 時, L 與 Γ 沒有交點。

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4-1-2圓錐曲線-拋物線

4-1-2圓錐曲線-拋物線

方程式 類型 開口方向 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸 正焦弦長 焦距 離心率 中心不在原點: 方程式 類型 開口方向 圖形 範圍 頂點 焦點 準線 對稱軸 正焦弦長 焦距 離心率.[r]

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圓錐曲線系統化教學共備工作坊

圓錐曲線系統化教學共備工作坊

1. 透過共同備課,將課堂知識融入活動中,提高學生學習興趣。 2. 邀請專家學者分享指導,達到專業精進。 2. 透過講堂,讓各地一老師可以互相觀摩、討論,提升教學效能。 指導單位:教育部師資培育與藝術教育司 主辦單位:國立彰化師範大學進修學院

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高中生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究

高中生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究

者,也可經由適當的切割與平移之後組成雙。因此,研究者將本研究的 目的設定為探究學生對於拋物、橢與雙的心智模式類型,並探討在這些 心智模式之下,學生心目中所包含的概念有哪些。而學生受到圖像外觀的限制有 多深或學生答題的過程中利用所學的性質、定義、方程式回答問題的情形;另外 也希望在本階段訓練研究者的訪談技巧。因探索期為上學期,單元的學 習為高二下學期第一章,因此此階段的晤談樣本為已經完整學過單元的 高三學生,以一對一的訪談為主,並由每次的訪談結果作為下一次訪談時修改試 題與訪談內容的依據。此外,因研究者在本階段中,期望藉由本研究得知學生對 於的心智模式,因此研究者除了希望藉由訪談中,得知其對於幾何定 義、圖形和各元素之間的關係,亦希望得知學生是否在其心智模式中,能夠藉由 辨別方程式,辨認出的類型為拋物、橢、雙或是其他退化型的 雙,因此發展出「辨別方程式」試題。並在資料分析中,比較在辨 別方程式試題中表現較好的學生,答題的過程與區辨方程式能力較差的 學生是否有差異。
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橢圓曲線密碼系統之曲線安全性研究

橢圓曲線密碼系統之曲線安全性研究

摘要 現今許多密碼系統的安全性 , 是以橢離散對數問題 (ECDLP) 的困難度為基礎。 這 些密碼系統的安全性 , 通常取決於的選擇。 在這篇論文中 , 我們對現在針對橢 離散對數問題的攻擊法做一個整理 , 找出弱的條件 , 也提出一些安全應該有的條 件。 另外 , 我們也會討論一些其他的攻擊法 , 這些攻擊法對 ECDLP 是失敗的。

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漸開線圓錐齒輪特性研究(II)

漸開線圓錐齒輪特性研究(II)

二、緣由與目的 漸開齒輪可適用於平行軸、相交 軸與交錯軸間之運動傳遞,由於漸開 齒輪具有推拔齒厚,因此可藉由軸向位 置之調整,來改變齒輪嚙合時之背隙。此 外,對於非平行軸之應用場合,漸開 齒輪組對組裝誤差並不敏感,因此漸開 齒輪十分適合於使用在精密傳動 上。除此之外,漸開齒輪可經由一 般之 CNC 滾齒機滾製而成,不需要特殊之 加工機具以及複雜之機器設定,在製造之 彈性及成本上有其優勢。然而,非平行軸 之傳統漸開齒輪組,由於受限於接 觸橢較小之緣故,並不適用於重負載下 之傳動。 針對此一缺失,日本之 三留 謙 一 教 授 提 出 如 圖 一 所 示 之 直 進 輪 磨 法 (Infeed Grinding Method)來創成凹面漸開 齒 輪 (Concave Conical Involute Gear),並藉由實驗驗證凹面漸開齒 輪組的確具有較大之接觸橢。然而,三 留 謙一教授之研究多著重於漸開 齒輪之理論、製造與量測,並未提出完整 之漸開齒輪之齒面數學模式和進行 齒面接觸分析及接觸橢模擬,以供設計 改進之依據。基於上述背景及目的,本研 究計畫首先利用機構學原理、齒輪嚙合原 理及微分幾何的觀念,分別依據推拔滾削 (Taper Hobbing)以及直進輪磨之機構推導 傳統漸開齒輪以及凹面漸開 齒輪之齒面數學模式。接著,利用所推導 之齒面數學模式進行漸開齒輪組之 齒面接觸分析、曲率分析及接觸橢模 擬,探討漸開齒輪在平行軸、相交 軸以及交錯軸狀況下之嚙合特性,並模擬 磨輪半徑改變對凹面漸開齒輪組接 觸橢大小之影響,以期獲得最佳之接觸 位置及接觸齒印,並依據模擬結果設計出 適用於各種不同應用場合之漸開齒 輪組。
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漸開線圓錐齒輪特性研究(III)

漸開線圓錐齒輪特性研究(III)

然而,相似於交錯軸螺旋齒輪組,非平行軸之傳統漸開齒輪組,由 於受限於接觸橢較小之緣故,並不適用於重負載下之傳動。 針對此一缺失, 日本山形大學之三留謙一 (Mitome) 教授提出以直進輪磨法 (Infeed Grinding Method) 來創成凹面漸開齒輪(Concave Conical Involute Gear) ,並藉由 實驗驗證凹面漸開齒輪組的確具有較大之接觸橢。過去國內外關於漸 開齒輪之研究十分有限,僅有 Mitome 教授對此型齒輪有一系列有系統 之研究。然而,Mitome 教授之研究多著重於漸開齒輪之理論、製造與 量測,並未提出完整之漸開齒輪之齒面數學模式和進行齒面接觸分析及 接觸橢模擬,以供設計改進之依據。基於上述背景及目的,本研究計畫首先 利用機構學原理、齒輪嚙合原理及微分幾何的觀念,先建構推拔滾削之創成機 構並推導其所創成之傳統漸開齒輪之齒面數學模式,同時也建構直進輪 磨法之創成機構並推導其所創成之凹面漸開齒輪之齒面數學模式。接 著,利用所推導之齒面數學模式進行漸開齒輪組之齒面接觸分析、曲率 分析及接觸橢模擬,探討漸開齒輪在平行軸、相交軸以及交錯軸狀況 下之嚙合特性,並模擬磨輪半徑改變對凹面漸開齒輪組接觸橢大小之 影響,以期獲得最佳之接觸位置及接觸齒印,並依據模擬結果設計出適用於各 種不同應用場合之漸開齒輪組。
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尋找橢圓曲線密碼系統之安全曲線

尋找橢圓曲線密碼系統之安全曲線

在公開金鑰密碼系統中,增加金鑰長度可以達到更高的安全等級,但 相對地,也要付出更久的運算時間。因此,選擇安全且高效率的橢, 是建置實用資訊安全系統的重要議題。根據橢密碼學的研究,一般 破解離散對數的方法中,最有效的是 Pohlig-Hellman 攻擊法,而專門針對 橢離散對數問題的同構攻擊法(Isomorphism Attack),包含 MOV 攻 擊、FR 攻擊法,及針對 prime-field-anomalous 的攻擊法,以及 Weil Descent 攻擊。綜合上述所有的攻擊法,我們要選擇一條定義在有限體上 適用的橢,必須滿足以下條件:
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橢圓曲線的二次扭變

橢圓曲線的二次扭變

In addition to the congruent curve, previous works also provide examples of elliptic curves for which the p-twists always have positive rank over Q for all prime number p contained in ce[r]

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2-2角錐與圓錐班級:

2-2角錐與圓錐班級:

金字塔:是由一個正方形底面,和四個三角形側面所圍成的五面體。 直四角:其中四角的側面全都是等腰三角形,我們稱為直四角,如圖 1。 斜三角與斜五角:角的側面不全都是等腰三角形,如圖 2 與圖 3。 正 n 角:底面是正 n 邊形,且側面均為全等等腰三角形的角。如果沒有特別說明,在本書 中的角都是指正角

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