Top PDF 高一學生的對數概念發展層次之研究

普通高級中學課程綱要 (高中數學學科中心，2009)經過多次調整，「對數」 一直是高中數學的重要概念之一。而且，高一數學課程中，如「數與式」、「多 項式函數」、「指數」等章節都還是國中課程的加深加廣，對高中學生而言不算 陌生，但對他們來說，「對數」卻是一個全新的概念、使用的數學符號也是一個 嶄新的符號。在高中數學課程中，「對數」對於學生來說，可說是非常富有挑戰 性的單元。此外，對數概念除了是對數函數的先備知識，也是往後學習指對數應 用的重要基礎，學生如果沒有先了解基本的對數概念意義，往後學習更高階數學 或其他領域時，如解決複雜的指數運算、求極大數或極小數的問題、銀行存款的 複利、地球科學領域的地震強度表示法或求放射性物質之半衰期等應用問題，都 非常容易產生學習困難。同時，根據研究者的任教經驗，對數單元因為新符號與 新運算規則的引進，這部分的學習經常讓學生感到混淆與挫折，如不清楚符號的 來龍去脈而弄錯對數符號中底數與真數的相對位置，也常看見許多學生雖能模仿 地解題，卻一直不清楚自己在學什麼。

研究者再透過內容分析法，針對所蒐集到的資料進行歸納分析（inductive analysis） 。 根據本研究之研究目的，研究者設計了一份問卷，此份問卷的題目皆與「指 對數」相關。透過問卷調查法的方式，調查學生學過「指對數」之後，其數學素 養及其解決問題時的思維為何。研究流程包括：擬定研究主題和研究方向、問卷 編制、施測問卷、回收問卷、資料分析，其中資料分析以質為主，量為輔。問卷 施測時間為 40 分鐘。本問卷預計 30 分鐘即可作答完畢，給學生填答 40 分鐘是 希望每一份問卷學生皆能在沒有時間壓力的情況下作答完畢。

對本研究來說，除了可以幫助教師瞭解學生在學習上的困難，並可以進一 步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果。 （五）可以偵測出學生的錯誤概念，並提供教師作為擬定教學策略或補救教學的 重要依據。張賴妙理與鄭湧涇（民 89）研究指出，二階段作答方式的概念 診斷工具確實能偵測出學生的錯誤概念。柳賢（民 89）針對高一學生進行 開放式二階段評量測驗之後提出，經由這種開放式二階段的評量方式，教 師可以瞭解學生是否真正理解所學的知識而非一知半解。因此，設計成紙 筆式、選擇題型的二階段診斷評量能診斷出學生的錯誤概念，幫助教師對 學生學習情況能更進一步的深層瞭解其內涵，同時教師能針對學生的錯誤 概念擬定合宜的教學步驟及策略，適時修正教學目標，進行補救教學（楊 坤原、張賴妙理，民 90）。

5. 風格是社會化的結果，是可以改變的； 6. 風格沒有固定的好壞標準，時間與場合不同，所得到的評價也不同。 而學習風格的研究源自早期實驗心理學上對於認知風格（cognitive style）的 研究，最初有關認知風格的研究僅著重於解釋個人在認知方面一些特質（例如知 覺、記憶、或資訊處理方式等等）的差別，但因這方面的研究很明顯地具有教育 上的應用價值，因此逐漸擴充演變，而在 1970 年前後逐有學習風格一詞出現 （郭 重吉，1987）。學習風格是描述一個學生在教育情境裡最有可能的學習方式，它 是指學生如何學，而不是指學生已經學到什麼（Hunt，1979）。也因此，許多學 者認為，理解學生的學習風格，將對教育有相當大的幫助，Keefe（1979）就提 到， 「學習風格的診斷使得個別化教學具有更合理的基礎。它提供了目前教育工 作者所能擁有的最有利的手段來促成他們對於學生的分析、啟發、和協助。以此 而論，學習風格乃是以真正現代化的方式來處理教育問題的基礎。」

學生在一開始接觸問題時，最先進入思考工作區的是與題目相關、學生具有的 相關之概念心像，而不常使用課堂上所教的概念定義來進行思考。」然而，當 學生在解題的過程中，腦中呈現的數學概念與思考的內容與教師所教的有所差 異時，這就值得深入瞭解學生在面對問題時究竟是如何思考的?學生的概念心像 是什麼?甚至，當學生在面臨問題時，連結或運用的數學概念與教師所教的數學 概念間的差異為何?上述問題皆是我極度感興趣的，如果學生在解題時是以自我 具有的概念心像在運作，那麼教師除了可以更加細膩的把概念講清楚外，也要 去發現學生的概念心像具備的情形與樣貌。由於學生的概念心像不盡相同，我 們得多花一些時間讓學生去建構屬於自己且貼近數學定義的概念心像，不僅可 以豐富教師的教學，也可以深入瞭解學生的概念心像與想法，更可以適應不同 程度的學生。因此，我以此作為我的研究主題與方向，期望能帶給數學教育界 更多元的觀點與想法。

一、研究樣本 研 究 樣 本 的 選 取 以 高 一 上 學 期 數 學 學 期 總 成 績 達 70 分 以 上 為 標 準，並 考 量 其 意 願 和 表 達 能 力，共 三 名 學 生。在 接 受 放 聲 思 考 訓 練 之 後，進 行 解 題 之 數 學 建 模 發 展 的 研 究，是 同 質 性 的 小 組 合 作 解 題，研 究 者 依 學 生 在 數 學 上 的 能 力 表 現（ 參 考 該 生 的 數 學 成 績 與 任 教 老 師 的 看 法 ）高 低 ， 分 別 以 代 號 甲 、 乙 、 丙 稱 之 ， 其 中 甲 的 數 學 能 力 表 現 最 佳，自 信 心 強，解 說 與 表 達 能 力 好，數 學 概 念 相 當 清 楚，願 意 與 同 伴 分 享，人 緣 極 好；乙 的 數 學 能 力 表 現 也 不 錯，思 考 相 當 縝 密，對 數 學 的 直 覺 敏 銳，想 像 力 佳，與 甲 一 樣 在 解 題 的 歷 程 中 常 有 新 的 想 法 來 提 示 或 引 導 同 伴 進 行 解 題 策 略 的 嘗 試，甲、乙 在 本 研 究 中 扮 演 了 使 得 數 學 建 模 成 功 的 關 鍵 角 色；丙 對 非 例 行 性 問 題 的 反 應 稍 遜 於 甲、乙，但 其 對 數 學 的 態 度 是 喜 愛 的、積 極 的，只 是 較 習 慣 直 接 由 同 伴 或 老 師 的 馬 上 告 知，不 習 慣 自 己 慢 慢 推 演、思 考 來 獲 得 知 識，但 他 勇 於 提 問 與 嘗 試 ， 這 在 解 題 的 數 學 建 模 歷 程 中 的 角 色 是 討 論 、 質 問， 進 行 猜 測 ， 對 於 有 效 的 數 學 建 模 發 展 這 也 是 必 要 和 不 可 缺 少 的 。

II 誌謝 經過八年的掙扎與努力，終於到了這一刻，拿到了畢業證書，有一種如釋重 負的感覺，但我相信，這也是另一份責任的開始。在這段求學的路上，經歷了與 同窗切磋討論的美好時光，也曾經在決定論文題目及方向時挫折迷惘，更曾經在 無法兼顧工作與論文的情況下心生退怯，一路上心情的起落，實非筆墨所能言 喻。陳之藩說： 「要感謝的人太多了，就感謝天吧！」我感謝老天爺，安排了許 多在背後默默支持我的親人、老師及朋友，在我迷失方向時指引我；在我沮喪想 放棄時鼓勵我；在我畢業時和我一起分享喜悅。這本論文的意義，除了代表這段 求學期間努力的成果外，更是人生中不可抹滅的回憶。

Hence, in addition to developing more networked two-tier test items for science students, further development of the system will mainly focus on designing and providing appropriate feedb[r]

Over the past two decades, science educators have developed some teaching strategies to overcome students' alternative conceptions (e.g., Cosgrove & Osborne, 1985; Driver & Old[r]

對高一學生談三次多項式函數的性質 陳威任 剛從國中升上高中的學生, 有部分同學國中數學成績還算不錯, 但接觸到高中數學後, 成 績一落千丈, 慘不忍睹。 或許是因為高中數學所學習的內容更深更廣, 學生理解的能力不足, 但 本人更相信學生的求學方式出了問題, 學生們在國中階段的學習經驗裡, 數學就是背公式, 寫練 習題, 考試不會考的就不去理會, 慢慢的學生就失去思考的能力, 只是把數學當背科, 頂多用大 量的練習得到較好的分數, 違背了學習的意義。

這些延展性如何？容易產生何種執行錯 誤？皆是目前較少研究的範圍；實驗教材 迨第六冊始引入多單位運算策略的討論 （加減算則的概念基礎） ，因而，三至六冊 總結性評量試卷上學童的多步驟解題紀 錄，提供一個獨特的資料基礎，來探討上 述相關問題；而學童解題想法的實例與分 析，亦可協助對學童的解題行為，作更有 系統的描述與理解。

直覺、我不知道或空白等填答理由。因此於測驗之後，研究者於這三個班級 中各詢問五至七位學生，關於這些鑑別度較低的試題發表意見。研究者發現 學生能夠閱讀題目，但對於題目中的問題不是很瞭解，甚至不知從何回答。 由於生活中的傳播科技產品顯少只運用單一個傳播科技概念，如：使用 行動電話時，聽筒與話筒便包含有編碼與解碼的概念；通話時電磁波包含傳 送與接收的概念；而接收與閱讀簡訊便包含有儲存與讀取的概念。因此，這 些以探討單一概念為主的試題，對於國中學生來說太過深入，所以國中學生 沒有能力針對單一個傳播科技概念作出正確的反應甚至不瞭解題目的意 思。因此本研究將診斷工具的構面由原本的六個層面整合為較少的層面，這 除了能夠較為切合實際生活外，也能解決單一概念的試題太過深入，學生無 法回答的問題。從Hendricks與Sterry（1989）對傳播科技概念的定義來看，

學生們在「規劃和設計」花最長時間(14 天)，且在這個階段感覺壓力最大。當學生在最後階 段遇到問題時，他們會再回到最初階段重新檢視問題或定義問題。 (二)創新 STEM 網路專題式學習，有助學生正向的學習 研究結果發現創新 STEM 網路專題式學習具有合作學習、做中學、驅動問題深化學習等 特性。讓學生體認到圖結力量大的精神，從中也習得人際互動的技巧，並且透過組員間的合 作與分享，更能擴展個人多元的思維，提升學生對事物的敏銳度與觀察力，並且激發學生的 學習動機。藉由動于做的過程，學生可以重新整理、分析自己的概念，思索 STEM 知識的應 用，讓概念性知識與實用性知識能夠連結與整合。此外，本專題活動確實能帶來正面的影響，

四、 實施狀況 本教學活動於每節課堂中皆進行教室觀察錄影，並於每週課堂結束 隨即記錄教室觀察日誌(如附錄七)以及教師省思札記。 研究者觀察 A 班學生，一開始反應很活潑，到第三、四週感覺較無 心上課；在活動中偶有穿插影片或與教師互動回答時，學生們明顯較一 般投影片有興趣，回答較為熱烈。當第一、二週開始上課時，這個班級 約三分之一極認真參與活動，約二分之一邊看其他學科的書邊聽課，剩 餘六分之一完全不參與課程，尤其當教師問學生： 「鉛筆後陎一定有橡 皮擦嗎？」 ，研究者看到多數的學生都抬起頭思考或回答，好像有震憾 到他們──現在的科技產品不是理所當然的存在，而是人類因某些事才 發明的！但教學單元「月曆」 ，學生感覺較無興趣；而第三週開始上課 注意力較不集中，做其他事情的學生比例明顯較高，甚至有學生向實驗 教師提議不要上課而去戶外打球，研究者於下課時間詢問學生與實驗教 師，得知當日是大學繁星計畫放榜日，有些學生對於其他人已考上大 學，而內心感到焦慮、不安。。

本研究採用自基礎微積分教科書上所節錄從口語化到形式化逐步調整的五項函數極 限定義，以成對比較法作為問卷設計的主軸，讓受試者進行五項定義之間抽象程度的比 較。量化分析的部分利用了多元尺度法的知覺圖瞭解可能影響受試者判斷抽象程度的重 要因素；並利用 Bradley-Terry 模型探討細部不同群組之間的差異。最後再從有效問卷樣 本的受試者中抽樣進行深入晤談，晤談時以五項定義之間的差異性比較的方式進行，為 瞭解影響受試者判斷抽象程度的真正原因。結果發現，學生對於函數極限的形式化定義 感到抽象的型態可簡單歸納為三種類型，第一類的學生將抽象視為難懂，但第二類與第 三類的學生則與其將問卷中的五項函數極限定義轉譯為其心目中最能表達函數極限定 義的不同方式有關；雖然學生心中的抽象直覺與文獻中的抽象意涵有所不同，但在學生 進行成對比較與定義之間的差異性比較時，可以觀察到學生如何以文獻中的抽象思考方 式，對五項函數極限定義產生數學性質的知識建構。

Transfer of Learning: Cognition, Instruction, and Reasoning, A Volume in the Educational Psychology Series, California: Academic Press.. Relational understanding and instrumental underst[r]

2 數學是從生活情境發展而來，與我們的生活習習相關，但是國內大部分國小 數學教育還是偏向以教師講授式教學為主，課本設定好的題目為佈題，示範解題 技巧和解題歷程，以供學生模仿。在整個教學過程中，學生是處於被動接受數學 知識的情形（林文生，1 9 9 6 ）。許多研究更指出，學生在解題時，常常著眼於題 目的表面數字，並未思考題目的深層意涵（翁嘉英，1 9 8 8 ；陳美芳，1 9 9 5 ；楊惠 如，2 0 0 0 ） 。學生以此學習方法，很容易掉入只學到片斷的抽象數學概念，無法 將數學概念應用在實際生活情境的學習困境中。長久下來，獨立且片斷的數學概 念無法有效進入學習者的長期記憶，學習成效將受遺忘的影響而大打折扣，更別 說會對數學產生學習興趣。根據教育部在 2 0 0 5年 5月，對台灣地區抽樣 1 0 3 4 6 位國民小學六年級學生進行的數學成就測驗（TASA-MA）調查報告顯示，未達 基礎水準的學生佔了 1 9 . 1 ﹪，其平均答對率僅為 3 5 ﹪，他們的數學學習存在著明 顯的障礙（台灣學生學習成就評量資料庫，2 0 0 6 ）。研究者從教師的角度來看，

The study intended to analyze the students' misconceptions of linguis- tic knowledge, schematic knowledge , strategic knowledge , and proce- dural knowledge in solving [r]

伍、結論與建議 從分析面談學生的資料中發現，學生的 電 子 波 動 心 智 模 型 發 展 奠 基 於 學 生 的 經 驗 （感官知覺或直覺知識） ，而不是只靠數學方 程式的學習。因此，本研究提出一個三維向 量模型－經驗，心智模型，認識論工具－來 描繪學生對電子波動概念的學習。對於學習 物理，學習代數方程式（認識論工具）必須 伴隨著概念（心智模型）和實作或閱讀（經 驗）的學習，因為這三個軸均為組成學生知 識系統的重要成分。在這三個軸之間存在一 股張力，而且這三個軸在學生學習物理時必 須同時發展。

階段二 實驗階段 ： （一）實施對象與實施時間： 本研究首部分欲瞭解剛升上國中的七年級新生，對於等號意義的理解 及其等號概念發展，為避免七年級新生在尚未接觸正式課程前已有先修其 相關課程而影響研究結果，故關於國中七年級新生對於等號意義的理解及 其等號概念發展之前置研究將於 2012 年 10 月份第一次段考後的早自習時 間統一施測。而在本研究中參與研究的樣本學校選擇上，研究者最後選定 研究者所任職的新竹市立新新國民中學作為樣本學校。新竹市立新新國民 中學在新竹市屬於市區型的大型學校，每個年級班級數有 25 個班級，每 班人數約為 29~33 名學生，由於地理位置鄰近交通大學、清華大學、新竹 大學、食品研究院、工研院、以及新竹科學園區，故家長素質與其社經背 景也較為一致。再加上新新國民中學辦學風格多元且特色顯著，所以也有 不少重視教育的家長跨區將孩子送到此處就讀。在本研究中為了降低研究 時樣本的內部因素差異，並衡量研究進行的時間與地域便利性，因此研究 者與指導教授多次討論後共同選定研究者所任職的新竹市立新新國民中 學作為樣本學校。並在新新國民中學的新生 25 個班級中，採非隨機抽樣 中的立意抽樣方式，選取時間可配合的 20 個班級共約 660 名學生作為樣 本學生。