假設檢定基本觀念

Hypothesis Testing

～Basic concept ～

假設檢定基本觀念

基本觀念

關於假設檢定

●推論統計可分為三大領域：估計、檢定、分類與選擇。

●「假設檢定」包含了兩個動作：

〝假設〞～針對想要證實的資訊做出假設；

〝檢定〞～利用樣本訊息去檢定所設立的假設是否成立。

●假設檢定是一種彼此互斥「二分法」的統計方法。

●〝假設〞事前分為「虛無假設」（null hypothesis ，H₀） 與「對立假設」（alternative hypothesis ，H₁）兩種。

●〝檢定〞事後可採用常應用的「信賴區間法」、「臨界 值法」、「標準檢定法」、「P值法」等方式證明。

統計推論案例

假設某同學修商用統計學的課，宣稱他可以輕易的 及格過關。請問，你相信這位同學所說的話嗎？

假設來做個不記名的調查，進行隨機抽點n位 同學的意見做統計：（n次抽樣試驗）

根據所得資訊，若是計算出～

●估計同意其宣稱的比例(Proportion) – 點估計。

●估計同意其宣稱比例的可能範圍 – 信賴區間。

●評估其所宣稱的是「隨便說說的」或「很有把握」

– 假設檢定。

「假設」的立場

• 假設基礎：二分法（兩種互斥的決策）

• 邏輯應用：反証法

• 虛無假說(null hypothesis～ H

)

– 欲推翻的決策

– 主張錯誤或是希望被否決的假設

• 對立假說(alternative hypothesis～ H

)

– 欲證實的決策

– 主張對的假設

如何界定虛無與對立？

檢察官 犯人

舉証推翻犯人無罪 無罪？

有罪？(期待) 為何不舉証證明

犯人有罪就好?

法官

提供舉證 資訊

法官為避免冤獄

→採取寬鬆認定

→要有足夠證據，才能 推翻犯人無罪的假設

→將犯人判刑

所以我們將檢定所要〝推翻〞的論點，放在「虛無假設」

上，相對這個假設的互斥論點，就是「對立假設」，也就 是我們設想所要的期待結果。

虛無假設 與 對立假設

檢定者主張錯誤或希望被否定的假設。

以數學邏輯思考，虛無假設是不存在的假設，或暫時性的 假設，所以稱為「虛無」。

虛無假設（null hypothesis ，H

）

對立假設（alternative hypothesis ，H

）

檢定者主張對的假設。

假設檢定的過程類似數學的反證法，也就是先假設H₀是正確 的，然後透過機率看是否可以否定H₀，來驗證H₁的主張是被 支持的。

所以假設檢定整個計算過程，都是在檢定「虛無假設」是 否可以支持否定條件，計算過程與「對立假設」無關。

假設檢定的步驟建議

第1步 第2步 第3步 第4步 第5步

根據所要研究或判斷的問題，設立兩個假設。

蒐集所調查的樣本資料計算「檢定統計量」。

設立顯著水準大小，建立拒絕域與不拒絕域。

（一般社會科學採用0.05作為顯著水準的標準；

醫學統計則多採用0.01作為顯著水準的標準）

比較檢定統計量與臨界值大小，判定檢定統計量 落於拒絕域或是不拒絕域內。

下結論並做決策或推論。

單尾檢定與雙尾檢定

左尾檢定 右尾檢定 雙尾檢定

ቊ H₀：𝜇 ≥ 𝜇₀ H₁：𝜇 < 𝜇₀

或 ቊ H₀：𝜇 = 𝜇₀ H₁：𝜇 < 𝜇₀

ቊ H₀：𝜇 ≤ 𝜇₀ H₁：𝜇 > 𝜇₀

或ቊ H₀：𝜇 = 𝜇₀ H₁：𝜇 > 𝜇₀

ቊ H₀：𝜇 = 𝜇₀ H₁：𝜇 ≠ 𝜇₀

假設檢定整個計算過程，都是在檢定「虛無假設」是否可以支持否定條件

拒絕域與不拒絕域(接受域)

拒絕域 不拒絕域

α

μ

樣本抽樣分配的可能性

圖片參考：「統計學 二版」p14-5，李德治、林孟濡、童惠玲 著，博碩文化

μ'

ቊ H₀：𝜇 ≥ 𝜇₀ H₁：𝜇 < 𝜇₀

或 ቊ H₀：𝜇 = 𝜇₀ H₁：𝜇 < 𝜇₀

「假設」的寫法，〝＝〞一定放在「虛無假設」

中。以左尾檢定為例，就是把所有大於或等於 μ₀的可能情況都放在一起。若是最左邊 μ＝μ₀ 被拒絕，那其他分配也等於都被拒絕，所以虛 無假設也可以進行 μ＝μ₀ 即可。

檢定的方法（類型）

在給定的信賴水準下，利用樣本統計量求出信賴區間，然後檢查此區 間是否包含虛無假設值，則結論即可為拒絕虛無假設。

信賴區間法

臨界值法

標準檢定法

P值法

在給定的信賴水準下，先計算出臨界值，用以決定拒絕域或是不拒絕 域；再檢查樣本統計量落在那個區域？進而決定拒絕或不拒絕虛無假 設的方法。

資料來源：「統計學 二版」p14-6，李德治、林孟濡、童惠玲 著，博碩文化

又稱「公式法」，是將臨界值進一步推導後所得到的方法，先求出檢 定統計量，再檢查檢定統計量位於拒絕域或是不拒絕的方法。

將檢定統計量改用機率表示後，再和顯著水準比較大小，進而決定拒 絕或不拒絕虛無假設的方法。

案例1

某飲料廠商宣稱，他們的 1 公升容器中平均至少裝

有 0.98 公升的飲料。現抽出若干 1 公升裝的飲料，

以檢定此一宣稱。請問，如何列「假設」議題？

H

: μ ≥ 0.98

H

: μ < 0.97

案例2

某種款式的汽車平均每公升汽油可行駛 8 公里，現 有一製造研究小組發明一種新的化油器系統來增加 每加侖汽油可行駛的里程數。想要找到足夠的證據 顯示新的化油器的確可以使里程數超過 13公里，

請問，如何列「假設」議題？

H

: μ ≤ 13

H

: μ > 13

案例3

在某批零件中，品管人員抽出部分為樣本，並藉以 決定是否接受整批零件或因零件未符合規格而退回 給供應商。假設零件規格重量平均為 750 公克，如 果平均重量大於或小於 750 公克，這些零件將可能 產生品質問題，請問，如何列「假設」議題？

H

: μ ＝ 750

H

: μ ≠ 750

檢定錯誤 與

檢定力函數

假設檢定的風險～檢定錯誤

Why ?

當「假設」設定好後，就要利用樣本訊息來推論以進行

「檢定」，作為決策拒絕或不拒絕的決定。若是抽樣過程 產生偏差，就會導致決策時的誤判。

因為我們是透過抽樣方式來推論，所以在檢定計算時，也 會瞭解可能產生誤判的機率是多少，將更多的資訊顯示出 來提供給決策者有更多的判斷依據。

從統計的觀點，如果能增加抽樣的隨機性與抽取更多的樣 本數，理論上，也能降低發生檢定誤判的機率。所以有時 是設定誤判機率的限制條件，回頭先求取必要的樣本數，

再根據可執行的抽樣方式進行抽樣調查。

如何避免 ?

檢定錯誤的類型

α ＝max P(拒絕H

▕ H

為真)

真實 狀況

決策

接受H

拒絕H

H

為真

(H

True)

正確決策 機率： 1-α

型Ⅰ錯誤

(Type Ⅰ Error) 機率： α

H

為偽 (H

False)

型Ⅱ錯誤

(Type Ⅱ Error) 機率： β

正確決策 機率： 1-β

β ＝P(拒絕H

▕ H

為真)

型Ⅰ錯誤

拒絕域 不拒絕域

α μ

樣本抽樣分配的可能性

圖片參考：「應用統計學 二版」p282李德治、童惠玲，博碩文化

以左尾檢定為例，「虛無假設」包含所有大於等於μ₀的一切母 體可能（μ≧ μ₀）。當μ＝ μ₀時發生型Ⅰ錯誤的機率最大值。

ҧ

𝑥

α＝max P(拒絕H₀▕ H₀為真)

常用的 α 值是 0.05 及 0.01。

如果犯型 I 錯誤，必須付出極高的成本，則研究人員偏好較小

的 α 值。只控制型 I 錯誤機率的假設檢定通常稱為顯著性檢 定 (significance tests)。

型Ⅱ錯誤

雖然大部分的假設檢定應用都會控制型 I 錯誤 的機率，但是型 II 錯誤的機率則不一定在控制 中。因此，假若我們決定不拒絕 H

，我們還是 不能確定此決定有多大的信心。

統計學家通常建議我們用「不拒絕 H

」(do

not reject H

)，而不用「接受 H

」(accept H

)

的陳述。

案例4

有一強烈颱風正迅速接近台灣，但不確定是否會登陸，市 長需要決定明天是否放颱風假，於是他設立兩個假設，其 假設為：

H₀：颱風會經過 H₁：颱風不會經過

若型Ⅰ錯誤（Type Ⅰ Error）以 α 表示；型Ⅱ錯誤

（ Type Ⅱ Error ）以 β 表示，試回答下列各小題：

(1)「該放假而不放假」犯何種型態錯誤？

(2)「不該放而放假」犯何種型態錯誤？

(3)「寧可放錯假」，請問 α 增加或減少？ β 增加或減少？

資料來源：「統計學 二版」p14-32，李德治、林孟濡、童惠玲 著，博碩文化

案例4說明

真實 狀況

決策

接受H₀(放假) 拒絕H₀(不放假) H₀為真

(颱風會經過

→該放)

正確決策 機率：1-α

型Ⅰ錯誤

(Type Ⅰ Error) 機率：α

H₀為偽

(颱風不會經過

→不該放)

型Ⅱ錯誤

(Type Ⅱ Error) 機率：β

正確決策 機率：1-β

(1)「該放假而不放假」犯何種型態錯誤？ → 型Ⅰ錯誤

(2)「不該放而放假」犯何種型態錯誤？ → 型Ⅱ錯誤

(3)「寧可放錯假」，請問 α 增加或減少？ β 增加或減少？

→ 「放錯假」表示有〝放假〞，「寧可」表示〝不該放〞，所以是

「型Ⅱ錯誤」，故β會增加，而與α無關。

檢定力函數

Power of a Test

檢定力函數（power function of test）

α β

1-β

μ

C

𝑥 ҧ μ

檢定力 ＝ 1- β = (接受H

∣ H

為真)

假設實際母體的平均數為μ_Real（＜μ₀），若在檢定時「接受H₀ 」，就犯了 型Ⅱ錯誤；若是要降低型Ⅱ錯誤，就是讓(1-β)所代表區域越大（更往左移 或分配更集中），則β就會下降，所以在可給定（或限定）α（發生型Ⅰ錯 誤機率）情況下，若β越小，就表示整個假設檢定所會犯的所有可能錯誤越 小，因此把（1-β）視為檢定抽樣分配的強度，稱為「檢定力函數」。

H₀：𝜇 ≥ 𝜇₀ H₁：𝜇 < 𝜇₀

影響檢定力因素

檢定力 ＝ 1-β = (接受H₁ ∣ H₁為真)

1.樣本中位數」大小：樣本數越大，檢定力越大

2.顯著水準α：一般而言α越大，檢定力越大

3.檢定統計量的選擇：一般是以平均數（ ҧ𝑥）為統計量代表，

若是以「中位數」為代表，因為其抽樣之標準差較大，其 檢定力會較小。

4.決策法則之決定：檢定時採用左尾、右尾或雙尾亦會影響 檢定力的大小。（相同條件下，單尾比雙尾更具有檢定力）

資料來源：「應用統計學 二版」p288，李德治、童惠玲 著，博碩文化

一般而言在進行檢定時，α越大β越小，有沒

有可能α變大β也隨之變大？

影響檢定力因素

一般而言在進行檢定時，α越大β越小，有沒 有可能α變大β也隨之變大？

α

β μ

μ

n=30

n=20

有可能，當拒絕域 的臨界值（C）固定 時，降低樣本數會 導致兩者同時變大。

（右方對應α之綠色 曲線下的面積比黑

色大；同理，β亦同）

C

如何計算檢定力？

Reject H₀:   52

Do not reject H₀ :  52

• Suppose we do not reject H

:   52 when in fact the true mean is  = 50

52 50

This is the true

distribution of X if  = 50

This is the range of X where H₀ is not rejected

= Prob. of type II error

DCOV A

Copyright © 2014 Pearson Education

Here, β = P( തx  cutoff ∣ if μ = 50 )

C

α β

如何計算檢定力？

Reject H₀: μ 52

Do not reject H₀ : μ 52

• Suppose n = 64 , σ = 6 , and  = .05



52 50

So β = P( x  50.766 ) if μ = 50

50.766 64

1.645 6 n 52

Z σ μ

X

cutoff 





  

(for H₀ : μ 52)

50.766

DCOV A

Copyright © 2014 Pearson Education Step1：先利用α求出臨界值C

如何計算檢定力？

Reject H₀: μ 52

Do not reject H₀ : μ 52

0.1539 0.8461

1.0 1.02)

P(Z 64

6

50 50.766

Z P μ 50)

| 50.766 X

P(     















 









• Suppose n = 64 , σ = 6 , and  = 0.05

52 50

Probability of type II error:

β = 0.1539 Power

= 1 - β

= 0.8461

50.766

The probability of correctly rejecting a false null hypothesis is 0.8641

DCOV A

Copyright © 2014 Pearson Education

Step2：計算β值

Step3：計算檢定力：power=1-β

案例5

假設തx₄， തx₂₅ 表示由常態母體N（μ，4²）分別隨機抽 取4，25個樣本之樣本平均數，欲進行μ值之檢定，若 令統計假設為H₀：μ=0；H₁：μ =1，求下列二種檢定 法的α與β值。

檢定法則1：若 തx₂₅ ＞1.32，則拒絕H₀：μ=0 檢定法則2：若 തx₄ ＞3.29，則拒絕H₀：μ=0

「現代統計學」p175，吳柏林 著，五南圖書

案例5說明

(1)檢定法則1：

α = P(拒絕H₀ ∣ H₀為真)= P(തx₂₅ ＞1.32 ∣ H₀=0)

= P( ^തx25−0

4²/25 > ^1.32−0

4²/25 ) = P( Z＞1.65 ) ≒ 0.05 β = P(接受H₀ ∣ H₀為偽)= P(തx₂₅ ＜1.32 ∣ H₁=1)

= P( ^തx25−1

4²/25 < ^1.32−1

4²/25 ) = P( Z＜0.4 ) = 0.66 → 檢定力 1-β=0.34 (2)檢定法則2：

α = P(拒絕H₀ ∣ H₀為真)= P(തx₄ ＞3.29 ∣ H₀=0)

= P( ^തx4−0

4²/4 > ^3.29−0

4²/4 ) = P( Z＞1.645 ) = 0.05 β = P(接受H₀ ∣ H₀為偽)= P(തx₂₅ ＜1.32 ∣ H₁=1)

= P( ^തx4−1

4²/4 < ^3.29−1

4²/4 ) = P( Z＜1.15 ) = 0.87 → 檢定力1-β=0.13

檢定法則1的「檢定力」比法則2好

單尾檢定與雙尾檢定 的檢定要點

常見用法、決策法則、檢定要點

假設檢定的類型

類別 檢定H₀項目 左尾 右尾 雙尾

單 母 體

平均數 ^{μ ≧ μ}₀ ^{μ ≦ μ}₀ ^{μ = μ}₀

比例 ^{p ≧ p}₀ ^{p ≦ p}₀ ^{p = p}₀

變異數 ^{σ2 ≧ σ}₀^{2 σ2 ≦ σ}₀^{2 σ2 = σ}₀²

兩 母 體

平均數差

(獨立樣本)

μ₁ ≧ μ₂ μ₁ ≦ μ₂ μ₁ = μ₂ μ₁ - μ₂ ≧ 0 μ₁ -μ₂ ≦ 0 μ₁ - μ₂=0

平均數差

(成對樣本) μ_d ≧ 0 μ_d ≦ 0 μ_d = 0

比例差 ^{p1 ≧ p2 p1 ≦ p2 p1 = p2}

p₁ - p₂ ≧ 0 p₁ - p₂ ≦ 0 p₁ - p₂=0

變異數差異 ^{σ12 ≧ σ22 σ12 ≦ σ22 σ12 = σ22}

σ₁² /σ₂² ≧1 σ₁² /σ₂² ≦1 σ₁² /σ₂²=1

左尾檢定的檢定要點

假設檢定 決策法則

抽樣分配示意圖 ቊ𝐻₀：𝜃 ≥ 𝜃₀

𝐻₁：𝜃 < 𝜃₀

根據抽樣樣本，計算檢定 統計量 θ^＊ ：

給定顯著水準 α ，其對應 的數值為C（臨界值）

若 θ^＊ ≧ C → 不拒絕 H₀ 若 θ^＊ ＜ C → 拒絕 H₀

θ₀ C

α

拒絕域 不拒絕域

P ෠𝜃 ≤ C = 𝛼 ⋯ ①

利用所抽樣的樣本，

計算其統計量 θ^＊ ， 若滿足式①條件，即 表示「拒絕H₀」

右尾檢定的檢定要點

假設檢定 決策法則

抽樣分配示意圖 ቊ𝐻₀：𝜃 ≤ 𝜃₀

𝐻₁：𝜃 > 𝜃₀

根據抽樣樣本，計算檢定 統計量 θ^＊ ：

給定顯著水準 α ，其對應 的數值為C（臨界值）

若 θ^＊ ≦ C → 不拒絕 H₀ 若 θ^＊ ＞ C → 拒絕 H₀

θ₀ C

α

不拒絕域 拒絕域

P ෠𝜃 ≥ C = 𝛼 ⋯ ②

利用所抽樣的樣本，

計算其統計量 θ^＊ ， 若滿足式②條件，即 表示「拒絕H₀」

雙尾檢定的檢定要點

假設檢定 決策法則

抽樣分配示意圖 ቊ𝐻₀：𝜃 = 𝜃₀

𝐻₁：𝜃 ≠ 𝜃₀

根據抽樣樣本，計算檢定 統計量 θ^＊ ：

給定顯著水準 α ，其對應 的數值為C_L與C_U（臨界值 的下限與上限）

若C_L ≦ θ^＊≦ C_U → 不拒絕 H₀ 若 θ^＊＜C_L 或 θ^＊＞C_U → 拒絕 H₀

θ₀ C_L

α/2

拒絕域

不拒絕域 P መ𝜃 ≤ C_L = ^𝛼

2 ⋯ ③

利用所抽樣的樣本，計算其 統計量 θ^＊ ，若滿足式③或

④條件，即表示「拒絕H₀」 P መ𝜃 ≥ C_U = ^𝛼

2 ⋯ ④

C_U α/2

拒絕域

控制α、β條件下，所需的樣本數

起心動念

●抽樣時，受限抽樣方法的好壞，難免會產生判斷的錯誤。

●當型Ⅰ錯誤變小，通常會造成型Ⅱ錯誤變大。

●一般型Ⅰ錯誤所造成的後果遠比型Ⅱ錯誤嚴重，因此通 常會先控制型Ⅰ錯誤(α)在合理範圍後再進行檢定。

●實際上，除非知道真實母體分配資訊，也無法計算型Ⅱ 錯誤(β)。若想同時減少α、β，就必須增加樣本數。

在有限的調查資源下，我們可以先試算想要

控制的α與β所對應的樣本數；評估可進行的

樣本數後，才進行實際的檢定統計調查。

在給定α、β值，如何計算樣本數？

α β

左尾檢定

μ₀ C

右尾檢定

雙尾檢定

C

C_L C_U α

α/2 α/2

β μ₀

μ₀

C = 𝜇₀ − z_𝛼 𝜎²

n = 𝜇_R + z_𝛽 𝜎² n

μ_R

μ_R

 ^{n = 𝜎}

2 z_𝛼 + z_𝛽 ² 𝜇₀ − 𝜇_R ²

C = 𝜇₀ + z_𝛼 𝜎²

n = 𝜇_R − z_𝛽 𝜎² n

 ^{n = 𝜎}

2 z_𝛼 + z_𝛽 ² 𝜇_R − 𝜇₀ ²

C_L = 𝜇₀ − z_𝛼/2 𝜎²

n = 𝜇_R + z_𝛽 𝜎² n

 ^{n = 𝜎}

2 z_𝛼/2 + z_𝛽 ²

𝜇₀ − 𝜇_R ² = 𝜎² z_𝛼/2 + z_𝛽 ² 𝜇_𝑅 − 𝜇₀ ²

或計算C_U

C_L C_U

案例6

考慮下列兩個假設：

「應用統計學 二版」p292，李德治、童惠玲，博碩文化

ቊ𝐻₀：𝜇 ≥ 10 𝐻₁：𝜇 < 10

已知母體變異數為25，現隨機抽取120個樣本，已知 母體真實的平均數是9，在顯著水準α＝0.05時，發生 型Ⅱ錯誤 β=0.2912。若現在欲降低型Ⅱ錯誤至0.1，

請問需再抽取幾個樣本？

案例6說明

若給定 α＝0.05， β=0.1 下，需抽樣：

n = 𝜎² z_𝛼 + z_𝛽 ²

𝜇₀ − 𝜇_R ² = 5² z_0.05 + z_0.1 ² 10 − 9 ²

= ^{52 1.645+1.28 2}

10−9 ² = 214

所以還要再抽取 214 – 120 = 94 個樣本

The End

H0 : μ ≤ 13 H1 : μ > 13 案例3：

H0 : μ ＝ 750 H1 : μ ≠ 750