數學考科

總召集∕陳彥良 出　版∕民國一 一○年二月

總編輯∕李心筠 發行所∕₇₀₂₄₈ 臺南市新樂路 76 號 主　編∕吳崇欽 編輯部∕₇₀₂₅₂ 臺南市新忠路 8 -1 號

06 2619621 #312

忠明高中•陳冠州 老師

數學 _考科

回顧與歷屆試題分析 一

首先我們先回顧一下，102年學測是第一次依99課綱命題，至 109年學測各章命題 數統計如下：

　　　　　　　　年　度

範　圍　　　　　　　　 102 103 104 105 106 107 108 109 小計

第一冊

數與式 1 2 0 1 0 0 1 1 6 多項式函數 2 2 1 2 2 1 2 1 13 指數與對數函數 2 2 2 1 2 2 2 1 14

第二冊

數列與級數 1 1 2 1 1 0 1 1 8 排列、組合 2 2 2 1 2 0 2 1 12

機　率 1 1 2 2 1 1 1 2 11 數據分析 1 1 1 2 2 2 2 1 12

第三冊

三　角 2 2 2 2 2 3 2 4 19 直線與圓 1 2 1 2 2 3 2 1 14 平面向量 2 2 2 1 1 3 1 2 14

第四冊

空間向量 0 1 2 1 2 2 1 2 11 空間中的平面與直線 2 1 1 2 2 1 1 1 11 矩　陣 1 1 1 1 0 1 1 1 7 二次曲線 2 0 1 1 1 1 1 1 8 由以上考題數分析數點歸納如下：

1　四冊配分中，以第三冊命題最多，第一冊最少；以章節論，三角考最多，甚至在109年 考4題，在108課綱三角份量比99課綱更重，可預期未來考題三角份量會增加；以公 式論，餘弦定理考最多。

2　近年來素養題逐漸增加，在106、107、108、109年各有4、3、5、4題，約占整份學測 1

試題分析

忠明高中 陳冠州 老師

3　解題著重：（觀念）+（圖解），幾乎只考課本公式，少複雜計算、更少特殊技巧。

4　在108、109年學測的20題考題中，與課本或習作有高度相似者都各有9題，在課本都 可以找到類似題，只要把握住這9題，再多對個1題，分數就會落在均標附近！大考中 心希望讓同學有努力就有分數，不放棄數學！

5　學測偶爾（約三年一次）會考到課本無提及的觀念（但資質好的同學，還是可以當場想 出來），同學仍需弄懂，因為今年命題教授看到以前考過這觀念，可能就會出個類似 的題目再考一次，舉個例子說吧！105年學測多選第10題考「正係數方程式無正根」， 緊接同年的指考乙單選第1題就考了類似觀念「正、負係數交錯方程式無負根」，隔年

（106年）再接再厲，學測選填C再考一次與105年學測多選第10題相同觀念！結論 就是必須好好練習歷屆試題！

110 學測數學試題分析 二

大考中心所列數學測驗三目標：概念性知識、程序性知識、解決問題的能力，110學 測數學占此三測驗目標的比率依序為15 ％、50 ％、35 ％，主要還是程序性知識，也就是 一般考試題目較多，其實，若考生能靜下心來，不慌張，將試題中與課本類似及學測考古 類似題做對，就可以過均標了。

110 試題分配章節表

範　圍 題　型

數與式 選填 A

多項式函數 單選 5，多選 13 指數與對數函數 單選 2，選填 D、E

數列與級數 多選 13

排列、組合 無

機 率 多選 7、12，選填 C

數據分析 多選 9

三 角 單選 3，多選 8、10，選填 F

直線與圓 無

平面向量 單選 4，多選 8、11

空間向量 選填 G

空間中的平面與直線 選填 B

試題分析

由上頁表試題分配章節表可知：

1　配題：

　各冊出題數相當，仍以三角考最多，指數與對數函數、機率、平面向量次之。

2　難易度：

　今年相較於去年真是恍如隔世，題目是中偏難或難者占一半，比去年多三題，難度直逼 106學測，筆者估可能是近十年中難度前二名，預估均標為6級分。兩年難易度差距如 此大，著實讓學子很不容易準備。

3　特色：

　1　考到屬於國中幾何觀念的題目較以往多，如圓周角等於一半圓心角、三角形全等性 質、各種多邊形性質。

　2　多選題選項具誘導性、提示性，也就是前面選項可幫助後面選項思考，這是很好的 設計方式。

　3　畫圖形必須超級仔細與細心，如多選8、10、11，選填F、G，甚至需圖形中數據 精確到小數點，如單選6，還有圖形不易畫的，需要邊解題邊修正圖形的，如選填 G。這倒是跟筆者強調的圖解一致，所以同學應該多多練習畫圖了！

　4　單選題多數題目評量單一概念；跨章節題目有兩題，全在多選題，跟以往最多一 題比起來，難度倍增，這樣對前25 ％ 的學生有高度鑑別度，但其餘的就混在一起 了！

4　素養題：

　今年偏少，只有兩題素養題，都是圖表式素養題，呼應大考中心數學測驗目標：程序性 知識－能讀圖、查表，所以同學應該從平時就加強圖表閱讀，培養文字轉化圖像能力。

多選7與心理學結合，多選9搭上最近選舉話題，題目文字用辭說明精確，無以前模稜 兩可的文意出現，這很值得稱讚。

5　特色試題：列舉幾題如下，

　多選8：題目提及點可連成圓內接正六邊形，但要估計L斜角，所以畫出的正六邊形為 稍微右旋，若同學隨意畫，可能就會選錯了。

　多選9 ：耐心看懂題目，利用國中知識就可以解題了。

　多選10 ：這與105年學測多選12類似，都是圖解，但選項2、3考SSA唯一性質，

畫圖需要長短正確，才能正確判斷。

　多選11：選項3學生通常只畫出一種梯形，這樣會誤判eB為鈍角，實則銳角、直角 亦有可能。此外，選項設計成有引導解題順序，但只要一選項不會，後面的 就只能用猜的。

　多選12：若依選項順序解題，在算選項3時較有難度，但若先算選項4、5，再回頭

111 學測數學展望 三

　　　　　　（b：110年為預估值）

　　從上表走勢觀察心得及展望明年第一次108課綱數學學測如下：

1　今年考題像是在預告明年學測數學A的難度，預料數學A難度會較以往學測難，反而 數學 B會較以往簡單，對於程度不佳的學生應該會選考數學B，如此較願意付出時間 準備數學，而不會放棄。

2　雖然今年考題為近十年來相當難的，但考題中類似課本的習題有4題：單選1、4，選 填B、E，學測出現過的類似題有3題：單選6、多選10、選填C，這表示即使考題很 難，只要弄懂課本及歷屆試題，成績仍然有機會達到均標，甚至超過。

3　明年學測首次出現混合題型（指同時包含選擇題或選填題與非選擇題的題型，如多選 題搭配非選擇題）約占15 ％ ∼ 20 ％，所以學子在平時就要確實寫作業，按照數學語 法表示你的計算過程，以免表示方法或邏輯不對而被扣冤枉分數。

　有些同學到了高中算數學，還是像國中一樣只列出正在算的部分，完整數學式都不想 寫，雖然省書寫時間，但常常導致算到一半就不曉得現在算的是什麼？或者要回頭找 某些資訊時卻找不到，其實這樣反而事倍功半。不如真正算懂一題，知曉每一步驟是 根據什麼而來，甚至會舉一反三，不要只記方法，卻說不出引用的公式，這種錯誤學 習方式，應付學校段考尚可，但面對靈活的學測題目完全不行。

4　通常新課綱新增的部分，在前兩三年比較會被命題，所以同學要多加注意，如：三次

函數對稱中心、一次近似、期望值、……等。

F

數學 _考科

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）

說明：第1題至第6題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、

未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 設A= 1 2

0 3 。若A⁴= a b

c d ，則a+b+c+d之值為下列哪一個選項？

1158 2162 3166 4170 5174

答　　案 2

命題出處 第四冊第三章　矩陣

測驗目標 矩陣的乘法

難 易 度 易

詳　　解 A²= 1 2

0 3 1 2

0 3 = 1 8 0 9 A⁴=A²．A²= 1 8

0 9 1 8

0 9 = 1 80 0 81 ∴a+b+c+d=1+80+0+81=162

故選2

2 五項實數數列a¹，a²，a³，a⁴，a⁵的每一項都大於1，且每相鄰的兩項中，都有 一數是另一數的兩倍。若a¹=log¹⁰36，則a⁵ 有多少種可能的值？

13 24 35 47 8

試題解析

忠明高中 陳冠州 老師

答　　案 1

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 對數律

難 易 度 易

詳　　解 a¹=log¹⁰ 36=log¹⁰ 6²=2 log¹⁰ 6且log¹⁰ 6<1

∴a⁵可能為2 log¹⁰ 6，8 log¹⁰ 6，32 log¹⁰ 6，共3種

故選1

^〈另解〉

1 設a1 到a5共經過「*2」有x 次，「/2」有y次 　 !x+y=4 ………1

2 a⁵=（log¹⁰ 36）*（2^x）/（2^y）=（log¹⁰ 36）*2^x-y>1 　 !2^x-y> 1

log¹⁰ 36 = 1

2 log¹⁰ 6. 1

2*0.7781.0.64 　 !x-yM0，即xMy ………2

3　滿足1，2之非負整數（x﹐y）=（4﹐0），（3﹐1），（2﹐2），共3組

∴a5 共3種可能的值，故選1

3 如右圖，△ABC為銳角三角形，P為△ABC外接圓Γ外的一點，

且 PB 與 PC 都與圓 Γ相切。設 eBPC=θ，試問 cosA的值為 下列哪一個選項？

1sin2θ 2 sinθ 2 3sin θ

2 4 cosθ

2 5cos θ

2

試題解析

答　　案 3

命題出處 第三冊第一章　三角

測驗目標 餘角關係

難 易 度 中偏易

詳　　解 令外接圓Γ的圓心為O

∵PB與PC 都與圓Γ相切

∴eOBP=eOCP=90n

!eBOC=360n-90n-90n-θ=180n-θ 　eBAC= 1

2eBOC=90n-θ 2 ∴cosA=cos

（

）

故選3

4 設aa與ab都是平面上不為零的向量。若 2aa+ab與aa+2ab所張成的三角形面積 為6，則3aa+ab與aa+3ab所張成的三角形面積為下列哪一個選項？

18 29 312 413.5 516

答　　案 5

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 三角形面積（二階行列式）

難 易 度 中偏難

詳　　解 設aa，ab所張成的三角形面積為Δ

∴2aa+ab，aa+2ab所張成的三角形面積為│2 1

1 2│*Δ=3Δ=6!Δ=2 !3aa+ab，aa+3ab所張成的三角形面積為│3 1

1 3│*Δ=8*2=16

故選5

5 設 f（x）為實係數三次多項式函數，滿足（x+1）f（x）除以 x³+2的餘式為 x+2。若 f（0）=4，則 f（2）的值為下列哪一個選項？

18 210 315 418 520

答　　案 4

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 除法原理

難 易 度 中

詳　　解 由題意知：（x+1）f（x）=（x³+2）（ax+b）+（x+2）……（＊）

令x=0代入! f（0）=2．b+2

!4=2b+2!b=1

令x=-1代入!0=（-a+b）+1=-a+1+1=2-a

!a=2

a=2，b=1代回（＊），得（x+1）f（x）=（x³+2）（2x+1）+（x+2） 令x=2代入!3f（2）=10．5+4! f（2）=18

故選4

6 坐標平面上有一邊長為3的正六邊形ABCDEF，其中A（3﹐0），D（-3﹐0）。 試問橢圓 x²

16+y²

7 =1與正六邊形ABCDEF有多少個交點？

10 22 34 46 58

答　　案 5

命題出處 第四冊第四章　二次曲線

測驗目標 橢圓方程式

難 易 度 中偏難

詳　　解 邊長3的正六邊形ABCDEF之頂點B

（

）

橢圓 x²

16+y²

7 =1之a=4，b= 7

知長軸頂點A'（4﹐0），短軸頂點B'（0﹐ 7） ∵3 3

2 .3*1.732

2 =2.598， 7.2.646

∴B'點略高過B點

由右圖可知共有8個交點

故選5

試題解析

二、多選題（占 35 分）

說明：第7題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7 心理學家找了 1000位受試者進行暗室實驗，每位受試者都要觀看及辨識 6、 8、9三張數字卡，發現將實際數字看成某個數字的機率如下表：

　　 看成數字

實際數字 　　 6 8 9 其他

6 0.4 0.3 0.2 0.1

8 0.3 0.4 0.1 0.2

9 0.2 0.2 0.5 0.1

例如：實際數字6被看成6、8、9的機率分別為0.4、0.3、0.2，而被看成其他 數字的機率是0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。

1如果實際數字是 8，則至少有一半的可能性會被看成是 8 2如果實際數字是 6，則有六成的可能性會被看成不是 6 3在 6、8、9 三數字中，被誤認的可能性以 9 最低

4如果被看成的數字是 6，則實際上就是 6 的可能性不到一半 5如果被看成的數字是 9，則實際上就是 9 的可能性超過 2

3

答　　案 234

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 條件機率

難 易 度 易

詳　　解 1×：P（8看成8）=0.4<1 2

2○：P（6看成非6）=1-P（6看成6）=1-0.4=0.6 3○： P（8看成非8）=1-0.4=0.6

P（9看成非9）=1-0.5=0.5

∴P（9看成非9）<P（8看成非 8）=P（6看成非6）

4○：所求為P（實際 6│看成6） 　　　　　　=P（實際 6j看成6）

P（看成6） 　　　　　　= 0.4

0.4+0.3+0.2= 4 9< 1

2 5×：所求為P（實際 9│看成9） 　　　　　　=P（實際9j看成9）

P（看成9） 　　　　　　= 0.5

0.2+0.1+0.5= 5 8< 2

3 故選234

8 如右圖，L為坐標平面上通過原點O的直線，Γ是以O為圓 心的圓，且L與Γ有一個交點A（3﹐4）。已知B，C為Γ上 的相異兩點滿足aBC=aOA。試選出正確的選項。

1L與Γ的另一個交點為（-4﹐-3） 2直線BC的斜率為 3

4 3eAOC=60n

4△ABC的面積為 25 3 2 5B與C在同一象限內

答　　案 35

命題出處 第三冊第一章　三角、

第三冊第三章　平面向量

測驗目標 三角形面積、向量定義

難 易 度 中偏難

詳　　解 1×：∵ A、A'對稱於原點　∴A'（-3﹐-4） 2×：mBC=mOA=4

3

3○：∵ aBC=aOA　∴BC7OA 　　　且BC=OA= 3²+4²=5 　　　（亦為圓O之半徑）

　　　又OB=OC=5

試題解析

4×：由3之作圖知aBC 有兩處：aB¹C¹，aB²C²

　　　又eBiOA'=180n-60n-60n=60n，其中i=1，2 　　　∴六邊形AC1B1A'B2C2為正六邊形

　　　故△ABC面積為

　　　 1

2*5*5*sin120n=25 2 * 3

2 =25 3 4 5○：∵ tanθ=mOA= 4

3< 3=tan60n 　　　∴θ略小於60n（實際上，θ.53n）

　　　∴此正六邊形為稍微右旋 　　　故由圖知：B、C在同一象限內

故選35

9 某村的村長選舉設有兩個投票所。已知兩位候選人在各投票所得到的有效票數 比例如下表（廢票不列入計算）：

甲候選人 乙候選人 第一投票所 40 ％ 60 ％ 第二投票所 55 ％ 45 ％

假設第一投票所與第二投票所的有效票數分別為x 與y（其中x>0，y>0），且 以總得票數較高者為當選人。根據上述表格，試選出正確的選項。

1當有效票數的總和x+y已知時，就可決定當選人 2當x：y的比值小於 1

2 時，就可決定當選人 3當x>y 時，就可決定當選人

4 當甲候選人在第一投票所的有效票數比在第二投票所的有效票數多時，就可 決定當選人

5 當乙候選人在第二投票所的有效票數比在第一投票所的有效票數多時，就可 決定當選人

答　　案 234

命題出處 第二冊第四章　數據分析

測驗目標 閱讀與表達能力

詳　　解 甲總得票數為0.4x+0.55y 乙總得票數為0.6x+0.45y

甲當選+甲總得票數>乙總得票數 　　　+0.4x+0.55y>0.6x+0.45y 　　　+y>2x

　　　+0< x

y < 1 2 反之，乙當選+ x

y >1 2 1×：x+y 已知，仍不知 x

y 為何，故無法決定當選人

2○： x

y <1

2 !甲當選

3○：x>y ! x

y >1> 1

2 !乙當選 4○：0.4x>0.55y! x

y >11 8 >1

2 !乙當選 5×：0.45y>0.6x! x

y <3 4 　　　無法確定 x

y 大於或小於 1

2，故無法決定當選人 故選234

0 在△ABC 中，已經知道 AB=4 和 AC=6，此時尚不足以確定△ABC 的形狀 與大小。但是，只要再知道某些條件（例如：再知道 BC 的長度），就可確定

△ABC唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。

1如果再知道cosA的值，就可確定△ABC唯一的形狀與大小 2如果再知道cosB的值，就可確定△ABC唯一的形狀與大小 3如果再知道cosC的值，就可確定△ABC唯一的形狀與大小 4如果再知道△ABC的面積，就可確定△ABC唯一的形狀與大小

5如果再知道△ABC的外接圓半徑，就可確定△ABC唯一的形狀與大小

答　　案 12

命題出處 第三冊第一章　三角

測驗目標 正、餘弦定理與面積公式

試題解析

詳　　解 1○：知道cosA!知道eA

　　　由SAS作圖知，可確定△ABC唯一 2○：知道cosB!eB的可能情況有三：

　　　1eB為銳角　　　　　2eB為直角　　3eB為鈍角

　　　不論eB是三種情況的哪一種，都可確定△ABC唯一 3×：知道cosC!eC的可能情況有三：銳角、直角、鈍角 　　　1　若eC為鈍角或直角時

　　　　 !AB為最大邊，但與題意：AB<AC 矛盾　∴△ABC不存在 　　　2　若eC為銳角時，無法確定eB為銳角、直角或鈍角

　　　故無法確定△ABC唯一

^〈另解〉

2○3×：利用下列性質判斷：

　　　　　已知三角形兩邊長及其中大邊之對角，則可確定△ABC唯一。

　　　　　例：已知△PQR中：1 PQ，PR 長度；2 PQ>PR； 　　　　　　　3eR之角度，則可確定△PQR唯一

　　　　　∵AC>AB　∴知道eB時，可確定△ABC唯一 　　　　　故2○；3×

4×：∵△ABC面積=1

2*AB*AC*sinA　∴知道sinA 　　　但eA可能有兩解，故無法確定△ABC唯一 5×：如右圖，無法確定△ABC唯一

　　　〈另解〉

　　　 AC

sinB=2R! 6

sinB=2R!sinB= 3 R

　　　!eB可能有兩解，故無法確定△ABC唯一

故選12

q 平面上有一梯形ABCD，其上底AB=10、下底CD=15，且腰長AD=BC+1。

答　　案 125

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的內積

難 易 度 難

詳　　解 設BC=x，則AD=x+1，梯形ABCD可能的情形如下：

^{圖1eB為鈍角} 圖2eB為直角　　 圖3eB為銳角

1○：圖2、圖3明顯eA>eB 　　　在圖1中，作等腰梯形ABCD'

　　　∴eDAB>eD'AB=eCBA，即eA>eB 2○：eB+eD<eA+eD=180n

3×：由圖1、2、3知：eB是鈍角、直角、銳角均有可能 　　　∴aBA．aBC是負、0、正均有可能

4×：作 BE7AD!CE=15-10=5 　　　△BCE中，（x+1）+x>5!x>2

5○：aCB．aCD =x*15*coseBCE=x*15*x²+5²-（x+1）² 2*x*5

=3（12-x）<3（12-2）（∵x>2）

=30

b：當2<x<12時，eB為鈍角；當x=12時，eB為直角；

　　當 x>12時，eB為銳角

故選125

w 設P（X）表示事件X發生的機率，而P（X│Y）表示在事件Y發生的條件下，事 件X發生的機率。今有2顆黑球、2顆白球、3顆紅球共7顆大小相同的球排 成一列。設事件A為2顆黑球相鄰的事件，事件B為2顆黑球不相鄰的事件，

而事件C為任2顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。

1P（A）>P（B） 　　　2P（C）= 2 7

試題解析

答　　案 25

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 條件機率及其加法法則

難 易 度 難

詳　　解 n（S）=7!

1×：P（A）=6!*2!

7! =2

7，P（B）=1-P（A）=1-2 7=5

7 　　　∴P（A）<P（B）

2○：P（C）=4!*（C35*3!）

7! = 2

7

3×：∵ P（C）=P（A）*P（C│A）+P（B）*P（C│B）

　　　∴ 2

7=2

7*P（C│A）+5

7*P（C│B） 　　　!2P（C│A）+5P（C│B）=2

4×：P（C│A）= n（CjA） n（A）

=3!*2!*（C³⁴*3!） 6!*2!

B1B2，W1，W2排列 R1，R2，R3插空

= 288

6!*2!= 1 5=0.2 5○：將 P（C│A）=1

5 代入2P（C│A）+5P（C│B）=2 　　　!2* 1

5+5P（C│B）=2!P（C│B）= 8

25>0.3

故選25

〈另解〉

5○：P（C│B）= P（CjB）

P（B） = P（C）-P（CjA） P（B）

= 5 7 2

7-288 7! = 8

25 3×：將 P（C│A）= 1

5，P（C│B）= 8

25 代入

e 設多項式函數 f（x）=x³+ax²+bx+c，其中a，b，c 均為有理數。試選出正確 的選項。

1函數y=f（x）與拋物線y=x²+100的圖形可能沒有交點

2若 f（0）f（1）<0<f（0）f（2），則方程式 f（x）=0必有三個相異實根 3若1+3i是方程式 f（x）=0的複數根，則方程式 f（x）=0有一個有理根 4存在有理數a，b，c使得 f（1），f（2），f（3），f（4）依序形成等差數列 5存在有理數a，b，c使得 f（1），f（2），f（3），f（4）依序形成等比數列

答　　案 235

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、

第二冊第一章　數列與級數

測驗目標 高次方程式之根與係數的關係、虛根成對定理、勘根定理、等差數列與 等比數列

難 易 度 難

詳　　解 1×：x³+ax²+bx+c=x²+100為三次方程式 　　　!至少有一實根，即至少有一交點 2○：f（0）f（1）<0!在0∼1至少有一實根 　　　 f（0）f（2）

f

（0）f（1）<0! f（2） f（1）<0

　　　! f（1）f（2）<0!在1∼2至少有一實根 　　　又 f（x）=0有三根且虛根要成對

　　　∴第三根亦為實根

　　　故 f（x）=0有三相異實根

3○：∵ 1+3i為 f（x）=0之一根　∴必有另一根1-3i 　　　設 f（x）=0之三根x=1+3i，1-3i，α

　　　由根與係數的關係知：（1+3i）+（1-3i）+α=-a 1 　　　!α=-a-2l （∵al ）

4×：令 a1=f（1），a2=f（2），a3=f（3），a4=f（4） 　　　假設a1，a2，a3，a4成等差數列

　　　!（1﹐a1），（2﹐a2），（3﹐a3），（4﹐a4）必在某直線L上 　　　又（1﹐a¹），（2﹐a²），（3﹐a³），（4﹐a⁴）在y=f（x）上 　　　此表L與y=f（x）有四個交點

　　　但 f（x）次數為三次　 　　　∴不可能有四交點

試題解析

5○：假設 f（1）=2t，f（2）=4t，f（3）=8t，f（4）=16t成等比數列 　　　令 f（x）=A（x-1）（x-2）（x-3）+B（x-1）（x-2）+C（x-1）+D 　　　∵ f（x）之x³項係數為1　∴A=1

　　　∵ f（1）=2t　∴D=2t

　　　∵ f（2）=4t　∴C+D=4t!C+2t=4t!C=2t

　　　∵ f（3）=8t　∴2B+2C+D=8t!2B+2*2t+2t=8t!B=t 　　　∵ f（4）=16t　∴6+6B+3C+D=16t

　　　!6+6*t+3*2t+2t=16t!t=3 　　　代回D=2t=6，C=2t=6，B=t=3

　　　代回得 f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）+3（x-1）（x-2）+6（x-1）+6 　　　將 f（x）展開得 f（x）=x³-3x²+8x，再與 f（x）=x³+ax²+bx+c

比較係數就可得a，b，c，且均為整數（有理數）

　　　b：若 f（1），f（2），f（3），f（4）形成等比數列，公比為r，則：

　　　　　f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）+B（x-1）（x-2）+C（x-1）+D， 　　　　　其中B= 3

r-1，C= 6

（r-1）² ，D= 6

（r-1）³ 故選235

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明：1　第 A. 至 G. 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示 的列號（14-32）

　　　2　每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 某機器貓從數線上原點位置朝數線的正向移動，其移動方式如下：以8秒為一 週期，每一週期先以每秒4單位長等速度移動6秒，再休息2秒。如此繼續下 去，則此機器貓在開始移動後　rt　秒會抵達數線上坐標為116的位置。

答　　案 37

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 數與數線

難 易 度 易

詳　　解 每一週期會移動4*6=24單位長，116/24=4……20 即移動4個週期，尚餘20單位長

故開始移動後4 8 20

37秒會抵達

B. 坐標空間中有兩條直線L¹，L²與一平面E，其中直線L¹： x 2= y

-3= z

-5，而

L2的參數式為

x=1 y=1+2t z=1+3t

（t為實數）。若L1落在E上，且 L2與E不相交，則

E的方程式為x-　y　 y+　u　z=　i　。

答　　案 x-6y+4z=0

命題出處 第四冊第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 平面方程式、直線與平面的關係

難 易 度 中

詳　　解 L¹、L²之方向向量分別為a¹=（2﹐-3﹐-5），a²=（0﹐2﹐3） E之法向量anra1，anra2

∴an7a1*a2=（1﹐-6﹐4） ∴令E：x-6y+4z=d

將L¹上一點（0﹐ 0﹐ 0）代入E得d=0 代回E的方程式為x-6y+4z=0

C. 從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數中任意取出三個相異的數，每數被取 出的機率皆相等，則三數乘積是一完全平方數的機率為 　 o

pa　。（化成最 簡分數）

答　　案 1 14

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 機率的性質

難 易 度 中偏難

詳　　解 n（S）=C39=84，一一測試（但質數5，7不可能，刪除）

可得：（1﹐2﹐8），（1﹐4﹐9），（2﹐3﹐6），（2﹐4﹐8），（2﹐8﹐9），

（3﹐6﹐8），共六組

故p= 6

84 = 1 14

D. 在坐標平面上，Γ是邊長為4的正方形，其中心位在點（1﹐1），且各邊與坐標 軸平行。已知函數y=a*2^x的圖形與Γ相交，其中 a為實數，則a的最大可能

試題解析

答　　案 -2NaN6

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 指數函數的圖形

難 易 度 中

詳　　解 A（-1﹐3）代入 y=a*2^x!3=a*2^-1 !a=6

B（-1﹐-1）代入 y=a*2^x!-1=a*2^-1 !a=-2 故-2NaN6

E. 將（³ 49）¹⁰⁰寫成科學記號（³ 49）¹⁰⁰=a*10ⁿ，其中1Na<10，且 n為正整數。

若a的整數部分為m，則數對（m﹐n）=（　g　﹐　hj　）。

答　　案 （2﹐56）

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 位數與首數

難 易 度 中

詳　　解 a*10ⁿ=（³ 49）¹⁰⁰=（7²³）¹⁰⁰=7²⁰⁰³ 兩邊同取log，得log a+log10ⁿ=200

3 log7 !n+log a.200

3 *0.8451=56.34

∵nl ，0Nlog a<1　∴n=56，log a.0.34=log 2.……

!a=2.……，其整數部分m=2 故數對（m﹐n）=（2﹐56）

F. 如右圖，機器人在地面上從一點P出發，按照以下規則移 動：先朝某方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 45n；朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉

90n；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉45n；再朝新方向前進 一公尺後，依前進方向順時針旋轉90n，……，以此類推。已知機器人移動的

測驗目標 閱讀與表達能力

難 易 度 中偏難

詳　　解 將 視為一個週期，則每 完成一個週期後，機器人就順時針旋轉

90n-45n=45n

∴再轉到與出發點P有相同方向，需經

　過360n/45n=8個週期

故路徑形成封閉區域為八角星形，如右圖

其面積為（邊長2+ 2之正方形）+4*（腰長 1之等腰直角三角形）

　　　　 =（2+ 2）²+4*

（

）

G. 在四面體ABCD中，AB=AC=AD=4 6、BD=CD=8，且coseBAC=1 3，則 點D到平面ABC的距離為　z x　。（化成最簡根式）

答　　案 4 2

命題出處 第四冊第一章　空間向量

測驗目標 立體圖形

難 易 度 中偏難

詳　　解 1　3ABC中，

　BC²=（4 6）²+（4 6）²-2*4 6*4 6*1 3 　　　=96+96-192*1

3=128 　!BC=8 2

2　3BCD中，BC：CD：BD=8 2：8：8= 2：1：1 　∴3BCD為等腰直角三角形且eBDC=90n

　∴其外心為斜邊BC 之中點 M

3　∵AB=AC=AD　∴A在底面 BCD之垂足為3BCD之外心M

　!AMr底面BCD!側面ABCr底面BCD 　∴d（D﹐平面ABC）=DM=1

2 BC（∵M為3BCD之外心）

1

試題解析

參考公式及可能用到的數值

1 首項為a，公差為d的等差數列前n項之和為 S= n（2a+（n-1）d） 2

首項為a，公比為r（r≠1）的等比數列前n項之和為 S=a（1-rⁿ） 1-r 2 三角函數的和角公式：sin（A+B）=sinA cosB+cosA sinB

cos（A+B）=cosA cosB-sinA sinB tan（A+B）= tanA+tanB

1-tanA tanB 3 △ABC的正弦定理： a

sinA= b

sinB= c

sinC=2R（R為△ABC外接圓半徑）

△ABC的餘弦定理：c²=a²+b²-2ab cosC

4 一維數據X：x¹，x²，……，xn，算術平均數μX=1

n（x¹+x²+……+xn）=1 n_iΣ₌₁ⁿ xi

標準差σX= 1

n_iΣ₌^n（₁ xi-μX）²= 1

n（（_iΣ₌ⁿ₁xi2）-nμX2）

5 二維數據（X﹐Y）：（x¹﹐ y¹），（x²﹐y²），……，（xn﹐yn），

相關係數rX,Y=_iΣ₌₁^{n（xi-μX）（yi-μY）} nσXσY

迴歸直線（最適合直線）方程式y-μY=rX,Y σY

σX

（x-μX）

6 參考數值： 2^.1.414， 3^.1.732， 5^.2.236， 6^.2.449， 7^.2.646， π.3.142

7 對數值：log¹⁰ 2.0.3010，log¹⁰ 3.0.4771，log¹⁰ 5.0.6990，log¹⁰ 7.0.8451 8 角錐體積=1

3（底面積*高）

F

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指考歷屆試題系列 翰林

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出版科目：

化學、生物、歷史、地理、公民與社會