第五节 反常积分的审敛法 伽马函数

二、无界函数反常积分的审敛法

*

第五节

反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分

一、无穷限反常积分的审敛法

反常积分的审敛法

 函数

第五章

一、无穷限反常积分的审敛法

定理 1.设 f (x)C[a, ),且 f (x)  0, _若函数



 ^x

a f t t x

F( ) ( ) d

. d

)

( 收敛

则反常积分



, )

,

[ 上有上界

在 a  

证 :  f (x)  0, F(x)在[a,  )上单调递增有上界, 根据极限收敛准则知









  ^x

x a

xlim F(x) lim f (t) d t 存在 ,即反常积分



定理 2 . ( 比较审敛原理 ) 设 f (x)C[a,  ), 有

分大的x

且对充 )

( )

(

0  f x  g x _{, 则} 收敛

x x

a g( )d





发散 x

x

a f ( )d





证 : 不失一般性 ,设 x[a, )时,0  f (x)  g(x) ,

d )

( 收敛

若 g x x



x x

t f

a ( )d







的 是

故



x x

f x

x

f a

t

t_lim_





)

( 收敛

即反常积分 f x x



, d

)

( 发散

若 f x x



x x

g x

x

f ^t

a t

a ( )d ( )d

0 ^





,



令t 可见反常积分 g(x)dx必发散.



说明 : 已知



) 0 (

)

( 作比较函数

故常取  A A  x

g _{得下列比较审敛法 .}

极限存在 ,

定理 3. ( 比较审敛法

1) 设非负函数 f (x)C[a, ) ,

0 )

1 若存在常数 M  使对充分大的x 有 x p

x M f ( ) 

; d

)

( 收敛

则 f x x



, 0 )

2 若存在常数 N  使对充分大的x 有 x p

x N f ( )  .

d )

( 发散

则



,

1 p

,

1 p .

) 0 (a 

例 1. 判别反常积

分 x

x

x d 1 sin

1 3 4



解 :

的收敛性 .

3 4 2

1 0 sin

 

x

 x ₃ 1 ₄

 x

34

1 x



由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题 : 讨论反常积分 x

x d

1 1

1 3 3



提示 : 当 x≥1 时 , 利用

1 1 )

1 (

1 1

1

3 3

3 3  

 

 x x

x

可知原积分发散 .

定理 4. ( 极限审敛法

1) 若 f (x)C[a,),且 f (x)  0,

; d

)

( 收敛

时 f x x



. d

)

( 发散

时 f x x









 l

p 1,0







 l

p 1,0

l x

f x ^p

x 



 ( )

lim

则有 : 1) 当

2) 当

证 : 1) 当p 1时, _{根据极限定义 , 对取定的}  0,_{当 x 充} 分大时 , 必有 x ^p f (x)  l   _{, 即}

x p

x M

f 

 ( )

0 (M  l  )

; d

)

( 收敛

可见



2) 当

. d

)

( 发散

可见 f x x



, 1时



p _可取  0, 必有





 l x

f

x ^p ( )

即 _p

x x l

f ( )    (N  l   ) x

N

,

 0

 

使l (l   时用任意正 ,

 )

 l N 代替 数

xp

x p

x

x x f

f

x (₁ )

lim )

(

lim  

注意 : 此极限的大小刻画了

. 0

)

( 趋于 的快慢程度 时 f x

x  

例 2. 判别反常积分



d

x x

x 的收敛性 .

解 : ² ₂

1 lim 1

x x x

x  



 

1 lim 1

12 

 

x x 1

根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例 3. 判别反常积分 x

x

x d

1 1 2

23



解 : ₂

lim 1 ²

3 21

x x x

x  



  ₂

2

lim 1

x x

x 

  1 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .

定理 5.若 ^f (^x)^C[^a, ^{ }),且



d )

( 收敛

则反常积分



证：_令(x)  ¹₂[ f (x)  f (x) ], _则 0  (x)  f (x) ,

d 收敛

）



 ^



( )

( 2 )

(x x f x

f   

x x

f x

x x

x

f a a

a ( )d 2







而

. d

)

( 收敛

可见反常积分 f x x



定义 . 设反常积

分 f (x) d x 收敛,



x x

a f ( ) d



, d

)

( 收敛

若



x x

a f ( ) d



, d

)

( 发散

若



例 4. 判断反常积分 e sin d ( , , 0)

0 



的收敛性 .

解 : 因 e^ax sin bx  e^ax, e d ,

0 收敛

而





给积分收敛 绝对收敛

无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 .

二、无界函数反常积分的审敛法

, )

( ,

] , ( )

( 为 的瑕点

设 f x C a b a f x _由定义





则有 令 1 ,

a t x  

例如











1

1 2

0

) d ( 1

lim d

) (

a

b t

t a t

f x

x

b f

a ^



a

b t

t a t

1 f 2

) d ( 1

因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 .

定理 6. ( 比较审敛法

2) 设非负函数 f (x)C[a,b],a 为 ,

0 )

1 若存在常数 M  x a q

x M

f ( ) ( )

 

; d

)

( 收敛

则 ^b f x x



, 0 )

2 若存在常数 N 

a x

x N

f ( )   .

d )

( 发散

则 ^b f x x



,

1 q 瑕点 ,

有

有

利用 



使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .

定理 7. ( 极限审敛法

2) 若 f (x)C (a,b], 且 f (x)  0，

; d

) (

, 收敛

时 ^b f x x



. d

) (

, 发散

时 ^b f x x











 q 1, 0 l 0







 l

q 1, 0

l x

f a

x ^q

x  



 ( ) ( ) lim

则有 : 1) 当

2) 当

例 5. 判别反常积分 . ln

d

3

1 的敛散性



解 : 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得 x x

x ln

) 1 1 (

lim

1

 

 x 1x

1

lim 1

 

 1

根据极限审敛法 2 , 所给积分发散 .

例 6. 判定椭圆积分 ( 1) )

1 )(

1 (

d ₂

1

0 2 2 2 





敛性 .

解 : 此处 x 1为瑕点, _由于

1

lim

x

的收

21

) 1 (x 

) 1

)(

1 (

1

2 2

2 k x

x 

 

) 1

)(

1 (

lim 1 _{2 2}

1 x k x

x  

   2(1 )

1 k 2

 

根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .

类似定理 5, 有下列结论 :

, )

( d

)



例 7. 判别反常积分 x x

x d ln

1



解 :

, d

)



0 为瑕点

此处 x  lim ¹⁴ ln 0,

0

 

 x x

因x

, 1 ln

, x¹⁴ x  x 有

的

故对充分小 从而

41 41

ln ln

x

x x

x x 

14

1 x



据比较审敛法 2, 所给积分绝对收敛 .

则反常积分

三、  函数

1. 定义 函数:



下面证明这个特殊函数在 s  0_内收敛 .





 1

2 1 1

0

1 x 1 e d x , I x e d x

I ^{s x s x}

. )

1 讨论 I₁

) 0 (

d e

)

( 0

1 



 ^s



令

; ,

1时 ₁ 是定积分

当s  I ,

1

0 时

当  s  ^{s x} _{s x} x x

e 1

e ₁1

1 ^  _ 



x ^s

 ₁1 ,

1 1 s 

而 根据比较审敛法2知I 收敛. )

(含参变量s的反常积分

) e

(x^{s1 x}

x s x

x

lim e ¹





 

. )

2 讨论 I₂

 



lim x2

 x  0



 1

2 x 1 e d x

I ^{s x}

. 1知 ₂ 收敛 根据极限审敛法 I

综上所述 , (s)  I₁  I₂ 在 s  0上收敛.

2. 性质

(1) 递推公式

证 : ^{(s 1) }



) 0 (

) ( )

1

(    

 s s s s

( 分部积分 )





 0 x^s de ^x





_

 ^

0

1 e d

e 0 s x x

x^{s x s x}

) (s s



注意到 : ^{(1) }



有

,





 n N

) ( )

1

(n   n n

  n(n 1)(n 1) )

1

!(



  n  n!

(2)

证 : ( 1) , )

( s

s   s 

 

. )

( ,

0   

 ^ s

s 时

当

1 )

1 ( 



, 0

)

( 连 连 连

连 连 连 连  s s 









s 0^时, (s)

(3) 余元公式 :

) 1 0

) ( sin(π ) π

1 ( )

(     

 s

s s s

连 连

连 s  ₂¹ ,

π )

(₂¹ 



( 证明略 )

(4)

连 连 x  u²,

连 连 连 连 连 )

(s



) 0 (

d e

)

( 0

1 



 ^s



) 0 (

d e

2 )

( 0

1

2 2





 ^s



, 1

2s   t

再令 ,

2 1 t s  

即 ^{得应用中常见的积分}

 

2 1 2

d 1

0 e

2     



这表明左端的积分可用  函数来计算 .例如 ,



^{ }

内容小结

1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分

,

可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分 , 只有各项都收敛时 , 才可保证给定的积分收敛 .

3.  函数的定义及性质 .

思考与练习

P268 1 (1), (2), (6), (7) ; 5 (1), (2)

作业

P268 1

2 ; 3