109 學年度學科能力測驗

(1)

109 ^{學年度學科能力測驗}

全真模擬試題 (C 卷 )

數學考科

測驗範圍：高中數學一、二年級

作答注意事項

考試時間： 100 分鐘

題型：

單選題共 6 題

多選題共 7 題

選填題共 7 題

作答方式：將答案填入卷末之答案欄中

註：此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，作答方式仍以未來實際之測驗形式為準。

※ 請聽從指示後才翻頁作答

(2)

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）

( )1、若AB為橢圓Γ：

2 2

1 36 9

x y

+ = 的一弦，且AB之中點為M(4, 2)，則AB

方程式為何？

(1)x+2y=8 (2)2x+y=8 (3)x−2y=8 (4)2x−y=8 (5)2x−y= −8

( )2、若2x+y+3z=3x−2y+z=4x−y+2 ,z xyz≠0，則 2

3 4

x y z x y z

− + + −

之值為何？

(1) 5 19

− (2)1

3 (3) 4

11 (4)6

7 (5) 3

−7

( )3、若a> 2^{，已知雙曲線}Γ^:

2 2

2 1

2

x y

a − = 的兩漸近線的銳交角為60°，且雙曲線中心到其中一焦點之距離為c_，則

c a =？

(1) 2 ⁽²⁾ ⁶

2 (3)2 3

3 (4)2 (5) ³

( )4、△ABC中，AB= 3 1,+ AC= 3 1− ，且∠A的內角平分線長為 3

3 ，則△ABC之面積為 (1)1

2 (2) 3

2 (3) 2⁽⁴⁾ ³⁽⁵⁾ ⁶

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，將答案填入卷末之答案欄中。各題答對者，得 5 分；

答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

(3)

( )5、正五邊形ABCDE如右圖，若AD=x AB y AE+

，則下列何者正確？(已知 5 1

sin18 4

° = − )

(1) 5 1

2

x +

= (2)y=1 (3) 5 1

x y 2+

+ =

(4) 1 5

x y −2

− = (5) 5 1

xy 2−

=

( )6、眼睛之所以叫做「靈魂之窗」，是因為即使周遭瞬間變暗，人的眼睛仍然能漸漸適應

環境。當光強度由1000 Td瞬間降至10 Td, 過t秒後人所能接受的光強度為I (t)；其中I t( ) 10 990= + ×a⁻⁵^t(a為大於1的常數)。當光強度由1000 Td瞬間降至10 Td後，人接受光的強度為21 Td時，需要花費s秒，則s的值為何？(光的強度單位為Td) (1)1 2 log 3

5loga

+ (2)1 3log 3

5loga

+ (3)2 log 3

5 loga

+ (4)2 2 log 3 loga

+ (5)2 3log 3

5 loga +

二、多選題（占 35 分）

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，將

答案填入卷末之答案欄中。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

( )7、設兩直線 ₁ 1 6 1

:

3 2 1

x y z

L − − +

= =

−

與 ₂ 2 8 16 :

5 3

x y z

L n

− + +

= = 相交於一點 ( , , )

Q a b c ，而包含L₁與L₂的平面方程式為E x: + py+qz+r=0，則下列敘述何者正確？

(1)n>0 (2)a+b+c<0 (3)p>q (4)a+c=r (5)L₁與L₂之銳交角大於60°

( )8、設a>0,a≠1，關於y=a^x，x為任意實數的圖形，下列敘述何者為真？

(1)圖形向右上升 (2)圖形恆過(1, 0)

(3)圖形以x軸為漸近線

(4)

( )9、已知α β, 為銳角， 2 2

cos(2 ) , cos( )

7 3

α +β = α +β = ，則下列何者正確？

(1) 3 5

sin(2 )

α +β = 7 (2) 3 5

sin(2 )

α+β = − 7 (3) 5

sin( )

α+β = 3

(4) 19

cosα =21 (5) 58 cos

β =63

( )10、某次測驗成績的算術平均數是36分，標準差為4分，最高分為50分，最低分

為20分。因成績太差，老師打算以下列一種方式來調整成績：

1y₁ =x+30 2y₂ =2x 3 ₃ 1 50 y =2x+

其中x為原始成績，y₁, y₂, y₃為調整後的成績，則下列敘述何者正確？

(1)欲使所有同學都及格，要採用1案

(2)欲使所有同學的成績集中，要採用3案

(3)欲使算術平均數最高，要採用2案

(4)欲使四分位差最小，要採用1案

(5)欲使標準差最大，要採用2案

( )11、從100～999的三位數中任選一數，若其百位，十位，個位數字分別為a b c, , ，

則下列何者正確？

(1)a= =b c之機率為 9 899 (2)a≠b≠c之機率為18

25

(3)(a−b b)( −c c)( −a)=0之機率為 7 25 (4)abc=0之機率為 19

100

(5)二次方程式x²−2ax+bc=0有重根的機率為 2

125

(5)

( )12、若α _, _β_為2x²−3x+4=0之根，則下列何者正確？

(1)2α+2β =3 (2) ² ² 7

α +β = −4 (3)

( )

² ²³

α−β = 4

(4) ³ ³ 45

α +β = − 8 (5) 7

8 β α α +β = −

( )13、好歡樂模型公司有R、B兩台模型上色機，其上色錯誤的機率分別為0.2、0.5，

兩台一起使用時，至少有一台會上色錯誤的機率為0.6。上色的順序可配置成R

在前B在後(RB)或B在前R在後(BR)；如兩台皆上色錯誤則模型為失敗品無

法出售。下列敘述何者正確？

(1)兩台模型上色機的配置互不影響

(2)RB、BR兩種配置方式模型為失敗品的機率大小為RB>BR

(3)已知R上色錯誤，則RB、BR兩種配置方式

模型為失敗品的機率大小為RB>BR

(4)BR的配置方式模型會有瑕疵但非失敗品的機率是0.5 (5)BR配置下，有100隻模型要上色，

在B上色完全錯誤的情況下可以出售的模型有50隻

第貳部分：選填題(占 35 分)

A、棋盤圖形如右，其中每一小格皆為正方形，「兵」由A往B走，「卒」由B往A走，兵與

卒同時出發，速度相同，兩者均沿最短路線前進，若在每一個分叉點，

選擇前進方向之機率相同，則兵、卒相遇之機率為_______。

B、若1<a<b<a²，下列四個實數2, log_ab, log_ba, log_aba²中最大的是________，最小的是 ________。

C、一雙曲線之貫軸長4，漸近線與貫軸之夾角為60°，設此雙曲線之正焦弦長為ℓ，則

ℓ=______。

說明：

1.

第

A

至

G

題，將答案填入卷末之答案欄中。

2.

每題完全答對給

5

分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

(6)

機車早________小時到達中壢。

E、ABC中，外心為O，且外接圓半徑為2，若∠ =A 60°, ∠ =B 45°，則 2

OA OB OC

 +

−

=

________。

F、為了測量海上兩座燈塔A, B的距離，某人在海邊選定C, D兩點，並測得CD=100^公尺，

90

∠ACD= °, ∠BCD=30°, ∠ADC=45°, ∠ADB=75°，則AB=__________公尺。

G、中華電信召聘新員工，共有1000人應徵參加筆試。筆試場地借用某大學的教室，該校可

租借的大教室有40間，每間可容納50人，每間租金800元；小教室有30間，每間可容納30人，每間租金400元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過50間。試問租借大

教室_________間，小教室_________間，來進行筆試，最省租借場地費用。

(7)

答案卷

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）

1 2 3 4 5 6

二、多選題（占 35 分）

7 8 9 10 11 12 13

第貳部分：選填題（占 35 分）

A B C

D E F

G

109 學年度學科能力測驗