§2−2 排列與組合

§2 − 2 排列與組合

(甲)直線排列

‹ 引入直線排列：

例子：

從建中高一某班 5 個同學中，選出 3 人排成一列，有幾種排法？

解法：

5個同學以 ABCDE 表示，選出 3 人排成一列，我們將這個過程，

分成 3個步驟，配合樹狀圖，可得排法共有 5×4×3 種方法。

數學上，將這樣的排列方法稱為在 5 個不同的事物中，

選取 3個安排到 3 個不同的位置，符號上以P₃⁵來表示。

即 P⁵3=5×4×3。

‹ 直線排列的定義：

從 n 個不同的物件中，選取 m 個物件(1≤m≤n)安排到 m 個不同的位置，共有 n(n−1)(n−2)…(n−m+1)種方法，這樣的方法數用 Pⁿm來表示。

即 Pⁿm= n(n−1)(n−2)…(n−m+1) [n 往下乘 m 個]。

為了方便表示，規定 n！=1×2×3×…×n，0！=1，因此

Pⁿm= n(n−1)(n−2)…(n−m+1)= n(n−1)(n−2)…(n−m+1)(n−m)⋅⋅⋅2⋅1

(n−m)⋅⋅⋅2⋅1 = n！

(n−m)！。 特別 Pⁿn=n！

0！=n！。

結論：

(1)從 n 個不同的事物中，選取 m 個物件(1≤m≤n)安排到 m 個不同的位置，

共有 Pⁿm種方法。

(2) Pⁿm= n(n−1)(n−2)…(n−m+1)= n！

(n−m)！。 例子：3！=6，4！=24，5！=120，6！=720 例子：P⁶4=6×5×4×3= 6！

(6−4)！= 6！

2！，P¹⁰4=10×9×8×7= 10！

6！

A B C D E

B C D E

B D E

[例題1] 請計算下列各小題：

(1)2Pⁿ3=3⋅Pⁿ⁺¹2+6Pⁿ1，求n=？(2)5P⁹n=6P¹⁰n−1，求n=？

Ans：(1)n=5 (2)n=7

[例題2] 請求出下列各小題的方法數：

(1)甲乙丙三人在排成一列的8個座位中，選坐相連的三個座位，

則有幾種坐法？

(2)9個人組成一個少棒隊，已知三、四棒的人選已定，而投手與捕手要安排 在第七、八、九棒，請問教練可以排出幾種不同的打擊順序？

Ans：(1)36 (2)720

(練習1) 設 P3n+1=10P2n−1

，求 n=？ Ans：n=4 或 5 (練習2) 若 2P⁸n−2=P⁸n，則 n=？ Ans：8

(練習3) 請證明：

P

P

P

− +

= 。

這個式子可以做這樣的解釋：

假設50個人中含有一人為甲，則從 50個人中選取 6個之排列數為P⁵⁰6。 利用加法原理，可將這樣的過程分成兩類：

不含甲之排列數為 P⁴⁹6與含甲的排列數為 P⁶1×P⁴⁹5(某甲先選座位，剩下 5個座位再由其他 49人選取排列)。因此可得 P⁵⁰6= P⁴⁹6+ P⁶1×P⁴⁹5。

(練習4) 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名，分別參加五場單打友誼賽，10 名 選手中近況特佳的有 3 位，教練決定任意安排他們分別在第一、三、

五場出賽，另外兩場則由其餘選手任意選出排定，則此球隊出場比賽的 名單順序一共可以有【 】種。Ans：252

(練習5) 甲、乙、丙三人在排成一列的八個座位中選坐三個座位，但不能三個座 位全相連，共有【 】種坐法。Ans：300

(練習6) 將三個不同的球，放入五個不同的箱子中，但每箱最多放一球，則有多 少種不同的放法。 Ans：60

(乙)有相同物的直線排列與重複排列

‹ 有相同物的直線排列：

例子：四個英文字母 AAAB 排成一列，請問有幾種排法？

[方法]：

先將 AAA這三個相同的字母視為不同，設為 A1A2A3所以先視為 A1A2A3B 這 4 個不同字母的排列，共有 4！種，如下所示：

A1A2A3B，A1A3A2B，A2A1A3B，A2A3A1B，A3A1A2B，A3A2A1B A1A2BA3，A1A3BA2，A2A1BA3，A2A3BA1，A3A1BA2，A3A2BA1

A1BA2A3，A1BA3A2，A2BA1A3，A2BA3A1，A3BA1A2，A3BA2A1

BA1A2A3，BA1A3A2，BA2A1A3，BA2A3A1，BA3A1A2，BA3A2A1

但是當我們將 A1A2A3 還原成 AAA 的時候 A1A2A3B，A1A3A2B，A2A1A3B，

A2A3A1B，A3A1A2B，A3A2A1B 以上 6 種排列情形，均代表同一種 AAAB。換

句話說 3！種的排列要視為同一種，因此排列方法有4！

3！=4種。

結論：

設有 n件物品，共有 k 種不同種類，第一類有 m1個，第二類有 m2個，….,第 k 類有 mk個。(此處 n=m1+m2+m3+….+mk)，此處此 n 件物品排成一列，

共有 n！

m1！⋅m2！…⋅mk！種不同的排法。

例如：用 3個相同的紅球，2個相同的黃球，4 個相同的黑球，

排成一列有幾種排法？

[解法]： 9！

3！⋅2！⋅4！

‹ 重複排列的定義：

例子：

用 12345 五個字母排成一個三位數，

(1)數字可重複，可作出幾個三位數？

(2)數字不可重複，可作出幾個三位數？

[解法]：

(1)百位數、十位數、個位數都有 5 種方法⇒5³種三位數字。(重複排列)

(2)百位數、十位數、個位數分別有 5、4、3 種方法⇒5×4×3種三位數字。

從 m種不同之事物(每種事物的個數超過 n 個)選取 n 個安排到 n 個不同的位置 (n,m無大小關係)，但可以重複選取，這種計數方式稱為重複排列，排列方法有 mⁿ個。

[例題3] 請求出下列各小題的排列數：

(1)有10位選舉人，3位候選人，採計名投票，每人都要投一票(沒有廢票)，

請問有候選人得票的情形有幾種？

(2)一個多重選擇題，有A,B,C,D,E五個選項，請問答案有幾種型式？

(3)10名學生要爭奪3項比賽的錦標，請問得到冠軍的可能性有幾種？

(4)5個人於十字路口話別後，同時離開(沒有5人同走一條路) 共有幾種可能情形？

Ans：(1)3¹⁰ (2)2⁵−1 (3)10³ (4)4⁵−4

‹ 有限制條件之排列：

(a)若要求 k 個人相連，先將這 k 個人視為一整體，排定後再排此k 個人。

(b)若要求 k 個人分開，則先排其他人，在將這 k 個人安排至其他人的空隙中。

(c)考慮反面計算：全部方法−不合的方法。

(d)應用取捨原理。

(e)應用 1−1 原理。

(f)利用遞迴方法。

[例題4] 甲乙丙丁等7人排成一列，請求出下列情形的方法數：

(1)甲乙丙三人相鄰 (2)甲乙丙分開 (3)甲乙相鄰，丙丁不相鄰 (4)甲乙相鄰，甲丙不相鄰

Ans：(1)3！×5！=720 (2)4！×P⁵3=1440 (3)4！×2！×P⁵2=960(4)1200

[例題5] pallmall一字中各字母排成一列

(1)有幾種排法？(2)所有之l皆相鄰而兩個a分開。

(3)其中三個l在一起，另一l分離

Ans：(1)840(2)36 (3)240

[例題6] 用0,1,2,3,4,5作相異數字之四位數，請求出滿足下列要求的四位數個數？

(1)數字相異四位數 (2)偶數 (3)3的倍數 (4)4的倍數 (5)5的倍數。

Ans：(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108

[例題7] A,B,C,D,E,F,G排成一列，求下列排列數：

(1)A,B,C順序不變 (2)A在B,C之前

(3)A在B之前，F在G之後 (4)A,B在C,D,E之前 Ans：(1)840 (2)1680 (3)1260 (4)504

[例題8] 有5封不同的信件，投入甲乙丙丁4個不同的郵筒，則甲乙丙三郵筒均至少 投入一封郵件的投法有幾種？ Ans：390

[例題9] 鳴放氣笛作信號，長鳴一次需4秒，短鳴一次需1秒，每次間隔時間為1秒，

請問30秒的時間可作出多少種的信號？Ans：235 [1−1原理]：

[遞迴方法]：

[例題10] 如圖，一人走捷徑由A到B(即只能走→↑) (1)走捷徑有幾種走法？

(2)若每次需經過D，其走法有幾種？

(3)若不經過C且不經過D，

其走法有幾種？

Ans：(1)210 (2)100 (3)80

E C D

B

A

[例題11] 如圖，由A走到B走捷徑，但不走斜線部分區域之 路徑，依下列情形求走法數。

(1)經C (2)經D (3)自由走但不經斜線區域。

Ans：(1)50 (2)8 (3)23

[例題12] (錯排問題)

設1,2,3,…,n這n個數重新排成一列為a1,a2,a3,…,an，若ai≠i，我們稱之為n 的錯排，它的個數以gn來表示，g1=0，g2=1

請找出數列{gn}的遞迴關係式。

Ans：g_n =(n−1)(g_n−1+g_n−2)，n≥3

A

C D

E B

(練習7) 一對新婚夫妻家庭有 6人排成一列拍結婚照，但新婚夫妻一定排在中間的 兩個位置，請問共有幾種排法？ Ans：48

(練習8) 有 4個女生 3個男生排成一列，若要求男生排在一起，女生排在一起，則 其排列方法有 種；若要求男女相間隔排列，

排列方法有 種，3 個男生要分開排列的方法有 種。

Ans：288，144，1440

(練習9) 甲乙丙丁戊己六人排成一列，求下列的排列數？

(1)乙丙均與甲相鄰 (2)甲乙相鄰，甲丙不相鄰 (3)甲乙丙中恰二人相鄰 Ans：(1)48 (2)192 (3)432

(練習10)某班一天有七節課，每一節課均排不同的科目，其中體育課不排第四節，

數學課不排第七節，請問這一天的課表有幾種排法？Ans：3720 (練習11) 用 2,3,4,5,6 五個數字排成三位數

(1)數字可以重複，有多少個不同的三位數。

(2)數字不可以重複，則所有三位數的和=？

Ans：(1)125 (2)26640

(練習12) 二位數中：(1)個位數字>十位數字共有幾個？(2)十位數字>個位數字共 右幾個？ Ans：(1)36 (2)45

(練習13)設 A,B,C,D等十人排成一列，規定A,B不排首，C,D不排末之方法有幾種？

Ans：8！×58

[提示：全部−(A,B 排首)−(C,D排末)+(A,B排首且 C,D排末)]

(練習14)七本書分給 10個人，每人至多一本

(1)書本相同有幾種分法？ (2)書本不同有幾種分法？

Ans：(1)120 (2)604800

(練習15)甲，乙，丙，…，庚等 7 人排成一列，甲在乙的左方，

且在丙的左方有 種排法。Ans： 1680

(練習16)LKKLMM 排成一列，要求同字不相鄰，方法有幾種？Ans：30 (練習17)pontoon 一字，各字母排成一列，求下列各排列數：

(1)全部任意排成一列 (2)三個「o」完全在一起 (3)恰有兩個「o」在一起 (4) 三個「o」完全分開 Ans：(1)420 (2)60 (3)240 (4)120

(練習18)factoring 中各字母，每次全取排列

(1)母音保持a,o,i 之順序有幾種排法？

(2)母音保持a,o,i 之順序，同時子音保持 f,c,t,r,n,g 之順序有幾種排法？

Ans：(1)9！

3！ (2) 9！

3！6！

(練習19)cabbage 一字，各字母排成一列，其中相同字母不相鄰，有幾種排法？

Ans：660[提示：考慮反面情形的計算]

(練習20)一樓梯有 8 級，某人上樓，每步走一級或二級或三級，則此人上樓的方法 有幾種？ Ans：81

(練習21)設 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的 一 種 排 列(例 如 13254,15432,…等 均 是

1,2,3,4,5 的一種排列)求滿足下列各式的排列數：

(1)(2−a4)(1−a3)=0 (2)(1−a1)(3−a3)≠0 (3) (1−a1)(2−a2)(3−a3)(4−a4)(5−a5)≠0 Ans：(1)42 (2)78 (3)44

(練習22)7 個不同的書本分贈給 4 人，請求依下列情形分配的方法有幾種？

(1)甲至少分得一本書。 (2)甲恰得一本書 (3)甲至少二本書 (4)每人至少一本書

Ans：(1)47−37 (2)7×36 (3)47−37−7×36 (4)47−4⋅37+6⋅27−4⋅17+1⋅07

(練習23)5 本不同的玩具，分贈給甲乙丙 3 人，每人至少得一件之方法有幾種？

Ans：150

(練習24)渡船三隻，每船可載 6 人，則(1) 8人過渡，有 種安全渡法。(2) 7 人過渡，但甲坐 A 船，有 種安全渡法。

Ans： (1) 6510(2) 728

(練習25) 棋盤街道如右圖，南北街道有 8 條，

東西街道有 6 條，某人自 A 取捷徑

走到 B，下列走法各有多少種？

(1)走捷徑 (2)必須經過 P

(3)必須經過 P 與 Q (4)不許經過 P,Q Ans：(1)792 (2)350 (3)180 (4)286 (練習26) 如右圖，由 A 走到 B取捷徑。

但不許經過斜線區之方法有幾種？

Ans：108

Q

B

P

A

(練習27) 在坐標平面上，自 A(−4,−3)走捷徑到 B(3,3)，

(1)要經過第二象限，請問有幾種走法？

(2)不經過原點有幾種走法？

綜合練習(一)

(1) 若P _n¹⁰＝6 P ¹⁰_n－2，求n之值。

(2) 甲、乙、丙、丁等7人排成一列，試求下列排法各有幾種：

(a) 任意排。

(b) 甲、乙、丙三人須排在一起。

(c) 甲、乙、丙三人必須完全分開。

(d) 甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰。

(3) 從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排 成一列， 其中杜鵑及山茶都被選到， 且此兩盆花位置相鄰的排法有 種。

(2013指定乙)

(4) 將builder一字之字母排列，試求下列排法各有多少種：

(a) 子音與母音必須相間隔。

(b) 母音皆不相鄰。

(5) 將7張椅子排成一列，現有5個人入坐，每人只坐一張椅子。試問：

(a) 坐法有幾種？

(b) 5個人必須連坐在一起的坐法有幾種？

(6) 某地共有9 個電視頻道，將其分配給3 個新聞台、4 個綜藝台及2 個體育台共 三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻 道的分配方式共有 種。(2006 學科)

(7) 從0，1，2，3，4，5六個數字中，選取4個排成四位數 ( 數字不可重複 )。

(a) 共可排成多少個四位數？。

(b) 共可排成多少個偶數？

(c) 共可排成多少個4的倍數？

(d) 這些四位數的總和是多少？

(8) 有相同的白球5個，紅球2個，黑球1個。試問：

(a) 將此8球排成一列，且兩端都是白球的排法有幾種？

(b) 從此8球中取出7球排成一列，排法有幾種？

(9) 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列，試求下列排列法各有幾種：

(a) 甲在乙之左方。

(b) 甲在乙、丙之右方。

(10) 將「一寸光陰一寸金」七個字排列，同字不相鄰的排法有幾種？

(11) 由A地到B地的街道是棋 盤式，如右圖，某人沿著 街道以走捷徑的方式由A 地到B地，試問：

(a) 共有多少種走法？

(b) 經過C且經過D的走法有多少種？

(c) 經過C或經過D的走法有多少種？

(12) 用長4公分與3公分兩種紙條，自上往下黏成長16公分的紙條，若每一連結處 為1公分，試問共有幾種連結法？

(13) 將5件不同的獎品，分給甲、乙、丙、丁四人，求下列分法各有幾種？( 獎品必 須全部分完 )

(a) 任意給 ( 每人可得多於1件、可不得 )。

(b) 甲恰得一件。

(c) 甲至少得一件。

(d) 甲、乙均至少得一件。

(14) 用0，1，2，3，4五個數字，作出數字可重複的四位數共有多少個？

其中有相同數字者有多少個？

綜合練習解答

(1) 9

(2) (a)5040 (b)720 (c)1440 (d)960 (3) 120

(4) (a)144 (b)1440 (5) (a)2520 (b)360 (6) 576

(7) (a)300 (b)156 (c)72 (d)979920

(8) (a)60 (b) 168[提示：將8球排成一列後，將最後1球拿掉，即為任 取7球的排列法，共有 8 !

5 ! 2 ! ＝168 ( 種 )。]

(9) (a)360 (b)240 (10) 660[提示： 7 !

2 ! 2 ! －2× 6 !

2 ! ＋5 !＝660 ( 種 )。]

(11) (a)330 (b)72 (c)236 (12) 28

(13) (a)4⁵=1024 (b)405 (c)781 (d)570 (14) 500、404

(丙)組合

‹ 組合的意義：

例子：

從建中高一某班 5 個同學中，選出 3 人參加辯論比賽，有幾種選法？

[解法一]：(以分類的觀點)

5 個同學以 ABCDE 表示，先考慮選出 3 人排成一列，配合樹狀圖，可得排法

共有 P⁵3=5×4×3種方法。但選人的觀點是不論次序的，即 ABC、ACB、BAC、

BCA、CAB、CBA 是算一樣的，都是選中 ABC 三個人，因此每 3！種排法算

成一種，因此從 5 個人中，選取 3 個人(不考慮排列順序)的 方法有P⁵3

3！ =5×4×3 1×2×3種。

[解法二]：(以 1−1原理的觀點)

如圖，將 A,B,C,D,E 與 3 個黑球,2 個白球做對應，對到黑球

的 人 被 選 取 ， 我 們 可 以 得 知 不 同 的 排 法 會 對 應 不 同 的 選 取 法，而不同的選取方法會對應不同的排法，即排法與選取的 方法一樣多，因此 5個人中選取 3人的方法有 5！

3！2！ = 5×4×3 1×2×3種。

(1)組合的定義：

從 n 個不同的事物中，選取 m個(1≤m≤n)，共有 Pⁿm

m！=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)

1⋅2⋅3⋅…⋅^{m 種方法。}

(分子由 n 往下乘 m 個，分母由 1 往上乘 m 個) 將這樣的方法數，用 Cⁿm來表示。

即 Cⁿm= n(n−1)(n−2)…(n−m+1) 1⋅2⋅3⋅…⋅^{m =}

n！

m！⋅(n−m)！。 例如：C¹⁰3= 10！

3！7！ =10×9×8

1×2×3 ，Cⁿ0= n！

0！⋅n！ =1，Cⁿ_n= n！

n！⋅0！ =1，

(2)組合的性質：

用組合的觀點解釋性質：

(a)要從 ABCDE 中選出三人去打掃環境，今抽籤決定，籤的作法有兩種：一種

是五支籤中，3 支籤做記號，抽中的人去打掃，其抽中的組合數為 C⁵3 ；另一 種是五支籤中，2 支作記號，抽中的人不去打掃，其抽中的組合數為 C⁵2 ，故 可得 C⁵3 = C⁵2 。

(b)要從 ABCDE 中選出三人去打掃環境，今有 C⁵3 種選法，選出來的 3人之中，

我們可分成兩類：第一類是若 A 去打掃，則必須從其他 4 人中再選2 人一起打 掃，其組合數共有 C⁴2 種方法；第二類是若 A 沒去打掃，則從其他 4 人中選 3 人去打掃，其組合數共有 C⁴3 種方法，所以 C⁵3 = C⁴2 + C⁴3

(a)C_mⁿ =C_nⁿ_−m

(b)巴斯卡定理： = ⁻¹+ mⁿ⁻₋¹₁ n

m n

m C C

C 1≤m≤n−1

[證明]：

A B C D E

1 1

1 −

− + mⁿ− n

m C

C = (n−1)！

m！(n−1−m)！+ (n−1)！

(m−1)！(n−m)！

=(n−1)！(n−m)

m！(n−m)！ + (n−1)！m m！⋅(n−m)！

=(n−1)！(n−m+m)

m！(n−m)！ = n！

m！(n−m)！ =C_mⁿ。 例如：C¹⁰7= 10！

7！⋅3！ = 10！

3！⋅7！=C¹⁰3。C¹⁰6=C⁹6+C⁹5。

[例題13] 求下列各小題的n值：

(1)12Cⁿ⁺²4=7Cⁿ⁺⁴3 (2)C¹⁰n=C¹⁰3n−2 (3)11C ⁿn−3=24Cⁿ⁺¹ n−1

Ans：(1)n=6 (2)n=1或3 (3)10

[例題14] (1)請計算C +²₂ C₂³+C₂⁴+…+C¹⁹₂ 的值。

(2)請計算C +²₀ C₁³+C₂⁴+…+C₈¹⁰的值。

Ans：(1)1140 (2)165

[例題15] 自棒球選手6人，游泳選手7人中選出4人擔任福利委員

(1)選法有幾種？ (2)至少有2位游泳選手之選法有幾種？

Ans：(1)715 (2)560

[例題16] 從1~20這20個號碼中，取出4個數使得這四個數都不是相鄰的正整數。

Ans：C¹⁷4

(練習28) 設 C²ⁿn−1：C²ⁿ⁻²n=132：35，則 n=？Ans：n=6

(練習29) 設 n,r 均為自然數，且 Cⁿ⁻¹r：Cⁿr：Cⁿ⁺¹r=6：9：13，則數對(n,r)=？

Ans：(n,r)=(12,4)

(練習30) 求 C¹0+C²1+C³2+…+C¹³12=？ Ans：C¹⁴2

(練習31) 某拳擊比賽，規定每位選手和其他選手各比賽一場，賽程總計為 45 場，

請問有幾位選手參加比賽？ Ans：10

(練習32) 從男生 4 人和女生 3人中，排出 3名男生和 2 名女生並排成一列，

請問有幾種排法？ Ans：1440 (練習33) 凸 20 邊形有幾條對角線？Ans：170

(練習34) 從 1,2,3,…,10 中選出 3 個相異數 a,b,c 滿足 a<b<c 的(a,b,c)有幾組？

Ans：120

(練習35) 一列火車從第一車至第十車共有十節車廂。要指定其中 4節車廂安裝行 動電話，則共有幾種指定的方法？若更要求此四節車廂兩兩不相銜接，

則共有幾種指定方法？ Ans：210 ，35 (練習36) 由 1 到 20 的自然數中取出不同的三個數，則

(a)取出的三數成等差的取法(不考慮排列)有幾種？

(b)取出的三數中沒有二個連續整數的取法有幾種？

(c)取出的三數乘積為偶數的取法有幾種？

Ans：(a)90 (b)816 (c)1020

(練習37) 某次考試，規定 13 題中選做 10題，求下列各選法？

(1)任意選 (2)前兩題必須作答

(3)前五題必須選做 3 題且只做 3 題(4)前 5題中至少選做 3 題。

Ans：(1)286 (2)165 (3)80 (4)276

(練習38) 平面上有 15個相異點，其中除了 7 點共線外，其他各點之中任三點不 共線，任意連接各點，則可決定

(1)多少條直線？ (2)多少個線段？ (3)多少個三角形？

Ans：(1)85 (2)105 (3)420 (練習39) 右圖中的每個小格皆為全等

的正方形，試問圖中 12 個點 (1) 可作出幾條直線？

(2) 可決定幾個三角形？

Ans：(1)35 (2)200 (練習40) 5對夫妻中選出 4 人，

(1)恰有 2 對夫妻 (2)恰有一對夫妻 (3)4人皆沒有夫妻關係。

Ans：(1)10 (2)120 (3)80

(丁)重複組合

‹ 重複排列與重複組合

例子：ABCD 等 4人到麥當勞點 1~6 號套餐，每個人限點一份套餐，請問：

(a)這 4 個人有幾種點餐的情形？ (b)店員有幾種給餐點的方式？

[說明]：

(a)ABCD每個人都有 6 種套餐可點，故這 4 個人有幾種點餐的情形共有 6⁴種。

(b)就店員而言，他不在乎每個人點了那些餐，他只在乎每種套餐被點了幾次，

因此假設第 i 號餐被點了 xi次，其中 xi為非負整數，

不定方程式 x1+x2+x3+x4+x5+x6=4 的非負整數解(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 就代表一種店員給餐點的方式。

故只要能求出方程式有幾個非負整數解，就可以求出店員有幾種給餐點的方式。

從另一個角度來看，店員給餐點的方式也可以看成是 1~6 號套餐重複選取出 4 份套餐的方式。

如何求 x1+x2+x3+x4+x5+x6=4 非負整數解個數？

非負整數解(x1,x2,x3,x4,x5,x6)可以和 5 個 | 與 4 個Ο的排列情形 1對 1對應，

因此非負整數解個數= 9！

4！5！ = C₄⁹

(從 9 個不同的位置，選取 4 個位置，排入 4個Ο) [重複排列與重複組合]

設(A,1)代表 A點了 1 號餐，設有兩種點法(A,1)(B,3)(C,1)(D,2)

與(A,3)(B,1)(C,2)(D,1)， 在(a)中 他 代 表 兩 種 點 餐 的 方 式 ， 換 句 話 說 1,3,1,2 與 (0,0,2,1,1,0)

(0,1,1,1,1,0)

餐 1 份，因此店員給餐的方式都一樣，也就是沒有順序可言。在(a)中我們可以 重複點套餐，但是有順序的，即 1,1,3,2、1,3,2,1、…是不同的，這是重複排列；

而(b)中的情形，我們可以重複點餐，但是不考慮順序，即 1,1,3,2、1,3,2,1、…

都代表 x1=2、x2=1、x3=1、x4=0、x5=0、x6=0這一組解，稱為重複組合。

(1)重複組合的定義：

從 n 類物件中取出m 件，(每類至少有 m 件)的組合數

=不定方程式 x1+x2+…+xn=m 的非負整數解個數

=(n−1)個|與 m個Ο的排列數= (n+m−1)！

m！(n−1)！=C_m^n+m−1 (n+m−1個不同位置，選 m個位置排入 m個Ο。) 註：也可以定義C_m^n+m−1為H_mⁿ，即 = m^n+m−1

n

m C

H 。

當我們從 n類東西中取出 m 件，或問題的方法數可以化成不定方程組 x1+x2+…+xn=m的非負整數解的個數，這都是使用重複組合的時機。

[例題17] 求下列各小題的方法數：

(1)同時擲2粒相同的骰子，有幾種可能的情形？

(2)有4名候選人，18名選舉人，記名投票時，有幾種情形？不記名投票時，

有幾種情形？(假設每個人都去投票，而且沒有廢票)

(3)將6件相同的玩具分給4個小朋友，任意的分配，有幾種分法？

Ans：(1)21 (2)4¹⁸，C₁₈²¹ (3)C₆⁹

[例題18] 求下列各小題：

(1)x+y+z+u=100之非負整數解個數？

(2)x+y+z+u=100之正整數解個數？

(3)x+y+z+u=100，且滿足x>−1,y>2,z>3,u≥−2的整數解個數？

Ans：(1)C₁₀₀¹⁰³ (2)C₉₆⁹⁹ (3)C₉₅⁹⁸

[例題19] (x+y+z)⁸的展開式中

(1)請問有幾個不同類項？(2)請求出x²y⁴z²項的係數=？

Ans：(1)C₈¹⁰ (2) 8！

2！4！2！

[例題20] x+y+z≤8之非負整數解個數？ Ans：C₈¹¹

(練習41) 投擲 4粒骰子

(1)骰子不同有幾種可能的情形？ (2)骰子相同有幾種可能的情形？

Ans：(1)6⁴ (2)C₄⁹

(練習42) 將 9 件相同的玩具分給 4個小朋友，每個人至少一件，有幾種分法？

Ans：56

(練習43) 設(a+b+c)⁷的展開式中，

(1)請問有幾個不同類項？(2)請問 a²bc⁴的係數=？

Ans：(1)C₇⁹ (2) 7！

2！1！4！

(練習44) 方程式 x+y+z+u=12的非負整數解有 個，正整數解有 個。

Ans：455，165

(戊)排列組合的綜合運用 (1)分組與分堆問題：

例子：有 ABCDEF六人按照下列人數來分組，請問有幾種分組的方法？

(1)按 3,2,1 分成三組 (2)按 2,2,2分成三組。

[解法]：

(1)考慮 C⁶3．C³2．C¹1這個式子，根據乘法原理或樹狀圖，可以得知，按 3,2,1

分成三組的方法有 C⁶3．C³2．C¹1種。

(2)考慮 C⁶2．C⁴2．C²2這個式子，根據乘法原理或樹狀圖，我們可以發現

AB、CD、EF，AB、EF、CD，CD、AB、EF，CD、EF、AB，EF、AB、CD，

EF、CD、AB，這 6 種分組方式並沒有差別，而算式 C⁶2．C⁴2．C²2中，卻將其

算了 6次，因此按 2,2,2分成三組的分組方法只有 C⁶2．C⁴2．C²2． 1

3！ 種。

[例題21] (分組與給物的問題) 有8本不同的書本，

(1)平分成兩堆 (2)按照4,2,2分成三堆 (3)按照4,3,1分成三堆 (4)平分給甲乙兩人 (5)甲給4本，乙給2本，丙給2本

(6)按照4,3,1自由分配給甲乙丙三人

Ans：(1)35 (2)210 (3)280 (4)70 (5)420(6)1680

[例題22] (有特定條件的分組問題)

(1)9人平分成三組，其中甲乙丙三人必不在同一組的方法有幾種？

(2)9人平分成三組，其中甲乙在同一組的方法有幾種？

Ans：(1)90 (2)70

(練習46) 籃球 3人鬥牛賽，共有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 9人參加，組成 3 隊，且 甲乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種？ Ans：210 (90 學科) (練習47) 有學生 10 人，住 A,B,C 三間房，若 A 房住 4 人，B,C 各住 3人

(1)住法有幾種？ (2)若甲乙兩人住同房，其住法有幾種？

Ans：(1)4200 (2)1120

(練習48) 有八本不同的書，按 3,3,2 自由分配給甲乙丙三人，請問有幾種給法？

Ans：1680

(練習49) HBL 的複賽共有 8 支隊伍入圍參加比賽，現在要作淘汰賽，如圖為本 次的賽程表，請問共有幾種安排賽程的方式？Ans：315

(練習50) S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(1)將 S 的元素分成 4 個，5 個的兩組，1,2 要在同一組的選法有幾種？

(2)從 S 中任取 3 個數的和為奇數的取法有幾種？

Ans：(1)56 (2)40

(練習51) 高二三班各派 2名羽球選手，作羽球的單打排名賽，比賽賽程表如圖所 示 ， 而 且 要 求 同 班 派 出 的 選 手 在 冠 亞 軍 以 外 不 比 賽 ， 則 賽 程 有 幾 種 排 法？Ans：36

(2)排列與組合的綜合運用：

[例題23] 7個球放入3個箱子，每個箱子都夠大能放入7個球，亦可以留有空箱子 (1)球相同，箱子相同有幾種存放的方法？

(2)球相同，箱子相異有幾種存放的方法？

(3)球相異，箱子相同有幾種存放的方法？

(4)球相異，箱子相異有幾種存放的方法？

Ans：(1)8 (2)36 (3)365 (4)2187

[例題24] 下列哪一個選項的答案為C⁷3？

(1) 舞蹈社有3個男生4個女生﹐要選出3人代表獻花﹐則選法有幾種？

(2) 甲、乙、丙3人從7件不同的禮物中﹐每人選1件﹐則選法有幾種？

(3) 將「庭院深深深幾許」7個字任意排列的方法數有幾種？

(4) 如右圖的棋盤式街道﹐從A到B走捷徑(只能向右或向上)則走法有幾種？

(5) 4枝相同的筆﹐任意分給4個人﹐則分法有幾種？

Ans：(1)(4)(5)

[例題25] 設A={1,2,3,4}，B={5,6,7}

(1)從A映至B的函數有幾個？ (2)從A到B的映成函數有幾個？

(3)從B映到A的函數有幾個？ (4)從B到A之一對一函數有幾個？

Ans：(1)81 (2)36 (3)64 (4)24

[例題26] 請求出下列集合的元素個數：

A={(x,y,z)|1≤x,y,z≤9，x,y,z為整數，且x,y,z互異}，

B={(x,y,z)|1≤x,y,z≤9，x,y,z為整數}

C={(x,y,z)|1≤x<y<z≤9，x,y,z為整數}

D={(x,y,z)|1≤x≤y≤z≤9，x,y,z為整數}

Ans：n(A)=504，n(B)=729，n(C)=84，n(D)=165

[例題27] 由mathematical中的字母，每次取4個的組合數有幾個？排列數有幾個？

Ans：143，2482

(練習52) 將 10 件相同物分給甲乙丙三人 (1)每人至少一件，有幾種分法？

(2)其中一人至少得一件，一人至少得二件，一人至少得三件，

有幾種分法？Ans：(1)36 (2)33

(練習53)五件不同的玩具分給甲乙丙三人，求下列的分法？

(1)每人至少得一件。 (2)甲得 2件，乙得 2 件，丙得 1件。

Ans：(1)150 (2)30

(練習54)(函數的個數)f：G→H 為一個函數

(1)若 n(G)=6，n(H)=3，則 f的個數有幾種？

(2)若 n(G)=3，n(H)=7，且 f為一對一函數，則 f 的個數有幾種？

(3)若 n(G)=9，n(H)=2，且 f為映成函數，則 f的個數有幾種？

Ans：(1)729 (2)210 (3)510

(練習55)自 ATTENTION 一字中，每次取 5 個字母，共有幾種取法？幾種不同 的排列法？ Ans：41，2250

(練習56)設 A={1,2,3,4}，B={1,2,3,4,5,6}， 則 從 A 到 B 的 函 數 中 ， 滿 足 (1)f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)者共有幾個？(2) f(1)<f(2)<f(3)<f(4)者共有幾個？

Ans：(1)126 (2)15

(練習57) 袋中有相同的紅球 5 個，相同的白球 4 個，相同的黑球 2 個，相同的 黃球 2 個，綠球 1個，自袋中任取 4球

(1)有幾種取法？ (2)取 4 球排成一列有幾種取法？

(3)從袋中至少取一球有幾種取法？Ans：(1)45 (2)478 (3)539

綜合練習(二)

(15) 設n為正整數，C ²⁹_n＋3＝C ²⁹_2n－4，試求n之值。

(16) (a) 若C ⁵⁶₃₀＝C ⁵_r⁶，r≠30，求r之值。

(b) 求C ²₂＋C ³₂＋C ⁴₂＋…＋C ¹₂⁹之值。

(17) 從五位男生六位女生中，選出五人組成委員會，試問：

(a) 共有多少種選法？

(b) 規定男女各至少有兩人，有多少種選法？

(18) 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚共7人，從中選出4人，求下列選法各有幾種：

(a) 任意選。

(b) 甲、乙同時入選。

(c) 甲、乙不能同時入選。

(d) 甲、乙、丙三人至少有一人入選。

(19) 某公寓住戶，欲從六對夫婦中，選出5人組成管理委員會，求下列選法各有幾種？

(a) 任意選。

(b) 5人中恰有一對夫婦。

(c) 夫婦不得同時入選。

(20) 若數列a1,a2…,ak,…,a10中每一項皆為1或−1，則a1+…+ak+…+a10之值有多少 種可能？(1)10 (2)11 (3)P₂¹⁰ (4)C¹⁰₂ (5)2¹⁰ (2010學科)

(21) 有6男4女共10名學生擔任本週值日生，導師規定在本週五個上課日中，每 天兩名值日生，且至少需有1名男生，試問本週安排值日生的方式有 種。 (90大學社)

(22) 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下周一至週日的7天中選擇2天停止供水。

若要求停水的兩天不相連，則自來水公司共有幾種選擇方式？(2002指定乙)

(23) 新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該 鞋店共有八款鞋可供選擇，其價格如下：

規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、

乙兩款鞋之一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙 鞋，其搭配方法一共有 種。(2006 學科)

(24) 將 24 顆 雞 蛋 分 裝 到 紅、黃、綠 的 三 個 籃 子。每 個 籃 子 都 要 有 雞 蛋 ， 且 黃 、 綠 兩 個 籃 子 裡 都 裝 奇 數 顆 。 請 選 出 分 裝 的 方 法 數 。

(1) 55 (2) 66 (3) 132 (4) 198 (5) 253。 (2013 學 科 能 力 測 驗)

(25) 有一個兩列三行的表格如右下圖。在六個空格中分別填入數字1、2、3、4、5、

6（不得重複），則1、2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種。

(2010學科) (26) 一副撲克牌共52張，由其中取出5張，求：

(a) 5張為同一花色的情形共有 種。

(b) 5張中有3張同點數，另外2張也同點數 ( 如xxxyy，x≠y ) 的情形有 種。

(27) 平面上有8個點，若其中恰有4點共線，如右圖。

(a) 這8個點可作出幾條相異直線？

(b) 這8個點可決定幾個三角形？

(28) 兩個凸多邊形，共有16個邊，41條對角線，則此兩個多邊形的邊數分別為多少？

(29) 將八位新轉來的學生分到甲、乙、丙、丁四班。

(a) 每班2人，有幾種分法？

(b) 甲班2人，乙班2人，丙班1人，丁班3 人，有幾種分法？

(c)其中有兩班各2人，另外一班1人，一班3人，分法有幾種？

(30) 有甲、乙、丙等12人平分為四隊，每隊三人，若甲、乙兩人不同隊，

則有 種分法。

(31) 方程式x＋y＋z＋u＝10的 (a) 非負整數解有幾組？

(b) 正整數解有幾組？

(c) 非負偶數解有幾組？

(d) 正奇數解有幾組？

(32) 某一跳棋盒內，有紅、黃、藍三種顏色的棋子，每種顏色各有15顆，若隨意從 盒中抓出10個，則有幾種情形？

(33) 有四種大小相同的色球各6個，從中任取5個，

(a) 任意取，方法有幾種？

(b) 恰含兩種色球，方法有幾種？

(34) 某水果店販售的水果有蘋果、梨子、芒果、橘子。某人欲購買12顆裝的水果禮 盒一盒，但要求每種水果至少裝一顆，請問老闆有多少種裝法？

(35) 將3個蘋果、4個梨子分給甲、乙、丙三人。

(a) 分法有幾種？

(b) 每種水果每人至少須得一個，分法有幾種？

(c) 每人至少得一個水果，分法有幾種？

(36) 將3本書全分給5人，依下列情形，方法各有幾種：

(a) 書不同，每人所得不限，有 種。

(37) 6件不同的禮物，要分給甲、乙、丙等三個人，每人至少得1件，有 種方法。

(38) 自attention中，每次取出四個字母，則：

(a) 組合數為 個。 (b) 排列數為 個。

(39) 設 a b c 為三位數，滿足下列條件的三位數各有幾個：

(a) a＞b＞c。 (b) a＜b＜c。 (c) a≥b≥c。 (d) a≤b≤c。

進階問題

(40) 將5個“＋”號，6個“－”號排成一列，若變號數 (“＋”號後面接“－”號或“－”號後 面接“＋”號，各稱為一個變號數 ) 為4，則其排法有 種。

(41) 將5個A和3個B任意排列，我們將連續相同的字母畫一底線定義為一個「連 串」，例如ABBABAAA畫記為A BB A B AAA，其連串數為5。

又如BB AAAAA B其連串數為，試問5個A和3個B任意排列後，連串數為3

的排法共有多少種？

(42) 有8個人身高均相異，今8人排成一列，但任一人都不排在比自己高的兩人之間，

共有 種排法。

(43) 連接正12邊形之任3個頂點，可得 (a)多少個直角三角形？

(b)多少個銳角三角形？

(c)多少個鈍角三角形？

(44) 以245000為最小公倍數的兩個正整數A與B，請問數對(A,B)有幾組？

(45) 平面上有11個相異點，任意連接兩點，共可得48條不同的直線

(a)在這11點中，含3點以上的相異直線有幾條？

(b)在這11點中，任取3點，可決定幾個三角形？(2004台大電機甄試)

(46) A、B兩人競選，選舉得票數共11張，唱票時，A一直保持領先，且最後A恰 以多一票獲勝，則唱票的情形有多少種？

(47) 如右圖，棋盤式街道中由A到B走捷徑，

恰轉彎4次的走法有幾種？

A

B

綜合練習解答

(15) n＝7或10 。 (16) (a)26 (b)1140 (17) (a)462 (b)350

(18) (a)35 (b)10 (c)25 (d)34 (19) (a)792 (b)480 (c)192 (20) (2)

(21) 43200 (22) 15 (23) 21 (24) (5) (25) 432

(26) (a)5148 (b)3744 (27) (a)23 (b)52 (28) 9與7

(29) (a)2520 (b)1680 (c)20160 [提示：(a) 共有C ⁸₂C ⁶₂C ⁴₂C ²₂× 1

2！×2！＝2520 ( 種 ) 分法。(b) 共有 C ⁸₂C ⁶₂C ⁴₁C ³₃× 1

2！×2！＝1680 ( 種 ) 分法。(c) ( C ⁸₂C ⁶₂C ⁴₁C ³₃× 1

2 ! )×4 !＝20160 ] (30) 12600

(31) (a) C ¹³₁₀＝286 (b) C ⁹₆＝84 (c) C ₅^4＋5－1＝C ⁸₅＝56 (d) C ⁶₃＝20 (32) 66

(33) (a)56 (b)24 (34) 165

(35) (a) C ₃^3＋3－1C ₄^3＋4－1＝C ⁵₃C ⁶₄＝150 (b) C ₀^3＋0－1C ₃^3＋1－1＝C ²₀C ³₁＝3

(c)93 [每人至少得1個水果，分法有 ( 全部分法 )－( 其中一人沒得 )＋ ( 其 中二人沒得 )－( 三人沒得 )]

(36) (a)125 (b)10 (37) 540

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

(38) (a)41 (b)626

(39) (a)120 (b)84 (c)219 (d)165 (40) 70

(41) 6 (42) 128

(43) (a)60 (b)40 (c)120 [提示：(a)任選一條直徑 A1A7，可得10個直角三角形，所以有6×10=60 個直角三角形。(b)取A1為頂點，以A1A2為 邊，形成0個銳角三角形，以A1A3為邊，形 成1個銳角三角形(ΔA1A3A8)，以A1A4為邊，

形成2個銳角三角形(ΔA1A4A8、ΔA1A4A9)，

以A1A5為邊，形成3個銳角三角形，以A1A6

為邊，形成4個銳角三角形(ΔA1A3A8)，所以 取A1為頂點，可形成(1+2+3+4)=10個銳角三 角形，共有10×12×1

3=40個銳角三角形。

(c)C¹²3−60−40=120。]

(44) 315

[提示：245000=2³×5⁴×7²，設A=2^a×5^b×7^c，B=2^α×5^β×7^γ，討論a,b,c,α,β,γ有幾種情形，

就可以得知(A,B)的數對有幾組，因為(a,α)有2×4−1=7種情形((3,0)、(3,1)、(3,2)、

(0,3)、(1,3)、(2,3)、(3,3))，同理(b,β)有2×5−1=9種情形，(c,γ)有2×3−1=5種，因此 數對(A,B)有7×9×5=315組]

(45) (a)2 (b)160 [提示：(a)若11個相異點中，任三點不共線，則可決定C¹¹2=55條直 線，因為只決定了48條直線，則可知少了7條直線，另外，若有一直線上有三點，

則直線會減少C³2−1=2條，若有一直線上有四點，則直線會減少C⁴2−1=5條，若有 一直線上有五點，則直線會減少C⁵2−1=9條，此不可能，所以在這11點中有一條 直線恰有3點，令一直線恰有4點。(b)C¹¹3−C³3−C⁴3=160]

(46) 42 [提示：將A的得票數與B的得票數分別記在x軸，y軸，唱票時A一直保持

領先，故第一票為A所得，即自P(1,0)出發，第二票必是A獲得，故由(1,0)移動到

(2,0)，令A、B的得票數分別為a,b，則形成點(a,b)，其中a>b。最後A恰以一票獲

勝，因此終點為Q(6,5)，即自P點開始沿實線取捷徑走到Q點的方法，會與唱票時，

A一直保持領先，且最後A恰以多一票獲勝的唱票情 形一一對應。]

(47) 198 [提示：從A到B走捷徑，相當於10個→5個↑

，而轉彎4次代表→↑有4個，因此可分成→↑→↑→或↑→↑→↑兩種，

(1) →↑→↑→：剩下7個→要排在→的位置，而3個↑要排在↑的位置，因此有H³7×H²3

種；同理↑→↑→↑有H³2×H82種]