DOC 三角函數 - 國立臺灣大學物理學系

(1)

三角函數

微分1. d sin cos

x x

dx  ( x取弳度單位)

cos sin

d x x

dx  

pf： 0

sin( ) sin sin lim

h

d x h x

dx x ^ h

 



0

cos 1 sin

lim(sin cos )

cos

h

h h

x x

h h

x



  



其中我們用了

0 0

sin 1 cos

lim 1 lim 0

h h

 

 ，   (見上圖)

cos sin( ) cos( ) sin

2 2

d d

x x x x

dx dx

 

     

2. d tan sec² (1)

x x

dx  

cos csc2 (2)

d x x

dx   

sec sec tan (3)

d x x x

dx  

csc csc cot (4)

d x x x

dx   

pf： sin ²

tan sec

cos

d d x

x x

dx  dx x 

餘證明略

P. 1

(2)

3. 積分



sinx d x cosx c cosx d xsinx c



tan cos log | cos |

cos

d x

x d x x c

  x   

 

similarly



cotx d xlog | sin |x c

(1) (3) d (tan sec ) sec (sec tan )

x x x x x

  dx   

log | tan sec | sec

d x x x

 dx  

secx d x log | tanx sec |x c





  

similarly



cscx d xlog | cscxcot |x c ex1：求

0^{ }e ^xcosxdx



sol’n：令 f e^^x，g' cos x (g sin )x

f g d x  fg f g d x

 

0 0

0

sin | sin

x x

e^ x ^ ^e^ xdx

_{}



令 f₁e^^x，g₁sinx (g₁ cos )x

0 0

0

cos | ( cos )

x x

e^ x ^ ^e^ x dx

 _{}





P. 2

(3)

0

cos 1

2 e x xdx





  

4. 反三角函數

滿足 f(sin ) sin( ( ))x  f x  x的函數 f x( ) 為sinx的反函數，寫為sin^¹x，

1 1

sin (sin ) sin(sin^ x ^ x) x

  

若令ysin^¹x，則siny x (5)

由於函數 (或反函數) 的取值必須明確而唯一 sin^1x

 的值域限制為[ ] 2 2

 ，

對(5)式2邊微分

cos 1

dy y

dx 

1

2

1 1

(sin )

cos 1

dy d

dx dx x y x

    



or 1 ₂ ¹

1 d x sin x c x

  





hw1



sin^¹x d xxsin^¹x 1x² c 5. 類似的，ytan^¹x，

則tanyx(6)

(要求 [ ]

y  2 2， ) 對(6)式兩邊微分

sec2 1

dy y

dx 

1 2

2

tan cos 1 1 dy d

x y

dx dx x

    



or ₂ tan ¹

1

d x x c

x

  





另外，由分部積分法，可得 (證明略)

1 1 1 2

tan tan log(1 )

x d x x x 2 x c

     



P. 3

(4)

ex2：求 0¹ 2 ( )2

dx a  x b



sol’s：積分 0¹ 2 2

( )

d x b

a x b

 

 



0¹ 2

( )

1

1 ( )

d x b x ba a

a



 





1 1 1 1

0

1 1 1

tan ^{x b}

|

(tan ^b tan ^b)

a a a a a

    

  

Question:畫出_sec^¹_x的圖(x及_sec^¹_x的範圍應如何選取較佳？)並求出 sec 1

d x

dx



6. sin



^mxcosⁿx d x^{形式的積分 (}^{m n}^， ^^^⁾ (a) m或n為奇數

若n為奇數 1

n ，則 1 ¹

sin cos sin sin sin

1

mx x d x mx d x m x c

m

   

 



1

n ，則_cosⁿ _x__cosⁿ^¹_x_cos_x (n1為偶數) 利用_cos² _x_{ }_{1 sin}² _x 積分成為



(sin^{的多項式)}^d^sin^x 若m為奇數，仍以類似方式處理 (b) m，n皆為偶數

利用 1

sin cos sin 2

x x 2 x

2 1

sin (1 cos 2 ) x 2  x

2 1

cos (1 cos 2 )

x 2  x 等降次

hw2 求



sin cos⁴x ²x d x

P. 4