两个小英雄去看了一下，发现礁石确实比较小，很容易躲避。船老大说道：“明显不对，只是#»。两个小英雄仔细看了看，然后船老大继续说道：“请大家注意从左边看，#»a·#»b是一个实数，然后乘以一个#»c，结果当然是一个与#»c共线的向量，先计算右边。这个礁石比较危险，活动也比较频繁，所以我们要更加小心。 ”该船老板回忆道：“很多船老板根本不重视这一点，很多人的船被毁了，人被杀了。 ”。
船老大点头同意，然后比划了一下，表示混合波即将到来——。船老板说：你可以想象这个波浪的“上升”是它的π的两倍。
例析平面向量问题的几种常见解法——杨凤国
2. 使用平行四边形法则或三角形法则。注意：使用平行四边形或三角形法则解题时，要注意问题中向量与相似三角形的共线性。求解任务时，注意E、G、C三点共线，B、G、F三点共线，因此我们可以利用三点共线的充要条件。
例2.2.5中，假设AO与BC交于F。同样可以利用F、B、C三点共线的充要条件来求解。注：本题也可以用导数法求最小值来解决。
一道构成三角形概率题的错解——郭子伟
我们还可以用软件模拟一下本题的过程来验证上面的说法。这里我使用Mathematica7软件并运行以下语句： 第一次运行刚刚得到图2.3.3。如果仔细观察，可以发现右侧的点比较密集。一点。我们仍然可以使用软件模拟实验来验证这个结果，也可以使用Mathematica7软件执行以下语句：
2. 这个公式就是著名的内斯比特不等式，很容易证明 2. 这个公式也是著名的内斯比特不等式，很容易证明 证明方法 4 由重要的三角恒等式 cos2A+cos2B+cos2C+ 2cosAcosBcosC= 1，得可以设置cosA=。
2、这个公式就是著名的Nessbit不等式，很容易证明。证明方法1、2、3、4从不同的角度开始，但以相同的目标结束。还揭示了这道数学题的背景就是著名的内斯比特不等式证明5：思考内置的不等式，得到比原来更强的结果，真是太精彩了。
因此，作者趁势对这道题进行了类比研究：如果我们把这道题中的余弦函数换成其他三角函数，会得到什么不等式呢？下面作者以提问的形式呈现研究成果。这个代数不等式是2008年全国高中数学联赛江西省预赛第14题，具体证明和研究可参见《数学教学》的[1]和[1]。由上述证明方法得到。收到网友“天舒”的举报，在此表示感谢。他还给出了匹配均值不平等的证明。
这种不等式在“休闲数学娱乐论坛”的帖子中进行了讨论。网友“pxchg1200”提供了柯西不等式的证明，参见http://kkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=1391&page=1#pid9367。一个好的问题就像一块灿烂的碧玉，折射出人类智慧的光辉；伟大的解决方案就像一道绚丽的彩虹撑起了蓝天。类似的三角不等式问题还有很多（比如增加度数、将角改为半角或多角等），而且每个问题的证明都不是唯一的，给我们留下了无限的思考空间。我在这里留给有兴趣的读者询问。
一个优美连根式不等式的推广——李明
一道几何题引申出的一系列相关结论——文武光华数学工作室
如图3.3.5所示，⊙O为四边形ABCD的外接圆，AB与DC交于E，AD与BC交于F，G为EF的平分线，M、N为AC、BD的平分线根据根据牛顿定理，三点 M、N 和 G 共线，直线 M 和 N 分别与 BC 和 DA 相交。如图3.3.6所示，⊙O为四边形ABCD的外接圆，AB与DC交于E，AD与BC交于F。M、N为AC、BD的平分线。角∠AED 和∠AF B 的平分线相交于P。检查：M、N 和P 共线。
如图3.3.10所示，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB和DC交于E，AD和BC交于F，G是EF的平分线，M和N是AC和BD的平分线检查：BD。如图3.3.13所示，在Q处描述了⊙O和⊙P，L为圆心，过L的割线AB和CD与两个圆相交方向相反。对应的点A、B和C、D、M、N分别是BC、AD的平分线。证明：QM。容易证明 ⊙P 和 ⊙O L 具有反转中心，LQ2 具有反转功率 ，且互为逆，故 LA·LB=LC·LD=LQ2。
浅谈“作差有理化放缩法”证明根式不等式——郭子伟
好吧，也许多说比举一些实际例子更好。以下例子中的证明均由作者独立提供。任何相似之处纯属巧合。在证明过程中，有些地方可以使用一些经典不等式。为了节省空间，这里将不加证明地使用它们。由Vasc不等式可知，上式成立，故方程(3.4.3)成立，并证明了初始不等式。注意：注意，当k̸ = 2时，原不等式的等式条件是a、b、c均为0，所以对左边进行缩放时，只缩放与a相关的两个根，而其他不能动。
确实，给定几何意义，不难看出这道题是Hlawka不等式的特例，所以k的范围确实可能是[−1,2]，但是当k为负数时，上式将证明方法失败 从双钩函数的性质，很容易证明左边有大约。 r 减小，因此 Schür 不等式的等价形式为 r⩾4q−1。另外，可以利用该方法将原不等式右边强化为 。
注意：不要让最后一个公式吓到您。其实非常简单、自然。因为我在做倒数第二步的时候，本来是打算写成p,q,r然后再考虑用Schür不等式之类的方法。结果，当我们扩大2Σ。 a−b)2(a+b−c)2 并分离 r，我们发现剩下的是一个完美的正方形。这就是最终组合的创建方式。值得注意的是，这个问题是一个比较知名的话题。其他精彩证明参见[1]~[4]。其中，[1]和[2]都使用了非常巧妙的直接缩放； [3]同样采用物理和化学缩放，但不两边平方，直接应用于原来的不等式，这比我上面的证明方法简单得多；而[4]（P68~69）中的证明计算量很大，但是我的这个方法第一次看到还是值得学习的。顺便说一下，通过推导上述证明方法中最后一个组合方法，我们还可以发现，原来的不等式有如下的改进公式。
另外，文章[4]（P70）给出了一个可以直接在右手边缩放的局部不等式，证明步骤很简单，但是局部不等式的证明是通过旋转对称性来证明的。设c=min{a,b,c}。将原不等式两边平方等价于 ，因此原不等式得证，且等号为真当且仅当 a=b=c 或 a=3b 且 c=0 及其旋转。
注意，这个问题是在你写这篇文章的时候才得到的。它强化了众所周知的杰克·加芬克尔不平等，也可能是一种新的不平等。类似地，x必须确定为x=X，当m和n改变时只需要上式。 Y中y的最大值即可（示意图如图4.1.3所示）。根据卡尔森不等式，我们有
